2020届甘肃省天水市一中高三上学期第三阶段考试数学(文)试题(解析版)

2020届甘肃省天水市一中高三上学期第三阶段考试数学
（文）试题
一、单选题
1．设集合{}
2
|20A x x x =--<，集合{}|11B x x =-<≤，则A
B =（ ）
A ．[]1,1-
B ．(]
1,1- C ．()
1,2-
D ．[
)1,2
【答案】B
【解析】(1,2)(1,1]A A B =-∴⋂=- ,选B.
点睛：
1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．
2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解． 3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．
2．若a 、b 、R c ∈，且a b >，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．a b b c +≥- B ．ac bc ≥
C ．2
0c a b
>-
D ．()2
0a b c -≥
【答案】D
【解析】对A ，利用分析法证明；对B ，不式等两边同时乘以一个正数，不等式的方向不变，乘以0再根据不等式是否取等进行考虑；对C ，考虑0c =的情况；对D ，利用同向不等式的可乘性. 【详解】
对A ，a b b c a c +≥-⇔>-，因为,a c 大小无法确定，故A 不一定成立； 对B ，当0c ≥时，才能成立，故B 也不一定成立； 对C ，当0c =时不成立，故C 也不一定成立； 对D ，()2
2
0,00,
a b a b c c ->⎧⇒-≥⎨
≥⎩，故D 一定成立. 故选：D. 【点睛】
本题考查不等式性质的运用，考查不等式在特殊情况下能否成立的问题，考查思维的严谨性.
3．下列命题的说法错误的是（ ）
A ．对于命题p ：∀x ∈R ，x 2+x+1＞0，则¬p ：∃x 0∈R ，x 02+x 0+1≤0．
B ．“x=1“是“x 2﹣3x+2=0“的充分不必要条件．
C ．“ac 2＜bc 2“是“a ＜b“的必要不充分条件．
D ．命题“若x 2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x 2﹣3x+2≠0”． 【答案】C 【解析】【详解】
对于命题p :∀x ∈R ,x 2
+x +1>0,则¬
p : ∃x 0∈R ，x 02+x 0+1≤0，是真命题； “x =1”是“x 2−3x +2=0“的充分不必要条件，是真命题； 若c =0时，不成立，是充分不必要条件，∴是假命题；
命题“若x 2−3x +2=0,则x =1”的逆否命题为：“若x ≠1,则x 2
−3x +2≠0”，是真命题；
故选：C.
4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为5714n S a a +=，，则()11S =
A ．140
B ．70
C ．154
D ．77
【答案】D
【解析】利用等差数列的前n 项和公式111
11=
112
a a S +⋅，及等差数列的性质11157=a a a a ++，即可求出结果.
【详解】
等差数列{}n a 的前n 项和为5714n S a a +=，，
∴571111114
=
11=11=1177222
a a a a S ++⋅⋅⋅=. 故选D. 【点睛】
本题考查等差数列的前n 项和的求法和等差数列的性质，属于基础题.
5．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2
,则椭圆22
221x y a b +=的离心率为
( )
A ．
1
2
B C D ．
2
【答案】C
【解析】根据双曲线离心率可求得224a b =，代入椭圆方程中，根据椭圆222c a b =-可构造出离心率，化简得到结果. 【详解】
由双曲线离心率得：2222
2514
a b b a a +=+=，解得：224a b =
∴椭圆方程为222214x y b b += ∴椭圆离心率2
e == 故选：C 【点睛】
本题考查椭圆离心率的求解，涉及到双曲线离心率的应用，属于基础题. 6．函数()[]
sin ,,f x x x x ππ=∈-的大致图象是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】利用奇偶性定义可知()f x 为偶函数，排除,B C ；由02f π⎛⎫
> ⎪⎝⎭
排除D ，从而得到结果. 【详解】
()()()sin sin f x x x x x f x -=--==
()f x ∴为偶函数，图象关于y 轴对称，排除,B C
又sin 02222f ππ
ππ⎛⎫==>
⎪⎝⎭
，排除D 故选：A 【点睛】
本题考查函数图象的识别，对于此类问题通常采用排除法来进行排除，考虑的因素通常为：奇偶性、特殊值和单调性，属于常考题型.
7．将函数2cos2y x =图象向左平移6
π
个单位长度，则平移后新函数图象对称轴方程为( ) A ．()62
k x k Z π
π
=-+
∈ B ．()122
k x k Z π
π
=-+
∈ C ．()62
k x k Z π
π
=
+
∈ D ．()122
k x k Z π
π
=
+
∈ 【答案】A
【解析】利用图像左右平移的规律,得到平移后的函数图像对应的解析式,之后结合余弦函数图形的对称性,应用整体角思维得到结果. 【详解】
将函数2cos2y x =图象向左平移6
π
个单位长度，可得2cos 2()6y x π=+,
即2cos(2)3y x π
=+,令2,3x k k Z ππ+=∈,解得,26
k x k Z ππ=
-∈, 则平移后图像的对称轴方程为,26
k x k Z ππ
=
-∈, 故选A. 【点睛】
该题考查的是有关函数图像的平移变换，以及cos()y A x ωϕ=+的图像和性质，结合余弦曲线的对称轴，求得结果.
8．在ABC ∆中，BC 边上的中线AD 的长为3，BC =AB AC ⋅=（ ） A ．1- B ．1
C ．2
D ．3
【答案】D 【解析】由题意得
22
()()()()()(69)3
AB AC DB DA DC DA DB DA DB DA DB DA ⋅=-⋅-=-⋅--=--=--=【点睛】
本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示。

9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A ．12
B ．36
C ．24
D ．72
【答案】A
【解析】试题分析：由三视图分析可知此几何体为底面是直角三角形，其中一条侧棱垂直与底面的三棱锥。

底面三角形两直角边分别为3、4，棱锥高为6.则棱锥体积为
11
3461232
V =⨯⨯⨯⨯=。

故A 正确。

【考点】1三视图；2棱锥体积公式。

10．已知()()4,0,0,4A B -,点C 是圆222x y +=上任意一点，则ABC ∆面积的最大值为 （ ）
A ．8
B ．
C ．12
D ．【答案】C
【解析】由三角形面积公式可得，只需求出C 到直线AB 的距离最大值即可得结果. 【详解】
由两点间距离公式可得AB =由两点式可得直线AB 方程为40x y -+=,
圆心()0,0到直线40x y -+=的距离
d =
=
圆的半径r =
所以点C 到直线AB 距离的最大值为d r +=
ABC ∆面积的最大值为1
122
AB ⨯⨯=，故选C.
【点睛】
本题主要考查圆的方程与性质、点到直线距离公式的应用以及解析几何求最值，属于中档题.解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数
单调性法以及均值不等式法.
11．双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30
的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为( )
A B C
D
【答案】A
【解析】试题分析：由已知可设()0,M c y ，代入双曲线方程可求得2
0b y a
=；
∴
00
tan 302y c
=，化简可得双曲线的离心率e =【考点】双曲线的定义、离心率的求法.
12．已知函数()23x f x e mx =-+的图像为曲线C ，若曲线C 存在与直线1
3
y x =垂直
的切线，则实数m 的取值范围是
A ．3+2⎛⎫
∞ ⎪⎝⎭
， B ．3,2⎛
⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．2,3⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭
D ．2,3⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦ 【答案】A
【解析】求函数的导数，利用导数的几何意义以及直线垂直的等价条件，转化为
23x e m -=-有解，即可得到结论.
【详解】
由题意，函数()f x 的导数()2x
f x e m '=-，
若曲线C 存在与直线1
3
y x =垂直的切线，则切线的斜率为2x k e m =-，
满足1(2)13
x
e m -=-，即23x e m -=-有解， 因为23x m e =+有解，又因为33x e +>，即32
m >， 所以实数m 的取值范围是3(,)2
+∞，故选A. 【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义的应用，以及方程的有解问题，其中解答中把曲线C 存在与直线1
3
y x =垂直的切线，转化为23x e m -=-有解是解答的关键，着重考查了分
析问题和解答问题的能力.
二、填空题
13．已知x ，y 满足约束条件330040x y x y x y +-≥⎧⎪
-≤⎨⎪+-≤⎩
，则2z x y =+的最小值是_____．
【答案】
94
【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，即可得到结论． 【详解】
解：作出x ，y 满足约束条件330040x y x y x y +-≥⎧⎪
-≤⎨⎪+-≤⎩
的对应的平面区域如图：
由2z x y =+得2y x z =-+， 平移直线2y x z =-+，
由图象可知当直线2y x z =-+经过点A 时，直线的纵截距最小， 此时z 最小，由3300
x y x y +-=⎧⎨-=⎩解得33,44A ⎛⎫
⎪⎝⎭，
此时339
2444z =
⨯+=， 故答案为：9
4
．
【点睛】
本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法．
14．动点M 椭圆2
2:12
x C y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足
2NP NM =.则点P 的轨迹方程______.
【答案】2
2
2x y +=
【解析】设()00,M x y ，()0,0N x ，(),P x y ，根据题意列出等式，然后根据M 在椭
圆2
2:12
x C y +=上，代入即得。

【详解】
解：令()00,M x y ，()0,0N x ，(),P x y 则()0,NP x x y =-，()00,NM y =
2NP NM =
())00,0,x x y y ∴
-=
000x x y -=⎧⎪∴⎨=⎪
⎩即00x x y y =⎧⎪∴⎨=
⎪⎩
代入22
12x y +=可得22122x y +
=即222x y += 故答案为：2
2
2x y += 【点睛】
本题考查相关点法求轨迹方程，属于基础题。

15．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[
)0,+∞上单调递增，若()30f -=，实数a 满足()250f a -≤，则a 的最小值为________． 【答案】1
【解析】由题意得()()330f f =-=，结合偶函数的单调性和对称性，可把不等式转化为()()()252503f
a f a f -=-≤=，然后得到253a -≤，解不等式可得所求最
小值． 【详解】
依题意知()f x 的图象关于y 轴对称，且有()()330f f =-=． 因为偶函数()f x 在[
)0,+∞上是单调递增的， 所以由()()()252503f
a f a f -=-≤=，得253a -≤，
即3253a -≤-≤，解得14a ≤≤， 所以a 的最小值为1． 故答案为：1． 【点睛】
本题考查函数奇偶性和单调性的应用，解题时可把函数值的大小的问题转化为变量到对
称轴的距离的问题求解，利用数形结合进行解题是解答本题的关键和突破口，属于基础题．
16．已知在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，CD AD ⊥，224AB AD CD ===，将直角梯形ABCD 沿AC 折叠，使平面BAC ⊥平面DAC ，则三棱锥D ABC -外接球的体积为__________． 【答案】
323
π
【解析】结合题意画出折叠后得到的三棱锥D ABC -如图所示，由条件可得
在底面ACB ∆中，90,ACB AC BC ∠=︒==取AB 的中点O ，AC 的中点E ，
连OC,OE 。

则1
22
OA OB OC AB ===
=.
∵DA DC =, ∴DE AC ⊥.
∵平面BAC ⊥平面DAC , ∴DE ⊥平面DAC , ∴DE OE ⊥.
又11
=
22
DE AC OE BC ===
∴2OD ==. ∴2OA OB OC OD ====.
∴点O 为三棱锥D ABC -外接球的球心，球半径为2. ∴3
432=23
3V π
π⨯=球。

答案：323
π。

点睛：
（1）本题是一道关于求三棱锥外接球体积的题目，得到外接球的球心所在位置是解题的关键，结合题意取AB 的中点O ，易得OA=OB=OC=OD=2，进而可确定三棱锥外接
球的半径，然后利用球的体积公式进行计算即可。

（2）对于折叠性问题，要注意折叠前后的两个图形中哪些量（位置关系、数量关系）发生了变化、哪些没发生变化。

三、解答题
17．已知函数()2
2
cos cos sin f x x x x x =+-，x ∈R ．
（1）求函数()f x 的单调增区间；
（2）求方程()0f x =在(0，π]内的所有解． 【答案】（1）[,36k k ππ-
+π+π],k Z ∈；（2）512
x π=或1112x π
=
【解析】先将()f x 进行恒等变换化为正弦型函数，（1）直接利用正弦函数的单调增区间得到2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+,k Z ∈，解得x 的范围即可.
（2）令()0f x =，解得x 的值，对k 进行赋值，使得x 落在(]
0,π内，即得结果. 【详解】
()
22cos cos sin f x x x x x =+- cos22sin 26x x x π⎛
⎫=+=+ ⎪⎝
⎭
（1）由2222
62k x k π
ππ
ππ-
+≤+
≤+,k Z ∈，解得：36
k x k ππ
ππ-+≤≤+,k Z ∈.
∴函数()f x 的单调增区间为,36k k ππππ⎡⎤
-
++⎢⎥⎣⎦,k Z ∈
（2）由()0f x =得2sin 206x π⎛
⎫
+= ⎪⎝⎭，解得：26x k ππ+=，即122
k x ππ
=-+,k Z ∈ ∵(]
0,x π∈，∴512x π=或1112
x π=． 【点睛】
本题考查了三角函数求值的运算问题，考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，是基础题．
18．已知数列{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，且533S a =，468a a +=． （1）求n a ．
（2）设2n
n n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
【答案】(1) ()23n a n =- (2) 2
(4)216n n T n +=-⋅+
【解析】(1)由数列{}n a 是等差数列，所以535S a =，解得30a =，又由
46582a a a +==，解得2d =， 即可求得数列的通项公式；
(2)由（1）得()1
232
n
n n n b a n +=⋅=-⋅，利用乘公比错位相减，即可求解数列的前n
项和． 【详解】
(1)由题意，数列{}n a 是等差数列，所以535S a =，又533S a =，30a ∴=， 由46582a a a +==，得54a =，所以5324a a d -==，解得2d =， 所以数列的通项公式为()()3323n a a n d n =+-=-． (2)由（1）得()1
232
n
n n n b a n +=⋅=-⋅，
()()()234122120232n n T n +=-⋅+-⋅+⋅++-⋅，
()()()()3412221242322n n n T n n ++=-⋅+-⋅+
+-⋅+-⋅，
两式相减得(
)()2
34
1222222232n n n n T T n ++-=⋅-++
++-⋅，
()1228128(3)2(4)21612
n n n n n -++--
+-⋅=-⋅+=-，
即2
(4)216n n T n +=-⋅+．
【点睛】
本题主要考查等差的通项公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.
19．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2cos cos b c C
a A
-=. （Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）若a =
b c +=ABC ∆的面积. 【答案】（1）3
A π
=
（2
）2
ABC S ∆=
【解析】（Ⅰ）由正弦定理得到()2sin cos sin B A A C ⋅=+，再由三角形的内角间的关
系得到2sin cos sin B A B ⋅=，解得1
cos 2
A =
，进而得到结果；（Ⅱ）结合余弦定理得到()2
222cos a b c bc bc A =+--，代入参数值得到6bc =，根据三角形面积公式得到结
果即可. 【详解】
（Ⅰ）根据正弦定理，
2cos 2sin sin cos cos sin cos b c C B C C
a A A A
--=⇔=， 整理得2sin cos B A ⋅= cos sin sin cos C A C A ⋅+⋅， 即()2sin cos sin B A A C ⋅=+，
而A C B π+=-，所以2sin cos sin B A B ⋅=，解得1
cos 2
A =， 又()0,A π∈，故3
A π
=
；
（Ⅱ）根据余弦定理，2222cos a b c bc A =+-= ()2
22cos b c bc bc A +--，
又a =b c +=3
A π
=，
故
(
2
21
222
bc bc =--⨯，解得6bc =，
所以11sin 6sin 223ABC S bc A π∆=⋅=⨯⨯=. 【点睛】
本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）
222
cos 2b c a A bc
+-=
，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o
o
o
等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
20．如图，在ABC ∆中，045ABC ∠=，090BAC ∠=，AD 是BC 上的高，沿AD 把
ABD ∆折起，使090BDC ∠=.
(Ⅰ)证明：平面ADB ⊥平面BDC ；
(Ⅱ)若1BD =，求三棱锥D ABC -的表面积．
【答案】(Ⅰ)证明详见解析；(Ⅱ)S =
【解析】【详解】试题分析：（1）注意折叠前后的不变量，尤其是没有变化的直角，折叠前有AD^BD,AD^CD,折叠后仍然成立，可推得AD^面BCD,进一步可得平面ABD^平面BDC ；（2）由（1）可知AD 为三棱锥的高，底面三角形为直角三角形，根据体积公式即可求得.
试题解析：（1）∵折起前AD 是BC 边上的高， ∴当ABD ∆折起后，,AD DC AD BD ⊥⊥， 又BD DC D =I ， ∴AD ⊥平面BDC ，
又∵AD
平面BDC , ∴平面
平面BDC ；
（2）由（1）知,AD DC AD BD ⊥⊥，又∵
，
,
由（1）知,AD ⊥平面BDC , 又∵
.
,,DAB DAC DBC V V V
为全等的等腰直角三角形，ABC △的等边三角形，
133112242
S =⨯⨯⨯+=
【考点】面面垂直的判定，三棱锥的体积.
21．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离
为2，
（1）试求椭圆M 的方程； （2）若斜率为
12
的直线l 与椭圆M 交于C 、D 两点，点3
(1)2P ，为椭圆M 上一点，记直线PC 的斜率为1k ，直线PD 的斜率为2k ，试问：12k k +是否为定值？请证明你的结论
【答案】（1）22
143
x y +=（2）见解析
【解析】分析：（1）由条件得a,c ，解得b,即得椭圆标准方程，（2）设C,D 坐标，根据斜率公式得12k k +，设直线方程并与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理代入化简可得
12k k +为定值.
详解：（1）
．
，椭圆
的方程为
（2）设直线的方程为：，
联立直线l 的方程与椭圆方程得：
（1）代入（2）得：
化简得： (3)
当时，即，
即
时，直线l 与椭圆有两交点，
由韦达定理得：，
所以，，
则
，12k k +所以为定值。

点睛：直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化. 22．已知函数()2
1+2ln 2
f x ax x x =
-
(Ⅰ)当3a =时，求()f x 的极值；
(Ⅱ)若()f x 在区间1
[,3]2
上是增函数，求实数a 的取值范围。

【答案】(Ⅰ) 极小值
5
ln 36
+，无极大值（Ⅱ）[0,)+∞ 【解析】(Ⅰ)将3a =代入原函数，再对()f x 求导，用导数的方法判断()f x 的单调性，进而可得出其极值；
(Ⅱ)先对()f x 求导，根据题意得到()1
+20f x ax x '=-≥在1[,3]2
x ∈恒成立；分离参数得到212a x x ≥-在1[,3]2
x ∈恒成立，再设2121
()(3)2g x x x x =-≤≤，只需用导数的
方法求出()g x 在1
[,3]2
x ∈上的最大值即可.
【详解】
解：（I ）当3a =时，()2
3+2ln 2
f x x x x =
-，()21321
3+2(0)x x f x x x x x
+-'=-=>，
令()0f x '=，有2
1
3210(0)3
x x x x +-=⇒=
> (),()f x f x '随x 的变化情况如下表：
由上表易知，函数y 在13x =时取得极小值11215
()ln ln 336336
f =+-=+，无极大值；
（II ）由()21+2ln 2f x ax x x =-，有()1
+2(0)f x ax x x
'=-
>， 由题设()f x 在区间1
[,3]2上是增函数，可知()1+20f x ax x '=-≥在1[,3]2
x ∈恒成
立； 故212a x x ≥
-在1
[,3]2
x ∈恒成立， 设212
1
()(3)2
g x x x x =
-≤≤，则只需max ()a g x ≥，
323222(1)()x g x x x x
-'=-
+=，令()0g x '=，有1x =， (),()g x g x '随x 的变化情况如下表：
又1()02g =，5(3)9g =-
，故max 1
()()02
g x g ==，故0a ≥ 实数a 的取值范围为[0,)+∞。

【点睛】
本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数单调性、极值、最值等，属于常考题型.。