2021年广东省茂名市化州实验中学高二数学理联考试卷含解析

2021年广东省茂名市化州实验中学高二数学理联考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 下列四个数中，哪一个是数列{}中的一
项（）
A．380 B． 39 C． 35
D． 23
参考答案：
A
2. 下列命题中错误的是（）
A．如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β
B．如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面β
C．如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面β
D．如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，那么l⊥γ
参考答案：
B
【考点】平面与平面垂直的性质．
【分析】如果α⊥β，则α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，进而可推断出A命题正确；α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，故可判断出B命题错误；根据平面与平面垂直的判定定理可知C命题正确；根据两个平面垂直的性质推断出D命题正确．
【解答】解：如果α⊥β，则α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，故可推断出A命题正确．
B选项中α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，故B命题错误．
C根据平面与平面垂直的判定定理可知C命题正确．
D根据两个平面垂直的性质推断出D命题正确．故选B
【点评】本题主要考查了平面与平面垂直的性质．解题的关键是对平面与平面垂直的性质及判定定理熟练记忆．
3. “ a=1”是“直线y=ax+1与y=(a-2)x+3垂直”的（）
A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
略
4. 线段|AB|=4，|PA|+|PB|=6，M是AB的中点，当P点在同一平面内运动时，|PM|的最小值是
（）
A．2 B．C．D．5
参考答案：
C
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】利用椭圆的定义和性质，数形结合，结合M是AB的中点，可得M（0，0），从而可求|PM|的最小值．
【解答】解：∵线段|AB|=4，|PA|+|PB|=6，
∴动点P在以A、B为焦点、长轴等于6的椭圆上，a=3，c=2，
∴=
∵M是AB的中点，
∴M（0，0）
∴|PM|的最小值是
故选C．
【点评】本题考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
5. 设集合，那么集合A中满足条件
“”的元素的个数为()
A. 60
B. 100
C. 120
D. 130
参考答案：
D
分析】
根据题意，中取0的个数为2,3,4.根据这个情况分类计算再相加得到答案.
【详解】集合A中满足条件“”
中取0的个数为2,3,4.
则集合个数为：
故答案选D
【点睛】本题考查了排列组合的应用，根据中取0的个数分类是解题的关键.
6. 已知a＞0且a≠1，函数y=log a x，y=a x，y=x+a在同一坐标系中的图象可能是（）
参考答案：
D
试题分析：当a＞1时，指数函数y=a x单调递增且恒过(0,1)点，y=x+a在y轴的截距大于1，对数函数y=log a x单调递增且恒过(1,0)点；当0＜a＜1时，指数函数y=a x单调递减且恒过(0,1)点，y=x+a在y轴的截距大于0小于1，对数函数y=log a x单调递减且恒过(1,0)点；综上，选D.
7. 在两个变量y与x的回归模型中，选择了4个不同模型，其中拟合效果最好的模型是（）A．相关指数R2为0.95的模型B．相关指数R2为0.81的模型
C．相关指数R2为0.50的模型D．相关指数R2为0.32的模型
参考答案：
A
【考点】BG：变量间的相关关系．
【分析】相关指数R2越大，拟合效果越好．
【解答】解：相关指数R2越大，拟合效果越好．
∵R2=0.95在四个选项中最大，∴其拟合效果最好，
故选：A．
【点评】本题考查了拟合效果的判断，相关指数R2越大，拟合效果越好；属于基础题．
8. 一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P（ξ=12）等于（）
A．C1210（）10?（）2 B．C119（）9（）2?
C．C119（）9?（）2 D．C119（）9?（）2
参考答案：
B
【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．
【分析】根据题意，P（ξ=12）表示第12次为红球，则前11次中有9次为红球，由n次独立重复事件恰好发生k次的概率，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，P（ξ=12）表示第12次为红球，则前11次中有9次为红球，
从而P（ξ=12）=C119?（）9（）2×，
故选B．
【点评】本题考查n次独立重复事件恰好发生k次的概率，解本题须认真分析P（ξ=12）的意义．9. 函数y=cosx（sinx+cosx）的最小正周期为（）
A B C D
参考答案：
C
10. “|a|＞0”是“a＞0”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
B
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】本题主要是命题关系的理解，结合|a|＞0就是{a|a≠0}，利用充要条件的概念与结合的关系即可判断．
【解答】解：∵|a|＞0就是{a|a≠0}，
∴a＞0?|a|＞0，反之，|a|＞0不能推出a＞0
∴“|a|＞0”是“a＞0”的必要不充分条件．
故选B．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在一次抽样调查中，获得一组具有线性关系的数据（x i，y i），i=1，2，…，10，用最小二乘法得
到的线性回归方程为y=x+2，若这组数据的样本点中心为（3，4），则=
．
参考答案：
考点：线性回归方程．
专题：计算题；概率与统计．
分析：将这组数据的样本点中心为（3，4），代入线性回归方程为
y=x+2，即可得出结论．
解答：解：因为用最小二乘法得到的线性回归方程为y=x+2，这组数据的样本点中心为（3，4），
所以4=3+2，
所以=．
故答案为：．
点评：本题考查线性回归方程，考查数据的样本中心点，考查样本中心点和线性回归直线的关系，本
题是一个基础题．
12. 若圆锥的侧面展开图是弧长为cm、半径为cm的扇形，则该圆锥的体积
为.
参考答案：
13. 如果数列{a n}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，a n－a n－1，…，是首项为1，公比为3的等比数列，那么
a n等于________．
参考答案：
14. 已知有下面程序，如果程序执行后输出的结果是11880，那么在程序UNTIL后面的“条件”应
为
参考答案：
（或）
无
15. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，则的值为.
参考答案：
16. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的一个面A1B1C1D1在半径为的半球底面上，四个顶点A，B，C，
D都在半球面上，则正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为．
参考答案：
17. 在平面直角坐标系xOy中，若直线 (t为参数)过椭圆(φ为参数)的
右顶点，则常数a的值为________．
参考答案：
a＝3.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意的（e为自然对数的底数），恒成立，求a的取值范围.
参考答案：
（I）当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递
增区间为和，单调递减区间是；（II）
【分析】
（Ⅰ）求出，分两种情况讨论，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数
增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（Ⅱ）对分四种情况讨论，分别利用导数求出函数最小值的表达式，令最小值不小于零，即可筛选出符合题意的的取值范围.
【详解】（Ⅰ）的定义域为.
.
（1）当时，恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间；
（2）当时，由解得，由解得.
∴的单调递增区间为和，单调递减区间是.
（Ⅱ）①当时，恒成立，在上单调递增，
∴恒成立，符合题意.
②当时，由（Ⅰ）知，在、上单调递增，在上单调递减. （i）若，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
∴对任意的实数，恒成立，只需，且.
而当时，
且成立.
∴符合题意.
（ii）若时，在上单调递减，在上单调递增.
∴对任意的实数，恒成立，只需即可，
此时成立，
∴符合题意.
（iii）若，在上单调递增.
∴对任意的实数，恒成立，只需，
即，
∴符合题意.
综上所述，实数的取值范围是.
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.
19. .已知.
（1）当函数在上的最大值为3时，求a的值；
（2）在（1）的条件下，若对任意的，函数，的图像与直线有且
仅有两个不同的交点，试确定b的值.并求函数在上的单调递减区间.
参考答案：
（1）;（2）.
【分析】
（1）利用辅助角公式化简，再利用正弦函数的图像和性质求出在上的最大值，即可得到实数的值；
（2）把的值代入中，求出的最小正周期为，根据函数在的图像与直线有且仅有两个不同的交点，可得的值为，再由正弦函数的单调区间和整体思想求出减区间，再结合的范围求出减区间。

【详解】（1）由已知得，
时，
的最大值为，所以；
综上：函数在上的最大值为3时，
（2）当时，，故的最小正周期为，
由于函数在的图像与直线有且仅有两个不同的交点，
故的值为.
又由，可得，
，
∵，∴函数在上的单调递减区间为.
【点睛】本题主要考查正弦函数的图像与性质，考查学生整体的思想，属于中档题。

20. 对于三次函数。

定义：（1）设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；
己知，请回答下列问题：
（1）求函数的“拐点”的坐标
（2）写出一个三次函数，使得它的“拐点”是（不要写过程）
（3)判断是否存在实数，当时，使得对于任意，恒成立，若不存在说明理由，存在则求出a的所有的可能取值。

参考答案：
略
21. 如图，已知AB面ACD，DE面ACD，ACD为等边三角形，AD=DE=2AB， F为CD的中点，
（1）求证：AF // 面BCE；
（2）求二面角A-CE-D的正切值。

参考答案：（2）过F作，连，设AB=1
可证
，
Rt k ,
22. 如图所示，一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y2﹣6x﹣91=0内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线．
参考答案：
【考点】椭圆的定义．
【专题】探究型．
【分析】利用两圆的位置关系一相切这一性质得到动圆圆心与已知两圆圆心间的关系，再从关系分析满足何种关系的定义．
【解答】解：（方法一）设动圆圆心为M（x，y），半径为R，设已知圆的圆心分别为O1、O2，
将圆的方程分别配方得：（x+3）2+y2=4，（x﹣3）2+y2=100，
当动圆与圆O1相外切时，有|O1M|=R+2…①
当动圆与圆O2相内切时，有|O2M|=10﹣R…②
将①②两式相加，得|O1M|+|O2M|=12＞|O1O2|，
∴动圆圆心M（x，y）到点O1（﹣3，0）和O2（3，0）的距离和是常数12，
所以点M的轨迹是焦点为点O1（﹣3，0）、O2（3，0），长轴长等于12的椭圆．
∴2c=6，2a=12，
∴c=3，a=6
∴b2=36﹣9=27
∴圆心轨迹方程为，轨迹为椭圆．
（方法二）：由方法一可得方程，移项再两边分别平方得：2
两边再平方得：3x2+4y2﹣108=0，整理得
所以圆心轨迹方程为，轨迹为椭圆．
【点评】本题以两圆的位置关系为载体，考查椭圆的定义，考查轨迹方程，确定轨迹是椭圆是关键．。