中科大夏令营——不等式选讲

所以, 当 a 0 时, 总有 f (a ) 0.
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例 3 设 ai 0 ， i 1,2,3,4 . 证明: (1) (2)
a1 a2 a3 a4 4 a1 a2 a3 a ,4 4
a b c 3 abc . 3
证明: (1) 用前面的不等式(5),
a1 a2 a3 a4 a a2 a3 a4 1 4 2 2
等号成立当且仅当 a b . 这就是 2 个正数的调和﹑几何、算术、平方平均值不 等式.
练习题 1.
x2 2 x2 1 2 , 其中 x R .
2. (a b)(b c)(c a) 8abc , 其中 a, b, c 0 . 3. (a b) 4 8(a 4 b 4 ) , 其中 a, b R . 4. 设 ai 0 , i 1,2,, n , 且 a1a2 an 1 , 则 (1 a1 )(1 a2 )(1 an ) 2 n . 5. 设 a, b, c, d 0 , d max{a, b, c, d } .证明: a(d b) b(d c) c(d a) d 2 . 下面通过例题来学习证明不等式的基本方法.
xy( x y ) 1 y x ( xy )2 .
1 1 1 xy 等价于 xy x y
去分母
将上式中的右式减左式，得
( y x ( xy )2 ) ( xy ( x y ) 1) (( xy )2 1) ( xy ( x y ) ( x y )) ( xy 1)( xy 1) ( x y )( xy 1) ( xy 1)( xy x y 1) ( xy 1)( x 1)( y 1)
(1) a 2 b 2 2ab
(2) 2(a 2 b 2 ) (a b) 2 (3)

(7)
a b 1 2 (8) a 2 . b a a
等价变形, 变元代换! 于是有
min{a, b}
2ab ab ab ab 2
a2 b2 max{ a, b} , 2
变形分解出因式xy 1 分组 提取公因式
既然 x ≥ 1, y ≥ 1，所以 ( xy 1)( x 1)( y 1) 0 ，从而所要证明的不等式成立。 等价变形: 化为正数之积, 因式分解. 证 2 为用条件 x 1, y 1, 即 x 1 0, y 1 0, 作变形
a a 2 a3 3 a1 a2 a3 4 , 则有 ( 1 ) 4 4 a1a 2 a3 , 两边 次方, 即得. 3 3 3
所以, 当 a 0 时, 总有 f (a ) 0.
证 3: 考察关于 a 的 3 次函数 f (a ) a 3 b3 c3 3abc 的图像. 由于当
a bc 时, f '(a ) 3a 2 3bc 0. 而
f ( bc ) ( bc )3 b3 c 3 3( bc )3 b3 c 3 2( bc )3 (( b )3 ( c )3 ) 2 0,
2) x 2 0 , 等号成立当且仅当 x 0 .
由此推导出一系列常用的不等式. 取 x a b , a 0, b 0 , 则有
2
(4) a b 2 ab (5)
ab ab (6) 2
ab
2ab 2 ab 1 1 a b

ab 2 a2 b2 2
因此 f (a) 0 . 证 6: 设 (a, b, c), (b, c, a ), 则 | | | | . 由柯西不等式得:
| | | | | | 2 .
练习题: 6. 分别用下列方法证明：
bc ca ab a b c , 其中 a, b, c 0 . a b c
3
(三) 均值不等式 例 1 证明: 对任意实数 a, b, c ，
a 2 b 2 c 2 ab bc ca ,
等号成立当且仅当 a b c . 证 1: (分析法) 原不等式等价于 a 2 b2 c2 ab bc ca 0 , 于是
2a 2 2b 2 2c 2 2ab 2bc 2ca (a b) 2 (b c) 2 (c a) 2 0 .
再用例 1 即得. 因式分解!
证 2: 由于 a 3 b3 c3 3abc 是 3 次齐次的, 且是对称的,
a 1 b 1 x c 1 y , 0 x y. 于是
可设
1 (1 x )3 (1 y )3 3(1 x )(1 y ) 3( x 2 y 2 xy ) x 3 y 3 0.
原式 xy x y 1
1 1 1 1， xy x y
(添 1)
( x 1)( y 1)
1 1 (1 y x xy ) ( x 1)( y 1) xy xy 1 xy 1 ) ( x 1)( y 1) 0. xy xy
不 等 式 选 讲
(0) 从一个试题谈起 （19） （Ⅰ）设 x 1, y 1, 证明 x y
1 1 1 xy ； xy x y
（Ⅱ）设 1< a ≤ b ≤ c，证明 log a b log b c log c a log b a log c b log a c . （19） 本题考查不等式的性质， 对数函数的性质和对数换底公式等基本知识， 考查代数式的恒等变形和推理论证能力。 证明： （Ⅰ）由于 x 1, y 1, 所以 x y
最后一个不等式显然是正确的.
比较正负项 拆项
证 4:
(标准化) 设 f (a, b, c) a2 b2 c2 ab bc ca . 这是关于 a, b, c 的 2 . 只要 t 0 , 总有
次齐次多项式, 且有 f (ta, tb, tc ) t 2 f (a, b, c) , t
1
( x 1)( y 1)(1
证 3 去分母, 变形为关于 x (或 y)的 2 次函数:
( y x ( xy )2 ) ( xy ( x y ) 1) ( y 2 y ) x 2 (1 y 2 ) x ( y 1) ( y 1)( yx 2 (1 y ) x 1) ( y 1)( yx 1)( x 1)
证 5:
(函数性质) 把 f (a ) a 2 b2 c2 ab bc ca 看成是 a 的 2 次 3 项
式 f (a) a 2 (b c)a (b 2 c 2 bc) ，其判别式
(b c ) 2 4(b2 c 2 bc ) 3b2 3c 2 2bc 2 3(b2 bc c 2 ) 3 1 8 3((b c )2 c 2 ) 0. 3 9
y 1
1 十字相乘法 1
变形为关于 x y 的 2 次函数:
( y x ( xy )2 ) ( xy ( x y ) 1) ( xy )2 x 2 y xy 2 x y 1 ( xy )2 ( x y )( xy ) ( x y 1) ( xy 1)( x 1)( y 1).
lg c lg c lg b 1 logb c log a b xy, logc a . lg a lg b y
故由（Ⅰ）立知所要证明的不等式成立。
(一) 从基本性质和基本方法开始 关于实数 x 的最基本的不等式是 (0) 1) 若x 0, y 0, 则 x 0, x y 0, xy 0 ,
(2) 在(1)中, 令 a 4 变元代换: 多变少!
a1a2 a3a4 4 a1a2 a3a4 .
a1 a 2 a3 . 则有 3
a1 a 2 a3 a1 a 2 a3 a 4 4 a a 2 a3 a1a 2 a3 a 4 4 a1a 2 a3 1 , 3 4 3
f (a, b, c) 0 f (ta, tb, tc ) 0 .
因而可采用多种方法使不等式标准化.
4
例如, 取 t
1 0, 可设 a 1, b 1 x, c 1 y , x, y . a b c 1 x, 1 y, a a
这相当于, 把原式的两边同除以 a , 使得 a 变为 1, 且设
a b c . 于是原不等式等价于
a 2 b2 c 2 ( ab bc ca ) 0 a ( a b) b(b c) c(a c ) 0 a ( a b) b(b c) c(a b b c ) 0 a ( a b) b(b c) c(a b) c(b c) 0 ( a c )(a b) (b c ) 2 0.
1 1
( x y 1) 1
（Ⅱ）设 loga b x, logb c y ，由对数的换底公式得
logb a loga c
变形,插入因子 于是，所要证明的不等式即为 x y 其中 x log a b 1, y log b c 1
1 1 , log c b , x y
其中x, y
.
于是原不等式等价于
1 (1 x )2 (1 y )2 (1 x ) (1 x )(1 y ) (1 y ) 0 2 x x 2 2 y y 2 x x xy y 0 y 3 x 2 y 2 xy 0 ( x ) 2 y 2 0. 2 4 (配方)
(a) 用不等式(4). (b) 用对称性.
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(c) 标准化.
例 2 证明: a 3 b 3 c 3 3abc , 其中 a, b, c 0 , 这等价于
abc 3 abc , 3
等号成立当且仅当 a b c . 证 1: 由于
a 3 b3 c 3 3abc a 3 3ab( a b) b3 c 3 3ab( a b) 3abc ( a b)3 c 3 3ab( a b c) ( a b c )((a b)2 (a b)c c 2 ) 3ab(a b c) ( a b c )(a 2 b2 c 2 ab bc ca )

不等式等价变形, 等式的恒等变形, 配方法
证 2:
(综合法) 由(1)式, 有 a 2 b 2 2ab , b 2 c 2 2bc , c 2 a 2 2ca .
两边相加后同除以 2，即得.
证 3:
(对称性) 这个不等式对于 a, b, c 是对称的. 不失一般性, 可设 (有方向的等价变形!)