2025版高考数学复习第七单元专题集训五球与几何体的切接问题练习理新人教A版

专题集训五球与几何体的切接问题
1.[2024·辽宁凌源模拟]过长方体的一个顶点的三条棱长分别为3,2,x,其顶点都在表面积为18π的球的球面上,则x=()
A.√6
B.√5
C.2
D.√3
2.[2024·山西康杰中学月考]将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球,则这个球的表面积为()
A.2π
B.4π
C.8π
D.16π
3.[2024·福建泉州质检]如图Z5-1,在正方形网格纸上,实线画出的是某多面体的三视图.若该多面体的顶点在同一球面上,则该球的表面积等于 ()
图Z5-1
A.8π
B.18π
C.24π
D.8√6π
4.[2024·山东烟台一模]已知一个正方体的全部顶点都在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为.
5.[2024·浙江金华东阳中学月考]已知正三棱锥的高为1,底面边长为2√3,内有一个球与四个面都相切,则该球的半径为.
6.[2024·安徽马鞍山一模]已知一个圆锥的侧面绽开图是半径为2的半圆,则该圆锥的外接球的表面积是()
B.4π
A.4π
3
C.16π
D.16π
3
7.[2024·黑龙江双鸭山模拟]如图Z5-2,已知球O是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球,则平面ACD1截球O的截面面积为()
图Z5-2
A .√6
6π B .π
3 C .π6
D .√3
3
π
8.[2024·云南玉溪一中月考] 《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥P-ABC 为鳖臑,PA ⊥平面ABC ,PA=AB=2,AC=4,三棱锥P-ABC 的四个顶点都在球O 的球面上,则球O 的表面积为 ( ) A .8π B .12π C .20π D .24π
9.[2024·哈尔滨六中模拟] 已知四面体S-ABC 中,SA=SB=2,且SA ⊥SB ,BC=√5,AC=√3,则该四面体的外接球的表面积为 .
10.已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的顶点都在同一个球面上,且该正三棱柱的体积为√3
2,底面三角形ABC 的周长为3,则这个球的体积为 .
11.[2024·山东青州三模] 在三棱锥A-BCD 中,底面BCD 为直角三角形,且BC ⊥CD ,斜边BD 上的高为1,三棱锥A-BCD 的外接球的直径是AB ,若该外接球的表面积为16π,则三棱锥
A-BCD 的体积的最大值为 .
12.[2024·河北衡水武邑中学月考] 一个倒放的圆锥形容器,它的轴截面是正三角形,在容器内注入水,并放入一个半径为r 的铁球,这时水面恰好和球面相切.问将球从圆锥内取出后,圆锥内水平面的高度是多少?
13.[2024·成都树德中学月考] 如图Z5-3所示,在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切. (1)求两球半径之和;
(2)球的半径为多少时,两球体积之和最小.
图Z5-3
14.[2024·成都七中三诊] 四棱锥S-ABCD 中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧面SAD 是以
SD 为斜边的等腰直角三角形,若四棱锥S-ABCD 的体积的取值范围为
4√33
,
83
,则该四棱锥外
接球表面积的取值范围是 .
15.[2024·广东汕头潮南区模拟] 已知三棱锥A-BCD 中,AB=3,AD=1,BC=4,BD=2√2,当三棱锥
A-BCD 的体积最大时,其外接球的体积为 .
专题集训(五)
1.B [解析] 由题意,设球的半径为R ,则4πR 2=18π,则4R 2
=18,又长方体的体对角线长等于球的直径,所以(2R )2
=9+4+x 2
,即9+4+x 2
=18,得x=√5,故选B .
2.B [解析] 体积最大的球是正方体的内切球,即球的半径为1,所以球的表面积S=4π×12=4π.
3.C [解析] 设球的半径为R.易知该多面体是两个正四棱锥的组合体(底面重合),两顶点之间的距离为2R ,底面是边长为√2R 的正方形,由R 2
+
√2R 2
2
=32,得R 2=6,故该球的表面积
S=4πR 2=24π.
4.
9π2
[解析] 设正方体的棱长为a ,因为这个正方体的表面积为18,所以6a 2=18,解得a=√3,
又该正方体全部的顶点都在一个球面上,所以该正方体的体对角线长等于球的直径.设球的半径为R ,则√3a=2R ,即2R=√3×√3,解得R=3
2
,则球的体积V=4
3
πR 3
=43
π×
32
3
=
9π2
.
5.√2-1 [解析] 如图,在正三棱锥P-ABC 中,过点P 作PD ⊥平面ABC 于点D ,连接AD 并延长,交BC 于点E ,连接PE ,∵△ABC 是正三角形,∴AE 是BC 边上的高和中线,D 为△ABC 的中心.∵AB=2√3,∴R △RRR =3√3,DE=1,又PD=1,∴PE=√2,∴三棱锥P-ABC 的表面积
S=3×12×2√3×√2+3√3=3√6+3√3.易知三棱锥的体积V=1
3×3√3×1=√3.设球的半径为r ,以
球心O 为顶点,三棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小三棱锥,由等体积法可得
r=√3
3√6+3√3=√2-1.
6.C [解析] 设圆锥的底面半径为r ,则2πr=2π,r=1,∴圆锥的轴截面是边长为2的正三角形,∴圆锥的外接球球心是正三角形的中心,外接球半径等于正三角形外接圆的半径,为
√33×2=2√33
,∴外接球的表面积为4π×(
2√33
)2
=
16π3
.故选C .
7.C [解析] 平面ACD 1截球O 的截面为△ACD 1的内切圆.因为正方体的棱长为1,所以
AC=CD 1=AD 1=√2,所以内切圆的半径r=√22×tan30°=√66,所以截面面积S=πr 2=π×16=1
6π.
8.C [解析] 由题意可画出如图所示的空间几何体,则三棱锥P-ABC 的外接球半径即为长方体的外接球半径,因为PC=√22+42=2√5,所以外接球半径R=√5,所以外接球的表面积
S=4πR 2=20π,故选C .
9.8π
[解析]∵SA=SB=2,且
SA ⊥SB ,∴AB=√RR 2+RR 2=2√2,又
∵BC=√5,AC=√3,∴AC 2+BC 2=AB 2,即AC ⊥BC.取AB 的中点O ,连接SO ,OC ,依据直角三角形的性质,可得OA=OB=OC=OS ,即O 为该四面体的外接球的球心,则该四面体的外接球的半径R=1
2AB=√2,故该四面体的外接球的表面积S=4πR 2=8π.
10.
32√3π27
[解析] 设正三棱柱的高为h ,由题可知S △ABC =√34,R 三棱柱RRR -R 1R 1R 1=√34×h=√3
2,
解得h=2.正三棱柱外接球的球心在上、下底面中心连线的中点处,则外接球的半径
R=√12+(√12-(1
2)
2
×23
) 2=√43
,所以外接球的体积为43
πR 3
=43
π×√
43
3
=
32√3π27
.
11.4
3 [解析] 如图所示,由外接球的表面积为16π,可得外接球的半径为2,则AB=4.设
AD=x (0<x<4),则BD=√16-R 2,S △ABD =12AD ·BD=12x ·√16-R 2=1
2√-R 4+16R 2,故当x 2=8时,S △ABD
取得最大值,最大值为4.过C 作CH ⊥BD ,交BD 于点H ,则CH=1,易知当CH ⊥平面ABD ,且
AD=BD=2√2时,三棱锥A-BCD 的体积最大,此时体积V=1
3×4=4
3.
12.解:如图,作轴截面,设球未取出时,水面高PC=h ,球取出后,水面高PH=x.
∵AC=√3r ,PC=3r ,∴以AB 为底面直径的圆锥的体积V 圆锥=13π·AC 2·PC=1
3π·(√3r )2·3r=3πr 3
,
铁球的体积V 球=4
3πr 3
.
球取出后,水面下降到EF ,水的体积V 水=1
3
π·EH 2
·PH=1
3
π·(PH ·tan30°)2
·PH=1
9
πx 3
.
又V 水=V 圆锥-V 球,∴1
9
πx 3=3πr 3
-4
3
πr 3,解得x=√153
r.
13.解:(1)如图,球心O 1和O 2在AC 上,过O 1,O 2分别作AD ,BC 的垂线,垂足分别为E ,F.
设球
O 1的半径为r ,球O 2的半径为
R ,则由AB=1,AC=√3得
AO 1=√3r ,CO 2=√3R ,∴r+R+√3(r+R )=√3,∴R+r=√3
√3+1=
3-√32
.
(2)设两球体积之和为V ,则V=4
3π(R 3
+r 3
)=4
3π(r+R )(R 2
-Rr+r 2
)=
4
3
π×3-√32
[(R+r )2
-3rR ]=43π×3-√32
3-√32
2
-3R
3-√32
-R
=4
3π×
3-√32
3R 2
-3(3-√3)
2
R+
3-√32
2
,
当R=3-√34
时,V 有最小值,∴当R=r=3-√34
时,两球体积之和最小.
14.
28π3
,20π [解析] 四棱锥S-ABCD 中,因为AD ⊥SA ,AD ⊥AB ,SA ∩AB=A ,所以AD ⊥平面
SAB ,又AD ⊂平面ABCD ,所以平面SAB ⊥平面ABCD ,过S 作SO ⊥AB ,交BA 或BA 延长线于点O ,
则SO ⊥平面ABCD.设∠SAB=θ,则V 四棱锥S-ABCD =1
3
S 正方形ABCD ·SO=8
3
sin θ,所以sin θ∈
√3
2
,1,所
以θ∈
π3
,
2π3
,所以-12
≤cos θ≤1
2
.在△SAB 中,SA=AB=2,则有SB=2√2√1-cos R ,所以△SAB
的外接圆半径r=
RR 2sin R
=√2·√1-cos R
sin R .将该四棱锥补成一个以△SAB 为一个底面的直三棱柱,得
外接球的半径R=√R 2+1,所以外接球的表面积S=4πR 2
=4π
21+cos R
+1,所以S ∈
28π3
,20π.
15.1256
π [解析]∵AB=3,AD=1,BC=4,DB=2√2,∴BD 2+AD 2=AB 2
,∴△ABD 为直角三角形,∴当BC
⊥平面ABD 时,三棱锥的体积最大时,此时三棱锥A-BCD 的外接球就是以AD ,BD ,BC 为棱的长
方体的外接球,长方体的体对角线为外接球的直径.设外接球的半径为r ,则(2r )2
=42
+(2√2)2
+12
,得r=52,∴外接球的体积V=4
3πr 3
=125π6
.。