沪教版(上海)高三年级新高考辅导与训练第七章矩阵与行列式、算法初步、复数三、复数

沪教版（上海）高三年级新高考辅导与训练第七章矩阵与行
列式、算法初步、复数三、复数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．已知复数226(310)z m m m m i =--+--.当实数m 为何值时，复数z 为 (1)实数；(2)纯虚数；(3)零.
2．设复数z 满足4
z R z
+∈，且22z -=，求z .
3．若z 为虚数，且||1z =，求证
1
1
z z -+为纯虚数. 4．已知||1z =.求21z z -+的模的最大值与最小值.
5．关于x 的方程()2
22150x ax a a R --+=∈的两个根分别是α、β，且8αβ+
=，
求a 的值，并求方程的根. 6．计算下列各题：
(1)55(1)(1)11i i i i +-+-+；(2)2019
2019
1111i i i i +-⎛⎫⎛⎫
- ⎪ ⎪-+⎝⎭
⎝⎭
；
；(4) 23201920202320192020i i i i i +++++.
7．已知复数()226
2153
m m z m m i m --=++-+，当m 为何实数时，复数z 是：
（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）对应点在实轴的上方.
8．若关于x 的方程22470x zx i -++=有实根，求复数z 的模的最小值和此时z 的值. 9．解答下列各题：
(1)已知|2|z -=， |3|4z -=，求z ； (2)已知
1
1
z z +-为纯虚数，|1|1z -=，求z . 10．下列方程至少有一个实根，求实数t 的值与相应方程的根.
（1）2
(2)(2)0x t i x ti ++++=；
（2）2
(21)(3)0x i x t i --+-=.
11．方程2
1
(4)02
x m x m --+
=的两根为α，β，且||||αβ+=，求实数m 的
值.
二、单选题
12．复数z 满足22|2||1|5z i z ---=，则它在复平面内对应点的轨迹是（ ）. A ．圆
B ．直线
C ．双曲线
D ．椭圆
13．复数3z ai =+满足条件|2|2-<z ，则实数a 的取值范围是（ ）. A ．(1,1)-
B
．(-
C ．(2,2)-
D
．(
14．若复数z 满足|34|2z i +-=，则|||z 的最小值和最大值分别是（ ）. A ．1和9
B ．4和10
C ．5和11
D ．3和7
15．使11+⎛⎫ ⎪
-⎝⎭
n
i i 为正实数的最小自然数n 是（ ）.
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
16．若复数312a i
i
++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．-6
B ．13
C ．3
2
D
17．满足条件12011z i i
i
+=-+的复数z 对应的点在（ ）.
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
三、填空题
18．如果复数z 满足关系式2z z i +=+,那么z 等于 ． 19．已知复数z 满足||1z i -=，则|1|z -的取值范围是________. 20．若z a bi =+，
2
1z
R z
∈+，则实数a ，b 应满足的条件为________. 21．在复数范围内分解因式：44x y +=________.
22．方程2(12)2(1)0ax i x a i ++--=有实根，则实数a 的取值为________. 23．复数z 满足0zz z z ++=，则z 对应点的轨迹是________.
参考答案
1．(1)2m =-或5m =；(2)3m =；(3)2m =-. 【分析】
(1)根据z 为实数，则虚部为0，即可求出m ；
(2)根据z 为纯虚数，则虚部不为0，而实部为0，即可求出m ； (3)根据z 为零，则实部与虚部同时为零，即可求出m . 【详解】
(1)z 为实数的充要条件是z 的虚部为0，即
23100m m --=，解得2m =-或5m =，
所以当2m =-或5m =时，z 为实数.
(2)z 为纯虚数的充要条件是z 的虚部不为0，而实部为0，即
22
60
3100m m m m ⎧--=⎨--≠⎩
，解得3m =， 所以当3m =时，z 为纯虚数.
(3)z 为零的充要条件是z 的实部与虚部同时为零，即
22
60
3100m m m m ⎧--=⎨--=⎩
，解得2m =-， 所以当2m =-时，0z =. 【点睛】
本题主要考查复数的概念，复数的分类，属于基础题.
2．4z =，1z =-或1=+z 【分析】
设(),z a bi a b R =+∈，利用复数的四则运算将复数4
z z
+
化为一般形式，可得其虚部为零，再由22z -=，可得出关于实数a 、b 的方程组，解出a 、b 的值，由此可得出复数z . 【详解】
设(),z a bi a b R =+∈，则0z ≠，即a 、b 不同时为零，
224444a bi z a bi a bi R z a bi a b -+
=++=++∈++，2240b b a b
∴-=+，① 由22z -=，得()2
224a b -+=.②
解由①、②所组成的联立方程组()22224024
b b a b a b ⎧
-=⎪+⎨⎪-+=⎩
，解得40a b =⎧⎨=⎩
或1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩
1
a b =⎧⎪⎨
=⎪⎩4z ∴=
，1=+z
或1z =-.
【点睛】
本题考查复数的求解，考查复数的概念以及复数的模等基础知识，根据题意列出方程组是解答的关键，考查计算能力，属于中等题. 3．证明见解析 【分析】
设(,)z a bi a b R =+∈，可得221a b +=，且0b ≠，代入1
1
z z -+化简即可得证. 【详解】
证法1：设(,)z a bi a b R =+∈，则221a b +=，且0b ≠.
所以
22
11(1)(1)
11(1)z a bi a bi a bi z a bi a b -+--++-==+++++2222
1(1)(1)2(1)22()a b a bi a bi bi a b a
+-++--==+++. 因为0b ≠，221a b +=，所以1a ≠-，所以1
1
z z -+为纯虚数. 证法2：由||1z =，得1=zz .
所以
11111111z z zz z z z z z zz z z z -----⎛⎫===-=- ⎪+++++⎝⎭
.
因为||1z =，z 为虚数，所以1z ≠±，由非零复数z 为纯虚数的充要条件证明了1
1
z z -+为纯虚数. 【点睛】
本题主要考查复数的模，复数的代数形式的乘除运算及纯虚数的概念，属于基础题. 4．最大值为3，最小值为0 【分析】
设(1,1)z a bi a b =+-≤≤，则221a b +=，代入21z z -+，可得2
221(21)z z a -+=-，根据a 的范围即可得最值. 【详解】
设(1,1)z a bi a b =+-≤≤，则221a b +=，即221b a =-，
222221()()11(2)2(2)z z a bi a bi a b a ab b i a a ab b i
-+=+-++=--++-=-+-，
∴(
)
2
2
2
2
22222212(2)(21)(21)(21)z z a a
ab b a a b a a -+=-+-=-+-=-，
因为11a -≤≤，所以3211a -≤-≤，所以2
2019z z ≤-+≤， 即21z z -+的模最大为3，最小为零. 【点睛】
本题考查复数的代数运算及模的运算，考查学生的计算能力，是基础题.
5．当4a =时，方程的根为11x =，27x =；当12a =-
时，方程的根为1x =，
2x =
. 【分析】
分0∆≥和∆<0两种情况讨论，在0∆≥时，由8αβ+=结合韦达定理可求得实数a 的
值，并可求得原方程的根；在∆<0时，由8αβ+=结合韦达定理求得实数a 的值，进
而求得原方程的根. 【详解】
对于二次方程()2
22150x ax a a R --+=∈，()()()2
44152435a a a a ∆=--=-+.
（1）当0∆≥，即5a ≤-或3a ≥时，由韦达定理得2a αβ+=，152a αβ=-.
又αβ+==
当1520a αβ=->时，即当5a ≤-或15
32
a ≤<
时，则28a αβαβ+=+==，解得4a =，
此时原方程为2870x x -+=，该方程的两根分别为11x =，27x =； 当1520a αβ=-≤时，即当15
2
a ≥
时，则
αβ+=
=
=
8==，
整理得22310a a +-=，解得1a =-±；
（2）当∆<0，即53a -<<时，由韦达定理得2a αβ+=，152a αβ=-.
28αβα+=====，解得1
2
a =-
，
此时，原方程为2160x x ++=，解得1x =
，2x =
.
综上，当4a =时，方程的根为11x =，27x =；当12a =-
时，方程的根为1x =，
2x =
. 【点睛】
本题考查实系数一元二次方程的求解，考查了韦达定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 6．(1)0；(2)2i -；(3)5
16
；(4)10101010i - 【分析】
根据复数的乘除运算法则及乘方运算，即可计算出(1)(2)的值；利用复数模的运算性质可求出(3)的值；利用分组求和及i 的运算性质可求出(4)的值. 【详解】
(1) 55662323
2
2
(1)(1)(1)(1)[(1)][(1)]11(1)(1)(1)(1)11i i i i i i i i i i i i i i +-+-+-+=+=+-+-++---
3333(2)(2)44022
i i i i -=+=-=.
(2)因为
21(1)21(1)(1)2i i i
i i i i ++===--+，21(1)21(1)(1)2
i i i i i i i ---===-++-， 所以201920192019450432019
20319
111(22221)i i i i i i i i i i ⨯+-=--==+-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-+=⎝⎭
=-⎝⎭
.
(3) ==
5454
84525
2516⨯====⨯. (4) 23201920202320192020i i i i i +++
++
(234)(5678)(2017201820192020)i i i i i i =--++--+++--+
(22)(22)(22)+i i i =-+-+-
505(22)i =⨯-
10101010i =-.
【点睛】
本题主要考查复数的乘除运算，乘方运算，复数的模的运算性质及i 的运算性质，属于中档题.
7．（1）5m =-或3；（2）5m ≠-且3m ≠±；（3）2m =-；（4）3m >或5m <-. 【分析】
（1）根据题意得出复数z 的虚部为零，进而可求得实数m 的值； （2）根据题意得出复数z 的虚部不为零，由此可解得实数m 的取值范围； （3）根据题意得出复数z 的实部为零，虚部不为零，由此可解得实数m 的值； （4）根据题意得出复数z 的虚部为正数，由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】
（1）若复数z 为实数，则22150
30m m m ⎧+-=⎨+≠⎩
，解得5m =-或3；
（2）若复数z 为虚数，则22150
30m m m ⎧+-≠⎨+≠⎩
，解得5m ≠-且3m ≠±；
（3）若复数z 为纯虚数，则226
032150m m m m m ⎧--=⎪
+⎨⎪+-≠⎩
，解得2m =-；
（4）若复数z 在复平面内对应的点位于实轴的上方，则22150
30m m m ⎧+->⎨+≠⎩，解得5m <-或
3m >.
【点睛】
本题考查利用复数的类型求参数，解题时要结合已知条件对复数的实部和虚部进行限制，考查计算能力，属于基础题. 8．49755z i ⎛⎫
=±+ ⎪⎝
⎭，||z
最小值为【分析】
设z a bi =+，根据复数运算得到2240
70x ax bx ⎧-+=⎨-=⎩
，利用均值不等式计算模的最值得到答
案. 【详解】
22470x zx i -++=，设z a bi =+，则()2
2470x a bi x i -+++=，
即()2
2470x ax bx i -++-=，x ∈R ，则2240
70
x ax bx ⎧-+=⎨-=⎩，
则
2497240a b b -+=，即7247
b a b =+，
2
22
222272449625484898749b b z a b b b b ⎛⎫=+=++=++
≥= ⎪⎝⎭， 当且仅当2
24962549
b b =，即75b =±
时等号成立，min z =
75b =时，495a =，75b =-时，495a =-，故49755z i ⎛⎫
=±+
⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题考查了复数的运算，复数的模，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
9．(1)34i ±；(2)12z =± 【分析】
(1)设(,)z a bi a b R =+∈代入已知求出复数的模，解方程组即可求出,a b ； (2)设(,)z a bi a b R =+∈代入1
1
z z +-及|1|1z -=化简，联立方程即可求出,a b . 【详解】
(1) 设(,)z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，
所以|2||(2)|z a bi -=-+=|3||(3)|4z a bi -=--= 所以2
2
(2)17a b -+=，2
2
(3)()16a b -+-= 解得3a =，4b =±，所以34z i =±. (2) 设(,)z a bi a b R =+∈，则
22222222
11(1)(1)(1)1211(1)(1)(1)(1)z a bi a bi a bi a bi a b bi
z a bi a bi a bi a b a b +++++---++--====--+-+---+-+ 222222
12(1)(1)a b b i a b a b +-=--+-+为纯虚数， 所以2210a b +-=且0b ≠，①
由|1|1z -=得|1|1a bi -+=，所以2
2
(1)1a b -+=，②
由①②解得12a =
，2
b =±，
所以122
z =
±. 【点睛】
本题主要考查复数的概念，复数代数形式的乘除运算，复数的模及共轭复数，考查运算求解能力，属于中档题.
10．（1）t =，1x =22x i =，或t =-1x =，22x i =
-；
（2）1
12t =
，112x =-，2122
x i =- 【分析】
（1）根据复数运算得到220
20x tx x t ⎧++=⎨+=⎩
，解得t =±.
（2）根据复数运算得到230210
x x t x ⎧++=⎨+=⎩，解得1
12t =，再代入原方程解得答案.
【详解】
（1）2
(2)(2)0x t i x ti ++++=，则()2
202x x t i tx +++=+，
则22020x tx x t ⎧++=⎨+=⎩
，则222042t t -+=
，解得t =±
当t =
时，(2
202x x i +++=+
即(
)
20x x i =，
解得1x =
22x i =-；
当t =-
(2
202x x i +-+=-
即(
)
20x x i =，
解得1x =
，22x i .
（2）2(21)(3)0x i x t i --+-=，则2
(2103)x x x t i +-+=+，
则2
30210x x t x ⎧++=⎨+=⎩，则12
112x t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
当112t =
时，2
(21014)x x x i ++-=+，即112022x x i ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
， 故11
2x =-
，2122
x i =-. 【点睛】
本题考查了复数范围内解方程，意在考查学生的计算能力和应用能力，漏解是容易发生的错误.
11
．4m =-7
2
m =． 【分析】
由韦达定理得出,αβαβ+，把||||αβ+=
平方后用,αβαβ+表示并代入后可求得m ．
【详解】 由题意若方程有两个实数根，则21(4)402
m m ∆=--⨯≥，解得2m ≤或8m ≥， 4m αβ+=-，12m αβ=，
又||||αβ+=
，∴()2222||||2()227αβααββαβαβαβ+=++=+-+=， 即2(4)7m m m --+=，
0m ≥时，2(4)7m -=，4m =4m =+
0m <时，2(4)27m m --=，21090m m -+=，解得1m =或9m =．全舍去．
所以4m =-
若方程是两个虚数根，4m αβ+=-，12
m αβ=，设(,)a bi a b R α=+∈，则a bi β=- αβ=2212
a b m +=，
αβ+==2274a b +=，2272()2m a b =+=．
综上4m =-72
m =
． 【点睛】 本题考查韦达定理，属于基础题，解题时要注意如果是实系数二次方程的实数解，则判别式0≥，如果是虚数根，则可设根为(,)a bi a b R +∈，代入后用实数的知识求解（或用复数相等的定义转化）．
12．B
【分析】
设(,)z x yi x y R =+∈，代入已知式化简整理后，由方程可得轨迹曲线．
【详解】
设(,)z x yi x y R =+∈，则
22
2222221(2)(1|2)||1|5z i x yi i x yi x y x z y ⎡⎤=+--+-=+--+--⎣-=⎦-， 整理得210x y --=，它是一条直线．
故选：B ．
【点睛】
本题考查复数的几何意义，设(,)z x yi x y R =+∈，代入计算得出轨迹方程，由方程得轨迹是求复平面 上点的轨迹的常用方法．
13．D
【分析】
由模长公式和已知条件可得a 的不等式，解不等式可得.
【详解】
解：∵3z ai =+满足条件|2|2-<z ，
|1|2ai ∴+<
2<，
平方可得23a <，解得a <<
故选：D.
【点睛】
本题考查复数的模长公式，涉及不等式的解法，属基础题.
14．D
【分析】 由342z i +-=可得z 在复平面内的轨迹是以()3,4-为圆心，以2为半径的圆，利用z 表示圆上的点到原点的距离,结合圆的几何性质可得结果.
【详解】
因为复数z 满足，342z i +-=，所以z 在复平面内的轨迹是以()3,4-为圆心，以2为半径的圆， z 表示圆上的点到原点的距离，
5=，所以z 的最大值是527+=,z 的最小值是523-=，
故选：D.
【点睛】
本题考查复数的模的几何意义，点的轨迹，复数的模的几何意义是复平面内两点间的距离，
所以若z x yi =+，则z a bi --表示点(),x y 与点(),a b 的距离，z a bi r --=表示以(),a b 为圆心，以r 为半径的圆，属于中档题.
15．B
【分析】 化简得11n
n i i i +⎛⎫ ⎪⎭
=-⎝，再逐个分析即可.
【详解】 因为()()()()111111n n n i i i i i i i ⎡⎤+++⎛⎫⎢⎥ ⎪--+⎝⎭⎣⎦==，又1234,1,,1i i i i i i ==-=-=，故使11+⎛⎫ ⎪-⎝⎭n i i 为正实数的最小自然数n 是4.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了n i 的周期性.属于基础题.
16．A
【解析】
解答： ∵()()()()312363212121255
a i i a i a a i i i i +-++-==+++-是纯虚数， ∴605{3205
a a +=-≠，解得a=−6. 本题选择A 选项.
17．A
【分析】
根据行列式可得(1)(1)(12)0z i i i +--+=，再根据复数的乘除运算即可出复数z ，进而可求出z 即可得到答案.
【详解】
由已知得(1)(1)(12)0z i i i +--+=，所以(1)3z i i +=+， 所以3(3)(1)4221(1)(1)2
i i i i z i i i i ++--====-++-， 所以2z i =+，所以复数z 对应的点坐标为(2,1)在第一象限.
故选：A
【点睛】
本题主要考查二阶行列式的运算，复数的乘除运算及共轭复数，属于基础题.
18．34
i + 【解析】
试题分析：设(,)z a bi a b R =+∈，则z a bi =-
，z =
2a bi i +=+
，所以得：2{1a b ==，解得：3{41
a b ==，所以34z i =+． 考点：复数的运算．
19
．1]
【分析】
利用复数的几何意义求解，
||1z i -=表示复平面内到点(0,1)距离为1的所有复数对应的点，|1|z -表示复平面内到点(1,0)的距离，结合两点间距离公式可求范围.
【详解】
因为在复平面内，||1z i -=表示到点(0,1)距离为1的所有复数对应的点，即复数z 对应的点都在以(0,1)为圆心，半径为1的圆上；
|1|z -表示复数z 对应的点到点(1,0)
11=，
11=
，所以|1|z -
的取值范围是
1].
故答案为：1].
【点睛】
本题主要考查复数的几何意义，明确几何意义是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养. 20．0b =或221a b +=
【分析】 根据复数的运算得出21+z z ()()()222222222212114a a b ab b b a i a b a b +-++--=+--，再由复数是实数的
条件得出实数a ，b 应满足的条件.
【详解】
()22222211()1212z a bi a bi a bi z a bi a abi b a b abi +++===+++++-+-+
()()2222
22212()14a
b abi a bi a b a b +--=++-- ()()()22222222222112214a a b b a b i a bi ab a b a b
+-++--+=+-- ()()()2222322222212214a a b ab b a b b a b i a b a b
+-+++--=+-- ()()()222222222212114a a b ab b b a i a b a b
+-++--=+-- 因为21z R z ∈+，故有()22
10b b a --=,所以0b =或2210b a --=，
即0b =或221a b +=是a ，b 应满足的条件.
故答案为：0b =或221a b +=.
【点睛】
本题考查复数的运算和复数的概念，属于中档题
.
21．2222x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+---++ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【分析】
利用2222
()x y x yi +=-分解因式．
【详解】
22
44222222()()22x y x y i x y i x yi x y ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥+=+-=-⋅-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦
2222x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
． 【点睛】
本题考查在复数范围内因式分解．在复数范围内每个n 次多项式都可以分解成n 个一次因式之积．
22．0或【分析】
根据方程2
(12)2(1)0ax i x a i ++--=有实根，设实根为x ，转化为()22220ax x a x a i +-++=，利用复数相等求解.
【详解】
因为方程2
(12)2(1)0ax i x a i ++--=有实根，
设实根为x ，
则()22220ax x a x a i +-++=， 所以220220ax x a x a ⎧+-=⎨+=⎩
， 化简得：()
230a a -=，
解得0a =或a =
故答案为：0或【点睛】
本题主要考查复系数方程的解法以及复数相等的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础
题.
23．圆2220x y x ++=
【分析】
设z x yi =+，代入0zz z z ++=整理化简即可.
【详解】
解：设z x yi =+，
则()()()()0x yi x yi x yi x yi +--+++=， 整理得2220x y x ++=，
即z 对应点的轨迹是圆2220x y x ++=. 故答案为：圆2220x y x ++=.
【点睛】
本题考查共轭复数的概念，复数的运算及复数的几何意义，是基础题.。