广西贺州市2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题含答案

广西贺州市2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．=-)30sin(0
（ ）
A ．
21 B ．23 C ．2
1
- D ．23-
2．已知向量),2(),1,4(m b a =-=，且b a //，则=m （ ） A ．
21 B ．2
1
- C ．2 D ．2- 3．某公司有1000名员工，其中：高收入者有50人，中等收入者有150人，低收入者有800人，要对这个公司员工的收入进行调查，欲抽取100名员工，应当采用（ ）方法 A ．简单呢随机抽样 B ．抽签法 C ．分层抽样 D ．系统抽样 4．要得到函数)3
sin(π
-=x y 的图象，只需要将函数x y sin =的图象（ ）
A. 向上平移3π个单位
B. 向下平移3
π
个单位 C. 向左平移
3π个单位 D. 向右平移3
π
个单位 5．下列说法正确的是（ ） A ．一枚骰子掷一次得到2点的概率为
6
1
，这说明一枚骰子掷6次会出现一次2点 B ．某地气象台预报说，明天本地降水的概率为70%，这说明明天本地有70%的区域下雨，30%的区域不下雨
C ．某中学高二年级有12个班，要从中选2个班参加活动，由于某种原因，一班必须参加，另外再从二至十二班中选一个班，有人提议用如下方法：掷两枚骰子得到的点数是几，就选几班，这是很公平的方法
D ．在一场乒乓球赛前，裁判一般用掷硬币猜正反面决定谁先打球，这应该说是公平的 6．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理2017年12个月期间甲、乙两地月接待游客量（单位：万人）的数据的敬业图如下图，则甲、乙两地有课数方差的大小（ ）
A ．甲比乙小
B ．乙比甲小
C ．甲、乙相等
D ．无法确定 7．已知角α终边上一点)3,1(-，则=αsin （ ） A ．
21 B ．23 C ．2
1
- D ．23-
8．已知某扇形的周长是6cm ，面积是22cm ，则该扇形的中心角的弧度数为（ ） A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．2或4 9．执行如右图所示的程序框图，则输出的=a （ ）
A ．
54 B ．41- C ．5
1
D ．5 10．已知矩形ABCD 中，2=AB ，1=BC ，O 为AB 的中点，在矩形ABCD 内随机取一点，取到的点O 的距离大于1的概率为（ ） A. 4
1π
-
B.
4π C. 8
π D.81π-
11．已知矩形ABCD ，3,2==AD Ab ，点P 为矩形内一点，且1||=AP ，则的最大值
为（ ）
A ．0
B ．2
C ．4
D ．6
12．已知函数)(c o s s in )(R a x a x x f ∈+=图象的一条对称轴是=
x 3
π
，则函数)(s in 2)(x f x x g ⋅=的最大值为（ ）
A ．5
B ．5
C ．3
D ．3 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．函数)sin()(ϕω+=x A x f （ϕω,,A 是常数，0>A ，0>ω）的部分如右图，则
=A .
14．在ABC ∆中，D 为AB 边上一点，DB AD 2=，CB CA CD λ+=
3
1
，则=λ . 15．某班准备到郊外野营，为此向商店定了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则淋雨的概率是 . 16．函数)]2
1
(sin[2|1|1)(-+-=
x x x f π在]5,3[-∈x 上的所有零点之和等于 .
三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知)3,1(=a ，)1,3(--=b . （1）求a 和b 的夹角；
（2）若)(b a a λ+⊥，求λ的值.
18.一个盒子中装有1个红球和2个白球，这3个球除颜色外完全相同，有放回地连续抽取2次，每次从中任意抽取出1个球，则： （1）第一次取出白球，第二次取出红球的概率； （2）取出的2个球是1红1白的概率； （3）取出的2个球中至少有1个白球的概率. 19．已知)1,sin 3(x a =，)2,(cos x b =.
（1）若b a //，求x 2tan 的值；
（2）若b b a x f ⋅-=)()(，求)(x f 在区间]12
5,
0[π
上的值域. 20.为检测空气质量，某市环保局随机抽取了甲、乙两地2016年20天的PM2.5日平均浓度（单位：微克/立方米）是监测数据，得到甲地PM2.5日平均浓度的频率分布直方图和乙地PM2.5日平均浓度的频数分布表.
甲地20天PM2.5日平均浓度频率分布直方图
乙地20天PM2.5日平均浓度频数分布表
（1）根据乙地20天PM2.5日平均浓度的频数分布表作出相应的频率分布直方图，并通过两个频率分布直方图比较两地PM2.5日平均浓度的平均值及分散程度；（不要求计算出具体值，给出结论即可）
（2）求甲地20天PM2.5日平均浓度的中位数；
（3）通过调查，该市市民对空气质量的满意度从高到低分为三个等级：
记事件C ：“甲地市民对空气质量的满意度等级为不满意”。

根据所给数据，利用样本估计总体的统计思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C 的概率.
21．已知函数)2
||,0,0)(sin()(π
ϕωϕω≤
>>+=A x A x f 的部分图象如图所示：
（1）求)(x f 的表达式； （2）若]3,4[π
π-
∈x ，求函数)3
2()(π
+=x f x g 的单调区间. 22.某特色餐馆开通了美团外卖服务，在一周之内的某特色菜外卖份数x （份）与收入y （元）之间有如下的对应数据：
（1）画出散点图；
（2）求回归直线方程；
（3）据此估计外卖份数为12份时，收入为多少元.
注：参考公式：线性回归方程系数公式∑∑==--=
n
i i
n
i i
i x
n x
y x n y
x b 1
2
21
，x b y a -=
参考数据：
∑==5
1
2145i i
x
，∑==51
213500i i y ，∑==5
1
1380i i i y x
参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
13．2 14．
32 15．4
1
16．8 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．解：（1）∵)3,1(=a ，)1,3(--=b ， ∴231||=+=a ，213||=+=b ，
32)1(3)3(1-=-⋅+-⋅=⋅b a ，
故2
3
2232|
|||cos -
=⨯-=
⋅=
b a b a θ，又),0(πθ∈， 故6
5π
θ=
. （2）由)(b a a λ+⊥得0)(=+⋅b a a λ，即0||2
=⋅+λ， 又32,4||2-=⋅=b a a ， 故3
3
22=
⋅=b
a λ. 18.解：设红球为数1（奇数），两个白球分别为2,4（偶数），则
（1）用A 表示事件“第一次取出白球，第二次取出红球”，则9
2
)(=A P （2）用B 表示事件“取出的2个球是1红1白”，则9
4)(=
B P （3）用
C 表示事件“取出的2个球中至少有1个白球”，则9
8
)(=C P ∴第一次取出白球，第二次取出红球的概率是9
2； 取出的2个球是1红1白的概率是
9
4； 取出的2个球中至少有1个白球的概率是
9
8. 19.（1）∵b a //0cos sin 32=-⇒x x ,∴6
3tan =
x 故11
3
4tan 1tan 22tan 2=
-=
x
x x . （2）b b a x f ⋅-=)()(2
52cos 212sin 232cos cos sin 32--=
--=
x x x x x 2
5
)62sin(--=πx
∵]125,0[π∈x ，∴3
2626π
ππ≤
-≤-x ∴当6
6
2π
π
-
=-
x 时，3)(min -=x f ；当2
6
2π
π
=
-
x 时，2
3
)(max -
=x f ∴)(x f 的值域为]2
3
,3[--.
20.解：（1）乙地20天PM2.5日平均浓度的频率分布直方图如图所示：
由此可知，甲地PM2.5日平均浓度的平均值低于乙地PM2.5日平均浓度的平均值；而且甲地的数据比较集中，乙地的数据比较分散.
（2）∵甲地PM2.5日平均浓度在]20,0[之间的频率为1.0200050.0=⨯ 在]40,20[之间的频率为45.0200225.0=⨯； ∴5.055.045.01.0>=+，
∴中位数一定在区间]40,20[之间，设为x ，则5.0225.0)20(1.0=⨯-+x ， 解得9
737
=x ∴甲地PM2.5日平均浓度的中位数为9
7
37
微克/立方米. （2）因为当PM2.5日平均浓度超过60微克/立方米时，市民对空气质量不满意， 所以1.020)0025.00025.0()(=⨯+=C P
又由对立事件计算公式，得9.0)(1)(=-=C P C P .
21．解：（1）由函数0,0),sin()(>>+=ωϕωA x A x f 的部分图象，可得2=A ，
ππ
πωπ
2)12
1213(22=-==
T ，求得1=ω 再根据2
212
1π
πϕπ
+
=+⨯k ，Z k ∈，求得1252π
πϕ+
=k ，又2
||πϕ≤， ∴12
5π
ϕ=
故)12
5sin(2)(π+
=x x f .
（2）由（1）知，)4
32sin(2)(π+=x x g ∵]3,4[π
π-∈x ，∴]4
7,4[432π
ππ∈+x 当24324
πππ
<+≤x ，即84π
π-<≤-x 时，)432sin(2)(π+=x x g 单调递增； 当234322
πππ
<+
≤x ，即838π
π<≤-x 时，)4
32sin(2)(π+=x x g 单调递减；
当
4743223πππ≤+<x ，即283π
π≤<x 时，)4
32sin(2)(π+=x x g 单调递增.
故)4
32sin(2)(π+
=x x g 的单调增区间为)8,4[ππ-和]2,83(π
π；单调减区间为
]8
3,8[π
π-. 22．解：（1）略 （2）505
70
50604030,5586541=++++==++++=
y x ，
由已知
∑==5
1
2
145i i
x
，∑==5
1
1380i i i y x ，则5.6555
1
2
2
5
1=--=
∑∑==i i
i i
i x
x
y x y
x b ，5.17=-=x b y a ，
故此回归直线方程为5.175.6+=x y
（3）当12=x 时，5.955.175.612=+⨯=y ，即外卖份数为12份时，收入大约为95.5元.。