高数课件-极限的存在准则

注意：上面极限中的 e 在当时只是极限值的记号，而现在
已经成为重要的数值。
以 e 为底的对数称为自然对数.记作 ln x ，即 ln x loge x . 函数 y ln x 与函数 y ex 互为反函数.
e 为无理数，其值为 e=2.718281828459045…。
在第
13
章中将有
e
n0
证 ①由 xn1 xn
2 xn
2 xn1
xn xn1
，
2 xn 2 xn1
知 xn1 xn 与 xn xn1 同号，以此类推， xn1 xn 与
x2 x1 2 2 2 0 同号， {xn} 单调增加。
22-22
续证 ② x1 2 2, x2 2 x1 2 2 2, ， 一般地， xn 2 xn1 2 2 2 ，
由第一重要极限的推广形式得 lim x0
2 1 x
2
1 cos
故 lim x0
x2
x
1 2
(lim x0
sin x 2 )2
x
1 2
12
1. 2
2
22-12
例 2.5.5
求
lim
x x0
sin
x x
sin x0
x0
.
解
lim sin x sin
x0
lim
2 sin
x x0 2
cos
x x0 2
1 n!
1
1 1!
1 2!
1 3!
1 n!
.
22-24
证明思路:
⑴先利用均值不等式证明数列{(1 1)n} 单增且有上界；然 n
后由单调有界准则知数列{(1 1)n} 收敛，即极限lim(1 1)n
n
n
n
存在，且记为 e 。
⑵再将数列的结论利用夹逼准则及及变量代换，引伸到函
数的情形中去。
22-25
时恒有
2
zn
a
,
取 N max{N1 , N2 }, 上两式同时成立,
即 a yn a , a zn a ,
当 n N时, 恒有 a yn xn zn a ,
即 xn a 成立,
lim n
xn
a.
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
准则 1（夹逼准则之函数形式） 设在自变量的同一变化过程中，f(x)，g(x)，h(x)都有定 义，且满足
解一
原式
lim
x0
(1
x cos
x
)
ln(1
x
x
)
x
10 1
21 2
sin x x2 cos 1
解二 原式 lim
x
x0 (1 cos x) x
lxim0 1
1 cos
x
(sin x
x
x
cos
1 x
)
1 2
( x 1)(3 x 1)(n x 1)
例2.4.11 求 lim x1
{xn} 有上界。 于是，由单调有界准则可得：{xn} 收敛。
③设 lim n
xn
a ，则在关系式 xn1
2 xn 中求极限
可得： a 2 a ，解得： a 2 。故
lim
n
xn
2。
22-23
第二重要极限： lim(1 x
1)x x
e.
第二重要极限的数列形式： lim(1 n
1 )n n
e.
e2
。
2
22-29
解二
lim( n 1)n lim(1 2 )n lim(1 1 )n n n 1 n n 1 n n 1
lim[(1
n
1
n1 2n
) 2 ]n1
n 1
e2 。
2
2
解三
lim( n 1)n
lim
(1
1)n n
n n 1
n (1 1 )n
(1 1)n
lim
n
n [(1 1 )n ]1
lim (1 1 )[ x]1 lim (1 1 )1 e,
x [x] 1
x [x] 1
lim (1 1 ) x e.
x
x
令 t x,
lim (1 1 )x lim (1 1)t lim (1 1 )t
x
x
t
t
t t 1
lim (1 1 )t1(1 1 ) e.
若 f (x) 0 ，可将上面的 x 全部换成 f (x) ，结论也正确.
例 2.5.6
求
lim
x0
tan 3x (1 cos (arc sin 5x)3
x)
.
解
lim
tan 3x (1 cos x)
3x 1 lim 2
x2
3
.
x0 (arc sin 5x)3
x0 (5x)3 250
22-14
使得 xn M , n 1, 2,
，，则 lim n
xn
存在且不大于 M
.
推论 2.5.2 如果单减数列{xn} 有下界，即存在常数m ，
使得 xn m , n 1, 2,
，则
lim
n
xn
存在且不小于 m
.
22-20
例 2.5.7 设 0 x1 1, xn1 sin xn , n 1, 2,3, ，证明
0.
解 当x 0时, sin 2x ~ 2x,
tan x sin x tan x(1 cos x) ~ 1 x3 ,
原式 lim
1 x3 2
1
.
2
x0 (2 x)3 16
sin x x2 cos 1
例2.4.10 求 lim
x
x0 (1 cos x)ln(1 x)
sin x x cos 1
lim
n
xn
存在，并求其极限值.
证 由题意知 xn 0 ，且 xn1 sin xn xn ，
所以{xn
}
单调下降且有下界。
lim
n
xn
存在。
设 lim n
xn
a ，在
xn 1
sin
xn
中令 n
，由于
lim
n
xn1
a
，故得
a
sin
a
，解得
a
0
，所以
lim
n
xn
0
。
22-21
例 2.5.8 设 x1 2, xn1 2 xn , n 1, 2,3, ，证明 存在，并求其值．
就称数列{xn} 为单增数列； 如果数列{xn} 满足
注意：含有等号
x1 x2 xn ,
就称数列{xn } 为单减数列.
单增数列和单减数列统称为单调数列.
22-19
准则Ⅱ（单调有界准则） 单调有界数列一定收敛.
几何解释:
x1 x2 x3xn xn1 A M
x
推论 2.5.1 如果单增数列{xn} 有上界，即存在常数M ，
并且 yn与 zn的极限是容易求的 .
夹逼定理示意图
g( x) f ( x) h( x)
A
例 2.5.1
求 l i mn n
(1 n2 1
n
1 2 2
1 n 2 n
).
解
由于
1 n2
n
1 n2 i
1 n2 1,i
1, 2,
, n ，所以
n2
1
1
1
n2
n2 n n(n2 1 n2 2
常用等价无穷小:
当x 0时,
sin x ~ x, arcsin x ~ x,
tan x ~ x, arctan x ~ x,
ln(1 x) ~ x, e x 1 ~ x, 1 cos x ~ 1 x2 .
2
1 x 1~ 1 x 2
n 1 x 1~ 1 x n
(1 x) 1 ~ x
注 1. 上述10个等价无穷小（包括反、对、幂、
t t 1
t 1
lim(1 1 ) x e
x
x
第二重要极限的推广形式： lim (1 f ( x)
1 ) f (x) f (x)
e。
其中 f (x) 可为任意函数，条件是 f (x) 。
1
第二重要极限的变形：lim(1 x) x e 。 x0
1
事实上： lim(1 x) x x0
lim(1 x0
2.5 极限的存在准则
2.5.1 夹逼准则 2.5.2 单调有界收敛准则
22-1
本节我们介绍极限存在的二个准则： ⑴ 夹逼准则；⑵ 单调有界收敛准则。
进而得到的两个重要极限：
第一重要极限：lim sin x 1 x0 x
第二重要极限：lim(1 1)x e.
x
x
22-2
2.5.1 夹逼准则
夹逼准则数列形式
准则Ⅰ 如果数列xn , yn 及zn 满足下列条件: (1) yn xn zn (n 1,2,3)
(2)
lim
n
yn
a,
lim
n
zn
a,
那末数列xn 的极限存在,
且lim n
xn
a.
证 yn a, zn a,
0, N1 0, N2 0, 使得
当n
N
时恒有
1
yn
a
,
当n
N
x0 x
x0 x cos x x0 x x0 cos x
第一重要极限的推广形式： lim sin f (x) 1. f (x) 0. f (x)0 f (x)
sin f (x) sin u
证 令u f (x) ，则 lim f (x)0
f (x)
lim u0 u
1.
lim
x0
arcsin x
1
)
1 x
1
e。
x
同理，第一重要极限的变形：
lim
x
x sin
1 x
1。
22-28
例 2.5.9
求
lim(
n
n n
1)n 1
.
解一
lim( n 1)n lim(1 2 )n lim(1 1 )n n n 1 n n 1 n n 1
2
lim[(1
n
n
1
1
)
n1 2
]2
n 1 n 1
e2
1
指、三）必须熟练掌握
2.将x换成f ( x) 0都成立
3. 不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换.
求 例2.4.8 lim tan x sin x . x0 sin3 2 x
错 解 பைடு நூலகம்x 0时, tan x ~ x, sin x ~ x.
原式 lim x x
x0 (2 x)3
( x 1)n1
解 令u x 1 则x 1 u
由(1 u) 1 ~ u得
I lim ( u0
1 u 1)(3 1 u 1)(n 1 u 1) un1
lim
u0
1u 2
1 u 3 un1
1u n
1 n!
2.5.2 单调有界收敛准则
如果数列{xn} 满足
x1 x2 xn ,
x
并限制
x
(0,
2
)
.
由结论 1.4.1
知有
tan x x sin x 0, 得 cos x sin x 1.
x
由于 lim cosx cos0 1 ，由夹逼准则， x0
lim sin x 1. x0 x
22-10
例 2.5.3 求lim tan x . x0 x
解 lim tan x lim sin x 1 lim sin x lim 1 1.
（1） g(x) f (x) h(x) ；
（2） lim g(x) lim h(x) A ， 则 lim f (x) A.
如果将准则 1 中 A 换成 (或 ) ，结论仍成立.
22-5
A
A
A
（（ 1 x0
y h( x) y f (x) y g(x)
x0
）） 2
x0
准则 Ⅰ和准则 Ⅰ'称为夹逼准则. 注意: (1).利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn与 zn ,
x
lim
x0
arcsin x sin(arcsin x)
1.
同理，
lim
x0
arc
tan x
x
1,
lim x sin 1
x
x
1.
22-11
1 cosx
例 解
2.5.4 求 lim x0
lim 1
x0
cos x2
x
x2
2
sin
.
2
x
lim
x0
2 x2
1
sin lim(
x 2
)2
,
2 x0 x
2
sin x
当 x 1时, 有 [ x] x [ x] 1,
(1 1 )[ x] (1 1 ) x (1 1 )[ x]1 ,
[x] 1
x
[x]
而 lim (1 1 )[ x]1 lim (1 1 )[ x] lim (1 1 ) e,
x [x]
x [x]
x [x]
lim (1 1 )[ x] x [x] 1
又 f (x) x2 ，所以 x2 f (x) x2 。由于
lim(x2 ) lim x2 0
x0
x0
所以由夹逼准则知
lim f (x) 0 f (0) 。
x0
22-9
第一重要极限：lim sin x 1. x0 x
证 sin x 是偶函数，故可将 x→0 等价地转化为 x→0+，
n2
) n
n2
. 1
又因为 lim n
n2 n2
n
lim
n
n2 n2 1
1. 所以由夹逼准则知
1
1
1
lim
n
n(
n2
1
n2
2
n2 n) 1.
22-8
例 2.5.2 设 f (x) 满足 f (x) x2 ，证明 lim f (x) f (0) 。
x0
证 由于 f (0) 02 0 ，所以 f (0) 0 。
x0 x x0
x0
x x0
sin x x0
lim
2
xx0 x x0
lim cos x x0
xx0
2
1 cos x0
x0 2
cos x0.
2
22-13
由以上讨论，可得一些等价无穷小:
当 x 0 时，sin x ~ x, tan x ~ x,
arcsin x ~ x, arctan x ~ x, 1 cos x ~ 1 x2. 2
n
n
e e1
e2
。
结论
lim(1
n
)n
n
e
，
为常数。
22-30
2
例 2.5.10
求
lim(1
x0
sin
5x)
x
.
解
2
lim(1 sin 5x) x
1 2sin 5x
lim[(1 sin 5x) ] sin5x x