2006年北京市中考数学试卷(课标卷)

2006年北京市中考数学试卷（课标卷）
、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）
1. （4分）5的倒数是（ ）
组数据的众数和中位数分别是（
A .
B .
C. 5 D .— 5
2.（4分）青藏高原是世界上海拔最高的高原，它的面积约为
2500000平方千米.将
2500000用科学记数法表示应为( A . 0.25X 107 8
B . 2.5X 107
C. 2.5 X 106 5
D . 25X 105
3. （4分）在函数
中，自变量
X 的取值范围是（ A . X M 0
B . x >3 C. X M — 3
D . X M 3 4. （4分）如图, AD// BC,点
E 在BD 的延长线上，若/
ADE=155，贝U/ DBC 的
B . 50, C. 45,
D . 25,
（4分）小芸所在学习小组的同学们，响应 为祖国争光，为奥运添彩”的号召,
主动到附近的7个社区帮助爷爷、 奶奶们学习英语日常用语.他们记录的各 社区参加其中一次活动的人数如下:
33，
32，
6
. A . 32， 31
B . 32， 32
(4分)把代数式xy 2
— 9X 分解因式, A . X (y 2— 9)
C. 3， 31
D . 3， 32
结果正确的是（ B. X （y+3） 2
C. X (y+3) (y — 3) D . X (y+9) (y — 9)
7
. A . B.- C.
D
.
的两条半径0A 与0B 重合（接缝粘贴部分忽略不计），则围成的圆锥形纸帽
是（ ）
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
9. _________ （4分）若关于x 的一元二次方程x 2-2x+m=0有实数根，则m 的取值范围 是 _ . 10. （4 分）若
+ （n+1） 2=0,贝U m+n 的值为 ___ .
11. （4分）用 ☆”定义新运算：对于任意实数 a 、b ，都有b=b 2+1 .例如 [☆ 4=42+1=17,那么 5^3= ______ ;当 m 为实数时，m ^ （m ^2） = _____ . 12. （4分）如图，在△ ABC 中，AB=AC M 、N 分别是AB AC 的中点，D 、E 为
BC 上的点，连接 DN 、EM .若AB=13cm, BC=10cm DE=5cm,则图中阴影部 分的面积为 __________ cm 2.
三、解答题（共13小题，满分72 分） 13. （5分）计算：— —
14. （5分）解不等式组
:
B . 0
D .畑）
B
N C
15. （5 分）解分式方程：•
16. （5 分）如图，AB// ED,点F、C在AD上，AB=DE AF=DC 试说明BC=EF
17. (5 分)已知2x-3=0,求代数式x (x2-x) +x2(5-x)- 9 的值.
18. (5 分)已知：如图，在梯形ABCD中，AD/ BC, / ABC=90, / C=45°, BE
丄CD于点E, AD=1，CD= 一.求：BE的长.
19. （6分）如图，已知：△ ABC内接于。

0,点D在OC的延长线上，sinB=，
/ D=30 度.
（1）求证：AD是O O的切线;
（2）若AC=6,求AD的长.
20. （5分）根据北京市统计局公布的2000年、2005年北京市常住人口相关数据, 绘
制统计图表如下：
年份大学程度人
数（指大专
及以
上）
高中程度
人数（含
中专）
初中程度人
数
小学程度人
数
其它人数
2000 年233320475234120
2005 年362372476212114
请利用上述统计图表提供的信息回答下列问题:
（1）从2000年到2005年北京市常住人口增加了多少万人？
（2）2005年北京市常住人口中，少儿（0〜14岁）人口约为多少万人？
（3）请结合2000年和2005年北京市常住人口受教育程度的状况，谈谈你的看法.
21. （5分）在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x绕点O顺时针旋转90°得到直
线I,直线I与反比例函数-的图象的一个交点为A （a, 3），试确定反比例函数的解析式.
22. （4分）请阅读下列材料：
问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图①，请把它们分割后拼接成一个新的正方形，要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形.
小东同学的做法是：设新正方形的边长为x （x>0），依题意，割补前后图形的面积相等，有x2=5,解得x= 一，由此可知新正方形的边长等于两个小正方形
为脱玉塑05审巴扫
第住人
力厲年壮京市常性九口各年龄段
人数
坊〔中图
□ <M斗岁
]lX^5^
I也岁収上
组成的矩形对角线的长，于是，画出如图②所示的分割线，拼出如图③所示
的新正方
现有
10个边长为1的正方形，排列形式如图④，请把它们分割后拼接成一个新 的正方形，要求：在图④中画出分割线，并在图⑤的正方形网格图（图中每 个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形.（说明：直接画 出图形，不要求写分析过程.）
23. （6分）如图①，0P 是/ AOB 的平分线，请你利用该图形画一对以 0P 所在 直线为对称轴的全等三角形•请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列 问题： （1）如图②，在△ ABC 中，/ ACB 是直角，/ B=60°, AD 、CE 分别是/ BAC / BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F •请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关 系； （2）如图③，在△ ABC 中，如果/ ACB 不是直角，而（1）中的其它条件不变，
请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请
24. （8分）已知抛物线y=ax ?+bx+c 与y 轴交于点A （0，3），与x 轴分别交于B （1,
0）、C （5, 0）两点. （1） 求此抛物线的解析式；
（2） 若点D 为线段OA 的一个三等分点，求直线 DC 的解析式；
（3） 若一个动点P 自OA 的中点M 出发，先到达x 轴上的某点（设为点 日，再
到
形 请你参考小东同学的做法，解决如下问题:
达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A求使点P运动的总
路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长.
25．（8 分）我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形.请解答下列问题：
（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；
（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论.
2006年北京市中考数学试卷（课标卷）
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分） 1.（ 4分）5的倒数是（ ）
A . 一
B. —
C. 5
D .— 5
【解答】解：5的倒数是-.
故选：A .
2.（4分）青藏高原是世界上海拔最高的高原，它的面积约为2500000平方千米.将 2500000用科学记数法表示应为（ ）
A . 0.25X 107
B . 2.5X 107
C. 2.5X 106
D . 25X 105
【解答】解：根据题意：2500000=2.5X 106.
故选：C.
【解答】解：根据题意得：X — 3M 0 解得：X M 3;
故选：D .
【解答】解：依题意得/ ADB=180 — / ADE=180 — 155° =25°, ••• AD// BC,
3. （4分）在函数 中，自变量x 的取值范围是（ A . X M 0
B . x >3
C. X M — 3
D . X M 3
4. （4分）如图, AD// BC,点E 在BD 的延长线上，若/
ADE=155，贝U/ DBC
的
B . 50, C. 45, D . 25
,
)
•••/ DBC=/ ADB=25 .
故选：D.
5. （4 分）小芸所在学习小组的同学们，响应为祖国争光，为奥运添彩”的号召，主
动到附近的7个社区帮助爷爷、奶奶们学习英语日常用语.他们记录的各
社区参加其中一次活动的人数如下：33，32, 32, 31，28，26, 32,那么这组数据的众数和中位数分别是（）
A. 32，31
B. 32，32
C. 3，31
D. 3，32
【解答】解：在这一组数据中32是出现次数最多的，故众数是32;
而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数是32,那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是32.
故选：B.
6. （4分）把代数式xy2 - 9x分解因式，结果正确的是（）
A. x （y2- 9）
B. x （y+3）2
C. x （y+3）（y - 3）
D. x （y+9）（y - 9）
【解答】解: xy2- 9x,
=x （y2- 9）,
=x （y+3）（y- 3）.
故选：C.
7. （4分）随机掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则这个骰子向上的一面点数是奇数的概率为（）
A. -
B. -
C. -
D.-
【解答】解：根据题意知，掷一次骰子6个可能结果，而奇数有3个，所以掷到上面为奇数的概率为-.
故选：A.
8. （4分）将如图所示的圆心角为90°的扇形纸片AOB围成圆锥形纸帽，使扇形的
两条半径0A与0B重合（接缝粘贴部分忽略不计），则围成的圆锥形纸帽是（）
O i0A0O
王
A. *⑻
B.
C.岬）
D.AW
【解答】解：A、B —定重合，与A、B相邻的两个阴影一定在A所在的母线重合，而另一端一定与圆锥的底面相交，即靠近A、B两点的两个空白部分无法围成环并且紧贴底面.
故选：B.
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
9. （4分）若关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有实数根，则m的取值范围是
m W 1 .
【解答】解：由题意知，△ =4- 4m>0，
二m< 1
答：m的取值范围是m < 1.
10. （4 分）若+ （n+1）2=0,贝U m+n 的值为2 .
【解答】解：I + （n+1）2=0，
* * ?
解得m=3，n=- 1，
••• m+n=3+ （- 1）=2.
故答案为：2.
11. （4分）用☆”定义新运算：对
于任意实数a、b，都有b=b2+1 .例如=☆4=42+1=17，那么5^3= 10 ;当m 为实数时，m☆（m☆ 2）= 26 .
【解答】解：依规则可知：5^3=32+1=10;
因为m^2=22+1=5，所以m☆（m^2）=m^5=52+1=26.
故依次填10; 26.
12. （4分）如图，在△ ABC中，AB=AC M、N分别是AB AC的中点，D、E为BC
上的点，连接DN、EM.若AB=13cm, BC=10cg DE=5cm,则图中阴影部分的面积为30 cm2.
三、解答题（共
13小题，满分72 分） 13. （5分）计算：
【解答】解：— —
14. （5分）解不等式组：
v >
【解答】解：由不等式①，得 x v 2,
由不等式②，得 x >- 3，
【解答】解：连接MN ，则MN 是厶ABC 的中位线, 因此 MN 二-BC=5cm
过点A 作AF 丄BC 于F ,则AF= =12cm.
•••图中阴影部分的三个三角形的底长都是
5cm ,且高的和为12cm ；
所以不等式组的解集为-3v x v 2.
15. （5 分）解分式方程：•
【解答】解：方程两边都乘（x+1）（x- 1）,
得：（x+1）+2x （x- 1）=2 （x+1）（x- 1）,
解得：x=3.
检验：当x=3 时，（x+1）（x - 1）工0.
所以原方程的解是x=3.
16. （5 分）如图，AB// ED,点F、C在AD上，AB=DE AF=DC,试说明BC=EF
E D
【解答】证明：：AB// ED,
•••/ BACK EDF
••• AF=DC
••• AC=DF
ABC 和厶DEF中 ,
•••△ ABC^A DEF,
17. (5 分)已知2x- 3=0,求代数式x (x2- x) +x2(5- x)- 9 的值.
【解答】解: x (x2- x) +x2(5 -x)- 9 ,
=x (x2- x) +x2(5 - x)- 9 ,
=x3- x2+5x - x3- 9 ,
=4«- 9 ,
=(2x+3) (2x- 3).
第12页(共21页)
当2x—3=0 时，原式=(2x+3) (2x—3) =0.
18. (5 分)已知：如图，在梯形ABCD中，AD// BC, / ABC=90, / C=45°, BE
丄CD于点E, AD=1, CD= 一.求：BE的长.
【解答】解：过D作DF丄BC于F, 则/ DFC=90,
又•••/ C=45,
•••/ FDC=/ C=45,
•••△ DFC为等腰直角三角形，
TCD=2 —,
••• DF=CF=CDsi n452,
••• BC=ABDF=1+2=3,
在RT\ BEC中 , / C=45 , BC=3
••• BE= .
19. (6分)如图,已知：△ ABC内接于。

0,点D在OC的延长线上,sinB=,
/ D=30 度.
(1)求证：AD是O O的切线；
(2)若AC=6,求AD的长.
D
【解答】（1）证明：如图，连接0A;
■/ sinB=,
:丄 B=30°,
vZ A0C=2/ B,
:丄 AOC=60;
vZ D=30,
•••Z OAD=180 -Z D-Z AOD=90 ,
••• AD是。

O的切线.
(2)解：v OA=OC Z AOC=60,
•△ AOC是等边三角形，
•OA=AC=6
vZ OAD=90 , Z D=30,
•AD= _?AO= 一.
20. （5分）根据北京市统计局公布的2000年、2005年北京市常住人口相关数据,
绘制统计图表如下:
年份大学程度人
数（指大专
及以
上）
高中程度
人数（含
中专）
初中程度人
数
小学程度人
数
其它人数
2000 年233320475234120
2005 年362372476212114
请利用上述统计图表提供的信息回答下列问题:
（1）从2000年到2005年北京市常住人口增加了多少万人？
（2）2005年北京市常住人口中，少儿（0〜14岁）人口约为多少万人？
（3）请结合2000年和2005年北京市常住人口受教育程度的状况，谈谈你的看法.
【解答】解：（1）1536 - 1382=154 （万人）.
故从2000年到2005年北京市常住人口增加了154万人.
（2）1536X 10.2%=156.67b 157 （万人）.
故2005年北京市常住人口中，少儿（0〜14岁）人口约为157万人.
（3）例如：依数据可得，2000年受大学教育的人口比例为16.86%, 2005年受大学教育的人口比例为23.57%.
可知，受大学教育的人口比例明显增加，教育水平有所提高.
21. （5分）在平面直角坐标系xOy中，直线y=- x绕点O顺时针旋转90°得到直线
200C .塑05年弓US
玮
第住人
力叮年壮京市當性九口各年龄段
人数
坊〔中图
□卜1斗岁口
14柘岁■心
岁且上
I,直线I与反比例函数-的图象的一个交点为A （a，3），试确定反比
例函数的解析式.
【解答】解：依题意得，直线I 的解析式为y=x . 因为A (a , 3)在直线y=x 上， 则 a=3. 即 A (3, 3).
又因为A (3, 3)在y=—的图象上， 可求得k=9,
所以反比例函数的解析式为y=-
.
22. (4分)请阅读下列材料：
问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图①，请把它们分割后拼接成一 个新的正方形，要求：画出分割线并在正方形网格图(图中每个小正方形的 边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形.
小东同学的做法是：设新正方形的边长为
x (x >0)，依题意，割补前后图形的
面积相等，有X 2=5,解得x= 一，由此可知新正方形的边长等于两个小正方形 组成的矩形对角线的长，于是，画出如图②所示的分割线，拼出如图③所示 的 新 正 方 形
.
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请你参考小东同学的做法，解决如下问题: 现有10个边长为1的正方形，排列形式如图④，请把它们分割后拼接成一个新 的正方形，要求：在图④中画出分割线，并在图⑤的正方形网格图(图中每 第15页(共21页)
个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形.（说明：直接画出图形，不要求写分析过程.）
【解答】解：所画图形如图所示.
图2
说明：图1与图2中所画图形正确各得（2分）.分割方法不唯一，正确者相应给分. 23. （6分）如图①，0P是/ AOB的平分线，请你利用该图形画一对以0P所在直线
为对称轴的全等三角形•请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图②，在△ ABC中，/ ACB是直角，/ B=60°, AD、CE分别是/ BAC / BCA 的平分线，AD、CE相交于点F•请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；
（2）如图③，在△ ABC中，如果/ ACB不是直角，而（1）中的其它条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请
得厶OEC^A OED,如图①,
（1）结论为EF=FD
如图②，在AC上截取AG=AE连接FG.
••• AD是/ BAC的平分线，
•••/ 仁/ 2,
在厶人丘卩与厶AGF中,
公共边
•••△AEF^A AGF (SAS .
•••/ AFE=/ AFG FE=FG
由/ B=60°, AD，CE分别是/ BAC，/ BCA的平分线，••• 2/ 2+2 / 3+/ B=180°,
•••/ 2+/ 3=60°.
又•••/ AFEAFC的外角，
•••/ AFE=/ CFD=/ AFG=Z 2+/ 3=60°.
•••/ CFG=60.
即/ GFC=/ DFC，
在厶CFG与△ CFD中公共边，
•••△CFG^A CFD(ASA).
••• FG=FD
••• FE=FD
(2) EF=FD仍然成立.
如图③，
过点F分别作FG丄AB于点G，FH丄BC于点H . •••/ FGE/ FHD=90，
•••/ B=60°，且AD，CE分别是/ BAC，/ BCA的平分线, •••/ 2+/ 3=60°, F是厶ABC的内心
•••/ GEF/ BAG/ 3=60°+/ 1，
••• F是厶ABC的内心，即F在/ ABC的角平分线上，••• FG=FH(角平分线上的点到角的两边相等).
又•••/ HDFN B+Z 1 （外角的性质）,
•••/ GEF Z HDF.
在厶DHF中,
•••△ EGF^A DHF （AAS ,
••• FE=FD
24. （8分）已知抛物线yraX^bx+c与y轴交于点A （0, 3）,与x轴分别交于B （1, 0）、
C（5, 0）两点.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式；
（3）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点（设为点日，再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F）,最后运动到点A求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长.
【解答】解：（1）根据题意，c=3,
所以
解得
所以抛物线解析式为y=-x2------- x+3.
（2）依题意可得OA的三等分点分别为（0, 1）, （0, 2）.
设直线CD的解析式为y=kx+b.
当点D的坐标为（0, 1 ）时，直线CD的解析式为y=—x+1;
当点D的坐标为（0, 2）时，直线CD的解析式为y=--x+2.
（3）如图，由题意，可得M （0,-）.
•••点M与点M关于x轴的对称，
•••点为M （0,-一），
•••点A关于抛物线对称轴x=3的对称点为A（6, 3）.
连接A M
根据轴对称性及两点间线段最短可知，A M勺长就是所求点P运动的最短总路径的长. • A Mff x轴的交点为所求E点，与直线x=3的交点为所求F点.
•可求得直线A M的解析式为y=~x--.
•可得E点坐标为（2, 0）, F点坐标为（3, -）.
由勾股定理可求出一.
•••点P运动的最短总路径（ME+EF+FA）的长为一.（8分）
A: /
V
、尸/
Q
-V T Jf t
25. （8分）我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四
边形为等对角线四边形•请解答下列问题：
（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；
（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°寸，这对60°角所对的
两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论.
【解答】解：（1）等腰梯形、矩形、正方形.
（2）结论：等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长.
已知：四边形ABCD中，对角线AC, BD交于点O, AC=BD
且/ AOD=60度.
求证：BC+AD> AC.
证明：过点D作DF// AC,在DF上截取DE,使DE=AC
连接CE BE
故/ EDO=60，四边形ACED是平行四边形.
••• AC=DE AC=BD
••• DE=BD
vZ EDO=60，
•••△ BDE是等边三角形.
所以DE=BE=AC
①当BC与CE不在同一条直线上时（如图1），
S1 图上
在厶 BCE中，有BC+CE> BE.
所以BC+AD>AC.
②当BC与CE在同一条直线上时（如图2）,
贝U BC+CE=BE
因此BC+AD=AC
综合①、②，得BC+AD》AC.
即等对角线四边形中两条对角线所夹角为60°寸，这对60°角所对的两边之和大
于或等于其中一条对角线的长.
（4分）随机掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6
的点数，则这个骰子向上的一面点数是奇数的概率为（
8. （4分）将如图所示的圆心角为90,的扇形纸片AOB围成圆锥形纸帽，使扇形
第1页（共21页）。