八年级数学上册第十三章《轴对称》复习题

一、选择题
1．如图，在△ABD中，分别以点A和点D为圆心，大于1
2
AD的长为半径画弧，两弧相交
于点M、N，作直线MN分别交BD、AD于点C、E．若AE=5cm，△ABC的周长=15cm，则△ABD的周长是（）
A．35cm B．30cm C．25cm D．20cm C
解析：C
【分析】
利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题．
【详解】
解：∵MN垂直平分线段AD，
∴AC=DC，AE+ED=AD=10cm，
∵AB+BC+AC=15cm，
∴AB+BC+DC=15cm，
∴△ABD的周长=AB+BC+DC+AD=15+10=25cm，
故选：C．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质．
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为()
4,3-，点P在x轴上，且使AOP为等腰三角形，符合题意的点P的个数为（）．
A．2 B．3 C．4 D．5C
解析：C
【分析】
以O 为圆心，AO 长为半径画圆可得与x 轴有2个交点，再以A 为圆心，AO 长为半径画圆可得与x 轴有1个交点，然后再作AO 的垂直平分线可得与x 轴有1个交点．
【详解】
解：如图所示：
点P 在x 轴上，且使△AOP 为等腰三角形，符合题意的点P 的个数共4个，
故选：C ．
【点睛】
此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是考虑全面，作图不重不漏．
3．以下尺规作图中，点D 为线段BC 边上一点，一定能得到线段AD BD =的是（ ） A ． B ．
C ．
D ． D
解析：D
【分析】
点D 到点A 、点B 的距离相等可知点D 在线段AB 的垂直平分线上，据此可得答案．
【详解】
解：∵点D 到点A 、点B 的距离AD=BD ，
∴点D 在线段AB 的垂直平分线上，
故选择：D ．
【点睛】
本题主要考查作图−复杂作图，解题的关键是掌握线段中垂线的性质与尺规作图． 4．如图，在ABC ∆中，90,30C B ∠=︒∠=︒，以点A 为圆心，任意长为半径画弧分别交
,AB AC 于点M 和N ，再分别以,M N 为圆心，大于12
MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ，则下列结论不正确的是（ ）
A ．AD 是∠BAC 的平分线
B ．60AD
C ∠=︒ C ．点
D 在AB 的垂直平分线上
D ． : 1:3DAC ABD S S ∆∆= D
解析：D
【分析】 根据题意作图可知：AD 是BAC ∠的平分线，即可判断A ；先求得∠BAC=60︒，由AD 是BAC ∠的平分线，求得∠CAD=∠BAD=30B ∠=︒，即可得到60ADC ∠=︒，即可判断B ；过点D 作DE ⊥AB 于E ，根据∠BAD=30B ∠=︒，证得△ABD 是等腰三角形，得到AE=BE ，即可判断C ；由30CAD ∠=︒，可得12CD AD =
，由AD DB =，可得12DC DB =．可得::DAC ABD S
S CD DB =，由12CD DB =，可得:1:21:3DAC ABD S S =≠，即可判断
D ．
【详解】
解：根据作图方法可得AD 是BAC ∠的平分线，故A 正确；
∵90,30C B ∠=︒∠=︒，
∴60CAB ∠=︒．
∵AD 是BAC ∠的平分线，
∴30DAC DAB ∠=∠=︒．
∴60ADC ∠=︒．故B 正确；
过D 作DE ⊥AB
∵30,30B DAB ∠=︒∠=︒，
∴AD DB =．
∴AE=BE
∴点D 在AB 的垂直平分线上．故C 正确；
∵30CAD ∠=︒， ∴12
CD AD =
， ∵AD DB =， ∴12
DC DB =．
∴12DAC CD AC S
⋅=，12ABD DB AC S ⋅=， ∴::DAC ABD S
S CD DB =， ∴12
CD DB =， ∴:1:21:3DAC ABD S S =≠，故D 错误．
故选择：D ．
【点睛】
本题考查角平分线的作图方法及性质应用，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理，熟练掌握各部分知识并综合应用是解题的关键．
5．如图，已知60AOB ∠=︒， 点P 在OA 边上，8OP cm =，点M 、N 在边OB 上，PM PN =，若2MN cm =，则OM 为（ ）
A ．2cm
B ．3cm
C ．4cm
D ．1cm B
解析：B
【分析】 过P 作PC 垂直于MN ，由等腰三角形三线合一性质得到MC=CN ，求出MC 的长，在直角三角形OPC 中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出OC 的长，由OC-MC 求出OM 的长即可．
【详解】
解：过P 作PC ⊥MN ，
∵PM=PN，
∴C为MN中点，即MC=NC= 1
MN=1，
2
在Rt△OPC中，∠AOB=60°，
∴∠OPC=30°，
∴OC= 1
OP=4，
2
则OM=OC-MC=4-1=3cm，
故选：B．
【点睛】
此题考查了含30度角的直角三角形，以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．
6．剪纸是我国传统的民间艺术．将一张纸片按图①，②中的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（）
A．B．C．
D． A
解析：A
【分析】
对于此类问题，只要依据翻折变换，知道剪去了什么图形即可判断，也可动手操作，直观的得到答案．
【详解】
解：按照图中的顺序，向右对折，向上对折，从斜边处剪去一个直角三角形，从直角顶点处剪去一个等腰直角三角形，展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直角三角形，从菱形的中心剪去一个正方形，可得：
．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了剪纸问题，解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确的找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案．
7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法：①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；
③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH．其中正确的是（）
A．①②③④B．①②③C．②④D．①③B
解析：B
【分析】
根据等底等高的三角形的面积相等即可判断①；根据三角形内角和定理求出∠ABC＝
∠CAD，根据三角形的外角性质即可推出②；根据三角形内角和定理求出∠FAG＝∠ACD，根据角平分线定义即可判断③；根据等腰三角形的判定判断④即可．
【详解】
∵BE是中线，
∴AE＝CE，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积（等底等高的三角形的面积相等），故①正确；
∵CF是角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF，
∵AD为高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC＋∠ACB＝90°，∠ACB＋∠CAD＝90°，
∴∠ABC＝∠CAD，
∵∠AFG＝∠ABC＋∠BCF，∠AGF＝∠CAD＋∠ACF，
∴∠AFG＝∠AGF，故②正确；
∵AD为高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC＋∠ACB＝90°，∠ABC＋∠BAD＝90°，
∴∠ACB＝∠BAD，
∵CF 是∠ACB 的平分线，
∴∠ACB ＝2∠ACF ，
∴∠BAD ＝2∠ACF ，
即∠FAG ＝2∠ACF ，故③正确；
根据已知条件不能推出∠HBC ＝∠HCB ，即不能推出BH ＝CH ，故④错误；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，题目比较好，属于中考题型．
8．如图，长方形ABCD 沿直线EF 、EG 折叠后，点A 和点D 分别落在直线l 上的点A '和点D 处，若130∠=︒，则2∠的度数为（ ）
A ．30°
B ．60°
C ．50°
D ．55°B
解析：B
【分析】 根据折叠的性质得到∠AEF=130∠=︒，2D EG '∠=∠，根据
12180AEF D EG '∠+∠+∠+∠=︒得到2(12)180∠+∠=︒，即可求出答案．
【详解】
解：由折叠得：∠AEF=130∠=︒，2D EG '∠=∠，
∵12180AEF D EG '∠+∠+∠+∠=︒，
∴2(12)180∠+∠=︒，
∴260∠=︒
故选：B ．
【点睛】
此题考查折叠的性质，平角有关的计算，正确理解折叠性质得到∠AEF=130∠=︒，2D EG '∠=∠是解题的关键．
9．如图，在ABC 中，87,A ABC ∠=︒∠的平分线BD 交AC 于点,D E 是BC 中点，且DE BC ⊥，那么C ∠的度数为（ ）
A ．16︒
B ．28︒
C ．31︒
D ．62︒C
解析：C
【分析】 根据角平分线的定义得到ABD CBD ∠=∠，根据线段垂直平分线的性质得到DB=DC ，进而得到DBC C ∠=∠，根据三角形内角和定理列式计算即可．
【详解】
∵BD 平分ABC ∠，
∴ABD CBD ∠=∠，
∵DE BC ⊥，E 是BC 中点，
∴DB=DC ，
∴DBC C ∠=∠，
∴ABD CBD C ∠=∠=∠，
∴18087ABD CBD C ∠+∠+∠=︒-︒，
解得：31C ∠=︒，
故选：C ．
【点睛】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
10．以下说法正确的是（ ）
A ．三角形中 30°的对边等于最长边的一半
B ．若a + b = 3，ab = 2，则a - b = 1
C ．到三角形三边所在直线距离相等的点有且仅有一个
D ．等腰三角形三边垂直平分线的交点、三个内角平分线的交点、顶角的顶点三点共线D 解析：D
【分析】
对每个选项一一分析即可得到正确答案．
【详解】
解：A 、错误，正确的说法是：含30°的直角三角形中 30°的对边等于最长边的一半； B 、错误，例如a =1，b=2，满足a + b = 3 ， ab = 2，但不满足a - b = 1；
C 、错误，到三角形三边所在直线距离相等的点有4个，在三角形内部的有一个，是三个内角角平分线的交点，在三角形的外部还有三个，是三角形的外角角平分线的交点；
D 、正确，等腰三角形三边垂直平分线的交点、三个内角平分线的交点、顶角的顶点三点共线，都在等腰三角形的底边的垂直平分线上，
故选：D ．
本题考查了含30°的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的角平分线的性质，熟练掌握相关图形的性质是解决本题的关键．
二、填空题
11．如图，长方形纸片ABCD ，点E ，F 分别在边AB ，CD 上，连接EF ，将BEF ∠对折B 落在直线EF 上的点'B 处，得折痕EM ；将AEF ∠对折，点A 落在直线EF 上的点'A 得折痕EN ，若6215'BEM ∠=︒，则AEN ∠=____．
【分析】先根据折叠的性质求出∠B′EM 根据邻补
角求出∠AEA′再根据折叠的性质即可求出∠AEN 【详解】解：根据折叠可知：EM 平分∠BEB′∴∠B′EM=∠BEM =62°15′∴∠AEA′=180°-
解析：2745'︒
【分析】
先根据折叠的性质求出∠B′EM ，根据邻补角求出∠AEA′，再根据折叠的性质即可求出∠AEN ．
【详解】
解：根据折叠可知：EM 平分∠BEB′，
∴∠B′EM=∠BEM=62°15′，
∴∠AEA′=180°-2×62°15′=55°30′，
EN 平分∠AEA′，
∴∠AEN=∠A′EN=12∠AEA′=12
×55°30′=27°45′， 故答案为：27°45′．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，邻补角的定义，以及角的计算、度分秒的换算，解决本题的关键是掌握折叠的性质．
12．如图，在ABC 中，D 是BC 上一点，,105AC AD DB BAC ==∠=︒，则B ∠=________°．
25【分析】设∠ADC ＝α然后根据AC ＝AD ＝
DB ∠BAC ＝105°表示出∠B 和∠BAD 的度数最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC 的度数进而求得∠B 的度数即可【详解】解：∵AC ＝AD ＝DB ∴∠B ＝
【分析】
设∠ADC ＝α，然后根据AC ＝AD ＝DB ，∠BAC ＝105°，表示出∠B 和∠BAD 的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC 的度数，进而求得∠B 的度数即可．
【详解】
解：∵AC ＝AD ＝DB ，
∴∠B ＝∠BAD ，∠ADC ＝∠C ，
设∠ADC ＝α，
∴∠B ＝∠BAD ＝2α ， ∵∠BAC ＝105°，
∴∠DAC ＝105°﹣2
α， 在△ADC 中， ∵∠ADC +∠C +∠DAC ＝180°，
∴2α+105°﹣
2
α＝180°， 解得：α＝50°，
∴∠B ＝∠BAD ＝2
α＝25°， 故答案为：25．
【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
13．如图在钝角△ABC 中，已知∠BAC=135°，边AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于点D 、E ，连接AD 、AE ，则∠DAE=_____
90°【分析】根据等腰三角形的
性质和线段垂直平分线的性质即可得到结论【详解】解：连接DAEA 如图∵∠BAC=135°∴∠B+∠C=180°-135°=45°∵DF 是AB 的垂直平分线EG 是AC 的垂直平
解析：90°
【分析】
根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可得到结论．
【详解】
解：连接DA 、EA ，如图，
∵∠BAC=135°，
∴∠B+∠C=180°-135°=45°，
∵DF 是AB 的垂直平分线，EG 是AC 的垂直平分线，
∴DA=DB ，EA=EC ，
∴∠B=∠DAB ，∠C=∠EAC ，
∴∠DAB +∠EAC =∠B+∠C=45°，
∴∠DAE=∠BAC –(∠DAB +∠EAC)=135°-45°=90°．
故答案为：90°．
【点睛】
本题考查线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质． 14．如图30AOB ∠=︒，OC 平分AOB ∠，P 为OC 上一点，//PD OA 交OB 于点D ，PE OA ⊥于E ，6cm OD =，则PE =________．
3cm 【分析】过点P 作PF ⊥OB 于F 根据角平
分线上的点到角的两边距离相等可得PF ＝PE 根据角平分线的定义可得∠AOC ＝∠BOC 根据两直线平行内错角相等可得∠AOC ＝∠OPD 两直线平行同位角相等可得∠
解析：3cm
【分析】
过点P 作PF ⊥OB 于F ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PF ＝PE ，根据角平分线的定义可得∠AOC ＝∠BOC ，根据两直线平行，内错角相等可得∠AOC ＝∠OPD ，两直线平行，同位角相等可得∠PDF ＝∠AOB ，再求出∠BOC ＝∠OPD ，根据等角对等边可得PD ＝OD ，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得PF ＝
12
PD ，进而即可求解．
【详解】
如图，过点P 作PF ⊥OB 于F ，
∵OC 平分∠AOB ，PE ⊥OA ，
∴PE ＝PF ，
∵OC 平分∠AOB ，
∴∠AOC ＝∠BOC ，
∵PD ∥OA ，
∴∠AOC ＝∠OPD ，∠PDF ＝∠AOB ＝30°，
∴∠BOC ＝∠OPD ，
∴PD ＝OD ＝6cm ，
∴PF ＝12PD ＝12
×6＝3cm ， ∴PE ＝PF ＝3cm ．
故答案为：3cm ．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟记各性质并作辅助线是解题的关键．
15．如图，在ABC 中，AB=AC ，40A ∠=，CD //AB ，则BCD ∠的度数是______°．
110【分析】根据等腰三角形的性质求出∠B=70º再根据平行线的
性质求出的度数【详解】解：
∵AB=AC ∴∠B=∠ACB==70º∵//∴+∠B=180º∴=110º故答案为：110【点睛】本题考查了
解析：110
【分析】
根据等腰三角形的性质，求出∠B=70º，再根据平行线的性质，求出BCD ∠的度数．
【详解】
解：∵AB=AC ，40A ∠=，
∴∠B=∠ACB=180402
︒-︒=70º， ∵CD //AB ，
∴BCD ∠+∠B=180º，
∴BCD ∠=110º，
故答案为：110．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和平行线的性质，熟练运用已知条件，准确推理计算，是解决这类题的关键．
16．如图，E 是腰长为2的等腰直角ABC 斜边上一点，且BE BC P =，为CE 上任意一点，PQ BC ⊥于点Q PR BE ⊥，于点R ，则PQ PR +的值是___________．
【分析】连接BP 过点E 作EF ⊥BC 根据可得
PQ+PR=EF 结合等腰直角三角形三边长的关系即可求解【详解】连接BP 过点E 作EF ⊥BC ∵∴=BC×PQ+BE×PR=BC×(PQ+PR)=BC×EF ∴PQ 解析：2
【分析】
连接BP ，过点E 作EF ⊥BC ，根据BCE BPE BPC S S S =+，BE BC =，可得PQ+PR=EF ，结合等腰直角三角形三边长的关系，即可求解．
【详解】
连接BP ，过点E 作EF ⊥BC ，
∵BE BC =，
∴BCE BPE BPC S
S S =+ =12BC×PQ+12
BE×PR
=1
2
BC×(PQ+PR)
=1
2
BC×EF，
∴PQ+PR=EF，
∵ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∴EFB
△是等腰直角三角形，且BE=BC=2，
∴EF=BE÷2=2÷2=2，
∴PQ PR
=2，
故答案是：2．
【点睛】
本题主要考查等腰直角三角形的性质，掌握“等积法”是解题的关键．
17．已知，如图，△ABC是等边三角形，AE＝CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，下列说法：①∠APE＝∠C，②AQ＝BQ，③BP＝2PQ，④AE+BD＝AB，其正确的个数是_____．
3【分析】根据等边三角形的性质可得
AB=AC∠BAE=∠C=60°再利用边角边证明△ABE和△CAD全等然后得到∠1=∠2结合角的关系得到∠APE＝∠C；再结合30°直角三角形的性质得到BP＝2PQ
解析：3
【分析】
根据等边三角形的性质可得AB=AC，∠BAE=∠C=60°，再利用“边角边”证明△ABE和△CAD 全等．然后得到∠1=∠2，结合角的关系，得到∠APE＝∠C；再结合30°直角三角形的性质，得到BP＝2PQ；再结合边的关系，得到AC=AB；即可得到答案．
【详解】
证明：如图所示：
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=AC ，∠BAE=∠C=60°，
在△ABE 和△CAD 中，
60AB AC BAE C AE CD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
，
∴△ABE ≌△CAD （SAS ），
∴∠1=∠2，
∴∠BPQ=∠2+∠3=∠1+∠3=∠BAC=60°，
∴∠APE=∠C=60°，故①正确
∵BQ ⊥AD ，
∴∠PBQ=90°-∠BPQ=90°-60°=30°，
∴BP=2PQ ．故③正确，
∵AC=BC ．AE=DC ，
∴BD=CE ，
∴AE+BD=AE+EC=AC=AB ，故④正确，
无法判断BQ=AQ ，故②错误，
∴正确的有①③④，共3个；
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
18．如图，在等边三角形ABC 中，CM 平分ACB ∠交AB 于点M ．
（1）ACM ∠的大小=__________（度）；
（2）AMC ∠的大小=__________（度）；
（3）已知4AB =，点D 为射线CM 上一点，作∠DCE=60︒，()CE CD CD AB =≠，连接DE 交射线CB 于点F ，连接BD ，BE 当以B ，D ，M 为顶点的三角形与BEF 全等时，线段CF 的长为__________．2或6或【分析】（1）根据等边三角形的性质及角平分线的性质求解；（2）根据等边三角形的三线合一的性质解答；（3）根
据题意分两种情况：当点D在线段CM上时当点D在线段CM的延长线上时分别画出图形利用全
解析：3090︒ 2或6或
【分析】
（1）根据等边三角形的性质及角平分线的性质求解；
（2）根据等边三角形的三线合一的性质解答；
（3）根据题意分两种情况：当点D在线段CM上时，当点D在线段CM的延长线上时，分别画出图形，利用全等三角形的性质解答．
【详解】
（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60︒，
∵CM平分ACB
∠，
∠ACB=30，
∴∠ACM=1
2
故答案为：30；
∠，
（2）∵△ABC是等边三角形，CM平分ACB
∴CM⊥AB，
∴∠AMC=90︒，
故答案为：90︒；
（3）∵∠DCE=60︒，CD=CE，
∴△CDE是等边三角形，
∴DE=CE=CD，
∵∠BCM=∠ACM=30，
∴∠BCE=30，
∴CF平分∠DCE，
∵CD=CE，
∴CB垂直平分DE，
①当点D在线段CM上时，
当△BDM≌△BEF时，如图1，
∴BF=BM=2，
∴CF=CB-BF=4-2=2；
当△BDM≌△EBF时，如图1，
则EF=BM=2，
∴CD=DE=4，,
∵AB=4，CD<CM<4,
∴此种情况不成立，舍去；
②当点D在线段CM的延长线上时，
当△BDM≌△BEF时，如图2，
∴BF=BM=2，
∴CF=BC+BF=4+2=6,；
当△BDM ≌△EBF 时，如图3，
则EF=BM=2，
∴CE=2EF=4， ∴2223CF CE EF =-=，
故答案为： 2或6或23．
．
【点睛】
此题考查等边三角形的性质，利用三线合一的性质进行证明，全等三角形的性质，熟记等边三角形的性质是解题的关键．
19．如图，在ABC 中，点D 是BC 上一动点，BD ，CD 的垂直平分线分别交AB ，AC 于点E ，F ，在点D 的运动过程中，EDF ∠与A ∠的大小关系是EDF ∠______A ∠（填“＞”“＝”或“＜”）．
＝【分析】先根据线段的垂直平分线的性质得到
EB=EDFD=FC 则根据等腰三角形的性质得到∠EDB=∠B ∠FDC=∠C 然后利用平角的定义得∠EDF=180°-（∠EDB+∠FDC ）利用三角形内角和定理
解析：＝
【分析】
先根据线段的垂直平分线的性质得到EB=ED ，FD=FC ，则根据等腰三角形的性质得到∠EDB=∠B ，∠FDC=∠C ，然后利用平角的定义得∠EDF=180°-（∠EDB+∠FDC ），利用三角形内角和定理得到∠A=180°-（∠B+∠C ），所以∠EDF=∠A ．
【详解】
解：∵BD 、CD 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点E 、F ，
∴EB=ED ，FD=FC ，
∴∠EDB=∠B ，∠FDC=∠C ，
∴∠EDB+∠FDC=∠B+∠C ，
∵∠EDF=180°-（∠EDB+∠FDC ），∠A=180°-（∠B+∠C ），
∴∠EDF=∠A ．
故答案为：=．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．也考查了等腰三角形的性质．
20．右图是44⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且边长为1，点,A B 均在格点上，在网格中建立平面直角坐标系．如果点C 也在此44⨯的正方形网格的格点上，且ABC ∆是等腰三角形，请写出一个满足条件的点C 的坐标_______；满足条件的点C 一共有_______个．
（答案不唯一符合题意即可）8【分析】分别
以AB 为圆心AB 为半径作圆弧寻找在圆弧上的格点即可【详解】①如图以A 为圆心AB 为半径作圆弧符合题意的格点有5个；②如图以B 为圆心AB 为半径作圆弧符合题意的格点
解析：()2,2--（答案不唯一，符合题意即可） 8
【分析】
分别以A ，B 为圆心，AB 为半径作圆弧，寻找在圆弧上的格点即可．
【详解】
①如图，以A 为圆心，AB 为半径作圆弧，符合题意的格点有5个；
②如图，以B 为圆心，AB 为半径作圆弧，符合题意的格点有3个；
③如图，在AB 的垂直平分线上时，无符合题意的格点；
综上，符合题意的格点共有8个，
故答案为：()2,2--（答案不唯一，符合题意即可）；8．
【点睛】
本题考查在网格中作等腰三角形，根据已知边可作为底边或者腰进行分类讨论，熟练掌握尺规作图方法是解题关键．
三、解答题
21．如图，△ABC 的三个顶点在边长为1的正方形网格中，已知A （−4，5），B （﹣3，1），C （−2，3）．
（1）画出△ABC 及关于y 轴对称的△A 1B 1C 1，其中点B 1的坐标是________； （2）若点M 是x 轴上的动点，在图中画出使△B 1CM 周长最小时的点M ．
解析：（1）图形见解析；B 1（3，2）；（2）见解析
【分析】
（1）分别找到A 、B 、C 点关于y 轴的对称点，然后连接即可；
（2）找C 关于x 轴的对称点C′，连接1B C '交x 轴于一点M ，根据两点之间线段最短，可知此时的M 即为使1B CM △周长最小时的点M ．
【详解】
解：（1）111A B C △如图所示；根据图形可知B 1(3，2)，
故答案为：(3，2)；
（2）如图所示：找C 关于x 轴的对称点C′，则C′(-2，-3)，CM C M '=，
连接1B C '交x 轴于一点M ，根据两点之间线段最短，可知此时的M 即为使1B CM △周长最小时的点M ．
【点睛】
本题考查作图-轴对称、最短路径问题，解题的关键是熟练掌握基础知识．
22．如图，,A B AE BE ∠=∠=，点D 在AC 边上，12,AE ∠=∠和BD 相交于点O ． （1）求证：AEC BED ∆≅∆
（2）若70BDE ︒∠=，求1∠的度数．
解析：（1）见解析；（2）40°
【分析】
（1）由12∠=∠得到BED AEC ∠=∠，然后根据ASA 即可证明AEC BED ∆≅∆； （2）由（1）得DE=CE ，70C BDE ∠=∠=︒，由三角形内角和即可求出1∠的度数．
【详解】
解：()11=2∠∠，
BED AEC ∠=∠∴
又,A B AE BE ∠=∠=
()AEC BED ASA ∴∆≅∆；
()2AEC BED ∆≅∆
70,BDE C DE CE ∴∠=∠=︒=
70C EDC ︒∴∠=∠=
118027040︒︒︒∴∠=-⨯=；
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质进行解题．
23．如图，ABC 是边长为10的等边三角形，现有两点P 、Q 沿如图所示的方向分别从点A 、点B 同时出发，沿ABC 的边运动，已知点P 的速度为每秒1个单位长度，点Q 的运度为每秒2个单位长度，当点P 第一次到达B 点时，P 、Q 同时停止运动． （1）点P 、Q 运动几秒后，可得到等边三角形APQ ？
（2）点P 、Q 运动几秒后，P 、Q 两点重合？
（3）当点P 、Q 在BC 边上运动时，能否得到以PQ 为底边的等腰APQ ？如存在，请求出此时P 、Q 运动的时间．
解析：（1）点P 、Q 运动103
秒后，可得到等边三角形APQ ；（2）点P 、Q 运动10秒后，P 、Q 两点重合；（3）当点P 、Q 在BC 边上运动时，能得到以PQ 为底边的等腰三角形，此时P 、Q 运动的时间为
403秒． 【分析】
（1）设点P 、Q 运动t 秒后，可得到等边三角形APQ ，利用,AP AQ = 列方程，解方程可得答案；
（2）设点P 、Q 运动x 秒后，P 、Q 两点重合，由追及问题中的相等关系：Q 的运动路程等于P 的运动路程加上相距的路程，列方程，解方程即可得到答案；
（3）当点P 、Q 在BC 边上运动时，可以得到以PQ 为底边的等腰三角形．先证明：ACP △≌ABQ △，可得CP BQ =，再列方程，解方程并检验即可得到答案．
【详解】
解：（1）设点P 、Q 运动t 秒后，可得到等边三角形APQ ，
如图①，AP t =，102AQ AB BQ t =-=-，
∵三角形APQ 是等边三角形，
,AP AQ ∴=
∴102t t =-，解得103t =
， ∴点P 、Q 运动103
秒后，可得到等边三角形APQ ．
（2）设点P 、Q 运动x 秒后，P 、Q 两点重合，
102x x +=，解得：10x =．
∴点P 、Q 运动10秒后，P 、Q 两点重合．
（3）当点P 、Q 在BC 边上运动时，可以得到以PQ 为底边的等腰三角形．理由如下： 由（2）知10秒时P 、Q 两点重合，恰好在C 处，
如图②，假设APQ 是等腰三角形，
∴AP AQ =，
∴APQ AQP ∠=∠，
∴APC AQB ∠=∠，
∵ACB △是等边三角形，
∴C B ∠=∠，
在ACP △和ABQ △中，
,,
,AC AB C B APC AQB =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩
， ∴ACP △≌ABQ △， ∴CP BQ =，
设当点P 、Q 在BC 边上运动时，P 、Q 运动的时间y 秒时，APQ 是等腰三角形， 由题意得：10CP y =-，302QB y =-，
∴ 10302y y -=-， 解得：403y =， P 的最长运动时间为
2020,1s = Q 从B A C B →→→的最长时间为30=152s ， 由403
＜15， ∴ 403y =
符合题意， ∴当点P 、Q 在BC 边上运动时，能得到以PQ 为底边的等腰三角形，此时P 、Q 运动的时
间为
403
秒． 【点睛】 本题考查的是三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，动点问题，掌握以上知识是解题的关键．
24．在平面直角坐标系中，点A 在x 轴正半轴上，以OA 为边在x 轴上方作等边OAC ． （1）如图1，在AC 的右上方作线段AD ，点D 在y 轴正半轴上，10DAC ∠=︒，以AD 为边在AD 右侧作等边ADE ，则AEC ∠=______．
（2）如图2，点P 是x 轴正半轴上且在点A 右侧的一动点，PAM △为等边三角形，OM 与PC 交于点F ．
求证：AF MF PF +=．
（3）如图3，点P 是x 轴正半轴上且在点A 右侧的一动点，CPM △为等边三角形，MA 的延长线交y 轴于点N ，请直接写出线段AM 、AP 、AN 的数量关系______．
解析：（1）20°；（2）证明见解析；（3）12
AM AN AP =
+． 【分析】 （1）借助等边三角形的性质可证明△CAE ≌△OAD ，再利用直角三角形两锐角互余即可得出结论；
（2）在OM 上截取EM=PF ，证明△FAP ≌△EAM ，得出AE=AF ，∠EAM=∠FAP ，再利用角的和差可得∠EAF=∠MAP=60°，即△AEF 为等边三角形，继而得出结论；
（3）证明△CAM ≌△COP 可得AM=OP=OA+AP ，利用三角形内角和定理和对顶角相等可得
∠OAN=60°，∠ONA=30°，根据直角三角形30°角所对边是斜边的一半可得12OA AN =，继而可得12
AM AN AP =
+． 【详解】
解：（1）∵△AOC 和△DAE 是等边三角形，
∴AC=AO ，AE=AD ，∠OAC=∠EAD=60°，
∵10DAC ∠=︒， 6070CAE DAO DAC ∴∠=∠=︒+∠=︒，
在△CAE 和△OAD 中
∵AC AO CAE OAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△CAE ≌△OAD （SAS ），
∴∠AEC=∠ADO ，
∵∠ADO=90°-∠DAO=20°，
∴∠AEC=20°，
∴故答案为：20°；
（2）与（1）同理可证，△OAM ≌△CAP ，
∴∠OMA=∠CPA ，AM=AP ，
如下图，在OM 上截取EM=PF ，
在△FAP 和△EAM 中，
∵PF ME OMA CPA AP AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△FAP ≌△EAM （SAS ），
∴∠EAM=∠FAP ，EA=FA ，
∵∠EAF=∠EAM-∠FAM ，∠MAP=∠FAP-∠FAM ，
∴∠EAF=∠MAP=60°，
∴△AEF 为等边三角形，EF=AF ，
∴AF MF EF MF EM PF +=+==，即AF MF PF +=；
（3）与（1）同理可证△CAM ≌△COP ，∠MCP=60°，
∴AM=OP=OA+AP ，∠AMC=∠OPC ，
∵OP=OA+AP ，
∴AM=OA+AP ，
∵∠CEM=∠AEP ，∠AMC=∠OPC ，
∴∠PAM=∠MCP=60°，
∴∠OAN=60°，∠ONA=30°， ∴12OA AN =， ∴12
AM AN AP =+， 故答案为：12AM AN AP =
+． 【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定．（1）中理解等边三角形三边相等，三角都等于60°是解题关键；（2）能根据“截长补短”作出辅助线构造全等三角形是解题关键；（3）中根据三角形内角和定理和对顶角相等得出∠OAN=60°是解题关键． 25．在平面直角坐标系中，点(0,)A a ，点(,0)B b ，点(3,0)C -，且a 、b 满足269||0a a a b -++-=．
（1）点A 坐标为______，点B 坐标为______，ABC 是______三角形．
（2）如图，过点A 作射线l （射线l 与边BC 有交点），过点B 作BD l ⊥于点D ，过点C 作CE l ⊥于点E ，过点E 作EF DC ⊥于点F 交y 轴于点G ．
①求证：BD AE =；
②求点G 的坐标．
（3）如图，点P 是x 轴正半轴上一动点，APO ∠的角平分线交y 轴于点Q ，点M 为线段OP 上一点，过点M 作//MN PQ 交y 轴于点N ；若45AMN ∠=︒，请探究线段AP 、AN 、PM 三者之间的数量关系，并证明你的结论．
解析：（1）(0,3)A ，(3,0)B ，等腰直角；（2）①见解析；②点 (0,
3)G -；（3）AP AN PM =+，证明见解析．
【分析】
（1）根据偶次方与绝对值的非负性，解得a b 、的值，即可解得点A 、B 的坐标，继而根据等腰直角三角形的判定方法解题；
（2）①由等角的余角相等，解得BAD ACE =∠∠，结合（1）中结论，进而证明AEC BDA ≌△△(AAS)，即可解题；
②由AEC BDA ≌△△可证CAE ABD ∠=∠，继而得到GAE CBD ∠=∠，设CF 交y 轴于点H ，根据等角的余角相等，得到HGE OCH ∠=∠，继而证明
AGE BCD ≌△△(AAS)解得AG 、OG 的长即可解题；
（3）在AP 上截取AH AN =，连接MH ，设NMO α∠=，分别解得
45AMO α∠=︒+，=45NAM α∠︒-，由角平分线的性质解得2APO α∠=，45HAM α∠=︒-，进而得到NAM HAM ∠=∠，即可证明AMN AMH ≌(SAS)，继而证明PMH PHM ∠=∠，PH PM =即可解题．
【详解】
（1）269||0a a a b -++-=
2(3)||0a a b ∴-+-=
3,3a b a ∴===
(0,3)A ∴，(3,0)B ，
(3,0)C -
,AO OB CO AO ∴==
90AOB AOC ∠=∠=︒
45ACO ABO ∴∠=∠=︒
90CAB ∴∠=︒
()AOC AOB SAS ∴≅
AC AB ∴=
ABC ∴为等腰直角三角形，
故答案为：(0,3)A ，(3,0)B ，等腰直角；
（2）①BD l ⊥，CE l ⊥
90BDA AEC ∴∠=∠=︒
90,90BAD CAE CAE ACE ∠+∠=︒∠+∠=︒
BAD ACE ∴∠=∠
AC AB =
AEC BDA ∴≌(AAS)，
∴BD AE =．
②
AEC BDA ≌ CAE ABD ∴∠=∠
45CAO ABO ∠=∠=︒
GAE CBD ∴∠=∠，
设CF 交y 轴于点H
EF DC ⊥
90CFG ∴∠=︒
90FGH FHG ∴∠+∠=︒
90COH ∠=︒
90OCH CHO ∴∠+∠=︒∴
CHO FHG ∠=∠
HGE OCH ∴∠=∠
又∵AE BD =
∴AGE BCD ≌△△(AAS)
∴6AG BC ==
又∵3AO =，
∴3OG =
∴点(0,3)G -．
（3）AP AN PM =+．证明过程如下：
在AP 上截取AH AN =，连接MH ，
设NMO α∠=，
45AMN ∠=︒
45AMO α∴∠=︒+，
∴()904545NAM αα∠=︒-︒+=︒-，
又∵//MN PQ
∴QPO NMO α∠=∠=，
∵PQ 平分APO ∠
∴2APO α∠=
∴45245HAM ααα∠=︒+-=︒-
∴NAM HAM ∠=∠
又∵AN AH =，AM AM =
∴
AMN AMH ≌(SAS)
∴45AMH AMN ∠=∠=︒
∴90PMH α∠=︒-， 又∵()454590PHM αα∠=︒+︒-=︒-
∴PMH PHM ∠=∠
∴PH PM =
∴AP AH PH AN PM =+=+．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、角平分线的性质、平行线的性质、绝对值的非负性、偶次方的非负性等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
26．已知：点A 在直线DE 上，点B 、C 都在PQ 上（点B 在点C 的左侧），连接AB ，AC ，AB 平分CAD ∠，且ABC BAC ∠=∠．
（1）如图1，求证：//DE PQ ；
（2）如图2，点K 为AB 上一点，连接CK ，若2EAC ACK ∠=∠，求AKC ∠的度数； （3）在（2）的条件下，点F 在直线DE 上，连接FK ，且DAB AFK KCB ∠=∠+∠，若13
FKA AKC ∠=
∠，则ACB ∠的大小为_________．（要求：在备用图中画出图形，并直接写出答案） 解析：（1）见解析；（2）90AKC ∠=︒；（3）60ACB ∠=︒或20ACB ∠=︒
【分析】
（1）根据角平分线定义和平行线的判定方法求解；
（2）根据平行线的性质和等腰三角形的性质可以得到解答；
（3）分F 在A 左边和F 在A 右边两种情况讨论 ．
【详解】
（1）∵AB 平分CAD ∠，
∴DAB BAC ∠=∠，
∵ABC BAC ∠=∠，
∴DAB ABC ∠=∠，
∴//DE PQ ；
（2）∵//PQ DE ，
∴EAC ACB ∠=∠，
∵2EAC ACK ∠=∠， ∴1122
ACK BCK EAC ACB ∠=∠=
∠=∠， ∵∠ABC=∠BAC,
∴△CAB 是等腰三角形，
∴CK ⊥AB ，
∴∠AKC=90°；
（3）分两种情况讨论：
①如图，F 在A 左边，延长VK 交DE 于M ，设∠BCK=x°，
则由（1）得：∠FKA=1303
AKC ∠=︒，∠DAB=∠ABC=(90-x)°，
∴∠AFK=180°-30°-(90-x)°=(60+x)°,
∴由∠DAB=∠AFK+∠KCB 可得：90-x=60+x+x ，
解之得：x=10，
∴∠ACB=2x=20°，
②如图，F 在A 右边，设∠BCK=x°，
则∠AFK=∠DAB-∠AKF=90-x-30=(60-x)°，
∴由∠DAB=∠AFK+∠KCB 可得：90-x=60-x+x ，
解之得：x=30，
∴∠ACB=2x=60°，
∴∠ACB=20°或60°，
【点睛】
本题考查角平分线、平行线和三角形的综合应用，熟练掌握角平分线的定义、平行线的性质、三角形的综合性质及方程思想的解题方法是解题关键．
27．已知：如图，//AC BD ，AE ，BE 分别平分CAB ∠和ABD ∠，点E 在CD 上．用等式表示线段AB 、AC 、BD 三者之间的数量关系，并证明．
解析：AB=AC+BD，证明见详解．
【分析】
延长AE，交BD的延长线于点F，先证明AB=BF，进而证明△ACE≌△FDE，得到AC=DF，问题得证．
【详解】
解：延长AE，交BD的延长线于点F，
AC BD，
∵//
∴∠F=∠CAF，
∠，
∵AE平分CAB
∴∠CAF=∠BAF，
∴∠F=∠BAF，
∴AB=BF，
∠，
∵BE平分ABF
∴AE=EF，
∵∠F=∠CAF，∠AEC=∠FED，
∴△ACE≌△FDE，
∴AC=DF，
∴AB=BF=BD+DF=BD+AC．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判断与性质，全等三角形的判定与性质，根据题意添加辅助线构造等腰三角形和全等三角形是解题关键．
28．如图，在8×8的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，Rt△ABC的每个顶点都在格点上，利用网格点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．。