陕西省西安市周至县2023届高三下学期一模理科数学试题-PDF版含解析

陕西省西安市周至县2023届高三下学期一模理科数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．命题：“，”的否定是（ ）0x ∀>210x x -+≤A ．，B ．，0x ∃>210x x -+≤0x ∃>210x x -+>C ．，D ．，0x ∀>210
x x -+>0x ∀≤210
x x -+>2．设集合，，若，则的范围是（ ）{}=1<<2A x x {}=>B x x a A B A ⋂=a A ．B ．C ．D ．2
a ≥1
a ≤1
a ≥2
a ≤3．若复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）z ()1i 2i z +=i z A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
4．已知是等差数列的前n 项和，若，，则（ ）n S {}n a 310S =930S =6S =A ．15
B ．20
C ．25
D ．－25
5．下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）()cos f x x x =-A ．B ．C ．D ．0,2π⎛⎫ ⎪
⎝⎭
,2ππ⎛⎫ ⎪
⎝⎭3,2ππ⎛⎫ ⎪
⎝
⎭3,22ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
6．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的范围是：，为π 3.1415926π 3.1415927<<纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.甲同学是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前6位数字3，1，4，1，5，9进行某种排列得到密码.如果排列时要求两个1不相邻，那么甲同学可以设置的不同密码个数为（ ）A ．240
B ．360
C ．480
D ．720
7．设、是两个不同的平面．则“中有三个不共线的点到的距离相等”是“”αβαβ//αβ的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
8．某种卷筒卫生纸绕在圆柱形盘上，空盘时盘芯直径为40，满盘时直径为
mm 120，已知卫生纸的厚度为0.1，则满盘时卫生纸的总长度大约（ ）（π≈3.14，mm mm 精确到1）m A ．60B ．80C ．100D ．120m
m
m
m
9．某校高二年级学生举行中国象棋比赛，经过初赛，最后确定甲、乙、丙三位同学进
入决赛.决赛规则如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，最后的胜者获得冠军，比赛结束.若经抽签，已知第一场甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，则（ ）1
2A ．甲获得冠军的概率最大B ．甲比乙获得冠军的概率大
C ．丙获得冠军的概率最大
D ．甲、乙、丙3人获得冠军的概率相等
10．对于函数，若对任意的，，，为某一三角形的
()f x 123,,R x x x ∈()1f x ()2f x ()3f x 三边长，则称为“可构成三角形的函数”，已知是可构成三角形的函数，
()f x 22()1
x t
f x x +=+则实数t 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．[]
0,11,22⎡⎤⎢⎥
⎣⎦1,22⎛⎫ ⎪
⎝⎭
()
0,∞+11．已知双曲线C ：的左、右焦点分别为，，过的直线
()22
2210,0x y a b a b -=>>1F 2F 1F 与圆相切于点Q ，与双曲线的右支交于点P ，若线段的垂直平分线恰好222x y a +=PQ 过右焦点，则双曲线C 的离心率为（ ）2F
A B C D ．2
12．过点可作三条直线与曲线相切，则实数a 的取值范围为()1,23()3f x x x a =-+（ ）A ．B ．C ．D ．()
1,2()
2,3()
3,4()
4,5二、填空题
13．已知向量，，若，则实数m 的值为______.
(),2a m = ()2,1b =
()
2a b b +⊥ 14．若抛物线y2=2x 上的一点M 到坐标原点O M 到该抛物线焦点
的距离为_____．
15．若定义域为的奇函数在区间上单调递减，且不等式的解集R ()f x (),0∞-()0xf x <为，则符合题意的一个函数解析式为______.
()(),11,-∞-⋃+∞()f x =16．我们可以用下面的方法在线段上构造出一个特殊的点集：如图，取一条长度为1的线段，第1次操作，将该线段三等分，去掉中间一段，留下两段；第2次操作，将留下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留下四段；按照这种规律一直操作下去.若经过n
次这样的操作后，去掉的所有线段的长度总和大于，则的最小值为__________.99
100
n （参考数据：）
lg2
0.301,lg30.477≈≈三、解答题
17．在中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，满足
ABC .
(2)cos cos 0c a B b C -+=(1)求B ；
(2)若的周长为6，，求的面积.
ABC 2b =ABC 18．偏差是指个别测定值与测定的平均值之差，在成绩统计中，我们把某同学的某科考试成绩与该科平均成绩的差叫某科偏差（实际成绩－平均成绩＝偏差）.在某次考试成绩统计中，教研人员为了对学生数学偏差x （单位：分）与物理偏差y （单位：分）之间的关系进行分析，随机挑选了8位同学，得到他们的两科成绩偏差数据如下：学生序号12345678
数学偏差x /
分20
15
13
3
2
5-10-18
-物理偏差y /
分
6.5
3.5
3.5
1.5
0.5
0.5- 2.5- 3.5
-(1)若x 与y 之间具有线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程；
(2)若本次考试数学平均成绩为100分，物理平均成绩为70.5分，试由（1）的结论预测数学成绩为116分的同学的物理成绩.参考公式：，.
1
2
21
n
i i
i n
i
i x y nx y
b
x
nx
==-=-∑∑ a y bx =- 参考数据：，.
82
1
1256i i x ==∑8
1
324i i i x y ==∑19．如图，在直三棱柱中，，E 为的中点，，
111ABC A B C AC BC ⊥1BB 1AC =.
12CC BC ==
(1)证明：；
1AC C E ⊥(2)求平面与平面ABC 所成角的余弦值.
1AEC 20．已知椭圆C ：
，右焦点与抛物线()222210x y a b a b +=>>()2,0F c 28y x
=的焦点重合.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设椭圆C 的左焦点为，过点的直线l 与椭圆C 交于两点，A 关于x 轴1F ()3,0D -,A B 对称的点为M ，证明：三点共线.1,,M F B 21．已知函数.()e 1x f x ax =--(1)讨论函数的单调性；
()f x (2)若有且仅有2个零点，求实数a 的取值范围；()f x (3)
证明：.
e ln(2)0x x -+>22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数）.以原点O 为极
122x t y ⎧
=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为.2sin 4cos 0ρθθ-=(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)已知直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，设，求的值.()2,0M 11
MA MB
-23．已知函数()2f x x a x =-+-(1)当时，求不等式的解集；=1a ()3f x ≥(2)若，求的取值范围
()21f x a ≥-a
参考答案：
1．B
【分析】根据全称量词命题的否定方法写出命题的否定即可.【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，
所以命题“，”的否定为：“，”.0x ∀>210x x -+≤0x ∃>210x x -+>故选：B 2．B
【分析】由，得，从而可求出的范围.A B A ⋂=A B ⊆a 【详解】因为，所以，A B A ⋂=A B ⊆因为，，{}=1<<2A x x {}=>B x x a 所以，1a ≤故选：B 3．A
【分析】利用复数的除法运算，可得，即得解1i z =+【详解】由题意：()1i 2i z +=可得：()2i 2i(1i)2i(1i)===i 1i 1i 1i (1i)(1i)2
z --=
-=+++-在复平面中对应的点为，在第一象限(1,1)故选：A 4．B
【分析】根据等差数列前项和公式求得首项和公差即可求解.n 【详解】设公差为，
d 则有，即，133310S a d =+=9193036S a d ==+101231a d +=联立解得，所以，11331031210a d a d +=⎧⎨+=⎩11030
a d ⎧=
⎪⎨
⎪=⎩61206S a ==故选:B.5．A
【分析】化简，结合正弦函数的性质，令，
()2sin 6f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭22262k x k πππππ-+≤-≤+，对赋值，结合选项即可判断.
Z k ∈k
【详解】由题，，
()cos 2sin 6f x x x x π⎛
⎫=-=- ⎪⎝
⎭令，，
222
6
2
k x k π
π
π
ππ-+≤-
≤
+Z k ∈则，，2
2233
k x k π
πππ-
+≤≤+Z k ∈当时，，0k =2
33
x π
π-
≤≤当时，，
1k =58
33
x ππ≤≤因为，所以是一个单调递增的区间，
20,,233πππ⎛⎫⎡⎤⊆- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭故选：A 6．A
【分析】直接利用插空法分两步完成计算得到答案.
【详解】先把数字3，4，5，9四个数排列，共有种排列方法，四个数排列产生5个空，
4
4A 把两个1插到5个空里，共有种方法，根据乘法分步原理得共有种.
25C 42
45A C 240⨯=故选：A 7．B
【分析】利用平行平面的性质、特例法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】如下图所示：
当、相交时，设，若、、，且，则、到平面的距离相αβa αβ⋂=A B C α∈//BC βB C β等，
若线段的中点，则、到平面的距离相等，则、、到平面的距离相AC D a ∈A C βA B C β等，
即“中有三个不共线的点到的距离相等”“”；
αβ⇒//αβ
若，则内所有点到平面内的距离都相等，//αβαβ即“中有三个不共线的点到的距离相等”“”.
αβ⇐//αβ因此，“中有三个不共线的点到的距离相等”是“”的必要不充分条件.αβ//αβ故选：B.8．C
【分析】将卫生纸的长度近似看成400个直径成等差数列的圆周长的和，利用等差数列前n 项和公式即可求得满盘时卫生纸的总长度大约为100m
【详解】空盘直径是，半径是，周长是40mm 20mm ()2π2040πmm ⨯=满盘直径是，半径是，周长是120mm 60mm ()
2π60120πmm ⨯=，则每一圈周长成等差数列，共400项，6020
4000.1
-=，
()
()40040040π120π32000πmm 100480mm 100m 2
S +=
=≈≈故选：C.9．C
【分析】根据比赛进行的场次进行分类讨论，结合相互独立事件概率计算公式，求得甲、乙、丙三人获得冠军的概率，从而确定正确答案．
【详解】根据决赛规则，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛，（1）甲获得冠军有两种情况：
①共比赛四场结束，甲四连胜夺冠，概率为
411(216
=②共比赛五场结束，并且甲获得冠军．则甲的胜、负、轮空结果共有四种情况∶胜胜胜负胜，
胜胜负空胜，胜负空胜胜，负空胜胜胜，概率分别为，即，
54441111(,(),(),()22221111
,,,32161616因此，甲最终获得冠军的概率为
；111119
163216161632
++++=（2）乙获得冠军，与（1）同理，概率也为；932
(3)丙获得冠军，概率为，99147913232321632
-
-==>由此可知丙获得冠军的概率最大，即A ，B ，D 错误，C 正确，故选∶C ．10．B
【分析】根据构成三角形的条件，只需研究该函数的最小值与最大值，只要保证
，即可保证该函数为“可构成三角形的函数” ，即得答案.()()min max 2f x f x >【详解】由题意得，，22222
11
()11111x t x t t f x x x x +++--===++++()0f t =当时，，适合题意；
1t =()1f x =的定义域为R ，则，所以是偶函数，()f x 22
()()1
x t
f x f x x +-=
=+()f x 因为为偶函数，故只需考虑在上的范围，()f x ()f x [0,)+∞当时，，此时在单调递减，故，1t >21
()111
t f x x -=+
>+()f x [0,)+∞()1,(]f x t ∈由题意知对任意的，恒成立，123,,R x x x ∈()()()123f x f x f x +>需，此时无最小值，故需，即；.()()min max 2f x f x >()f x 21t ⨯≥12t <≤当，在上单调递增，，1t <()f x [0,)+∞(),1)[f x t ∈对对任意的，恒成立，123,,R x x x ∈()()()123f x f x f x +>需，但此时无最大值，需，即
，()()min max 2f x f x >()f x 21≥t 1
12
t ≤<综上：,
1,22t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦故选：B 11．A
【分析】根据题意画出草图，由题意O 为的中点可得，求出
12F F 12||||,||2||F Q MQ MF OQ ==，即可得到，，根据双曲线定义推得长度，在直角三角形1||F Q b =||MP 1||PF 2PF 2Rt F MP 中用勾股定理即可找到之间的关系，即可求得离心率.
,a b 【详解】设的焦距为，则，()22
2210,0x y a b a b -=>>2c 1(,0)F c -2(,0)
F c 由题意过的直线与圆相切于点Q ，连接,则,1F 222x y a +=OQ 1OQ F P ⊥连接,设M 为的中点，则,则,
2PF PQ 221,MF PQ MF PF ⊥∴⊥2OQ MF ∥
因为O 为的中点，故Q 为的中点，即,
12F F 1F M 12||||,||2||F Q MQ MF OQ ==
在中，，故，1Rt OQF 1||||OF c OQ a ==，
1||F Q b ==则，由于M 为的中点，所以,||MQ b =PQ ||MP b =即,
1||3=PF b 在双曲线 中，P 在右支上，有，
22
221x y a b
-=12||2PF PF a -=所以，又，
2||32PF b a =-2||2||2MF OQ a ==所以在中，,即，
2Rt F MP 222
22||||||MF MP PF +=2224(32)a b b a +=-化简得，2
3812,2
b b ab a =∴
=
故双曲线的离心率为c e a ====
故选：A
【点睛】关键点点睛：要求双曲线的离心率，即要求出之间的关系，因而解答本题时，,,a b c 根据题意推出相关线段的长，特别是，继而在中应用勾股定理即是关12,||PF PF 2Rt F MP 键所在.12．D
【分析】求导得到导函数，设切点为，得到切线方程，代入点坐标得到
()3
000,3x x x a -+，设，计算函数的极值，得到答案.
32
00235a x x =-+32()235g x x x =-+【详解】，，
3()3f x x x a =-+2()33f x x '=-设切点为，则切线方程为，()3000,3x x x a -+()())32
0000333(y x x a x x x --+=--切线过点，，整理得到，
(1,2)()()()32000023331x x a x x --+=--32
00235a x x =-+
方程有三个不等根.
令，则，令，则或，32()235g x x x =-+2()66g x x x '=-()0g x '=0x =1x =当或时，，函数单调递增；0x <1x >()0g x '>当时，，函数单调递减，
01x <<()0g x '<极大值，极小值，函数与有三个交点，
(0)5g =4(1)g =y a =32
00235y x x =-+则，的取值范围为.45a <<a (4,5)故选：D 13．－6
【分析】先求得的坐标，再根据求解.
2a b +
()
2a b b +⊥ 【详解】解：因为向量
，，(),2a m = ()2,1b =
所以，
()24,4a b m +=+
又因为，
()
2a b b +⊥ 所以，()24140m ⨯++⨯=解得，6m =-故答案为：－614．
32
【分析】求得点M 的坐标，将点M 到该抛物线焦点的距离转化为点M 到抛物线y 2=2x 的准线的距离即可．
【详解】设点M ，∵2,2y y ⎛⎫
⎪⎝⎭
∴∴y 2=2或y 2=-6（舍去），∴x=
=1()2
220032y y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭
2
2y ∴M 到抛物线y 2=2x 的准线x=-的距离d=1-（-）=
121
23
2
∵点M 到抛物线焦点的距离等于点M 到抛物线y 2=2x 的准线的距离，∴点M 到该抛物线焦点的距离为32
故答案为
.32
【点睛】本题考查抛物线定义的应用，考查转化思想，求得点M 的坐标是关键.
15．（答案不唯一）
1,00,0,1,0x x x x x -+>⎧⎪
=⎨⎪--<⎩
【分析】先化简条件“不等式的解集为”，再结合奇函数和单调性()0xf x <()(),11,-∞-⋃+∞写出解析式.
【详解】因为的解集为，
()0xf x <()(),11,-∞-⋃+∞所以时，的解为；时，的解为；0x >()0f x <()1,+∞0x <()0f x >(),1-∞-又因为定义域为的奇函数在区间上单调递减，
R ()f x (),0∞-所以的解析式可以为答案不是唯一的，符合题意即可.
()f x ()1,00,0,1,0x x f x x x x -+>⎧⎪
==⎨⎪--<⎩ 故答案为：（答案不唯一）
1,00,0,1,0x x x x x -+>⎧⎪
=⎨⎪--<⎩ 16．12
【分析】设每次操作留下的长度为，得到为等比数列，公比为，首项为，求出{}n a {}n a 2323
，
23n
n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
从而得到去掉的所有线段长度总和为，列出不等式，求出答案.
2113n
n a ⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭【详解】设每次操作留下的长度为，
{}n a 则，，且每次操作留下的长度均为上一次操作留下长度的，
123a =2
2222333a ⎛⎫
=⨯= ⎪⎝⎭
23所以为等比数列，公比为，首项为，故，{}n a 23231
222333n n
n a -⎛⎫
⎛⎫
=⨯= ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
所以经过次这样的操作后，去掉的所有线段长度总和为，
n 2113n
n a ⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
故，即，
29913100n ⎛⎫-> ⎪⎝⎭213100n
⎛⎫
< ⎪⎝⎭两边取对数得：，()lg 3lg 22n ->因为，所以，则n 的最小值为12.
lg20.301,lg30.477≈≈2
11.40.4770.301
n >≈-故答案为：1217．(1)π
3
B =
【分析】(1)利用正弦定理先边化角，再借助和角正弦公式化简得，从而可解；1
cos 2
B =
(2)利用余弦定理和已知的周长得到，再借助三角形的面积公式即可4ac =1
sin 2
ABC S ac B =△求解.
【详解】（1）∵，
(2)cos cos 0c a B b C -+=根据正弦定理可得：，(sin 2sin )cos sin cos 0C A B B C -+=即.
(sin cos sin cos )2sin cos 0C B B C A B +-=∴，即.sin()2sin cos 0B C A B +-=sin 2sin cos 0A A B -=∵，∴，0πA <<sin 0A ≠∴，1
cos 2
B =
又，∴.0πB <<π3
B =
（2）由余弦定理知，2222cos b a c ac B =+-即，2224()3a c ac a c ac =+-=+-又，，6a b c ++=2b =∴.
4ac =
∴11sin 422ABC S ac B ==⨯= 18．(1)
1142y x =+(2)75分.
【分析】(1)根据线性回归方程的求法直接求解；(2)利用回归方程以及偏差的定义求解.
【详解】（1）由题意可得，，
[]15
20151332(5)(10)(18)82x =⨯+++++-+-+-=，
[]19
6.5 3.5 3.5 1.50.5(0.5)( 2.5)( 3.5)88
y =⨯+++++-+-+-=又，，
82
1
1256i i x ==∑8
1
324i i i x y ==∑∴，，2
59
324812845125682b -⨯⨯
==⎛⎫-⨯ ⎪
⎝⎭
91518422
a =-⨯=∴y 关于x 的线性回归方程为：.
1142
y x =+（2）设该同学的物理成绩为W ，则物理偏差为W －70.5.又数学偏差为，11610016-=∴
，解得.
11
70.51642
W -=⨯+75W =∴预测这位同学的物理成绩为75分.19．(1)证明见解析【分析】（1）证明平面，根据线面垂直的性质定理即可证明结论；
AC ⊥11BB C C （2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求得平面的法向量，根据空间角的向量1AEC 求法即可求得答案.
【详解】（1）证明：在直三棱柱中,平面，平面，111ABC A B C 1CC ⊥ABC AC ⊂ABC 故 ,又，平面,1CC AC ⊥AC BC ⊥11,,CC BC C CC BC =⊂ 11BB C C 故平面,平面,AC ⊥11BB C C 1C E ⊂11BB C C 所以.
1AC C E ⊥（2）由题意知平面，，
1CC ⊥ABC AC BC ⊥分别以所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，
1,,CA CB CC
由已知得E 为的中点，，,1BB 1AC =12CC BC ==所以,
11(1,0,0),(0,2,0),(0,2,2),(0,2,1),(0,0,2)A B B E C 故,
1(1,0,2),(1,2,1)AC AE =-=-
设平面的一个法向量为，
1AEC (,,)m x y z =
则，即，令，则，
10
m AC m Ae ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 2020x z x y z -+=⎧⎨-++=⎩1
z =12,2
x y ==所以，
1(2,,1)2
m =
因为平面，故平面ABC 的一个法向量可取为，
1CC ⊥ABC (0,0,1)n =
故 ，cos ,||||
m n m n m n ⋅〈〉===
由图可知平面与平面ABC 所成角为锐角，1AEC 故平面与平面ABC 1AEC 20．(1)22
1
62x y +=(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意求得c ，结合离心率求得，即得答案；
,a b （2）判断直线l 的斜率存在，设出直线方程，并和椭圆方程联立，可得根与系数的关系式，
表示出，的坐标，利用向量的共线证明三点共线，即得结论.
1MF 1BF
【详解】（1）∵椭圆C 的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的焦点()2,0F c 28y x =28y x =为,
(2,0)
∴,2c =又
∴
∴,
c a
a =2222
b a
c =-=∴椭圆C 的方程为.
22
162
x y +=（2）证明：由（1）知椭圆C 的左焦点为，
()12,0F -当直线l 的斜率不存在时，其方程为：，此时直线l 与椭圆C 没有交点，不符合题意；3x =-当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为，，，()3y k x =+()11,A x y ()22,B x y 则.
()11,M x y -联立，消去y 得，
22(3)
162y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()2222
31182760k x k x k +++-=∴，解得,
()()()2222184312760k k k ∆=-+->2
23
k <∴，,2
1221831k x x k -+=+212227631
k x x k -=
+∵，，()1112,MF x y =--
()1222,BF x y =--- 又，，
()113y k x =+()223y k x =+∴()()()()()()()
12122112223232x y y x k x x k x x ------=+++++()12122512k x x x x ⎡⎤=+++⎣⎦
，2222
27618251203131k k k k k ⎛⎫--=⨯+⨯+= ⎪++⎝⎭
∵与共线，而与有公共点,即、、 三点共线.
1MF 1BF 1MF 1BF
1F M 1F B 【点睛】思路点睛：本题涉及到直线和椭圆的位置关系的问题，解答并不困难，要证明三点共线，一般结合向量的共线来证明，利用向量共线的坐标表示，计算即可.21．(1)在上单调递减，在上单调递增()f x (),ln a -∞()ln ,a +∞(2)()()0,11,+∞ (3)证明见解析
【分析】(1)利用导函数讨论单调性；
(2)根据导函数与单调性、最值的关系求解；(3)利用导函数与单调性的关系证明不等式.【详解】（1）∵，∴，()e 1x f x ax =--()e '=-x f x a 当时，，函数在上单调递增；
0a ≤()0f x '>()f x R 当时，令，得；令，得.0a >()0f x '>ln x a >()0f x '<ln x a <∴在上单调递减，在上单调递增.
()f x (),ln a -∞()ln ,a +∞（2）由（1）知当时，函数在上单调递增，不符合题意；0a ≤()f x R 当时，，
0a >min ()(ln )ln 1f x f a a a a ==--且，
1
1
(e 0a f a
--=>当趋于无穷大时，的增长速率远远大于的增长速率，所以趋于,由x e x y =1y ax =+()f x +∞此作出的图象，
()f x
∴若有且仅有2个零点，只需.()f x min ()ln 10f x a a a =--<设，则.()ln 1g x x x x =--()1ln 1ln g x x x '=--=-∴当时，，函数单调递增；()0,1x ∈()0g x '>()g x 当时，，函数单调递减.()1,x ∈+∞()0g x '<()g x 又，(1)1ln110g =--=∴或.
01a <<1a >∴实数a 的取值范围为.()()0,11,+∞ （3）证明：由（1）可知当时
1a =在上单调递减，在上单调递增.
()f x (),0∞-()0,∞+
，
min ()(0)0f x f ==即，当且仅当时取等号，e 1x x ≥+0x =设，则.()1ln(2)h x x x =+-+11
()122
x h x x x =+'+=-
+当时，，函数单调递减；()2,1x ∈--()0h x '<()h x 当时，，函数单调递增，()1,x ∈-+∞()0h x '>()h x 又，
(1)0ln10h -=-=∴，当且仅当时取等号.1ln(2)0x x +-+≥=1x -∴.
e ln(2)0x x -+
>【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(
最)值问题处理．22．，0y --=24y x =(2)
14
【分析】(1)消参可求l 的普通方程，利用，可求直角坐标方程；cos x ρθ=sin y ρθ=(2)根据直线参数方程中参数的几何意义结合韦达定理求解.
【详解】（1
）∵直线l 的参数方程为（t 为参数），
122x t y ⎧=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
∴消去t 可得直线l .0y --=∵曲线C 的极坐标方程为，2sin 4cos 0ρθθ-=即，22sin 4cos 0ρθ-ρθ=又∵，，cos x ρθ=sin y ρθ=∴曲线C 的直角坐标方程为.
24y x =
（2）将（t 为参数）代入
，
122x t y ⎧=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
24y x =得，显然，即方程有两个不相等的实根，238320t t --=0∆>设点A ，B 在直线l 的参数方程中对应的参数分别是，，
1t 2t 则，，
128
3t t +=123203t t =-<∴，
2112t t t t -=+∴
.1212121114
11t M t t t t t A MB +==-=-23．(1)(][),03,-∞⋃+∞(2)(]
,1-∞【分析】（1）分类讨论去绝对值求解；（2）根据求的最小值，运算求解.a b a b +≥-()f x 【详解】（1）当时，由，即=1a ()3f x ≥123x x -+-≥当时，，解得；1x <123x x -+-≥0x ≤当时，，无解；12x ≤<123x x -+-≥当时，，解得，2x ≥123x x -+-≥3x ≥综上所述：不等式的解集为(][)
,03,-∞⋃+∞（2）∵，当且仅当时等号成立，()()()222f x x a x x a x a =-+-≥---=-()()20x a x --≤则的最小值为()f x 2
a -因为，所以()21f x a ≥-221
a a -≥-所以或210a -≤()()22
21>0221a a a --≥-⎧⎪⎨⎪⎩解得或12a ≤
1
12
a <≤综上，即的取值范围为.
1a ≤a (],1-∞。