1-2行列式的性质和计算

c1 c2

row –行 column –列
1 3 1 2 1 5 3 4 0 2 1 1 5 1 3 3
r2 r1
r4 5r1
r2 r3
1 3 1 2 0 2 1 1 0 8 4 2 0 16 2 7
r3 4r2
r4 8r2
1 0 0 0
3 1 2 2 1 1 0 8 2 0 10 15
a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
3 7
DT
a11 a12 a1n
a21 an1 a22 an 2 a 2 n a nn
2 3 7 9 0
1 如：D 2
12 1 T 7 ，D 3 0
3 9
12 7
性质1.
行列式转置后，其值不变。即
30 r3 58 r3 8r2 r4
30 37 143 1 1 58 286 29
例3.
xa 计算n阶行列式 a Dn a a
a xa a a
a a xa a

a a a . xa
解：行列式各行元素之和都等于x n 2 a, 把行列式 的第二列，．．．，第n列分别加到第一列，得
例1. 计算行列式
1 3 12 (1) D1 0 0 0 3 9 10 1 3 12 (2) D2 2 6 97 3 9 0
答案：D1 D2 0
a11 a12 a1n 性质4. 如果设 D bi1 ci1 bi 2 ci 2 bin cin , an1 an 2 ann a11 a12 a1n D1 bi1 bi 2 bin , an1 an 2 ann
a1 j1 a2 j2 anjn

( 1)
(1)
i1 i 2 ...i n
( i1i 2 ...i n )
a i1 1ai2 2 ...a in n
( i1i 2 ...i n ) ( j1 j2 ... jn )
a i1 j1 a i2 j2 ...a in jn
a11 ai1
a12 ai 2 an 2

a1n ain
a11 a12 a1n ai1 ai 2 ain
a n1
ak 1 ak 2 akn an1 an 2 ann
ai1 ai 2
D. ain a a a k1 k2 kn ann a a a n1 n2 nn
n 阶行列式
n阶行列式是 n! 项的代数和;每项都是位于
不同行、不同列 n 个元素的乘积; 符号为( 1) (p1 p2 pn )
D
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n an1 an 2 ann

j1 j2 jn
1
j1 j2 jn
则有 bij a ji (i, j 1,2,, n).
D DT
证明：设 D T 中位于第i行第j列的元素为 bij 根据行列式的定义，我们有
D
T
( j1 j2 jn )

(1)
( j1 j2 jn )
b1 j1b2 j2 bnjn

( j1 j2 jn )

(1) ( j1 j2 jn ) a j11a j2 2 a jnn D
rn r1
r3 r1 r2 r1
（因为第二个行列式中的第i行和第k行对应的元 素成比例，根据性质3的推论3，它的值为零。）
计算行列式常用方法：利用性质把行列式化为上 三角形行列式，从而算得行列式的值．或者在此 过程当中适当使用其它性质以简化计算。
利用行列式的性质计算行列式的值
3 1 1 2 5 1 3 4 2 0 1 1 1 5 3 3 1 3 1 2 0 8 4 2 0 2 1 1 0 16 2 7
a1n
a11 a12 ain ai1 ai 2 akn ak 1 ai1 ak 2 ai 2 ann an1 an 2

a1n ain . akn ain ann
证明： 设原行列式为 D, 新行列式为
a11 a12 ak 1 ak 2 ai1 ai 2 an1 an 2
a1n akn (i ) ain ( k ) ann
推论：若行列式有两行(列)相同，则行列式的值为零。
证明： 交换行列式的这两行，有 D D, 所以 D 0.
3 1 3 3 计算 0 3 3 1
r1 r2
D
2 3 0
r3 3r1 r2 2r1
1 0 0 0
2
3 8 6 2
3 8 58 0
2 8 2 5
2 8 62 143 29
1 8 4
1 2 0 1 0 0 0 0
r4 4r2 r3 8r2
1 2
3
2
0 1 8 8 0 0 58 62 0 0
则 D D1 D2
a11 a12 a1n D2 ci1 ci 2 cin an1 an 2 ann
例2. 计97 2 2 203
解：根据性质4和性质3的推论1及推论2，我们有
1 3 300 2 1 3 300 1 3 2 D 4 3 300 3 4 3 300 4 3 3 2 2 200 3 2 2 200 2 2 3
x (n 2) a x (n 2) a Dn x (n 2) a x (n 2) a a xa a a a a xa a a a a xa
1 a 1 xa x (n 2)a 1 a 1 a
rn ＋r1×(-1) ……………… r3＋r1×(-1) r2＋r1 × (-1)
§1.2 行列式的性质
研究行列式性质的主要目的是: 一、简化行列式的计算. 二、为进一步在理论上研究行列式做准备。 主要内容： 1.行列式的转置，即行、列互换； 2.行列式的行、列初等变换。
定义1.6 将行列式 D 的行列互换，得到新行列式 D T 称为行列式 D 的转置行列式。即
D
a11 a 21 a n1
3 1 2 2 =0 4 0 3 1
性质3.行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数k， 等于数k乘此行列式。即
a11 a12 a1n D1 kai1 kai 2 kain k an1 an 2 ann
a11 a12 a1n ai1 ai 2 ain kD. an1 an 2 ann
证明： 根据行列式的定义，我们有
D1 k
( j1 j2 jn )

(1) ( j1 j2 jn ) a1 j1 kaiji anjn (1) ( j1 j2 jn ) a1 j1 aiji anjn kD.
( j1 j2 jn )

推论1. 行列式一行(列)所有元素的公因子可以提 取到行列式的外面。 推论2. 若行列式中有一行(列)的所有元素全为零， 则该行列式的值为零。 推论3. 若行列式中有两行(列)的对应元素成比例， 则该行列式的值为零。
课堂练习 2、 计算n阶行列式
0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 D 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 . 1 0
解：
n 1 1 1 1 1 n 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0
复 习
二阶与三阶行列式的计算 对角线法则
a11 a12 a11a22 a12a21 . a21 a22
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31, a31 a32 a33
计算n阶行列式 1 a1 1 1
1 a1 a1 ai
i 2
n
1 a2 0 0
1
1
1 0 , 0
c1＋c2× a1 a2 c1＋c3× a1 a3 ……………… a an c1＋ cn × 1
0 0 0
0 0 a3 0 0
0 an
n 1 a1 a1 ai a2a3 an i 2 n 1 a1a2 a3 an 1 . i 1 ai
a11 ai1 D1 ak 1 ai1 an1 a12 ai 2 ak 2 ai 2 an 2 a1n ain akn ain ann
根据性质4，我们有
a11 a12 a1n ai1 D1 ai 2 ain
a a xa a

a a a xa a 0 x 2a 0 a 0 0 x 2a
1 a 0 x 2a x (n 2)a 0 0 0 0
x (n 2)a x 2a .
n1
例4.
1 1 1 1 a2 1 1 1 ai 0, Dn 1 1 1 a3 1 1 , . i 1,2,n. 1 1 1 1 1 an 解：将行列式的第一行乘(-1)加到其余各行上，得 1 a1 1 1 1 1 rn ＋r1×(-1) ……………… r3＋r1×(-1) a1 a2 0 0 0 r2＋r1×(-1) Dn a1 0 a3 0 0 a1 0 0 0 an
D
n 1 c1 c2 cn n 1 n 1
1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 n 1 1 1 1 0 0 n 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 n 1 1 n 1. 0 1 0 0 0 1
注意： 该性质说明行列式的行与列的地位相同， 对行成立的性质，对列也成立．
性质2. 互换行列式的两行（列），行列式的值反号．
即交换下面行列式D的第i行和k行，
a11 a12 ai1 ai 2 D ak 1 a k 2 an1 an 2
则 D =- D1
a1n ain (i ) ; D1 akn ( k ) ann
5 r4 r3 4
1 3 1 2 0 2 1 1 0 0 8 2 25 0 0 0 2
25 1 2 8 2
200
2
3 2 2 4
2 3 3 2
4 2 4 5
课堂练习1. 计算四阶行列式
1 D 3 0
解： 用行列式性质将行列式化为上三角形行列式：
1 2 3 2 4 3 2 3 2 2 4 4 5
0 9 16 18 12 36 6 5.
性质5.把行列式的某一行(列)的所有元素都乘以 再加到另一行(列)的相应元素上，行列式的 值不变。即
a11 a12 ai1 ai 2 D ak 1 ak 2 an1 an 2