高一上期中数学试卷含答案解析

2015-2016学年湖北省黄冈市蕲春县高一（上）期中数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．已知集合M={1，2，3，4}，N={﹣2，2}，下列结论成立的是（）
A．N⊆M B．M∪N=M C．M∩N=N D．M∩N={2}
2．已知集合U=R，P={x|x2﹣4x﹣5≤0}，Q={x|x≥1}，则P∩（∁U Q）（）
A．{x|﹣1≤x＜5} B．{x|1＜x＜5} C．{x|1≤x＜5} D．{x|﹣1≤x＜1}
3．下列函数中表示同一函数的是（）
A．y=与y=（）4B．y=与y=
C．y=与y=•D．y=与y=
4．已知f（x）=，则f（3）为（）
A．3 B．4 C．1 D．2
5．函数f（x）=2x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）
A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）
6．函数g（x）=2015x+m图象不过第二象限，则m的取值范围是（）
A．m≤﹣1 B．m＜﹣1 C．m≤﹣2015 D．m＜﹣2015
7．设a=log0.50.9，b=log1.10.9，c=1.10.9，则a，b，c的大小关系为（）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b
8．（）
A．（﹣∞，2]B．（0，+∞）C．[2，+∞）D．[0，2]
9．一高为H，满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，缸中水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v=f（h）的大致图象可能是图中四个选项中的（）
A．B．C．D．
10．定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），有
，且f（2）=0，则不等式＜0的解集是（）
A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）C．（﹣2，1）∪（2，+∞）D．（﹣2，1）∪（1，2）
11．已知实数a≠0，函数，若f（1﹣a）=f（1+a），则a的值为（）
A． B．C． D．
12．设奇函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，且f（﹣1）=﹣1，若对所有的x∈[﹣1，1]及任意的a∈[﹣1，1]都满足f（x）≤t2﹣2at+1，则t的取值范围是（）
A．[﹣2，2]B．{t|t≤﹣或t或=0}
C．[﹣，] D．{t|t≤﹣2或t≥2或t=0}
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．函数y=|x﹣a|的图象关于直线x=2对称，则a=．
14．设函数f（x）满足，则f（2）=．
15．已知函数f（x）=在区间（﹣2，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围
是．
16．若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（1）若xlog32=1，试求4x+4﹣x的值；
（2）计算：（2）﹣（﹣9.6）0﹣（3）+（1.5）﹣2+（×）4．
18．已知集合M={x|x2﹣3x≤10}，N={x|a+1≤x≤2a+1}．
（1）若a=2，求M∩（∁R N）；
（2）若M∪N=M，求实数a的取值范围．
19．已知函数f（x）是定义域在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣2x．
（1）求出函数f（x）在R上的解析式；
（2）写出函数的单调区间．
20．电信局为了配合客户不同需要，设有A，B两种优惠方案．这两种方案应付话费（元）与通话时间x（min）之间的关系如图所示，其中D的坐标为（，230）．
（1）若通话时间为2小时，按方案A，B各付话费多少元？
（2）方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？
（3）通话时间在什么范围内，方案B比方案A优惠？
21．已知函数f（x）=（a，b，c∈Z）是奇函数，且f（1）=2，f（2）＜3．
（1）求a，b，c的值．
（2）判断函数f（x）在[1，+∞）上的单调性，并用定义证明你的结论．
（3）解关于t的不等式：f（﹣t2﹣1）+f（|t|+3）＞0．
22．定义在D上的函数f（x），如果满足对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界，已知函数f（x）=1+x+ax2（1）当a=﹣1时，求函数f（x）在（﹣∞，0）上的值域，判断函数f（x）在（﹣∞，0）上是否为有界函数，并说明理由；
（2）若函数f（x）在x∈[1，4]上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．
2015-2016学年湖北省黄冈市蕲春县高一（上）期中数学
试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．已知集合M={1，2，3，4}，N={﹣2，2}，下列结论成立的是（）
A．N⊆M B．M∪N=M C．M∩N=N D．M∩N={2}
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【专题】集合．
【分析】由M={1，2，3，4}，N={﹣2，2}，则可知，﹣2∈N，但是﹣2∉M，则N⊄M，M∪N={1，2，3，4，﹣2}≠M，M∩N={2}≠N，从而可判断．
【解答】解：A、由M={1，2，3，4}，N={﹣2，2}，可知﹣2∈N，但是﹣2∉M，则N⊄M，故A错误；
B、M∪N={1，2，3，4，﹣2}≠M，故B错误；
C、M∩N={2}≠N，故C错误；
D、M∩N={2}，故D正确．
故选D．
【点评】本题主要考查了集合的包含关系的判断，解题的关键是熟练掌握集合的基本运算．
2．已知集合U=R，P={x|x2﹣4x﹣5≤0}，Q={x|x≥1}，则P∩（∁U Q）（）
A．{x|﹣1≤x＜5} B．{x|1＜x＜5} C．{x|1≤x＜5} D．{x|﹣1≤x＜1}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】计算题；对应思想；定义法；集合．
【分析】先化简集合P，求出∁U Q，再计算P∩（∁U Q）的值．
【解答】解：∵集合U=R，P={x|x2﹣4x﹣5≤0}={x|﹣1≤x≤5}，
Q={x|x≥1}，∴∁U Q={x|x＜1}
∴P∩（∁U Q）={x|﹣1≤x＜1}．
故选：D．
【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．
3．下列函数中表示同一函数的是（）
A．y=与y=（）4B．y=与y=
C．y=与y=•D．y=与y=
【考点】判断两个函数是否为同一函数．
【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用．
【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．
【解答】解：对于A，函数y==x2（x∈R），与函数y==x2（x≥0）的定义域不同，所以不是同一函数；
对于B，函数y==x（x∈R），与函数y==x（x≠0）的定义域不同，所以不是同一函数；
对于C，函数y==（x≤﹣1或x≥0），与函数y=•=（x≥0）的定义域
不同，
所以不是同一函数；
对于D，函数y=（x≠0），与函数y==（x≠0）的定义域相同，对应关系也相同，
所以是同一函数．
故选：D．
【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题目．
4．已知f（x）=，则f（3）为（）
A．3 B．4 C．1 D．2
【考点】分段函数的应用．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】由分段函数的解析式，先运用第二段，再由第一段，即可得到所求值．
【解答】解：f（x）=，
可得f（3）=f（4）=f（5）=f（6）=6﹣5=1．
故选：C．
【点评】本题考查分段函数的运用：求函数值，考查运算能力，属于基础题．
5．函数f（x）=2x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）
A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）
【考点】函数零点的判定定理．
【专题】计算题．
【分析】利用函数的零点判定定理，先判断函数的单调性，然后判断端点值的符合关系．【解答】解：∵f（x）=2x+x﹣2在R上单调递增
又∵f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0
由函数的零点判定定理可知，函数的零点所在的一个区间是（0，1）
故选C
【点评】本题主要考查函数零点区间的判断，判断的主要方法是利用根的存在性定理，判断函数在给定区间端点处的符号是否相反．
6．函数g（x）=2015x+m图象不过第二象限，则m的取值范围是（）
A．m≤﹣1 B．m＜﹣1 C．m≤﹣2015 D．m＜﹣2015
【考点】指数函数的图像变换．
【专题】数形结合；转化法；函数的性质及应用．
【分析】根据指数函数的图象和性质进行求解即可．
【解答】解：函数g（x）=2015x+m为增函数，
若g（x）=2015x+m图象不过第二象限，
则满足g（0）≤0，
即g（0）=1+m≤0，
则m≤﹣1，
故选：A．
【点评】本题主要考查指数函数的图象和性质，根据条件建立不等式关系是解决本题的关键．比较基础．
7．设a=log0.50.9，b=log1.10.9，c=1.10.9，则a，b，c的大小关系为（）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b
【考点】对数值大小的比较．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．
【解答】解：∵0=log0.51＜a=log0.50.9＜log0.50.5=1，
b=log1.10.9＜log1.11=0，
c=1.10.9＞1.10=1，
∴b＜a＜c，
故选：B．
【点评】本题考查对数值大小的比较，是基础题，解题时要注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．
8．（）
A．（﹣∞，2]B．（0，+∞）C．[2，+∞）D．[0，2]
【考点】函数的值域．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据函数≥0，而且﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4≤4，从而求得函数的值域．
【解答】解：∵函数≥0，
而且﹣x2﹣2x+3=﹣（x2+2x﹣3）=﹣（x+1）2+4≤4，∴≤2，
∴0≤f（x）≤2，
故选D．
【点评】本题主要考查求函数的值域，属于基础题．
9．一高为H，满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，缸中水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v=f（h）的大致图象可能是图中四个选项中的（）
A．B．C．D．
【考点】函数的图象．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】水深h越大，水的体积v就越大，故函数v=f（h）是个增函数，一开始增长越来越快，后来增长越来越慢，图象是先凹后凸的．
【解答】解：由图得水深h越大，水的体积v就越大，故函数v=f（h）是个增函数．据四个选项提供的信息，
当h∈[O，H]，我们可将水“流出”设想成“流入”，
这样每当h增加一个单位增量△h时，
根据鱼缸形状可知，函数V的变化，开始其增量越来越大，但经过中截面后则增量越来越小，
故V关于h的函数图象是先凹后凸的，曲线上的点的切线斜率先是逐渐变大，后又逐渐变小，
故选：B．
【点评】本题考查了函数图象的变化特征，函数的单调性的实际应用，体现了数形结合的数学思想和逆向思维，属于中档题．
10．定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），有
，且f（2）=0，则不等式＜0的解集是（）
A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）C．（﹣2，1）∪（2，+∞）D．（﹣2，1）∪（1，2）
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】数形结合；转化法；函数的性质及应用．
【分析】根据条件判断函数的单调性，根据函数奇偶性和单调性之间的关系，作出函数f（x）的图象，利用数形结合将不等式进行转化即可解不等式即可．
【解答】解：∵任意的x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），有，
∴此时函数f（x）在（﹣∞，0]上为减函数，
∵f（x）是偶函数，∴函数在[0，+∞）上为增函数，
∵f（2）=0，∴f（﹣2）=﹣f（2）=0，
作出函数f（x）的图象如图：
则不等式＜0等价为＜0，即＜0，
即或，
即或，
即x＜﹣2或1＜x＜2，
故不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（1，2）．
故选：B．
【点评】本题主要考查不等式的解集，利用函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．
11．已知实数a≠0，函数，若f（1﹣a）=f（1+a），则a的值为（）
A． B．C． D．
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．
【专题】计算题；分类讨论．
【分析】由a≠0，f（1﹣a）=f（1+a），要求f（1﹣a），与f（1+a），需要判断1﹣a与1+a 与1的大小，从而需要讨论a与0的大小，代入可求
【解答】解：∵a≠0，f（1﹣a）=f（1+a）
当a＞0时，1﹣a＜1＜1+a，则f（1﹣a）=2（1﹣a）+a=2﹣a，f（1+a）=﹣（1+a）﹣2a=﹣1﹣3a
∴2﹣a=﹣1﹣3a，即a=﹣（舍）
当a＜0时，1+a＜1＜1﹣a，则f（1﹣a）=﹣（1﹣a）﹣2a=﹣1﹣a，f（1+a）=2（1+a）+a=2+3a ∴﹣1﹣a=2+3a即
综上可得a=﹣
故选A
【点评】本题主要考查了分段函数的函数值的求解，解题的关键是把1﹣a与1+a与1的比较，从而确定f（1﹣a）与f（1+a），体现了分类讨论思想的应用．
12．设奇函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，且f（﹣1）=﹣1，若对所有的x∈[﹣1，1]及任意的a∈[﹣1，1]都满足f（x）≤t2﹣2at+1，则t的取值范围是（）
A．[﹣2，2]B．{t|t≤﹣或t或=0}
C．[﹣，] D．{t|t≤﹣2或t≥2或t=0}
【考点】函数恒成立问题．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】先由函数为奇函数求出f（1）=﹣f（﹣1）=1，然后由x∈[﹣1，1]时f（x）是增函数，f（x）≤f（1）=1得f（x）≤t2﹣2at+1即为1≤t2﹣2at+l，即2at≤t2恒成立，分类讨论求解即可．
【解答】解：奇函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，且f（﹣1）=﹣1，
则f（1）=1，
又∵x∈[﹣1，1]时f（x）是增函数，
∴f（x）≤f（1）=1，
故有1≤t2﹣2at+l，
即2at≤t2，
①t=0时，显然成立，
②t＞0时，2a≤t要恒成立，则t≥2，
③t＜0时，t≤2a要恒成立，则t≤﹣2，
故t≤﹣2或t=0或t≥2，．
故选：D．
【点评】本题解题的关键是综合利用函数的性质化简f（x）≤t2﹣2at+1，然后转化为恒成立问题求解，分类讨论求解．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．函数y=|x﹣a|的图象关于直线x=2对称，则a=2．
【考点】函数的图象．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】结合题意根据函数y=|x﹣a|的图象关于直线x=a对称，可得a的值．
【解答】解：由于函数y=|x﹣a|的图象关于直线x=a 对称，
再根据它的图象关于直线x=2对称，可得a=2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查函数的图象的对称性，属于基础题．
14．设函数f（x）满足，则f（2）=．
【考点】函数的值．
【专题】计算题．
【分析】通过表达式求出f（），然后求出函数的解析式，即可求解f（2）的值．
【解答】解：因为，
所以．
，
∴．
∴=．
故答案为：．
【点评】本题考查函数的解析式的求法，函数值的求法，考查计算能力，灵活赋值的能力及观察判断的能力．
15．已知函数f（x）=在区间（﹣2，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围是{a|a ＞}．
【考点】函数单调性的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】把函数f（x）解析式进行常数分离，变成一个常数和另一个函数g（x）的和的形式，由函数g（x）在（﹣2，+∞）为增函数得出1﹣2a＜0，从而得到实数a的取值范围．
【解答】解：∵函数f（x）==a+，结合复合函数的增减性，
再根据f（x）在（﹣2，+∞）为增函数，可得g（x）=在（﹣2，+∞）为增函数，∴1﹣2a＜0，解得a＞，
故答案为：{a|a＞}．
【点评】本题考查利用函数的单调性求参数的范围，属于基础题．
16．若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实
数a的取值范围是（﹣∞，2）．
【考点】特称命题．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则f（x）不是单调函数，结合二次函数和一次函数的图象和性质，分类讨论不同情况下函数的单调性，综合讨论结果可得答案．
【解答】解：由题意得，即在定义域内，f（x）不是单调的．
分情况讨论：
（1）若x≤1时，f（x）=﹣x2+ax不是单调的，
即对称轴在x=满足＜1，
解得：a＜2
（2）x≤1时，f（x）是单调的，
此时a≥2，f（x）为单调递增．
最大值为f（1）=a﹣1
故当x＞1时，f（x）=ax﹣1为单调递增，最小值为f（1）=a﹣1，
因此f（x）在R上单调增，不符条件．
综合得：a＜2
故实数a的取值范围是（﹣∞，2）
故答案为：（﹣∞，2）
【点评】本题考查的知识点是函数的性质及应用，其中根据已知分析出函数f（x）不是单调函数，是解答的关键．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（1）若xlog32=1，试求4x+4﹣x的值；
（2）计算：（2）﹣（﹣9.6）0﹣（3）+（1.5）﹣2+（×）4．
【考点】有理数指数幂的化简求值；根式与分数指数幂的互化及其化简运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（1）由已知得x=log23，由此利用对数换底公式能求出4x+4﹣x．
（2）利用有理数指数幂性质、运算法则求解．
【解答】解：（1）∵xlog32=1，∴x=log23，
∴4x+4﹣x=+=+=9+=．…
（2）（2）﹣（﹣9.6）0﹣（3）+（1.5）﹣2+（×）4
=++4×3
=．…
【点评】本题考查对数式、指数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数换底公式、有理数指数幂性质、运算法则的合理运用．
18．已知集合M={x|x2﹣3x≤10}，N={x|a+1≤x≤2a+1}．
（1）若a=2，求M∩（∁R N）；
（2）若M∪N=M，求实数a的取值范围．
【考点】并集及其运算；交、并、补集的混合运算．
【专题】集合．
【分析】（Ⅰ）a=2时，M={x|﹣2≤x≤5}，N={3≤x≤5}，由此能求出M∩（C R N）．
（Ⅱ）由M∪N=M，得N⊂M，由此能求出实数a的取值范围．
【解答】（本小题满分8分）
解：（Ⅰ）a=2时，M={x|﹣2≤x≤5}，N={3≤x≤5}，
C R N={x|x＜3或x＞5}，
所以M∩（C R N）={x|﹣2≤x＜3}．
（Ⅱ）∵M∪N=M，∴N⊂M，
①a+1＞2a+1，解得a＜0；
②，解得0≤a≤2．
所以a≤2．
【点评】本题考查交集、实集的应用，考查实数的取值范围的求法，是基础题．
19．已知函数f（x）是定义域在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣2x．
（1）求出函数f（x）在R上的解析式；
（2）写出函数的单调区间．
【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的性质．
【专题】数形结合；函数思想；转化法；函数的性质及应用．
【分析】（1）根据函数f（x）为定义域为R的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣2x，我们根据定义域为R的奇函数的图象必过原点，则f（﹣x）=﹣f（x），即可求出函数f（x）在R 上的解析式；
（2）根据（1）中分段函数的解析式，我们易画出函数f（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．
【解答】解：（1）∵函数f（x）是定义域在R上的奇函数，
∴当x=0时，f（0）=0；
当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）=x2+2x．
∵f（x）是奇函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x）
∴f（﹣x）=x2+2x=﹣f（x），
即f（x）=﹣x2﹣2x．
综上：f（x）=．
（2）函数f（x）=的图象如下图所示：
则函数的单调递增区间为为[1，+∞），（﹣∞，﹣1]，
函数的单调递减区间为为[﹣1，1]．
【点评】本题主要考查函数解析式的求解，以及函数单调区间的判断，其中根据函数奇偶性的性质，求出函数的解析式是解答本题的关键．
20．电信局为了配合客户不同需要，设有A，B两种优惠方案．这两种方案应付话费（元）与通话时间x（min）之间的关系如图所示，其中D的坐标为（，230）．
（1）若通话时间为2小时，按方案A，B各付话费多少元？
（2）方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？
（3）通话时间在什么范围内，方案B比方案A优惠？
【考点】分段函数的应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（1）设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系为f A（x）和f B（x），由图知M（60，98），N，C，MN∥C，分别求出f A（x）和f B（x），由此能求出通话时间为2小时，按方案A，B各付话费多少元．
（2）求出f B（n+1）﹣f B（n），n＞500，由此能求出方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元．
（3）由图知，当0≤x≤60时，f A（x）f B（x）．由此能求出通话时间在什么范围内，方案B 比方案A优惠．
【解答】解：（1）设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系为f A（x）和f B（x），由图知M（60，98），N，C，MN∥C，
则，
．
∴通话2小时，方案A应付话费：元，
方案B应付话费：168元．
（2）∵﹣（）=0.3，n＞500，
∴方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3元．
（3）由图知，当0≤x≤60时，f A（x）＜f B（x），
当60＜x≤500时，由f A（x）＞f B（x），得，
解得x＞，∴，
当x＞500时，f A（x）＞f B（x）．
综上，通话时间在（，+∞）内，方案B比方案A优惠．
【点评】本题考查函数知识在生产生活中的实际应用，是中档题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用．
21．已知函数f（x）=（a，b，c∈Z）是奇函数，且f（1）=2，f（2）＜3．
（1）求a，b，c的值．
（2）判断函数f（x）在[1，+∞）上的单调性，并用定义证明你的结论．
（3）解关于t的不等式：f（﹣t2﹣1）+f（|t|+3）＞0．
【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明．
【专题】综合题；转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．
【分析】（1）由f（x）为奇函数，可得f（﹣x）+f（x）=0，解得c=0，又f（1）==2，化为2b=a+1．f（2）=＜3，即可得出．
（2）f（x）=，函数f（x）在[1，+∞）上为增函数．利用证明单调函数的方法即可证
明．
（3）利用函数的奇偶性与单调性即可解出．
【解答】解：（1）∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x）+f（x）=+=0，
得﹣bx+c=﹣bx﹣c，解得c=0，
又f（1）==2，化为2b=a+1．
∵f（2）=＜3，∴，化为＜0，⇔（a+1）（a﹣2）＜0，解得﹣1＜a＜2，∵a∈Z，∴a=0或1．
当a=0时，解得b=，与b∈Z矛盾，舍去．
当a=1时，b=1，
综上：a=b=1，c=0．
（2）f（x）=，
函数f（x）在[1，+∞）上为增函数．
任取x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2．
则f（x1）﹣f（x2）=﹣=，
∵x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2．
∴x1﹣x2＜0，x1x2＞1，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
∴函数f（x）在[1，+∞）上为增函数．
（3）∵f（﹣t2﹣1）+f（|t|+3）＞0，
∴f（|t|+3）＞﹣f（﹣t2﹣1）=f（t2+1）．
∵函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，
∴t2+1＜|t|+3，
化为（|t|﹣2）（|t|+1）＜0，
解得0≤|t|＜2，
解得﹣2＜t＜2．
【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22．定义在D上的函数f（x），如果满足对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界，已知函数f（x）=1+x+ax2
（1）当a=﹣1时，求函数f（x）在（﹣∞，0）上的值域，判断函数f（x）在（﹣∞，0）上是否为有界函数，并说明理由；
（2）若函数f（x）在x∈[1，4]上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．
【考点】函数的最值及其几何意义；函数单调性的性质．
【专题】计算题；综合题．
【分析】（1）当a=﹣1时，函数表达式为f（x）=1+x﹣x2，可得f（x）在（﹣∞，0）上是单调增函数，它的值域为（﹣∞，1），从而|f（x）|的取值范围是[0，+∞），因此不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立，故f（x）不是（﹣∞，0）上的有界函数．
（2）函数f（x）在x∈[1，4]上是以3为上界的有界函数，即﹣3≤f（x）≤3在[1，4]上恒成立，代入函数表达式并化简整理，得﹣﹣≤a≤﹣在[1，4]上恒成立，接下来利用换
元法结合二次函数在闭区间上最值的求法，得到（﹣﹣）max=﹣，（﹣）min=﹣，所以，实数a的取值范围是[﹣，﹣]．
【解答】解：（1）当a=﹣1时，函数f（x）=1+x﹣x2=﹣（x﹣）2+
∴f（x）在（﹣∞，0）上是单调增函数，f（x）＜f（0）=1
∴f（x）在（﹣∞，0）上的值域为（﹣∞，1）
因此|f（x）|的取值范围是[0，+∞）
∴不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立，故f（x）不是（﹣∞，0）上的有界函数．
（2）若函数f（x）在x∈[1，4]上是以3为上界的有界函数，
则|f（x）|≤3在[1，4]上恒成立，即﹣3≤f（x）≤3
∴﹣3≤ax2+x+1≤3
∴≤a≤，即﹣﹣≤a≤﹣在[1，4]上恒成立，
∴（﹣﹣）max≤a≤（﹣）min，
令t=，则t∈[，1]
设g（t）=﹣4t2﹣t=﹣4（t+）2+，则当t=时，g（t）的最大值为﹣
再设h（t）=2t2﹣t=2（t﹣）2﹣，则当t=时，h（t）的最小值为﹣
∴（﹣﹣）max=﹣，（﹣）min=﹣
所以，实数a的取值范围是[﹣，﹣]．
【点评】本题以一个特定的二次函数在闭区间上有界的问题为例，考查了函数单调性的性质和二次函数在闭区间上值域等知识点，属于中档题．请同学们注意解题过程中变量分离和换元法求值域的思想，并学会运用．
2016年2月21日。