2020年上海16区中考数学二模分类汇编-专题09 平行、全等与相似(解析版)

2020年上海市16区中考数学二模汇编
专题09平行、全等与相似
1.（2020闵行二模）
2.（2020松江二模）
3.（2020宝山二模）
4.（2020奉贤二模）
5.（2020金山二模）
6.（2020静安二模）
7.（2020嘉定二模）
8.（2020长宁二模）
9.（2020崇明二模）10.（2020浦东二模）11.（2020徐汇二模）12.（2020青浦二模）13.（2020虹口二模）14（2020杨浦二模）15（2020黄浦二模）16.（2020普陀二模）
一．选择题
1.（2020松江二模）如图，已知△ABC中，AC＝2，AB＝3，BC＝4，点G是△ABC的重心．将△ABC平移，使得顶点A与点G重合．那么平移后的三角形与原三角形重叠部分的周长为（）
A．2B．3C．4D．4.5
【分析】先根据平移和平行线的性质得到∠GMN＝∠B，∠GNM＝∠C，则可判断△GMN∽△ABC，根
据相似三角形的性质得到＝，接着利用三角形重心性质得AG＝2GD，然后根据三角形周长定义计算即可．
【解答】解：∵将△ABC平移得到△GEF，
∴GE∥AB，GF∥AC，
∴∠GMN＝∠B，∠GNM＝∠C，
∴△GMN∽△ABC，
∴＝，
∵点G是△ABC的重心，
∴AG＝2GD，
∴＝，
∴△GMN的周长＝×（2+3+4）＝3．
故选：B．
2.（2020宝山二模）如右图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，如果AD⊥BC，BC=3，AD=2，EF：EH=2：3，那么EH的长为（）
A.1
2 B.
3
2 C.
12
13 D.2
【答案】B
【分析】设EH=3x，则EF=2x，△AEH的边EH上的高为AM=AD-EF，再由三角形AEH与三角形ABC相似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出x的值，进而求得EH的长．
【详解】解：∵四边形EFGH是矩形，
∴EH//BC，
∴△AEH∽△ABC，
∵AM⊥EH，AD⊥BC，
∴AM EH AD BC
=
设EH=3x，则有EF=2x，AM=AD-EF=2-2x，
∴223 23
x x -
=
解得：x=1 2，
则EH=3x=3 2．
故答案为B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质和矩形的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
3.（2020奉贤二模）如果线段AM和线段AN分别是△ABC边BC上的中线和高，那么下列判断正确的是
（）
A．AM＞AN B．AM≥AN C．AM＜AN D．AM≤AN
【分析】根据三角形的高的概念得到AD⊥BC，根据垂线段最短判断．
解：∵线段AN是△ABC边BC上的高，
∴AD⊥BC，
由垂线段最短可知，AM≥AN，
故选：B．
4.（2020静安二模）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，其中点B、C分别与点D、E对应，如果B、D、C三点恰好在同一直线上，那么下列结论错误的是（）
A．∠ACB＝∠AED B．∠BAD＝∠CAE C．∠ADE＝∠ACE D．∠DAC＝∠CDE
【分析】利用旋转的性质直接对A选项进行判断；利用旋转的性质得∠BAC＝∠DAE，再利用三角形外角性质得∠BAD＝∠CAE，则可对B选项进行判断；利用旋转的性质得∠ADE＝∠B，AB＝AD，AC＝AE，然后根据等腰三角形顶角相等时底角相等得到∠B＝∠ACE，则∠ADE＝∠ACE，于是可对C选项进行判断；
先判断∠EDC＝∠BAD，而∠BAD不能确定等于∠DAC，则可对D选项进行判断．【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，
∴∠ACB＝∠AED，所以A选项的结论正确；
∠BAC＝∠DAE，
即∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE，
∴∠BAD＝∠CAE，所以B选项的结论正确；
∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，
∴∠ADE＝∠B，AB＝AD，AC＝AE，
∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠B＝∠ACE，
∴∠ADE＝∠ACE，所以C选项的结论正确；
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，
而∠ADE＝∠B，
∴∠EDC＝∠BAD，
而AD不能确定平分∠BAC，
∴∠BAD不能确定等于∠DAC，
∴∠EDC不能确定等于∠DAC，所以D选项的结论错误．
故选：D．
5.（2020徐汇二模）如果从货船A测得小岛B在货船A的北偏东30°方向500米处，那么从小岛B看货船A的位置，此时货船A在小岛B的（）
A.南偏西30°方向500米处
B.南偏西60°方向500米处
C.南偏西30°方向米处
D.南偏西60°方向
【答案】A
【分析】
分别以货船A和小岛B建立方位角，再根据方位角得出答案．
【详解】
建立如图所示方位角：
∵B在A的北偏东30°方向
∴A在B的南偏西30°方向
又∵B与A相距500米
∴A与B相距500米
故答案选：A
【点睛】本题考查方位角，掌握方位角的描述是解题关键．
6.（2020青浦二模）如图，点G是△ABC的重心，联结AG并延长交BC边于点D．设，，那么向量用向量、表示为（）
A．B．C．D．
【分析】G是△ABC的重心，推出AG＝2DG，推出AD＝3DG，利用三角形法则求出即可解决问题．解：∵G是△ABC的重心，
∴AG＝2DG，
∴AD＝3DG，
∴＝3＝3，
∵＝+＝﹣+3，DB＝BD，
∴＝2＝6﹣2，
故选：C．
7.（2020杨浦二模）若将一个长方形纸条折成如图的形状，则图中∠1与∠2的数量关系是（）
A．∠1＝2∠2B．∠1＝3∠2
C．∠1+∠2＝180°D．∠1+2∠2＝180°
【分析】由折叠可得，∠2＝∠ABC，再根据平行线的性质，即可得出∠1＝∠ABD＝2∠2．
【解答】解：如图，由折叠可得，∠2＝∠ABC，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠ABD＝2∠2，
故选：A．
8.（2020黄浦二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，0），B（2，0），C（﹣1，2），E（4，2），如果△ABC与△EFB全等，那么点F的坐标可以是（）
A．（6，0）B．（4，0）C．（4．﹣2）D．（4，﹣3）
【分析】直接利用全等三角形的性质以及坐标与图形的性质得出符合题意的答案．
解：如图所示：△ABC与△EFB全等，点F的坐标可以是：（4，﹣3）．
故选：D．
二．填空题
1.（2020宝山二模）如图，点D 是△ABC 的边AB 上一点，如果∠ACD=∠B ，并且:AD AC =，那么:AD BD =_________．
【答案】1:2【分析】
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△ACD ∽△ABC 的关系，最后根据相似三角形的性质和线段的和差即可解答．
【详解】解：在△ACD 与△ABC 中，∠ACD=∠B ，∠A=∠A ，∴△ACD ∽△ABC ，
∴
AC AD AB AC ==
∴AD=
3
AC AC ∴BD=AB-AD=
23
3
AC
∴:AD BD =
3AC ∶3
AC =1∶2故答案为1∶2．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，其中得出△ACD ∽△ABC 是解答本题的关键．
2.（2020奉贤二模）如图，一艘轮船由西向东航行，在A 处测得灯塔P 在北偏东60°的方向，继续向东航行40海里后到B 处，测得灯塔P 在北偏东30°的方向，此时轮船与灯塔之间的距离是
海里．
【分析】根据已知方向角得出∠P＝∠PAB＝30°，进而得出对应边关系即可得出答案．解：如图所示：由题意可得，∠PAB＝30°，∠DBP＝30°，故∠PBE＝60°，则∠P＝∠PAB＝30°，可得：AB＝BP＝40海里．故答案为：40．
3.（2020长宁二模）已知正三角形的边心距为1，那么它的边长为．
【分析】根据题意，画出图形作AD ⊥BC ，BE ⊥AC 于点D 和E ，点O 即为△ABC 的外心，根据特殊角30度即可求出BD 的值，进而可得三角形的边长．【解答】解：根据题意，画出图形，
∵△ABC 是正三角形，
作AD ⊥BC ，BE ⊥AC 于点D 和E ，∴点O 即为△ABC 的外心，∴OD ＝1，∠DBO ＝30°，
∴BD ＝
，
∴BC ＝2BD ＝2．
故答案为：2
．
4.（2020崇明二模）如图，在ABC ∆中，,30AB AC A =∠=︒，直线//a b ，点C 在直线b 上，直线a 交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果1145∠=︒，那么2∠的度数是_____．
【答案】40°【分析】
先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和可得∠ACB=75°，由三角形外角的性质可得∠AED 的度数，由平行线的性质可得同位角相等，可得结论．【详解】∵AB=AC ，且∠A=30°，∴∠ACB=75°，
在△ADE 中，∵∠1=∠A+∠AED=145°，∴∠AED=145°-30°=115°，∵a ∥b ，
∴∠AED=∠2+∠ACB ，∴∠2=115°-75°=40°．故答案为：40°．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，题目比较基础，熟练掌握性质是解题的关键．5.（2020浦东二模）如图，AB //CD ，如果50B ∠=︒，20D ∠=︒，那么E ∠=__________．
【答案】30°【分析】
根据平行线的性质，得出∠BCD=∠B=50°，再根据∠BCD 是△CDE 的外角，即可得出∠E ．【详解】解：∵AB ∥CD ，∴∠BCD=∠B=50°，
又∵∠BCD 是△CDE 的外角，∴∠E=∠BCD-∠D=50°-20°=30°．故答案为：30°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，掌握基本性质是解题的关键．
6.（2020浦东二模）在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，8AB =，6BC =，点D 、E 分别在边AB 、AC 上．如果D 为AB 中点，且AD DE
AB BC
=，那么AE 的长度为__________．【答案】5或1.4【分析】
根据已知比例式先求出DE 的长，再分两种情况：①E 为BC 的中点，可直接得出AE 的长；②点E 在靠近点A 的位置，过点D 作DF ⊥AC 于点F ，证明△ADF ∽△ACB ，得出AD DF
AC BC
=，从而可得出DF 的长，再分别根据勾股定理得出AF ，EF 的长，从而可得出结果．
【详解】解：∵在Rt ABC △中，根据勾股定理得，10=，
又D 是AB 的中点，∴AD=
1
2
AB=4，∵
AD DE
AB BC =，∴126
DE =，∴DE=3．分以下两种情况：
①当点E 在如图①所示的位置时，即点E 为AC 的中点时，DE=1
2
BC=3，故此时AE=
1
2
AC=5；
②点E 在如图②所示的位置时，DE=3，过点D 作DF ⊥AC 于点F ，
∵∠AFD=∠B=90°，∠A=∠A ，
∴△ADF ∽△ACB ，∴AD DF AC BC =，即4106
DF =，∴DF=2.4．∴在Rt △ADF 中，22 3.2AD DF -=，在Rt △DEF 中，22 1.8DE DF -=，
∴AE=AF-EF=1.4．综上所述，AE 的长为5或1.4．
故答案为：5或1.4．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，中位线的性质以及勾股定理等知识，掌握基本性质并运用分类讨论思想是解题的关键．
7.（2020青浦二模）如果点D、E 分别是△ABC 的AB、AC 边的中点，那么△ADE 与△ABC 的周长之比是
．
【分析】根据中位线的定理即可求出答案．
解：∵点D、E 分别是△ABC 的AB、AC 边的中点，
∴DE 是△ABC 的中位线，∴，
∴＝＝
故答案为：1：2．
8.（2020青浦二模）在△ABC 中，AB＝AC＝3，BC＝2，将△ABC 绕着点B 顺时针旋转，如果点A 落在射线BC 上的点A'处．那么AA'＝．
【分析】作AH⊥BC 于H，如图，利用等腰三角形的性质得BH＝CH＝
BC＝1，利用勾股定理可计算出AH＝
2，再根据旋转的性质得BA′＝BA＝3，则HA′＝2，然后利用勾股定理可计算出AA′的长．解：作AH⊥BC于H，如图，
∵AB＝AC＝3，BC＝2，
∴BH＝CH＝BC＝1，
∴AH＝＝2，
∵△ABC绕着点B顺时针旋转，如果点A落在射线BC上的点A'处，
∴BA′＝BA＝3，
∴HA′＝2，
在Rt△AHA′中，AA′＝＝2．
故答案为2．
9.（2020杨浦二模）如图，已知在5×5的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上，如果小正方形的边长都为1，那么点C到线段AB所在直线的距离是．
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据每个小正方形的边长为1，利用勾股定理，可以得到AC、CD、AD的长，然后即可得到△ACD的形状，再利用等积法，即可求得CE的长．
【解答】解：连接AD、AC，作CE⊥AD于点E，
∵小正方形的边长都为1，
∴AD ＝
＝2，AC ＝＝3，CD ＝＝，
∵（2）2＝（3）2+（）2，∴△ACD 是直角三角形，∠ACD ＝90°，∴
，即
，解得，CE ＝，
即点C 到线段AB 所在直线的距离是
，
故答案为：．
10.（2020黄浦二模）已知等边△ABC 的重心为G，△DEF 与△ABC 关于点G 成中心对称，将它们重叠部分的面积记作S 1，△ABC 的面积记作S 2，那么的值是
【分析】如图，根据点G 是等边△ABC 的重心，得到AD 垂直平分BC，AD 是∠BAC 的角平分线，根据中心对称的性质得到△DEF≌△ABC，AG＝DG，EF∥BC，推出△AQH 是等边三角形，得到AQ＝HQ＝AH，求得它们重叠部分为边长＝QH 的正六边形，设AB＝3a，则QH＝a，根据等边三角形的面积健康得到结论．
解：如图，∵点G 是等边△ABC 的重心，
∴AD 垂直平分BC，AD 是∠BAC 的角平分线，
∴AG＝2GN，
设AB＝3a，则AN＝×3a＝a，
∵△DEF 与△ABC 关于点G 成中心对称，
∴△DEF≌△ABC，AG＝DG，EF∥BC，
∴∠AQH＝∠ABC＝∠AHQ＝∠ACB＝60°，∴△AQH 是等边三角形，
∴AQ＝HQ＝AH＝
AB＝a，
∴AP＝a，∴它们重叠部分为边长＝QH 的正六边形，∴S 1＝6×a 2，S 2＝×（3a）2
，
∴＝＝，
故答案为：．。