江苏南京2014高三9月学情调研试题-数学(解析版)汇总

2014届江苏省南京市高三9月学情调研
数学试卷（带解析）
一、填空题 1．
则A B = .
2．命题“
2,220x R x x ∀∈-+>”的否定是 .
3．已知复数z 满足1iz i =+（i 为虚数单位）
4
．下图是某算法的流程图，其输出值a 是 .
5．口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1,2,3,4，若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于5的概率为 .
6．若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为 . 7．已知点
()
,P x y 在不等式
0024x y x y ≥⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
表示的平面区域上运动，则z x y =+的最大值
是 .
8．曲线sin y x x =+在点()0,0处的切线方程是 .
9．在等差数列
{}n a 中，487,15a a ==，则数列{}n a 的前n 项和n S = .
10．如图，在ABC ∆中，D 、E 分别为边BC 、AC 的中点. F 为边AB 上的点，且
3AB AF = ，若AD xAF yAE =+ ，,x y R ∈，则x y +的值为 .
11．设函数
()
f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()21x f x =+.若()3
f a =，则实
数a 的值为 .
12．已知四边形ABCD 是矩形，2AB =，3AD =，E 是线段BC 上的动点，F 是CD 的中点．若AEF ∠为钝角，则线段BE 长度的取值范围是 . 13的左顶点(),0A a -作直线l 交y 轴于点P ，交椭圆于点Q ，若AOP ∆是等腰三角形，且2PQ QA
=
，则椭圆的离心率为 .
14．已知函
若存在实数
a 、
b 、
c 、
d ，满足
()()()
f a f b f c ==
()
f d =，其中0d c b a >>>>，则a b c d 的取值范围
是 .
二、解答题
15．在锐角ABC ∆中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．已知向量 ，且m n ⊥
.
（1）求角A 的大小；
（2）若7a =，8b =，求ABC ∆的面积．
16．如图，四棱锥P ABCD -的底面为平行四边形，PD ⊥平面ABCD ，M 为PC 中点．
（1）求证：//AP 平面MBD ；
（2）若AD PB ⊥，求证：BD ⊥平面PAD .
17．如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2400平方米的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路（图中阴影部分），道路的宽度均为2米．怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出其最大面积.
18．已知椭圆C 的中心在坐标原点，
若直线
()0y t t =>与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，以线段AB 为直径作圆M . （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若圆M 与x 轴相切，求圆M 被直线.
19．已知无穷数列
{}n a 中，1a 、2a 、 、m a 构成首项为2，公差为－2的等差数列，1m a +、
2m a +、 、2m a ，构成首项为的等比数列，其中3m ≥，m N *∈.
（1）当12n m ≤≤，m N *∈，时，求数列{}n a 的通项公式；
（2）若对任意的n N *∈，都有2n m
n a a +=成立．
时，求m 的值；
②记数列
{}n a 的前n 项和为n S ．
判断是否存在m ，使得432m S +≥成立？若存在，求出m 的
值；若不存在，请说明理由. 20．已知函数()2ln f x ax x
=-（a 为常数）．
（1时，求()f x 的单调递减区间；
（2）若0a <，且对任意的
[]
1,x e ∈，
()()2f x a x
>-恒成立，求实数a 的取值范围.
21．如图，OA 、OB 是圆O 的半径，且OA OB ⊥，C 是半径OA 上一点：延长BC 交圆O 于点D ，过D 作圆O 的切线交OA 的延长线于点E .求证：45OBC ADE ∠+∠= .
22．在平面直角坐标系xOy 中，直线:210l x y ++=在矩阵
23a M b -⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦
对应的变换作
用下得到直线:m x 20y --=，求实数a 、b 的值． 23．在极坐标系中，求圆4sin ρθ=上的点到直线
24
25．在底面边长为2，高为1的正四棱柱111
1
ABCD A BC D -中，E 、F 分别为BC 、1
1
C D
的中点．
（1）求异面直线1
A E 、CF 所成的角；
（2）求平面1
A EF 与平面11
ADD A 所成锐二面角的余弦值．
26．将编号为1，2，3，4的四个小球，分别放入编号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子中有且仅有一个小球．若小球的编号与盒子的编号相同，得1分，否则得0分．记ξ为四个小球得分总和．
（1）求2
ξ=时的概率；
（2）求ξ的概率分布及数学期望．
2014届江苏省南京市高三9月学情调研理科数学试卷参考答案
1或()
1,2
【解析】
，，
试题分析：
考点：集合的交集运算
2．2
∃∈-+>
x R x x
,220
【解析】
试题分析：由全称命题的否定知，命题“2
∀∈-+>”的否定是
,220
x R x x
“2
∃∈-+>”.
x R x x
,220
考点：命题的否定
3
【解析】
试题分析：
，
1
=+
iz i
考点：复数的除法运算、复数的模
4．31
【解析】
试题分析：第一次循环，2113
a=>不成立，执行第二次循环；
a=⨯+=，330
a=>不成立，执行第三次循环；第三次循环，27115
a=⨯+=，a=⨯+=，730
2317
a=⨯+=，3130
a=>成立，a=>不成立，执行第四次循环；第四次循环，215131
1530
跳出循环体，输出的a值为31.
考点：算法与程序框图
5
【解析】
试题分析：利用x 、y 表示第一次和第二次从袋子中抽取的球的编号，用(),x y 表示其中一
个基本事件，则事件总体所包含的基本事件有：
()1,2，()1,3，()1,4，()2,3，()2,4，()3,4，
共6个；事件“取出的两个球的编号大于5”所包含的基本事件有：()2,4，()3,4，共2个，
所以事件“取出的两个球的编号大于5”发生的概率
考点：古典概型 6
【解析】
试题分析：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，底面积为S ，体积为V ，
考点：圆柱的体积 7．4
【解析】
试题分析：如下图所示，不等式组
0024x y x y ≥⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
所表示的可行域如下图中的阴影部分表示，
在直线方程24x y +=，令0y =，解得4x =，得点A 的坐标为()4,0，作直线:l z x y =+，
其中z 可视为直线l 在x 轴上的截距，当直线l 经过区域中的点()
4,0A 时，直线l 在x 轴上
的截距最大，此时z 取最大值，即max
404z
=+=.
考点：线性规划 8．2y x =或20x y -= 【解析】
试题分析：sin y x x =+ ,1cos y x '∴=+，当0x =时，1cos 02y '=+=，故曲线
sin y x x =+在点()0,0处的切线方程是()020y x -=-，即2y x =或20x y -=.
考点：利用导数求函数图象的切线方程 9．2n 【解析】
试题分析：设等差数列
{}n a 的首项1a 与公差d 的方程组，则有418137
715
a a d a a d =+=⎧⎨
=+=⎩，解得
112
a d =⎧⎨
=⎩，故
考点：等差数列的前
n 项和 10【解析】
试题分析：D 为BC 的中点
，
，AD AB BD
∴=+
，1y =，
考点：平面向量的基底表示
11．1± 【解析】
试题分析：当0a ≥时，()213
a f a =+=，解得1a =；当0a <时，0a ->，
由于函数()
f x 是偶函数，
()()213
a f a f a -∴=-=+=，解得1a =-，综上所述，1a =±.
考点：函数的奇偶性 12．
()1,2
【解析】
试题分析：法一：如下图所示，设BE x =，则03x <<，由勾股定理易
得
，3CE x =-
，
，
，
AEF ∠为钝角，则cos 0AEF ∠<，则有
222AE EF AF +-0<，即
()()2
22
4610102
640
x
x x x x ++-
+-=-+<，即
2320
x x -+<，解得12x <
<； 法二：如下图所示，设BC x =，则03x <<，以点B 为坐标原点，BC 、BA 所在的直线分别为
x 轴、y 轴建立平面直角坐标系xBy ，则()0,2A ，(),0E x ，()3,1F ，
()()()0,2,0,2EA x x =-=- ，EF =
()()()3,1,03,1x x -=-，AEF ∴∠是钝角，则0EA EF ⋅< ，即()()3210x x -⋅-+⨯<，整理得2
320x x -+<，解得12x <<，且A 、
E 、
F 三点不共线，故有()()321x x -⨯≠-⨯，解得6x ≠.
考点：余弦定理、勾股定理、平面向量的数量积 13
【解析】
试题分析：由于AOP ∆为等腰三角形，且90AOP ∠= ，故有AO OP a ==，则点P 的坐标为
()
0,a ，设点Q 的坐标为
()
,x y ，()()()
,0,,PQ x y a x y a =-=-
，
()()(),0,,QA a x y a x y =--=--- ，PQ =
2QA ，则有()22x a x y a y ⎧=⋅--⎨-=-⎩，即点Q 的坐标为，将点Q 的
，解得225a b =，即()
222
5a a c =-
，
考点：共线向量、椭圆的离心率 14．
()21,24
【解析】
试题分析：如下图所示，
由图形易知01a <<，13b <<，则
()()
f a f b = ，33
log log a b ∴-=
，1ab ∴=，令，即210240x x -+
=，解得4x =或6x =，而二次函数
直线5x =，由图象知，35c <<，5d >，点()(),c f c
和点()()
,d f d 均在二次函数
的图象上，故有，10d
c ∴=-，由于当13x <<时，，30log 1x ∴<<，13b << ，()01f b ∴<<，()()f b f c = ，()01f c ∴<<，由于函数()f x 在()
3,5上
单
调
递
减
，
且
()31
f =，
()40
f =，34c ∴<<，()211010abcd cd cd c c c c
∴=⨯==-=-+()2
525
c =--+，
34
c << ，
()2
2152524
c ∴<--+<，即2124abc
d <<.
考点：函数的图象、对数函数、二次函数的单调性
15．（1）60
A = ；（2
【解析】
试题分析：（1弦化切的思想求出tan A 的值，最终在求出角A 的值；（2）解法一：在角A 的大小确定的前提下，利用正弦定理与同角三角函数之间的关系求出sin B 和cos B ，并利用
()
sin sin C A B =+结合和角公式求出sin C 的值，出ABC ∆的面积；解法二：利用余弦定理求出c 的值，并对c 的值进行检验，然后面积公式
求出ABC ∆的面积. 试题解析：（1）因为m n ⊥ ，所以0m n ⋅=
，则
4分
因为090A << ，所以cos 0A ≠，则，所以60A = 7分 （2，又7a =，8b =，60A = ，
，因为ABC ∆为锐角三角形，所以 9分
12分
分 解法二：因为7a =，8b =，60A = ， ，即28150c c -+=，解得3c =或5c =，
当3c =时，222949640c a b +-=+-<，所以cos 0B <，不合乎题意； 当5c =时，2222549640c a b +-=+->，所以cos 0B >，合乎题意；
分 考点：正弦定理、余弦定理、同角三角函数的关系、两角和的正弦函数、三角形的面积公式 16．（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】
试题分析：（1）根据平行四边形对角线互相平分的这个性质先连接AC ，找到AC 与BD 的交点O 为AC 的中点，利用三角形的中位线平行于底边证明//AP OM ，最后利用直线与平
面平行的判定定理证明//
⊥，
AP平面MBD；（2）先证明AD⊥平面PBD，得到AD BD 再由已知条件证明BD PD
⊥，最终利用直线与平面垂直的判定定理证明BD⊥平面PAD.试题解析：（1）连接AC交BD于点O，连接OM，
因为底面ABCD是平行四边形，所以点O为AC的中点，
又M为PC的中点，所以//
OM PA， 4分
因为OM⊂平面MBD，AP⊄平面MBD，所以//
AP平面MBD 6分
（2）因为PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PD AD
⊥， 8分
因为AD PB
⊥，PD PB P
，PD⊂平面PBD，PB⊂平面PBD，所以AD⊥平面
=
PBD，
因为BD⊂平面PBD，所以AD BD
⊥， 10分
因为PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PD BD
⊥， 12分
又因为BD AD
⊥，AD PD D
，AD⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，
=
所以BD⊥平面PAD 14分
考点：直线与平面平行、直线与平面垂直
17．当休闲广场的长为60米，宽为40米时，绿化区域总面积最大值，最大面积为1944平方米.
【解析】
试题分析：先将休闲广场的长度设为x米，并将宽度也用x进行表示，并将绿化区域的面积S表示成x的函数表达式，利用基本不等式来求出绿化区域面积的最大值，但是要注意基本不等式适用的三个条件.
试题解析：设休闲广场的长为x米，则宽为米，绿化区域的总面积为S平方米，
分
，()
6,600
x∈ 8分
因为()
6,600
x∈，所以
，即60
x=时取等号 12分
此时S取得最大值，最大值为1944.
答：当休闲广场的长为60米，宽为40米时，绿化区域总面积最大值，最大面积为1944平方米.
14分
考点：矩形的面积、基本不等式
18．（1
（2
【解析】
试题分析：（1）先根据题中的条件确定a、c 的值，然后利用求出b的值，从而确定椭圆C的方程；（2）先确定点M的坐标，求出圆M的方程，然后利用点（圆心）到直线的距离求出弦心距，最后利用勾股定理求出直线截圆所得的弦长.
试题解析：（1
，故椭圆C 的标准方程为分
（2）由题意可知，点M为线段AB的中点，且位于y轴正半轴，
又圆M与x轴相切，故点M的坐标为()
0,t，
不妨设点B 位于第一象限，因为MA MB t ==，所以(),B t t ， 7分
，因为0t >，解得 10分
所以圆M 的圆心为
分
因为圆心M 到直线
分
故圆M 被直线
分
考点：椭圆的方程、点到直线的距离、勾股定理 19．（1）数列{}
n a 的通项公式为 （2）①m 的值为7或21；②详见解析. 【解析】
试题分析：（1）根据数列的定义求出当12n m ≤≤时数列{}n a 的通项公式，注意根据n 的
取值利用分段数列的形式表示数列
{}n a 的通项；
（2）数列部分中的项，然后根据相应的通项公式以及数列的周期性求出m 的值；②在（1）的基础上，先将数列
{}n a 的前2m 项和求出，然后利用周期性即可求出
43m S +，构造
利用定义法求出()f m 的最大值，从而确定2m S 和43m S +的最
大值，进而可以确定是否存在m N *∈，使得43
2m S
+≥. 试题解析：（1）当1n m ≤≤时，由题意得24n a n =-+， 2分
当12m n m +≤≤时，由题意得
4分
故数列
{}n a 的通项公式为
分
（2
必在等比数列内，且等比数列部分至少有6项， 则数列的一个周期至少有12项， 7分 所以第27项只可能在数列的第一个周期或第二个周期内， 若1272m ≤≤时，则
，得21m =，
若21274m m +≤≤，则
，得7m =，
故m 的值为7或21 9分 ，12330a a a S ++==，
12分
因为3m ≥，所以()()10
f m f m +-<，即
()()
1f m f m +<， 14分
故3m =时，2m
S
取最大，最大值为
从而43
m S
+的最大值为，不可能有432
m S +≥成立，故不存在满足条件的实数m 16
分
考点：等差数列和等比数列的通项公式及前n 项和、数列的周期性、数列的单调性 20．（1）函数
()
f x 的单调递减区间为
()0,1；
（2）实数a 的取值范围是
【解析】 试题分析：（1
便可求出函数的单调递减区间；（2）构造新函数()()()2
F x f x a x
=--，将问题转化为
“对任意[]
1,
x e
∈时，()0
F x≥恒成立”，进而转化为()min0
F x≥，围绕()min0
F x≥这个核心问题结合分类讨论的思想求出参数a的取值范围.
试题解析：（1）()
f x的定义域为()
0,+∞，
2分
由()0
f x
'<及0
x>，解得01
x
<<，所以函数()
f x的单调递减区间为()
0,1 4分（2）设()()()()
2
2ln2
F x f x a x ax x a x
=--=---，
因为对任意的[]
1,
x e
∈，()()2
f x a x
≥-恒成立，所以()0
F x≥恒成立，
因为0
a<，令()0
F x
'=
，得 7分
，即1
a≤-时，
因为()
1,
x e
∈时，()0
F x
'<，所以()
F x在()
1,e上单调递减，
因为对任意的[]
1,
x e
∈，()0
F x≥恒成立，
所以[]
1,
x e
∈时，()()
min
F x F e
=≥，即()
2120
ae a e
---≥，。

所以此时a不存在； 10分
时，()0
F x
'>，
()0
F x
'<，
所以()
F x在
因为对任意的[]
1,x e ∈，
()0
F x ≥恒成立，所以
()120
F =>，且
()0
F e ≥，
即
()2120
ae a e ---≥，解得
13分
时，因为()1,x e ∈时，()0F x '>， 所以
()
F x 在
()1,e 上单调递增，由于()120F =>，符合题意； 15分
综上所述，实数a 的取值范围是[
,0)
考点：函数的单调区间与导数、不等式恒成立、分类讨论
21．详见解析 【解析】
试题分析：连接AB ，先利用题中条件求出45ABO ∠= ，然后利用弦切角定理证明
OBC ADE ∠+∠
ABO =∠.
试题解析：如下图所示，连接AB ，由于OA OB ⊥，90AOB ∴∠= ，
又OA OB = ，故AOB ∆为等腰直角三角形，且45ABO ∠= ， 4分 因为DE 切圆O 于点D ，由弦切角定理知ADE ABC ∠=∠， 6分
45OBC ADE OBC ABC ABO ∴∠+∠=∠+∠=∠= . 10分
考点：等腰三角形、弦切角定理 22．1a =，2b =.
【解析】
试题分析：确定变换前的坐标
(),x y 个变换后的坐标(),x y ''之间的关系，然后用坐标
(),x y ''来表示坐标(),x y ，并将上一步的结果代入直线l 便可以得到一条直线方程，根据两
者的系数关系求出a 、b 的值. 试题解析：设坐标(),x y 在矩阵M 的变换后的坐标为(),x y ''，
则有
23x a x y b y '-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，于是有23x ax y y x by '=-⎧⎨'=+⎩
，解得 4
分
将上述结果代入直线l 的方程得 化简得
()()()62260b x a y ab ''-++++=，
（*） 6分
，解得12a b =⎧⎨=⎩或16
a b =-⎧⎨=⎩， 8分 当1a =-，6b =时，代入（*）式得0000x y ⋅+⋅+=，不合乎题意，舍去！ 9分
综上所述1a =，2b =. 10分 考点：矩阵变换 23
【解析】
试题分析：将极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离d 并判断直线与圆的位置关系，在直线与圆相离的前提下，利用结论：圆上一点到直线的距离的最大值为d r +（其中r 为圆的半径长）求解该问题.
试题解析：在圆的极坐标方程两边同时乘以ρ得24sin ρρθ=，
化为直角坐标方程为224x y y +=，即()2224
x y +-=， 3分
故圆的圆心坐标为
()0,2，半径为2， 4分
化为直角坐标方程为60x y --=， 6分
8分
于是圆4sin ρθ=上的点到直线的距离的最大值为2＋考点：极坐标与直角坐标的转化、点到直线的距离 24．
(],0-∞
【解析】
试题分析：先构造函数
()21
f x x x =+--，去绝对值，将函数的解析式利用分段函数的
形式求出，将问题转化为分段不等式进行求解. 试题分析：令
()21
f x x x =+--，
当2x ≤-时，20x +≤，10x -<，则()()()213
f x x x =-+--=-，
此时()211
f x x x =+--≤恒成立； 3
分
当21x -<<时，20x +>，10x -<，则()()()2121f x x x x =+--=+，
令()1
f x ≤，即211x +≤，解得0x ≤，由于21x -<<，则有20x -<≤； 6
分
当1x ≥时，20x +>，10x -≥，则()()()213
f x x x =+--=，
此时()1
f x ≤不成立， 9
分
综上所述，不等式
211
x x +--≤的解集为
(],0-∞. 10
分
考点：含绝对值不等式的解法、分段函数 25．（
1）6
π；（2）
3
.
【解析】
试题分析：（1）先建系，并写出各点的坐标，利用向量法求出异面直线1
A E 、CF 所成的角；
（2）先求出平面1
A EF 与平面11
ADD A 的法向量，然后利用法向量来计算平面1
A EF 与平
面
11ADD A 所成的锐二面角的余弦值.
试题解析：由于111
1
ABCD A BC D -为正四棱柱，不妨以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1
DD 所在的直线分别为x 轴、y 轴、
z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系D xyz -，则
()12,0,1A ，
()
0,2,0C ，
()
1,2,0E ，
()
0,1,1F ，则()()()
11,2,02,0,11,2,1A E =-=--
，()()()
0,1,10,2,00,1,1CF =-=-
，
1分
()()()11021113A E CF ∴⋅=-⨯+⨯-+-⨯=- ，
1A E =
，
CF =
= =，
3分
设异面直线1
A E 、CF 所成的角为θ，
则
111cos cos ,2A E CF
A E CF A E CF
θ⋅===
=⋅
，
6
πθ∴=
，
即异面直线1
A E 、CF 所成的角为6
π； 4
分
（2）如上图所示，则
()12,0,1A ，
()1,2,0E ，
()
0,1,1F ，设平面1
A EF 的一个法向量为
()
,,m x y z = ， ()11,2,1A E =-- ，()()()10,1,12,0,11,1,0A F =-=- ， 1m AF ⊥ ，1
0m A F ∴⋅= ，即0x y -+=，解得x y =， 1m A E ⊥ ，10
m A E ∴⋅= ，即20x y z -+-=，将x y =代入得z y =，
令
1y =，可得平面1A E F 的一个法向量为()1,1,1m = ， 6分
同
理可知平面11ADD A 的一个法向量为()0,1,0n = ， 7分 1011101m n ∴⋅=⨯+⨯+⨯=
，m ∴==
，1n == ， 8分
设平面1A EF 与平面11
ADD A 所成锐二面角的平面角为ϕ，
则cos cos ,m n m n m n ϕ⋅====⋅ ， 即平面1A E F 与平面11
ADD A 所成锐二面角的余弦值
为
. 10分
考点：异面直线所成的角、二面角、空间向量法
26．（1）14
；（2）详见解析. 【解析】
试题分析：（1）先确定2ξ=时对应的事件，然后利用排列组合的相关知识求解；（2）将随机变量ξ的可能取值确定下来，然后将对应的概率计算出来，列出分布列求出ξ的数学期望与方差.
试题解析：（1）2ξ=时，则编号为1，2，3，4的四个小球中有且仅有两个小球的编号与盒子的编号相同，
故()2444124C P A ξ===，即2ξ=时的概率为14； 3分
（2）ξ的可能取值有0、
1、2、4， 4分
则()14442113C P A ξ⨯===，()2444124C P A ξ===，
()4411424
P A ξ===，()11130134248P ξ==---=， 故ξ的分布列如下表所示
8分
31110124183424
E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=，
9分 ()()()()2222311101112141183424D ξ=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.
10分
考点：排列组合、随机变量的分布列、数学期望与方差。