新高考湖北省武汉一中2023届高三上学期10 月月考数学试题及答案

3.5.湖北省武汉一中2022-2023学年高三上学期10月月考数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1.若z =i (3-i )，则z
-|z |=
()
A.1+3i
B.-1-3i
C.-1+3i
D.1-3i
2.已知A ={1,2,3},B ={2,4}，定义A -B ={x ∣x ∈A 且x ∉B }，则A -B =(
)
A.{1,2,3}
B.{2,4}
C.{1,3}
D.{2}
3.已知函数f (x )的导函数为f (x )，且满足f (x )=2xf (1)+ln x ，则f (1)=(
)A.-e B.-1
C.1
D.e
4.设函数f (x )=1
x 3
+1
，则下列函数中为偶函数的是(
)A.f (x +1)
B.f (2x )
C.f (x -1)
D.f (x 2)
5.已知a =e 0.01，b =ln1.01e ，c =2cos1.1，则(
)
A.b >a >c
B.a >b >c
C.a >c >b
D.c >a >b
6.已知点A 、B 在单位圆上，∠AOB =3
4
π，若OC =2OA +xOB (x ∈R )，则|OC |2的最小值是()
A.2
B.3
C.5-22
D.4
7.已知函数f x =2sin ωx -π12 sin ωx +5π12 0<ω<1 的图象关于点π
3
,0 对称，将函数f x 的图象向左平移
π
3
个单位长度后得到函数g x 的图象，则g x 的一个单调递增区间是(
)
A.-3π2,π2
B.-π,π
C.-π2,3π2
D.0,2π
8.已知函数f (x )=e x -1 ,x >0-x 2
-2x +1
,x ≤0
，若方程f 2x +bf x +2=0有8个相异实根，则实数b 的取值范围
(
)
A.-4,-2
B.(-4,-22)
C.-3,-2
D.(-3,-22)
二、多项选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.数列{an }的前n 项和为Sn ，a 1=1,a n +1=2S n n ∈N * ，则有()
A.Sn =3n -1
B.{Sn }为等比数列
C.an =2·3n -1
D.a n =1,n =12⋅3n -2,
n ≥2
10.设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，S 和R 分别为△ABC 的面积和外接圆半径.若b =2,c =3，则选项中能使△ABC 有两解的是(
)
A.B =30°
B.C =30°
C.S =3
D.R =2
11.函数f (x )=ax 2+4a 2-1 x sin x (a ∈R )在区间[-2π,2π]上的大致图象可能为
(
)
A. B.
C. D.
12.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )=e x (x +1)，则下列命题正确的是
(
)
A.当x >0时，f (x )=e -x (x -1)
B.函数f (x )有2个零点
C.f (x )<0的解集为(-∞,-1)∪(0,1)
D.∀x 1，x 2∈R ，都有f x 1 -f x 2 <2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在答题卡的相应位置。

13.设sin
α2=7
7
，α∈0,π ，则sin α=.
14.如图，在△ABC 中，M 为BC 的中点，若AB =1，AC =3，AB 与AC 的夹角为60°，则MA
=
.
15.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知BC 边上的高为AD =1
2
a ，若
b 2+
c 2+21-m bc ≤0恒成立，则实数m 的取值范围是
.
16.已知函数f x =a x -1-ln x +b a ,b ∈R 在e ,e 3 (e 为自然对数的底)内有零点，则a 2+b 2的最小值为
.
四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.已知各项均为正数的等比数列a n 满足a 1=1,a 2+a 3=12,n ∈N *.(1)求数列a n 的通项公式；
(2)设b n -a n 是首项为1，公差为2的等差数列，求数列b n 的前n 项和T n .
18.如图，在平面四边形ABCD 中，DC =2AD =2,∠BAD =π
2,∠BDC =π
6
.(1)若cos ∠ABD =
3
3
，求△ABD 的面积；(2)若∠C =∠ADC ，求BC .
19.北苑食堂为了了解同学在高峰期打饭的时间，故安排一名食堂阿姨随机收集了在食堂某窗口打饭的100位同学的
相关数据(假设同学们打饭所用时间均为下表列出时间之一)，如下表所示.
学生数(人)x25y10
打饭时间(秒/人)10152025
已知这100位同学的打饭时间从小排到大的第65百分位数为17.5秒.
(1)确定x,y的值；
(2)若各学生的结算相互独立，记X为该窗口开始打饭至20秒末已经打饭结束的学生人数，求X的分布列及数学
期望.(注；将频率视为概率)
20.如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB⎳DC，DC⎳EF，AB=5，DC
=3，EF=1，∠BAD=∠CDE=60°，二面角F-DC-B的平面角为60°.设
M，N分别为AE,BC的中点.
(1)证明：FN⊥AD；
(2)求直线BM与平面ADE所成角的正弦值.
两点.
21.已知椭圆C的中心为坐标原点，对称轴为x轴，y轴，且过A(-2,0),B1,32
(1)求椭圆C的方程；
(2)F为椭圆C的右焦点，直线l交椭圆C于P,Q(不与点A重合)两点，记直线AP,AQ,l的斜率分别为k1,k2,k，若
k1+k2=-3k，证明：△FPQ的周长为定值，并求出定值.
22.已知函数f(x)=e x-x-ax ln(x+1)-1.
(Ⅰ)若a=0，求f x 的最小值；
(Ⅱ)函数f x 在x=0处有极大值，求a的取值范围.
3.5.湖北省武汉一中2022-2023学年高三上
学期10月月考数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1.若z=i(3-i)，则z -|z|=()
A.1+3i
B.-1-3i
C.-1+3i
D.1-3i
【答案】B
【分析】根据共轭复数和复数的模即可求解.
【详解】z=i(3-i)=1+3i，
z =1-3i，z =1+3=2，
所以z
-|z|=-1-3i.
故选：B
2.已知A={1,2,3},B={2,4}，定义A-B={x∣x∈A
且x∉B}，则A-B=()
A.{1,2,3}
B.{2,4}
C.{1,3}
D.{2}
【答案】C
【分析】根据定义求A-B即可.
【详解】因为A=1,2,3
，B=2,4
，所以A-B=1,3
.
故选：C.
3.已知函数f(x)的导函数为f (x)，且满足f(x)=2xf
(1)+ln x，则f (1)=()
A.-e
B.-1
C.1
D.e
【答案】B
【分析】求得函数的导数f (x)=2f (1)+1
x，令x=1，即可求解.
【详解】由f(x)=2xf (1)+ln x，可得f (x)=2f (1)+1
x，所以f
(1)=2f
(1)+1，则f (1)=-1 .
故选：B.
4.设函数f(x)=1
x3+1，则下列函数中为偶函数的是
() A.f(x+1) B.f(2x)
C.f(x-1)
D.f(x2)
【答案】D
【分析】根据偶函数的定义逐个分析判断即可.
【详解】对于A，由于f(x)=
1
x3+1，所以f(x+1)=
1
(x+1)3+1，令
g(x)=f(x+1)=1
(x+1)3+1，
因为g-x
=
1
-x+1
3+1
=1
-x-1
3+1
=-1
x-1
3-1
≠g x ，
所以此函数不是偶函数，所以A错误，
对于B，由于f(x)=
1
x3+1，所以f(2x)=
1
2x
3+1
=1
8x3+1，令g(x)
=f(2x)=1
2x
3+1=1
8x3+1，
因为g(-x)=
1
8(-x)3+1
=1
-8x3+1
≠g(x)，所以此函数不是偶函数，
所以B错误，
对于C，由于f(x)=
1
x3+1，所以f(x-1)=
1
(x-1)3+1，令g(x)=f(x
-1)=1
(x-1)3+1，
因为g(-x)=
1
(-x-1)3+1
=1
-(x+1)3+1
≠g(x)，所以此函数不是
偶函数，所以C错误，
对于D，由于f(x)=
1
x3+1，所以f(x
2)=1
x6+1，令g(x)=f(x
2)=
1
x6+1，
因为g(-x)=
1
(-x)6+1
=1
x6+1
=g(x)，所以此函数为偶函数，所以D
正确，
故选：D
5.已知a=e0.01，b=ln1.01e，c=2cos1.1，则()
A.b>a>c
B.a>b>c
C.a>c>b
D.c>a>b
【答案】B
【分析】设a,b分别是y=e x，y=ln x+1
+1在x=0.01时所对应的函
数值，构造函数利用导数法可证明ln x+1
≤x≤e x-1，可得1<b<
a，又因为c=2cos1.1<2cos60°=1，即可得出答案.
【详解】因为b=ln1.01e=ln1.01+1，a=e0.01，
所以设a,b分别是y=e x，y=ln x+1
+1在x=0.01时所对应的函数
值，
设g x =e x-x-1，则g x =e x-1，
所以x∈-∞,0
时，g x <0,g x 单调递减，
x∈0,+∞
时，g x >0,g x 单调递增，
所以g x ≥g0 =0，即e x-1≥x，
同理可证ln x+1
≤x，
所以ln x+1
≤x≤e x-1
当x=0.01时，可得ln1.01<e0.01-1，即ln1.01+1<e0.01，即1<b<a.
又因为c=2cos1.1<2cos60°=1，所以c<1<b<a.
故选：B.
6.已知点A、B在单位圆上，∠AOB=34π，若OC
=
2OA
+xOB
(x∈R)，则|OC
|2的最小值是()
A.2
B.3
C.5-22
D.4
【答案】A
【分析】由|OC
|2=(2OA
+xOB
)2结合向量数量积运算可化为二次函
数，即可求最小值.
【详解】|OC
|2=(2OA
+xOB
)2=4OA
2+x2OB
2+4x|OA
|⋅|OB
|cos3π4
=x2-22x+4=(x-2)2+2≥2，因此|OC
|2≥2.
故选：A.
7.已知函数f x =
2sinωx-π12
sinωx+5π12
0<ω<1
的图象关于
点
π
3,0
对称，将函数f x 的图象向左平移π3个单
位长度后得到函数g x 的图象，则g x 的一个单调
递增区间是()
A.-3π2,π2
B.-π,π
C.-π2,3π2
D.0,2π
【答案】B
【分析】本题首先根据诱导公式和二倍角的正弦公式，化简得出f x =
sin2ωx-π6
，
再根据平移的左正右负的原则得到g x 的解析式，最后得到
g x 的单调增区间.
【详解】f x =2sin ωx -π12 sin ωx +5π
12
=2sin ωx -π12 sin π2+ωx -π12
=2sin ωx -π12 cos ωx -π
12 =sin 2ωx -π
6
∵函数的图像关于点π
3
,0 对称，
∴2ω×π
3-
π6=k π,k ∈Z ，ω=32k +1
4，∵ω∈0,1 ，k ∈Z ，
∴ω=14，f x =sin 12x -π6
，
将函数向左平移π3单位的解析式是g x =sin 1
2
x ，
令2k π-π2≤12x ≤2k π+π
2
,k ∈Z ,
4k π-π≤x ≤4k π+π,k ∈Z ，结合所给的选项，令k =0，则g x 的一个增区间为-π,π ，故选：B .
8.已知函数f (x )=
e
x -1
,x >0-x 2
-2x +1
,x ≤0
，若方程f 2x
+bf x +2=0有8个相异实根，则实数b 的取值范围
(
)
A.-4,-2
B.(-4,-22)
C.-3,-2
D.(-3,-22)
【答案】D
【详解】画出函数f x 的图象如下图所示.由题意知，当x =-1时，f -1 =2；当x =1时，f 1 =1.
设t =f x ，则原方程化为t 2+bt +2=0，∵方程f 2x +bf x +2=0有8个相异实根，
∴关于t 的方程t 2+bt +2=0在(1,2)上有两个不等实根.令g (t )=t 2+bt +2，t ∈(1,2).
则Δ=b 2-8>01<-b 2<2
g (1)=b +3>0g (2)=2b +6>0
，解得-3<b <-2 2.
∴实数b 的取值范围为-3,-22 .选D .
点睛：已知函数零点的个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)的方法
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解.本题中在结合函数图象分析得基础上还用到了方程根的分布的有关知识.
二、多项选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对
的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.数列{an }的前n 项和为Sn ，a 1=1,a n +1=2S n n ∈N * ，则有(
)
A.Sn =3n -1
B.{Sn }为等比数列
C.an =2·3n -1
D.a n =1,n =1
2⋅3n -2,n ≥2
【答案】ABD 【分析】根据a n =S 1,
n =1
S
n
-S n -1,n ≥2
求得a n ，进而求得S n 以及判断出
S n 是等比数列.
【详解】依题意a 1=1,a n +1=2S n n ∈N * ，当n =1时，a 2=2a 1=2，当n ≥2时，a n =2S n -1，
a n +1-a n =2S n -2S n -1=2a n ，所以a n +1=3a n ，所以a n =a 2⋅3n -2=2⋅3n -2n ≥2 ，所以a n =1,
n =1
2⋅3
n -2
,n ≥2
.
当n ≥2时，S n =a
n +12
=3n -1；当n =1时，S 1=a 1=1符合上式，所以
S n =3n -1.S n +1
S n
=3，所以数列S n 是首项为1，公比为3的等比数列.所以ABD 选项正确，C 选项错误.
故选：ABD
10.设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，S 和R 分别为△ABC 的面积和外接圆半径.若b =2,c =3，则选项中能使△ABC 有两解的是()
A.B =30°
B.C =30°
C.S =3
D.R =2
【答案】AD
【分析】由已知条件，结合正弦定理以及三角形面积公式，三角形中“大边对大角”的性质，结合选项即可逐一求解.
【详解】对于A ，由b =2,c =3，B =30°，由于c sin B =3×12=3
2
, 且
c sin B <b <c ，因此有两个解；
对于B ，由b =2,c =3，C =30°则由正弦定理得sin B =b sin C c =1
3
<
12
，且b <c ，因此B 只能是锐角，故只有一组解；对于C ，由b =2,c =3，S =3得S =12bc sin A ⇒sin A =2S
bc
=1⇒A =
π2
，故只有一解；对于D ，由R =2得sin B =b 2R =12，所以B =π6或B =5π
6，由于b =
2,c =3⇒B <C ，所以B =π
6
，由选项A 可知有两解.
故选：AD
11.函数f (x )=ax 2+4a 2-1 x sin x (a ∈R )在区间[-2π,2π]上的大致图象可能为
(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】ABD
【分析】根据函数图象的对称性可得函数的奇偶性，
从而确定参数a 的值，再判断即可.
【详解】解：对于A ，B 中函数图象关于原点对称，则对应的f x 为奇函数，
令g x =ax 2+4a 2-1 x ，则g x 为偶函数，
即g -x =g x ，即ax 2-4a 2-1 x =ax 2+4a 2-1 x ，
所以4a 2-1=0，解得a =±1
2
，
当a =12时，f (x )=12x 2
sin x ，符合A 项，
当a =-12时，f (x )=-1
2
x 2sin x ，符合B 项.
对于C ，D 中函数图象关于y 轴对称，则对应的f x 为偶函数，令h x =ax 2+4a 2-1 x ，则h x 为奇函数，即h -x =-h x ，即ax 2-4a 2-1 x =-ax 2-4a 2-1 x ，
所以a =0，此时f (x )=-x sin x ，当x ∈0,π 时，f x <0，故D 正确，故C 错误；故选：ABD .
12.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )=e x (x +1)，则下列命题正确的是()
A.当x >0时，f (x )=e -x (x -1)
B.函数f (x )有2个零点
C.f (x )<0的解集为(-∞,-1)∪(0,1)
D.∀x 1，x 2∈R ，都有f x 1 -f x 2 <2
【答案】ACD
【分析】根据函数的奇偶性求出解析式即可判断A 项；因为是奇函数，所以有f (0)=0，解方程求出其他零点即可判断B 项；对于C 项，解不等式分成两步，一是对x <0的情况进行分析判断，二是对x >0的情况分析判断，求出f (x )<0的解集；对于D 项利用导数求出函数的值域即可判断.
【详解】∵f x 为R 上的奇函数，设x >0,则-x <0,f (-x )=e -x (-x +1)=-f x ,
∴f (x )=e -x (x -1)，故A 正确；
易知f x 是定义在R 上的奇函数，∴f (0)=0.又f (-1)=0,f (1)=0，有3个零点，故B 错误；
当x <0时，由f x =e x x +1 <0,得x +1<0,即x <-1，当x >0时，由f x =e -x x -1 <0，得x -1<0，即0<x <1,∴f x <0的解集为-∞,-1 ∪0,1 ，故C 正确；
当x <0时，f x =e x x +1 ，则f x =e x x +2 ，当x <-2时，f x <0，f x 单减，当-2<x <0时，f x >0，f x 单增，故极小值为
f -2 =-1
e
2，又x <-1时，f x <0，-1<x <0时，f x >0，又
e 00+1 =1，结合函数
f (x )是定义在R 上的奇函数可得图象如图，由图可知
∴f x 的值域为-1,1 ，
∴∀x 1，x 2∈R ，都有f x 1 -f x 2 <2，故D 正确.故选：ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在答题卡的相应位置。

13.设sin
α2=7
7
，α∈0,π ，则sin α=.
【答案】
26
7
【分析】首先求出cos
α
2
，再根据二倍角正弦公式计算可得.【详解】解：因为α∈0,π ，所以α2∈0,π2 ，又sin α2=7
7
，
所以cos α2=1-sin 2α2=42
7，
所以sin α=2sin α2cos α2=26
7.
故答案为：
26
714.如图，在△ABC 中，M 为BC 的中点，若AB =1，AC
=3，AB 与AC 的夹角为60°，则MA =.
【答案】
132##12
13【分析】根据向量基本定理得到AM =12
AB +AC ，先计算出AM
2=14AB
+AC 2=134
，从而求出MA .【详解】因为M 为BC 的中点，所以AM =12
AB +AC
，
所以AM 2=14AB +AC 2=14AB 2+2AB ⋅AC +AC 2
=1
4
×
1+9+2×3cos60° =
13
4
所以MA =132.
故答案为：
13
2
15.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知
BC 边上的高为AD =1
2
a ，若
b 2+
c 2+21-m bc ≤
0恒成立，则实数m 的取值范围是.
【答案】m ≥1+2
【分析】根据面积公式可得a 2=2bc sin A ，结合余弦定理可得sin A +cos A ≤m -1，利用辅助角公式可求实数m 的取值范围.
【详解】S △ABC =12×a ×12a =a 24=1
2
bc sin A ，故a 2=2bc sin A ，
又b 2+c 2+21-m bc ≤0可转化为a 2+2bc cos A +21-m bc ≤0，
故2bc sin A +2bc cos A +21-m bc ≤0，
所以sin A +cos A +1-m ≤0，故sin A +cos A ≤m -1，
所以2sin A +π
4 ≤m -1，
因为A ∈0,π ，故π4<A +π4<5π4，故-22<sin A +π
4 ≤1，
当且仅当A =π
4
时等号成立，故m -1≥2即m ≥1+2，
故答案为：m ≥1+ 2.
16.已知函数f x =a x -1-ln x +b a ,b ∈R 在
e ,e 3
(e 为自然对数的底)内有零点，则a 2
+b 2的最小
值为
.
【答案】
1
e
【分析】由题意，根据零点的定义，整理函数为方程，将a 2+b 2转化为原点O 到P a ,b 的距离，将方程看作直线方程，由点到直线的距离，可得答案.
【详解】设函数f x 在e ,e 3 上的零点为m ，则a m -1-ln m +b =0，所以P a ,b 在直线l :m -1x +y -ln m =0，
设O 为坐标原点，则a 2
+b 2
=OP 2
，其最小值就是O 到直线l 的距离的平方，
所以a 2
+b 2
=OP =ln m
m
，设m =t ,t ∈e ,e
3
2
，
所以g t =
2ln t t ，则g t =21-ln t t
2，由ln t ∈12,3
2 ，当e <t <e 时，g t >0；当e <t <e 3
2时，g x <0，由g e =e -1
2，g e 3
2 =3e -32
=
3e
e -12
>e -12=g e ，则g t ≥g e =
1
e
，故a 2+b 2≥
1e ，故答案为：1
e .
四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.已知各项均为正数的等比数列a n 满足a 1=1,a 2+a 3=12,n ∈N *.
(1)求数列a n 的通项公式；
(2)设b n -a n 是首项为1，公差为2的等差数列，求数列b n 的前n 项和T n .
【答案】(1)a n =3n -1；(2)=
3n 2+n 2-1
2
【解析】(1)由已知条件求出等比数列的公比q ，再求通项即可；(2)先由等差数列通项公式的求法求出数列b n 的通项，然后由分组求和法及公式法求数列b n 的前n 项和T n 即可.
【详解】解：(1)因为a n 是正数等比数列，且a 1=1,a 2+a 3=12所以a 1=1
a 1q +a 1q 2=12
，
即q 2+q -12=0
分解得(q +4)(q -3)=0，又因为a n >0，所以q =3，
所以数列a n 的通项公式为a n =3n -1；
(2)因为b n -a n 是首项为1，公差为2的等差数列，所以b n -a n =1+(n -1)×2=2n -1，所以b n =2n -1+a n =3n -1+2n -1，所以T n =b 1+b 2+⋅⋅⋅+b n
=30+1 +31+3 +⋅⋅⋅+3n -1+2n -1 =30
+31
+⋅⋅⋅+3n -1
+(1+3+⋅⋅⋅+2n -1)
=
1-3
n 1-3+(1+2n -1)n 2=3n 2+n 2-12
.【点睛】本题考查了等比数列及等差数列的通项公式的求法，重点考查
了利用分组求和法及公式法求数列的前n 项和，属中档题.
18.如图，在平面
四边形ABCD 中，DC =2AD =2,∠BAD =π
2,∠BDC =π6
.(1)若cos ∠ABD =
33
，求△ABD 的面积；(2)若∠C =∠ADC ，求BC .【答案】(1)2
4
；(2)5-1.
【分析】(1)根据cos ∠ABD =
3
3
求得tan ∠ABD ，再结合AD =1求解即可；
(2)设∠ADB =θ，再在△BCD 中利用正弦定理得出关于θ的方程，再根据三角函数恒等变换化简求解即可.
【详解】(1)由cos ∠ABD =3
3
,可得tan ∠ABD =2，
又AD =1，
故AB =AD tan ∠ABD
=2
2，
故S △ABD =12AB ⋅AD =2
4
；
(2)设∠ADB =θ,则cos θ=1BD
,∠C =θ+π
6，
在△BCD 中，由正弦定理可得BD sin C =DC
sin ∠DBC
，
即1cos θsin θ+π6 =2sin 2π3-θ ，
∴sin 2π3-θ =2cos θ⋅sin θ+π6 ，即sin θ+π3 =3cos θ⋅sin θ+
cos 2
θ，
∴sin θ+π3 =32sin2θ+12cos2θ+12=sin 2θ+π6 +1
2=
sin 2θ+2π3-π2 +
1
2=-cos 2θ+2π3 +12=2sin 2θ+π3 -1
2,，
故2sin 2θ+π3 -sin θ+π3 -1
2=0，
又sin θ+π3 >0，解得sin θ+π3 =1+5
4
，
又由正弦定理有2sin 2π3
-θ =BC
sin π6，
故BC =1sin θ+π3 =1
1+54
=5-1.
19.北苑食堂为了了解同学在高峰期打饭的时间，故安排
一名食堂阿姨随机收集了在食堂某窗口打饭的100位同学的相关数据(假设同学们打饭所用时间均为下表列出时间之一)，如下表所示.学生数(人)x
25y
10打饭时间(秒/人)
10
15
20
25
已知这100位同学的打饭时间从小排到大的第65百分位数为17.5秒.(1)确定x ,y 的值；
(2)若各学生的结算相互独立，记X
为该窗口开始打饭至20秒末已经打饭结束的学生人数，求X 的分布列及数学期望.(注；将频率视为概率)
【答案】(1)x =40,y =25；(2)分布列见解析；数学期望1.06.
【分析】
(1)根据百分位数的概念结合条件可得x +25=65x +25+y +10=100 ，即得；
(2)由题可知X 的可能取值为0,1,2，然后根据独立事件及互斥事件概率公式求概率，进而可得分布列及期望.【详解】(1)因为第65百分位数为17.5=15+20
2
，所以x +25=65x +25+y +10=100 ，所以x =40,y =25；(2)由已知得
打饭时间为10秒的概率为：40100=0.4，
打饭时间为15秒的概率为：25
100=0.25，
打饭时间为20秒的概率为：25
100=0.25，
打饭时间为25秒的概率为：10
100
=0.1，
由题可知X 的可能取值为0,1,2，∴P X =0 =0.1，
P X =1 =0.25+0.25+0.4×1-0.4 =0.74，P X =2 =0.4×0.4=0.16，∴分布列如下
X
012
P
0.10.740.16
∴E X =0.1×0+0.74×1+0.16×2=1.06.
20.如图，已知ABCD 和CDEF 都是直角梯形，
AB ⎳DC ，DC ⎳EF ，AB =5，DC =3，EF =1，∠BAD =∠CDE =60°，二面
角F -DC -B 的平面角为60°.设M ，N 分别为AE ,BC 的中点.
(1)证明：FN ⊥AD ；
(2)求直线BM 与平面ADE 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2)5714.
【分析】(1)过点E 、D 分别做直线DC 、AB 的垂线EG 、DH 并分别交于点G 、H ，由平面知识易得FC =BC ，再根据二面角的定义可知，∠BCF =60°，由此可知，FN ⊥BC ，FN ⊥CD ，从而可证得FN ⊥平面ABCD ，即得FN ⊥AD ；
(2)由(1)可知FN ⊥平面ABCD ，过点N 做AB 平行线NK ，所以可以以点N 为原点，NK ，NB 、NF 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间
直角坐标系N -xyz ，求出平面ADE 的一个法向量，以及BM
，即可利用线面角的向量公式解出.
【详解】(1)过点E 、D 分别做直线DC 、AB 的垂线EG 、DH 并分别交于点G 、H .
∵四边形ABCD 和EFCD 都是直角梯形，AB ⎳DC ,CD ⎳EF ,AB =5,DC =3,EF =1，∠BAD =∠CDE =60°，由平面几何知识易知，DG
=AH =2,∠EFC =∠DCF =∠DCB =∠ABC =90°，则四边形EFCG 和四边形DCBH 是矩形，∴在Rt △EGD 和Rt △DHA ，EG =DH =23，
∵DC ⊥CF ,DC ⊥CB ，且CF ∩CB =C ，
∴DC ⊥平面BCF ,∠BCF 是二面角F -DC -B 的平面角，则∠BCF =60°，
∴△BCF 是正三角形，由DC ⊂平面ABCD ，得平面ABCD ⊥平面BCF ，
∵N 是BC 的中点，∴FN ⊥BC ，又DC ⊥平面BCF ，FN ⊂平面BCF ，可得FN ⊥CD ，而BC ∩CD =C ，∴FN ⊥平面ABCD ，而AD ⊂平面ABCD ∴FN ⊥AD .
(2)因为FN ⊥平面ABCD ，过点N 做AB 平行线NK ，所以以点N 为原点，NK ，NB 、NF 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系N -xyz ，
设A (5,3,0),B (0,3,0),D (3,-3,0),E (1,0,3)，则M 3,32,3
2
，∴BM =3,-32,32
,AD =(-2,-23,0),DE =(-2,3,3)设平面ADE 的法向量为n
=(x ,y ,z )
由n ⋅AD
=0n ⋅DE =0
，得-2x -23y =0-2x +3y +3z =0 ，取n =(3,-1,3)，设直线BM 与平面ADE 所成角为θ，∴sin θ=cos ‹n ,BM
› =|n ⋅BM ||n |⋅BM |=
3
3+
32+33
2
3+1+3⋅9+34+94
=
537⋅23
=57
14.
21.已知椭圆C 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴，y 轴，
且过A (-2,0),B 1,3
2
两点.
(1)求椭圆C 的方程；(2)F 为椭圆C 的右焦点，直线l 交椭圆C 于P ,Q (不与点A 重合)两点，记直线AP ,AQ ,l 的斜率分别为
k 1,k 2,k ，若k 1+k 2=-3
k
，证明：△FPQ 的周长为定值，
并求出定值.
【答案】(1)
x 2
4+y 2
3
=1(2)证明见解析，定值为8
【分析】(1)结合A ,B 两点的坐标，利用待定系数法求得椭圆C 的方程.
(2)设直线l :y =kx +m ，联立直线l 的方程和椭圆C 的方程，化简写出
根与系数关系，利用k 1+k 2=-3
k
求得m ,k 的关系式，从而判断出直线
l 过左焦点，由此求得△FPQ 的周长为定值8.【详解】(1)由已知设椭圆C 方程为：mx 2+ny 2=1(m >0,n >0)，
代入A -2,0 ,B 1,32 ，得m =14,n =1
3，
故椭圆C 方程为x 2
4+y 23
=1.
(2)设直线l :y =kx +m ,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，
由y =kx +m ,
3x 2
+4y 2
=12⇒4k 2+3 x 2+8kmx +4m 2
-12=0
得，
x 1+x 2=-8km
4k 2+3
x 1⋅x 2=
4m 2
-124k 2+3
，Δ=64k 2m 2-44k 2+3 4m 2-12 =192k 2-48m 2+144，
又k 1=y 1x 1+2=kx 1+m
x 1+2,k 2=kx 2+m x 2+2
，
故k 1+k 2=kx 1+m
x 1+2+kx 2+m x 2+2
=
2kx 1x 2+2k x 1+x 2 +m x 1+x 2 +4m
x 1x 2+2x 1+x 2 +4=
8km 2
-24k -16k 2m -8km 2+16k 2m +12m 4m 2-12-16km +16k 2+12=3m -6k m 2-4km +4k 2
，由k 1+k 2=-3
k
，得m 2-3km +2k 2=0，
故m -2k m -k =0⇒m =2k 或m =k ，
①当m =2k 时，直线l :y =kx +2k =k x +2 ，过定点A -2,0 ，与已知不符，舍去；②当m =k 时，直线l :y =kx +k =k x +1 ，过定点-1,0 ，即直线l 过左焦点，
此时Δ=192k 2-48m 2+144=144k 2+144>0，符合题意.所以△FPQ 的周长为定值4a =8.
22.已知函数f (x )=e x -x -ax ln (x +1)-1.(Ⅰ)若a =0，求f x 的最小值；
(Ⅱ)函数f x 在x =0处有极大值，求a 的取值范围.
【答案】(Ⅰ)0；(Ⅱ)1
2
,+∞
.【解析】(Ⅰ)求出导函数f (x )，由f (x )确定单调性得极小值，从而得最小值；
(Ⅱ)求得导函数f (x )，设g (x )=f (x )，再求导数g (x )，分类讨论g (x )的正负，得g (x )的单调性，要求在0的左侧有g (x )>0，在0的右侧有g (x )<0.由此可得a 的范围.
【详解】解：(Ⅰ)∵a =0，∴f (x )=e x -x 2-1，f (x )=e x -1当x ∈(-1,0)时，f (x )<0；
当x ∈(0,+∞)时，f (x )>0；∴f (x )在(-1,0)上递减，在(0,+∞)上递增.
∴f (x )的极小值也是最小值为f (x )min =f (0)=0.
(Ⅱ)f (x )=e x -1-a ln (x +1)+x x +1
(x >-1).设g (x )=f
(x )，则g (x )=e x -a 1x +1+1(x +1)2 .当a ≤0时，g x >0，g x 在(-1,+∞)上单调递增，
∴x ∈(-1,0)时，g (x )<g (0)=0；x ∈(0,+∞)时，g (x )>g (0)=0∴f (x )在(-1,0)上递减，在(0,+∞)上递增，∴x =0是f x 的极小值点，与题意矛盾当a >0时，g (x )=e x -a 1x +1+1(x +1)2
在(-1,+∞)上是增函数，且g (0)=1-2a ①当0<a ≤1
2
时、x ∈(0,+∞)时，g (x )>g (0)=1-2a ≥0.从而f
(x )在(0,+∞)上是增数，
故有f (x )>f (0)=0.所以f (x )在(0,+∞)上是增函数，与题意矛盾
②当a >1
2
时，若x ∈(-1,0)，则g (x )<g (0)=1-2a <0，从而f (x )
在-1,0 上是减函数，
故有f (x )>f (0)=0，所以f (x )在-1,0 上是增函数，若x ∈(0,a )，由(1)知，e a >a +1，则g (a )=e a -a -1
a +1
+
1(a +1)2
>a +1-a 1a +1+1a +1 2
=a 3+2a 2+a +1
(a +1)2>0
又g (0)=1-2a <0，
所以，存在x 0∈(0,a )使得g x 0 =0.从而当x ∈0,x 0 时g (x )<0所以，f (x )=g (x )在0,x 0 上是减函数，从而f (x )<f (0)=0，f (x )在0,x 0 上减函数，
故x =0是f x 的极大值点，符合题意.综上所述，实数a 的取值范围为1
2
,+∞
.【点睛】易错点睛：本题考查用导数研究函数的极值.解题时要掌握极值的定义.在导数存在的情况下，如x 0是f (x )的极大值点，除必须有f (x 0)=0外，还必须满足在x 0左侧某个区间(x 0-m ,x 0)上f (x )>0，在x 0右侧某个区间(x 0,x 0+n )上f (x )<0，其中m >0，n >0.仅仅有f (x 0)=0是不够的，这也是易错的地方.。