研究生数值分析考试

工科研究生《数值分析》复习练习
一．填空（共4分，每空44分）
（1）设i x i =（n i ,,2,1,0⋯=）插值结点，)(x l i 是相应的n 次Lagrange 插值基函数，则
()n
i i l x ==∑（
）,=∑=n
i i i x l x 0
)(（
）.
（2）用简单迭代法求方程3()10f x x x =−−=的正实根，迭代格式（
）至少是二阶收敛的。

(3)求解非线性方程01=−x xe 的牛顿迭代公式是（
）
（4）在所有首项系数为1的n 次多项式中，首项系数为1的n 次（
）多项式在[-1，1]上与零的平方逼近误差最小。

（5）设211314122A −⎛⎞
⎜⎟=⎜⎟
⎜⎟−⎝⎠
，则1||||A =（），||||A ∞=（
）.
（6）32()272f x x x =−+，则[1,2,3,4]f =（），[1,1,1]f =（）（7）n 次Chebyshev 多项式在[-1，1]上的零点为（）
（8）插值型求积公式0
()()n
b
k k a
k A f x f x dx =≈∑∫至少具有（
）次代数精度，求积系数之和0
n
k k A ==∑（
）,而Gauss 求积公式至少具有（
）次代数精度。

（9）初值问题'24,
(0)2,
y y x y =−−=，则显式Euler 格式，隐式Euler 格式和梯
形格式分别为（），
（
），（
）。

(10)已知数据对),,2,1)(,(n k y x k k ⋯=，用直线c bx ax y ++=2拟合这n 个
点，则参数c b a ,,满足的法方程组是（
）
（11）第一种幂法迭代格式为（
）
二（10分）求一个次数不高于4次的代数多项式()p x ，使它满足(0)'(0)0,(1)'(1)1,(2)1p p p p p =====，并写出其余项表达式。

（利用Newton 插值公式，制作带重节点的差商表）
三（10分）证明：区间[a,b]上带权()x ρ的正交多项式()n g x 的零点都是实数，相异的，且全部落在开区间(,)a b
内部。

四（10分）确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精确度：
012()()(0)()
h
h
f x dx A f h A f A f h −≈−++
∫
五（14分）设有方程组
1323123321
21221
x x x x x x x −=+=−++=试考察解此方程的Jacobi 迭代法及G-S 迭代法的收敛性，写出迭代格式，判断哪种迭代收敛较快。

六（12分）对于GAUSS 积分公式
()()()n
b
k k a
k x f x dx A f x ρ=≈∑∫
，
证明：（1）当0(0,1,,)k A k n >=⋯时，求积公式是稳定的。

（2）GAUSS
积分公式是稳定的。