高斯小学奥数六年级上册含答案第15讲数论综合提高一

高斯小学奥数六年级上册含答案第15讲数论综合提高一
第十五讲数论综合提高
本讲知识点汇总：
一. 整除
1. 整除的定义
如果整数a除以整数b b 0，所得的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，也可以说b能整除a，记作b|a .
如果除得的结果有余数，我们就说a不能被b整除，也可以说b 不整除a.
2. 整除判定
(1)尾数判断法
能被2、5整除的数的特征：个位数字能被2或5整除；
能被4、25整除的数的特征：末两位能被4或25整除；
能被& 125整除的数的特征：末三位能被8或125整除.
(2)截断求和法
能被9、99、999及其约数整除的数的特征.
(3)截断求差法
能被11、101、1001及其约数整除的数的特征.
(4)分解判定：一些复杂整数的整除性，例如63、72等，可以把它们分拆成互
质的整数，分别验证整除性.
3. 常用整除性质
(1)已知 a | b、a |c，则a | b c 以及a| b c . ( b>c)
(2)已知ab |ac，则b |c .
(3)已知 a | bc 且a,b 1，则 a | c ?
(4)已知 a | c 且 b |c，贝V a, b c .
4. 整除的一些基本方法：
(1)分解法：
①分解得到的数有整除特性；
②两两互质.
(2)数字谜法：
①被除数的末位已知；
②除数变为乘法数字谜的第一个乘数.
(3)试除法：
①除数比较大；
②被除数的首位已知
(4) 同除法：
①被除数与除数同时除以相同的数；
②简化后的除数有整除特性?
二、质数与合数
1. 质数与合数的定义
质数是只能被1和自身整除的数；合数是除了1和它本身之外，还能被其它数整除
的数.
2. 分解质因数
分解质因数是指把一个数写成质因数相乘的形式. 女口：100 225 , 28 0 235 7 ?
典型题型
一.整除
1. 基本整除问题：对各种整除的判别法要非常熟悉，尤其是9和11这种常见数字；
(1)9的考点：乱切法；
(2)11的考点：① 奇位和减偶位和；② 两位截断求和；③ 三位截断，奇段和减偶段
和.
2. 整除性质的使用；
3. 整除与位值原理；
4. 整除方法在数字谜中的应用.
二.质数合数
1. 质数合数填数字：注意2和5的特殊性;
2. 判断大数是否为质数：逐一试除法；
3. 末尾0的个数问题：层除法.
例1. ( 1)五位数3口6口5没有重复数字，如它能被75整除，那么这个五位数可能是多少?
(2)如果六位数387□匚|□能被624整除，则三个方格中的数是多少？
(3)末三位是999的自然数能被29整除，这个数最小是多少？
「分析」（1）75可以分解为3和25; （2）试除法解答这道题目；（3）试着把这道题目改为数字谜的形式进行解答.
练习1、（1）六位数10 37 没有重复数字，如它能被36整除，那么这个六位数是多少？
（2）如果六位数374□□口能被324整除，则三个方格中的数是多少？
（3）末三位是999的自然数能被23整除，这个数最小是多少？
例 2.将自然数1, 2, 3,…，依次写下去组成一个数：12345678910111213L，如果写到某个自然数N时，所组成的数恰好第一次能被36整除，那么这个自然数N是多少？
「分析」36可以分解为4和9，然后分别满足N能被4和9整除，接下来就要用到整
除特性了，尤其是9的整除特性如何运用是关键.
练习2、将自然数1，2，3，…，依次写下去组成一个数：12345678910111213L，如果写到某个自然数N时，所组成的数恰好第一次能被45整除，那么这个自然数N是多少？
例3.已知3a7 bOc是495的倍数，其中a，b，c分别代表不同的数字.请问：三位数abc 是多少？
「分析」分解495=5 X 9X 11,可知只要两个三位数分别满足是5、9、11的倍数即可, 分情况讨论即可确定两个三位数分别是多少？
练习3、已知aOOb 3c5是396的倍数，其中a、b、c分别代表不同的数字.请问:
位数abc是多少?
例4. 一个各位数字互不相同的五位数可以被9整除，去掉末两位之后形成的三位数可以被23整除，这个五位数的最小值等于多少？最大值呢？
「分析」根据“去掉末两位之后形成的三位数可以被23整除”及最大值或最小值可确
定五位数的前三位,然后根据9的整除特性确定其余数字.
练习4、一个各位数字互不相同的四位数可以被9整除,去掉末两位之后形成的两位数
可以被29 整除,这个四位数的最大值等于多少？最小值呢？
例5. 72 乘以一个三位数后,正好得到一个立方数? 这个三位数最大是多少？「分析」立方数需满足所含质因数个数均为3的倍数,分解72可以确定质因数的种类, 满足上述条件基础上试数即可得出这个三位数.
例6.在数列1、4、7、10、13、16、19、……中，如果前n个数的乘积的末尾0的个数比前n 1个数的乘积的末尾0的个数少3个，那么n最小是多少？
「分析」末尾0 的个数决定于2和5的对数,有一对2、5就可以确定一个0,而题目数列中2的个数一定多于5的个数,所以只要使数列中数字满足有三个质因数5即可.
数学王国里的一颗明珠一一梅森素数
早在公元前300多年，古希腊数学家欧几里得就开创了研究2p1的先河，他在名
著《几何原本》第九章中论述完美数时指出：如果2P 1是素数，则（2p- 1）2（P1）是完
美数（Perfect number）.
1640年6月，费马在给马林梅森的一封信中写道：“在艰深的数论研究中，我发现了三个非常重要的性质.我相信它们将成为今后解决素数问题的基础”.这封信讨论
了形如2P1的数（其中p为素数）.
梅森在欧几里得、费马等人的有关研究的基础上对2P1作了大量
的计算、验证工
作，并于1644年在他的《物理数学随感》一书中断言：对于p=2 , 3, 5, 7, 13 ,17, 19, 31, 67, 127, 257时，2p1是素数；而对于其他所有小于257的数时，2p1是
合数.前面的7个数（即2, 3, 5, 7, 13, 17和19）属于被证实的部分，是他整理前人的工作得到的；而后面的4个数（即31, 67, 127和257）属于被猜测的部分. 不过，人们对其断言仍深信不疑.
虽然梅森的断言中包含着若干错误，但他的工作极大地激发了人们研究2p1型素
数的热情，使其摆脱作为“完美数”的附庸的地位.梅森的工作是素数研究的一个转折点和里程碑.由于梅森学识渊博，才华横溢，为人热情以及最早系统而深入地研究2p1
型的数，为了纪念他，数学界就把这种数称为“梅森数”；并以Mp记之（其中M为梅
森姓名的首字母），即Mp 2p1 .如果梅森数为素数，则称之为“梅森素数”（即2p1 型素数）.
2300多年来，人类仅发现47个梅森素数.由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们誉为数海明珠”.自梅森提出其断言后，人们发现的已知最大素数几乎都是梅森素数；因此，寻找新的梅森素数的历程也就几乎等同于寻找新的最大素数的历程.
作业
1.五位数3口0口5没有重复数字，如它能被225整除，那么这个五位数是多少?
2. (1)已知六位数2口01口2是99的倍数，那么这个六位数是多少?
(2)已知六位数19 49 是72的倍数，那么这个六位数是多少?
3. 201 202 203 L 500的末尾有多少个连续的0?
4. 两个连续自然数的乘积是1190，这两个数中较小的是多少?
5. 太上老君炼仙丹，第一次炼一丹，第二次炼三丹，第三次炼五丹，第四次炼七丹，…，颗
颗炼成不老长生丹.然后装入金葫芦，每个葫芦六十丹，恰装满葫芦若干.已知丹数不足千，问共炼多少颗仙丹？
第十五讲数论综合提高一
例7.答案：(1) 30675、38625、39675; (2) 504; (3) 26999
详解：(1)据分解法可知，75能分成25与3，满足是25的倍数，末两位要是25的倍数，即后一个空填2或7,填2时，没有重复数字又是3的倍数，所以只能是38625,
填7时，满足条件是30675或39675,所以答案是30675、38625、39675.
(2)将六位数补成387999 , 387999除以624余495，所以387999减去495的差
387504 一定是624的倍数，所以答案是504.
(3)改成竖式的数字谜，29乘以某某某答案后三位是
999，填完整就是29乘以
931 等于26999.
例&答案：36
详解：要是36的倍数，只要是4和9的倍数即可.9的整除特性是乱切法就可以，所
以一位数的时候我们截成一位，两位数就截成两位，几位数就截成几位，所以有
1+2+3+…+ N是9的倍数，即N N 1
是9的倍数，即N或N 1是9的倍数，所以
2
满足条件的N是8、9、17、18、26、27、35、36,写到36时，第一次满足是4的倍数，所以N最小是36.
例9.答案：865
详解：495 5 9 11，即只要满足是5、9、11的倍数即可?对肓，不论a取哪一个
一位数都不可能是11和5的倍数，所以b0C 一定是11和5的倍数，即是605.于是307是9的倍数，所以a是8,所以a、b、c组成的
三位数是865.
例10 . 答案：13806、94365
详解：最小且数字不同，则前三位只能是138，再根据9的整除特性，所以最小是13806 ;
最大且数字不同，则前三位只能是943,再根据9的整除特性，所以最大是94365. 例11 . 答案：648
例12 . 答案：83
详解：这是一个首项为1,公差为3的等差数列，由题意知第n 1个数应为125的倍数,
即3n 1 125k，可知k取2时符合要求，此时n为83.
练习：
练习1、答案：(1) 105372; (2) 220、544 或868; (3) 20999
练习2、答案：35
练习3、答案：548或908
简答：即a00b 3c5要分别被4、9和11整除，由a00b与3c5整除特性且a、b、c代表不同数字可知^0b与3c5分别要被(4、9)与11整除，所以可求得abc是548或908.
练习4、答案：最小值是2907;最大是8793
作业
6. 答案：38025
简答：能被225整除，即能分别被9和25整除，所以可得该五位数为38025.
7. 答案：(1) 260172 ； (2) 197496
简答：(1)设该六位数为2a01b2，其为99的倍数，即2a 1 b2能被99整除，又a、b为个位数，所以易知a 6, b 7，所以该六位数为260172 ； (2)能被72整除，即能
分别被8和9整除，所以可得该六位数为197496.
8. 答案：75
简答：500!所含0的个数减去200!所含0的个数即可，答案为75.
9. 答案：34
简答：易知3421190 352,所以可估算出所求的数为34.
10. 答案：900
简答：前n次共炼制n2颗仙丹，且n2是60的倍数，所以n含有质因数2、3和5,于
是当n 235 30时，n2900为所求答案.。