四川省德阳市第一中学高三数学理上学期期末试卷含解析

四川省德阳市第一中学高三数学理上学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. ，，是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是
（A），（B），
（C），，共面（D），，共点，，共面
参考答案：
B
由，，根据异面直线所成角知与所成角为90°，选B．
2. 复数的共轭复数为（）
A．B．C．D．参考答案：
C
3. 已知向量，则下列结论正确的是
A. B.∥ C. D.
参考答案：
D
4. ．一个算法的程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的值是
[答] ( )．
A．4 B． 5 C． 6 D． 7
参考答案：
A
5. 等式成立是成等差数列的（）
A．充分不必要条件 B. 充要条件 C．必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
参考答案：
【答案解析】A 解析：若等式成立，则，
此时不一定成等差数列，
若成等差数列，则，等式成立，所以“等式
成立”是“成等差数列”的．必要而不充分条件．
故选A．
【思路点拨】由正弦函数的图象及周期性以及等差数列进行双向判断即可．
6. 设复数z满足，则( )
A. B. C. D. 2
参考答案：
A
【详解】分析：把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．详解：由，得
故选A．
点睛：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
7.
A. B. C.
D.
参考答案：
B
8. 设，若，，，
则下列关系式中正确的是
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
A
考点：对数与对数函数
因为=，
=，
所以，，=
故答案为：A
9. 已知定义在R上的函数则的值等
于 .
参考答案：答案：
10. 已知
，则是的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 必要条件
D. 既不充分条件也不必要条件
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11.
已知集合P＝{x|≤x≤3}，函数f(x)＝log2(ax2－2x＋2)的定义域为Q.
(1)若P∩Q＝[，)，P∪Q＝(－2,3]，则实数a的值为__________；
(2)若P∩Q＝?，则实数a的取值范围为__________．
参考答案：
1)a＝－(2)a≤－4
12. 符号表示不超过的最大整数，
如，定义函数，设函数在区
间上零点的个数记为图象交点的个数记为，则的值
是。

参考答案：
13. 与圆O ：x 2+y 2=2外切于点A （﹣1，﹣1），且半径2的圆的方程为 （x+3）2+（y+3）2=8 ；
若圆C 上恰有两个点到直线x+y+m=0的距离为
，则实数m 的取值范围是 ．
参考答案：
m∈（0，4）∪（
8，12） 【考点】直线与圆的位置关系． 【专题】综合题；直线与圆．
【分析】（1）两圆相切，则切点与两圆的圆心三点共线，设出所求圆的圆心为C （a ，b ），列方程求得a ，b 即可；
（2）由题意可得圆心（﹣3，﹣3）到直线l ：x+y+m=0的距离d 满足＜d ＜3
．根据点到直线的
距离公式求出d ，再解绝对值不等式求得实数m 的取值范围． 【解答】解：设所求圆的圆心为C （a ，b ）， ∵切点A （﹣1，﹣1）与两圆的圆心O 、C 三点共线， ∴， 又|AC|=2
，
∴（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2=8 解得a=3，b=﹣3，
∴所求圆的方程为（x+3）2
+（y+3）2
=8；
由题意可得圆心（﹣3，﹣3）到直线l ：x+y+m=0的距离d 满足
＜d ＜3
，
∴＜＜3，
∴m∈（0，4）∪（8，12）．
故答案为：（x+3）2+（y+3）2=8，m∈（0，4）∪（8，12）
【点评】本题主要考查圆的方程，考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，绝对值不等式的解法，属于中档题．
14. 下列选项叙述错误的是_________. ①命题“若,则
”的逆否命题是“若，则”；
②若命题：
,
,则
：
,
；
③若为真命题，则,均为真命题；
④“
”是“
”的充分不必要条件.
参考答案：
③ 略
15. 已知数列{a n }满足a 1=33, a n+1-a n =2n ，则a n = .
参考答案：
16. 已知等差数列
的公差
成等比数列，若
是数列
前n 项的和，则
的最小值为
参考答案：
17. 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，，，则此球的表面积为 ． 参考答案： 答案：
解析：长方体的各顶点均在同一球的球面上则长方体的体对角线长为球的直径， 设球的直径为
则：
，由于球的表面积为:
.
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知{a n }为等比数列，其前n 项和为S n ，且S n =2n
+a ，（n∈N *
）．
（Ⅰ）求a 的值及数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）若b n =（2n ﹣1）a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．
参考答案：
【考点】等比数列的前n 项和；等比数列的通项公式；数列的求和． 【专题】等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）由数列的前n 项和求出前3项，利用等比数列的性质列式求出a 的值，则首项和公比可求，通项公式可求；
（Ⅱ）把等比数列的通项公式代入b n =（2n ﹣1）a n ，然后利用错位相减法求数列{b n }的前n 项和T n ． 【解答】解：（Ⅰ）由S n =2n +a ，∴a 1=S 1=2+a ，
a 2=S 2﹣S 1=（4+a ）﹣（2+a ）=2，a 3=S 3﹣S 2=（8+a ）﹣（4+a ）=4．
∵{a n}为等比数列，∴，即4=4（2+a），解得a=﹣1．
∴a1=1，q=．
则；
（Ⅱ）把代入b n=（2n﹣1）a n，
得．
∴数列{b n}的前n项和T n=1?20+3?21+5?22+…+（2n﹣3）?2n﹣2+（2n﹣1）?2n﹣1①
②
①﹣②得：．
∴．
【点评】本题考查了等比数列的和的公式和通项公式，训练了利用错位相减法求数列的和，考查了学生的计算能力，此题是中档题．
19. 设函数f（x）=|2x+2|﹣|x﹣2|．
（Ⅰ）求不等式f（x）＞2的解集；
（Ⅱ）若?x∈R，f（x）≥t2﹣t恒成立，求实数t的取值范围．
参考答案：
【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】（Ⅰ）根据函数f（x）=，分类讨论，求得f（x）＞2的解集．
（Ⅱ）由f（x）的解析式求得f（x）的最小值为f（﹣1）=﹣3，再根据f（﹣1）≥t2﹣，求得实数t的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+2|﹣|x﹣2|=，当x＜﹣1时，不等式即﹣x﹣4＞2，求得x＜﹣6，∴x＜﹣6．
当﹣1≤x＜2时，不等式即3x＞2，求得x＞，∴＜x＜2．
当x≥2时，不等式即x+4＞2，求得x＞﹣2，∴x≥2．
综上所述，不等式的解集为{x|x＞或x＜﹣6}．
（Ⅱ）由以上可得f（x）的最小值为f（﹣1）=﹣3，若?x∈R，f（x）≥t2﹣t恒成立，
只要﹣3≥t2﹣t，即2t2﹣7t+6≤0，求得≤t≤2．
【点评】题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．
20. 已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F与椭圆C'： =1的一个焦点重合，点A（x0，2）在抛物线上，过焦点F的直线l交抛物线于M、N两点．
（1）求抛物线C的方程以及|AF|的值；
（2）记抛物线C的准线与x轴交于点B，若，|BM|2+|BN|2=40，求实数λ的值．
参考答案：
【考点】K8：抛物线的简单性质．
【分析】（1）依题意F（1，0），故，则2p=4，可得抛物线C的方程．将A（x0，2）代入抛物线方程，解得x0，即可得|AF|的值
（2）依题意，F（1，0），设l：x=my+1，设M（x1，y1）、N（x2，y2），联立方程，消去x，得y2﹣4my﹣4=0，则
=（m2+1）（16m2+8）+4m?4m+8=16m4+40m2+16=40，解得λ．
【解答】解：（1）依题意，椭圆中，a2=6，b2=5，故c2=a2﹣b2=1，故，则2p=4，
可得抛物线C的方程为y2=4x．
将A（x0，2）代入y2=4x，解得x0=1，故．
（2）依题意，F（1，0），设l：x=my+1，设M（x1，y1）、N（x2，y2），
联立方程，消去x，得y2﹣4my﹣4=0．
所以，①且，
又，则（1﹣x1，﹣y1）=λ（x2﹣1，y2），即y1=﹣λy2，
代入①得，消去y2得，
易得B（﹣1，0），则，
则
==
=（m2+1）（16m2+8）+4m?4m+8=16m4+40m2+16，
当16m4+40m2+16=40，解得，故．
21. 如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE﹣BCF和一个正四棱锥P﹣ABCD组合而成，
AD⊥AF，AE=AD=2．
（Ⅰ）证明：平面PAD⊥平面ABFE；
（Ⅱ）求正四棱锥P﹣ABCD的高h，使得二面角C﹣AF﹣P的余弦值是．
参考答案：
【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）推导出AD⊥AF，AD⊥AB，从而AD⊥平面ABEF，由此能证明平面PAD⊥平面ABFE．
（Ⅱ）以A 为原点，AB、AE、AD的正方向为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出h的值．
【解答】证明：（Ⅰ）∵几何体是由一个直三棱柱ADE﹣BCF和一个正四棱锥P﹣ABCD组合而成，∴AD⊥AF，AD⊥AB，
又AF∩AB=A，
∴AD⊥平面ABEF，
又AD?平面PAD，
∴平面PAD⊥平面ABFE．
解：（Ⅱ）以A 为原点，AB、AE、AD的正方向为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz
设正四棱棱的高为h，AE=AD=2，
则A（0，0，0），F（2，2，0），C（2，0，2），P（1，﹣1，1）
设平面ACF的一个法向量=（x，y，z），
=（2，2，0），=（2，0，2），
则，取x=1，得=（1，﹣1，﹣1），
设平面ACP的一个法向量=（a，b，c），
则，取b=1，则=（﹣1，1，1+h），
二面角C﹣AF﹣P的余弦值，
∴|cos＜＞|===，
解得h=1．
22. 已知．
（1）求函数的单调区间；
（2）若关于的方程有实数解,求实数的取值范围；
（3）当,时,求证：．
参考答案：
（1）函数在区间（0,1）上为增函数；在区间为减函数；（2）；（3）详见解析．试题分析：（Ⅰ）先求出，从而得函数f（x）在区间（0，1）上为增函数；在区间（1，+∞）为减函数．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）的极大值为f（1）=1，令，得函数g（x）取得最小值g（1）=k-1，由有实数解，k-1≤1，进而得实数k的取值范围．（Ⅲ）由，得，从而
，即
，问题得以解决．试题解析：解：（1）,∴
∴当时,；当时,；
∴函数在区间（0,1）上为增函数；在区间为减函数4分
（2）由（1）得的极大值为,令,
所以当时,函数取得最小值,
又因为方程有实数解,那么, 即,
所以实数的取值范围是：．8分（3）函数在区间为减函数,而,
∴∴,即
即,而,
∴结论成立．12分．
考点：1．利用导数研究函数的单调性；2．导数在最大值、最小值问题中的应用．。