立体几何大题练习题集答案解析

立体几何大题专练
1、如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别为AB 、PC 的中点； (1)
求
证
：
MN
P ABC -,E F ,AC BC //EF PAB PAC ⊥ABC PA PC =90ABC ∠=︒PEF ⊥PBC
EF Q E F AC BC //EF AB ∴ ……………………2分 又⊄EF 平面PAB ，⊆AB 平面PAB ，
∴ EF ∥平面PAB . ……………………5分
（2）PA PC =Q ，E 为AC 的中点，
PE AC ∴⊥ ……………………6分 又Q 平面PAC ⊥平面ABC
PE ∴⊥面ABC ……………………8分 PE BC ∴⊥……………………9分
P
A
C E
B
F
又因为F 为BC 的中点，
//EF AB ∴
090,BC EF ABC ⊥∠=∴Q ……………………10分
EF PE E =Q I
BC ∴⊥面PEF ……………………11分 又BC ⊂Q 面PBC
∴面PBC ⊥面PEF ……………………12分
3. 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=BC ，点D 是AB 的中点。

（1）求证：
BC 1
PC AB N M ABCD PA 、分别是、所在的平面，矩形⊥PAD MN 平面//CD MN ⊥图，正方形ABCD 所在的
平面与三角形ＡD Ｅ所在平面互相垂直，△ＡＥＢ是等腰直角三角形，且ＡＥ＝ＥD 设线段BC 、AE 的中点分别为F 、M ，求证：（1）FM ∥ECD 平面； （2）求二面角Ｅ－ＢＤ—Ａ的正切值．
（1）证明：取AD 的中点N,连结FN,MN,则MN ∥ED ，FN ∥CD
∴平面FMN ∥平面ECD. ∵ MF 在平面FMN 内,
∴ FM ∥平面ECD ......5分 （2）连接EN, ∵AE=ED ，N 为AD 的中点，
N
M
P
D
C
B
A
∴ EN⊥AD.
又∵面ADE⊥面ABCD，∴EN⊥面ABCD.作NP⊥BD,连接EP,则EP⊥BD，
∴∠EPN即二面角E-BD-A的平面角，
设AD=a,∵ABCD为正方形，⊿ADE为等腰三角形，∴EN=1
2
a,NP=
2
4
a.
∴tan∠EPN=2. ......10分
7.如图，一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，其中有一个高为
x cm的内接圆柱.
(1)试用
x表示圆柱的侧面积；
（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大.
19.（1）解：设所求的圆柱的底面半径为r
则有
6
6
2
x
r-
=,即
3
2
x
r-
=.
∴2
3
2
4
)
3
2(
2
2x
x
x
x
rx
S
π
π
π
π-
=
-
=
=
圆柱侧
.......5分
（2）由（1）知当3
)
3
2
(2
4
=
-
-
=
π
π
x时，这个二次函数有最大值为π6
所以当圆柱的高为3cm时，它的侧面积最大为
2
6cm
π......10分
8．（10分）
如图，在三棱锥P ABC
-中，⊿PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90 o.
（1）证明：AB⊥PC；
（2）若4
PC=，且平面PAC⊥平面PBC，求三棱锥P ABC
-体积.
解：
（1）因为PAB ∆是等边三角形，90PAC PBC ∠=∠=︒, 所以Rt PBC Rt PAC ∆≅∆,可得AC BC =。

如图，取AB 中点D ，连结PD ,CD , 则PD AB ⊥,CD AB ⊥, 所以AB ⊥平面PDC ,
所以AB PC ⊥ ......5分 （2）作BE PC ⊥，垂足为E ，连结AE ． 因为
Rt PBC Rt PAC ∆≅∆，
所以AE PC ⊥，AE BE =．
由已知，平面PAC ⊥平面PBC ，故90AEB ∠=︒． 因为Rt AEB Rt PEB ∆≅∆，所以,,AEB PEB CEB ∆∆∆都是等腰直角三角形。

由已知4PC =，得2AE BE ==， AEB ∆的面积2S =． 因为PC ⊥平面AEB ， 所以三角锥P ABC -的体积 18
33
V S PC =
⨯⨯= ......10分 9.（本题满分12分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，
∠ADC ＝45°，AD ＝AC ＝1，O 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ，PO ＝2，M 为PD 的中点．
(1)证明PB ∥平面ACM ； (2)证明AD ⊥平面PAC ；
(3)求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．
解析： (1)证明：如图，连接BD ，MO ，在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所以O 为BD 的中点．
又M 为PD 的中点，所以PB ∥MO .因为PB 平面ACM ，MO 平面ACM ，所以PB ∥平面ACM .
(2)证明：因为∠ADC ＝45°，且AD ＝AC ＝1，所以∠DAC ＝90°，即AD ⊥AC .又PO ⊥平面ABCD ，AD 平面ABCD ，所以PO ⊥AD .而AC ∩PO ＝O ，所以AD ⊥平面PAC .
(3)如图，取DO 中点N ，连接MN ，AN .因为M 为PD 的中点，所以MN ∥PO ，且MN ＝1
2PO ＝1，由PO ⊥平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ，所以∠MAN 是直线AM 与平面ABCD 所成的角．在Rt △DAO 中，AD ＝1，AO ＝1
2，
DO ＝52.从而AN ＝12DO ＝54.在Rt △ANM 中，tan ∠MAN ＝MN AN ＝154＝45
5，
即直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值为45
5. 10（本小题满分12分）
如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱111ABC A B C -中，
3AC =，5AB =，4BC =，14AA =，点D 是AB
的中点．
（Ⅰ）求证：1AC BC ⊥； （II ）求证：1//AC 平面1CDB ； （III ）求三棱锥 11A B CD -的体积．
证明：（Ⅰ）在△ABC 中，∵3AC =，5AB =，4BC =，
∴△ABC 为直角三角形，∴AC BC ⊥， ……………1分
又∵1CC ⊥平面ABC ，∴1CC AC ⊥，1CC BC C ⋂=， ……………2分 ∴AC ⊥平面1BCC ，∴1AC BC ⊥． ……………4分 （II ）设1B C 与1BC 交于点E ，则E 为1BC 的中点，连结DE ， ……………5分 则在△1ABC 中，1//DE AC ，又1DE CDB ⊂面， ……………7分 ∴1//AC 平面1B CD ． ……………8分
（III ）在△ABC 中，过C 作CF AB ⊥，F 为垂足，∵平面11ABB A ⊥平面ABC ， ∴CF ⊥平面11ABB A ，而3412
55
AC BC CF AB ⋅⨯=
==， ……………9分 ∵
1111A B CD C A DB V V --=， ……………10分
而
1111111
541022
DA B S A B AA =
=⨯⨯=V g ， ……………11分 ∴
11112
10835
A B CD V -=⨯⨯=． ……………12分
11.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD,∠BAD=60°,E、F分别是AP、AD的中点
求下：（Ⅰ）直线EF
12. （本小题满分12分）
-中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面如图所示，在四棱锥P ABCD
=是PC的中点，作EF PB
,,
ABCD PD CD E
⊥交PB于点F。

PA平面EDB；
（I）求证：//
（II）求证：PB⊥平面EFD；
--的大小。

（III）求二面角P BC D
M
C
D
B
A
P
13．（本小题满分12分）
如图，四棱锥ABCD
P-中，底面ABCD是边长为2的正方形，
5
=
=
=
=PD
PC
PB
PA
（1）求二面角C
AB
P-
-的度数
（2）若M是侧棱PC的中点，求异面直线PA与BM所成角的正切值
14．（本小题满分12分）
若图为一简单组合体，其底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，EC//PD ，且PD=2EC 。

（1）求证：BE//平面PDA ；
（2）若N 为线段PB 的中点，求证：EN ⊥平面PDB ；
（1） 证明：EC ∥PD ∴EC ∥面PAD ；同理BC ∥面PAD ；∴面BEC ∥面PAD ；∴BE ∥面PAD （2） 证明：取BD 的中点O ，连NO 、CO ，易知，CO ⊥BD ；又∵CO ⊥PD; ∴CO ⊥面PBD 。

15．（本小题满分12分）
如图，在多面体ABCDE 中，底面ABC ∆为等腰直角三角形，且90ACB ∠=︒，侧
面BCDE 是菱形，O 点是BC 的中点，EO ⊥平面ABC 。

（1）求异直线AC 和BE 所成角的大小；
（2）求平面ABE 与平面ADE 所成锐二面角的余弦值。