传输线理论讲义

传输线理论讲义
传输线理论
传输线(transmission line)：是以TEM导模的方式传送电磁波能量或
信号的导行系统
常用的传输线为双导体结构，包括平行双导线、同轴线、带状线和工作于准TEM导模的微带线等。

对传输线上电压和电流分布的分析需要采用传输线理论。

广义的传输线包括各种传输TE,TM模或混合模的波导，其中电磁场沿传播方向的分布规律与传输线上电压和电流的情况相似，可用等效传输线的观点进行分析。

电路理论和传输线理论之间的关键差别是电尺寸。

电路分析假设一个网络的实际尺寸远小于工作电磁波波长，而在微波段工作的传输线的尺寸通常为工作微波波长的几分之一或几个波长，传输线是一个分布参数网络，在整个长度内电压和电流的幅值和相位都可能发生变化。

传输线分布参数：
由电磁场理论可知：
传输线的两导体存在有耗电阻，传输线两导体单位长度的电阻用R表
1示。

传输线的两导体之间之间媒质的介电常数通常有虚部，两导体之间存在漏电导，传输线单位长度的漏电导用
G表示。

1
传输线本身存在自感，传输线单位长度的电感用
L表示。

1
传输线的两导体之间存在电容，传输线单位长度的电容用
C表示。

1
一些常见传输线的分布参数
同轴线、双导线和平行板传输线的分布参数
注：媒质的复介电常数εεε''-'=i ，s
s R σδσωμ1
22
1=
=为导体的表面电
阻。

取一小段线元z ?（λ<
其等效电路为：
实际的传输线为个等效网络的级联。

由基尔霍夫电压定理可得：)1(
),(),(),()
,
(1
1a t
t z i z
L t z zi R t z z v t z v +?=?+-
由基尔霍夫电流定理可得：
)1()
,(),(),(),(11b t
t z z v z
C t z z zv G t z z i t z i ??+??+?+?=?+-
在（1a ）,(1b)两边除以z ?，并取0→?z 的极限，可得以下微分方程。

)2()
,(),(),(1
1a t t z i L t z i R z t z v ??+=??-
)2(),(),(),(1
1b t t z v C t z v G z t z i ??+=??-
时谐均匀传输线：
]
)(Re[),(])(Re[),(t
i t i e z I t z i e z V t z v ωω== （3）
把（3）式代入（2）式可得：
)()()()
(111z I Z z I L i R dz z dV -=+-=ω （4a ）
)()()()
(111z V Y z V C i G dz
z dI -=+-=ω （4b ）电压、电流的通解：
把(4a)对z 微商一次，把(4b)代入可得：
0)()
(112
2=-z V Y Z dz z V d （5） z
R ?1z
L ?1z
G ?1z
C ?1
令：))((11
1111C i G L i R Y Z ωωγ++==
（5）式可化简为：0)()
(22
2=-z V dz
z V d γ (5)式的通解为:z z e A e A z V γγ21)(+=- （6a ）把（6a ）代入（4a ）可得：
)(1
)()(1)(210
11z z e A e A Z dz z dV L i R z I γγω+=+-
=- (6b)
其中：1
11
10C i G L i R Z ωω++=
电压电流的定解：
(6a),(6b)中的常数21,A A 可由传输线的端接条件确定。

（1）终端条件解：
已知终端的电压L V 和电流L I ，代入(6a),(6b)可得：
-=+=+=+==---l L L l
L L l l l l L e Z I V A e
Z I V A e A e A Z l I e A e A V l V γγγγγγ22)(1)()(020121021 把上式代入(6a),(6b)可得：
)
(0)(02
2)(z l L L z l L L e Z I V e Z I V z V ----++=
γγ
)
(0
0)(0022)(z l L L z l L L e Z Z I V e Z Z I V z I -----+=
γγ 令z l d -=，上式可化为：
d
L L d L L e Z I V e Z I V d V γγ--++=
2
2)(00 d
L L d L L e Z Z I V e Z Z I V d I γγ---+=
00022)( （7）已知双曲正弦、余弦函数为：
2x x e e shx --=
2
x
x e e chx -+=
(7)式可化为：
d sh Z I d ch V d V L L γγ0)(+= (8a)
d ch I d sh Z V d I L L
γγ+=
)( (8b) （2）始端条件解：
已知始端的电压0V 和电流0I ，解为：
z
z e Z I V e Z I V z V γγ22)(000000-++=
- z
z e Z Z I V e Z Z I V z I γγ0
000000022)(--+=
- （3）信号源和负载条件解：
已知信号源电动势G E ，内阻抗G Z 和负载阻抗L Z ，解为: )(1)(200d
G L l G G e e e
e Z Z Z E d V γγγγ---Γ+ΓΓ-+=
)(1)(20d
L d l
G L l G G e e e
e Z Z E d I γγγγ---Γ-ΓΓ-+= 其中: 00Z Z Z Z L L L +-= Γ,0
Z Z Z Z G G G +-=Γ 传输线的特性参数：传输线参数1 11
10C i G L i R Z ωω++=
，))((111111C i G L i R Y Z ωωγ++==直接与传
输线的分布参数有关，称为传输线的特性参数. 特征阻抗1 11
10C i G L i R Z ωω++=
：通常是个复数，与工作频率有关。

对于无
耗线和微波低耗线，则为纯电阻 a. 无耗线：
此时011==G R ，则1
1
0C L Z = (9) b. 微波低耗线：
此时有1111,C G L R ωω<<<<，则
2
/1112
/111111111011-?
+
+=++=C i G L i R C L C i G L i R Z ωωωω-???? ?
111111211211C i G L i R C L ωω 1
1
111111211C L C i G L i R C L ≈?????????? ??-+≈
ωω 其中用到： )1(...!
)
1)...(1(...!
2)
1(1)1(2<++--+
+-+
+=+x x n n x x x n ααααααα
平行双导线的特性阻抗：
a
D
a a D D a a D D Z ln 1202)2(ln 1202)2(ln 1
2222000≈-+=-+=
εμπ
同轴线的特性阻抗：
a
b a b Z r r ln 60ln 121
000εεμεπ='
=
a
b Z ln 2100εμπ
'=
传播常数))((111111C i G L i R Y Z ωωγ++==：描述导行波沿导行系统传播过程中的衰减和相位变化的参数，通常为复数βαωωγi C i G L i R Y Z +=++==))((111111
一般为频率的复杂函数，对于无耗线和微波低耗线，表示式比较简单 a.无耗线：
此时011==G R ，则11C L i ωγ= 所以：11,0C L ωβα== b.微波低耗线：
此时有1111,C G L R ωω<<<<，则
2
/1112
/111112111111)())((?
+?
+=++=C i G L i R C L i C i G L i R ωωωωωγ
111
11111111111)(21
211211C L i C L G L C R C i G L i R C L i ωωωω++=
+???? ??+≈
所以有：d c C L
G L C R ααα+=+=1
11111
212
1
11C L ωβ=
其中：0
1111
22
1
Z R
L C R c ==α表示由单位长度分布电阻决定的导体衰减常
数；2
2
10
1111
Z G C L G d =
=α表示由单位长度漏电导决定的介质衰减常数。

对于传输线传输的TEM 导波，相速度为：
v k C L v p =====
με
ωβω1
111 ∞=
=
=c c c c k k λλπ202 波导波长
f v v p p
g
=
=
=βωβπλλ2 传输线的特性阻抗：
11
01111011
L v C v Z C L v C L Z p p p ==
=
= 分布参数阻抗：
传输线上任意一点d 的阻抗)(d Z in 定义为该点的电压和电流之比由(8a),(8b)可得：
d th Z Z d
th Z Z Z Z I V d ch I d sh Z V d sh Z I d ch V d I d V d Z L L L L L
L L L L in γγγγγγ++
=++==
000
00)
()()( 其中d
d d
d e
e e e d ch d sh d th γγγγγγγ--+-== 对于无耗线：d itg i e e e e d th d
d d
d ββ
γγγγγγ=??
=+-=--
所以d
tg iZ Z d
tg iZ Z Z d Z L L in ββ++=000
)( (10)
传输线阻抗)(d Z in 的说明：
1. 传输线的阻抗随而变，且与负载L Z 有关，可看成由位置d 处向负载看去的输入阻抗（input impedance ）,是一种分布参数阻抗(distributed impedance)。

2. 传输线具有阻抗变换作用，负载L Z 通过线段d 变换成)(d Z in 。

3. 无耗线的阻抗呈现周期性变化，具有4λ变换性和2λ重复性。

即当
2λn d =时，L in Z Z =；若42λλ+=n d ，则L
in Z Z Z 2
=。

反射参量：
传输线阻抗难以直接测量，可以引入能直接测量的反射参量和驻波参量来间接求出。

（1）反射系数Γ：传输线上某点的反射系数(reflection coefficient)定
义为该点的反射波电压（或电流）与该点的入射波电压（或电流）之比，即：
)()
()(d V d V d V +
-≡Γ )
()
()(d V d V d I +
-≡Γ )(d V +和)(d I +分别表示d 处的入射波电压和电流，由（7）式知分别为
d
L L e Z I V γ2
0+和d L L e Z Z I V γ002+，)(d V -和)(d I -分别表示d 处的反射波电压和
电流，分别为
d
L L e Z I V γ--2
0和d L L e Z Z I V γ---002。

所以有)()(d d I V Γ-=Γ。

通常采用便于测量的电压反射系数，用)(d Γ表示，所以
d i d L d
L L d L L L L e e e Z Z Z Z e Z I V Z I V d βαγγ2220
0200)(----Γ=+-=+-=
Γ (11)
其中L L i L i L L L L L e e Z Z Z Z Z Z Z Z φφΓ=+-=+-=
Γ0
000
通常0Z 为实数且大于零，L L L iX R Z +=，0≥L R ，可以证明：
10
≤+-=
ΓZ Z Z Z L L L
所以反射系数：)2(2)(d i d L L
e e d βφα--Γ=Γ
对于无耗线，0=α，反射系数)2()(d i L L
e d βφ-Γ=Γ，其大小保持不变，相
位随着d 的增加以d β2-的角度沿等圆周向信号源端变化。

（2）阻抗)(d Z in 与反射系数)(d Γ的关系由（7）式可知：)()(22)(00d V d V e Z I V e Z I V d V d
L L d L L -+-+=-++=
γγ )]()([1
22)(0
0000d V d V Z e Z Z I V e Z Z I V d I d L L d L L -+--=--+=
γγ 所以：)](1)[()(d d V d V Γ+=+ (12a)
)](1[)
()(0
d Z d V d I Γ-=+ (12b)
由此可得：)
(1)
(1)()()(0d d Z d I d V d Z in Γ-Γ+==
(13) 当传输线的特性阻抗一定时，传输线上任一点d 处的阻抗)(d Z in 与该点的反射系数)(d Γ一一对应，)(d Z in 可以通过测量)(d Γ而得到。

归一化阻抗：)
(1)
(1)()(0d d Z d Z d z in in Γ-Γ+==
(14)
（3）传输系数T
两不同特性阻抗传输线在接头处波的反射和传输传输系数入射电压或电流
传输电压或电流
≡
T
如图特性阻抗为1Z 的传输线，用特性阻抗为0Z 的传输线馈电。

如果负载线1Z 无限长，或用其本身的特性阻抗短接，则传输线1Z 不存在反射。

其中Γ为馈点或接头处的反射系数为：0
10
1Z Z Z Z +-=
Γ 0>z 传输线的电压，由于不存在反射，可表示为z i Te V z V β-+=0)( 0z 传输线的电压在0=z 处相等
Γ+=?=Γ+=-+=-+1)(0
000T Te V e e V z z
i z z i z i βββ
011
010121Z Z Z T Z Z Z Z T +=
+-=ΓΓ+= (15) 插入损耗(insertion loss):电路中两点之间的传输系数用dB 表示
)(lg 20dB T IL -=
驻波参数：
（1）电压驻波比（voltage standing wave ratio ）VSWR
由(12)式可知，传输线上各点的电压和电流一般由反射波和入射波叠
加，在传输线上形成驻波。

我们把电压振幅具有最大值的点为电压驻波的波腹点，振幅具有最小值的点为驻波的波谷点，振幅等于零的点为驻波的波节点。

电压驻波比（voltage standing wave ratio ）VSWR ：传输线上相邻的波腹点和波谷点的电压振幅之比
min
max )(V
V VSWR ≡
ρ或
其倒数为行波系数(travelling wave coefficient):
max
min 1
V
V VSWR K =
=
对于无耗线：
]1)[()()()](1)[()()2()
2(d i L d i L L L e d V d V e d d d V d V βφβφ-+
-+Γ+=??
Γ=ΓΓ+= 所以：
21
2
)]2cos(21[)()(d d V d V L L L βφ-Γ+Γ+=+
)1()()(2
max L d V d V Γ+=+ )1()()(2
min L d V d V Γ-=+
2
2min
11max )(L
L V
V VSWR Γ-Γ+=
≡
ρ或
当0=ΓL ，1)(=ρ或VSWR ；1=ΓL ，∞=)(ρ或VSWR 传输线上的电流：]1)[()()2(d i L L
e d I d I βφ-+Γ-=
所以有：
21
2
)]2cos(21[)()(d d I d I L L L βφ-Γ-Γ+=+
)1()()(2
max L d I d I Γ+=+
)1()()(2
min L d I d I Γ-=+
所以 min
min max
max 0)()()()(d I d V d I d V Z =
=
（2）阻抗与驻波参量的关系由（10）式可得： d
tg d iZ Z d
tg iZ d Z Z Z in in L ββ)()(000
--=
通常选取驻波最小点为，其距负载的距离用min d 表示，此时有。

]1)[()(min min L d V d V Γ-=+
]1)[()(min min L d I d I Γ+=+
所以VSWR
Z d I d V d I d V d Z L L in 0min min min min min ]1)[(]
1)[()()()(=
Γ+Γ-==++
min
min
0min min 0min 0min 0
1)()(d itg VSWR d iVSWRtg Z Z d tg d iZ Z d tg iZ d Z Z Z L in in L ββββ--=?--=
当传输线的特性阻抗一定时，传输线终端的负载阻抗与驻波参量一一对应，L Z 可以通过测量VSWR 和min d 来确定。

无耗线工作状态：
d i d L
e e d βα22)(--Γ=Γ
其中： L L
i L i L L L L L e e Z Z Z Z Z Z Z Z φφΓ=+-=+-=
Γ0
000 对于无耗传输线，d i L e d β2)(-Γ=Γ，L L
i L i L L L L L e e Z Z Z Z Z Z Z Z φφΓ=+-=+-=
Γ0
000 对于特性参数为0Z 的传输线，终端接不同的负载阻抗L Z ，则终端反
]
1)[()](1)[()(2d i L e d V d d V d V β-++Γ+=Γ+=。