直线的参数方程及应用

直线的参数方程及应用
直线的参数方程及应用
直线参数方程的标准式
过点P(x,y)，倾斜角为α的直线l的参数方程是
x = x + tcosα
y = y + tsinα
其中t为参数，表示有向线段PP的数量，P(x,y)为直线上的任意一点。

直线l上的点与对应的参数t是一一对应关系。

若P1、P2是直线上两点，所对应的参数分别为t1、t2，则P1P2 = t2 - t1，|P1P2| = |t2 - t1|。

若P1、P2、P3是直线上的点，所对应的参数分别为t1、t2、t3，则P1P2中点P3的参数为t3 = (t1 + t2)/2，|PP3| = |(t1 + t2)/2|。

若P为P1P2的中点，则t1 + t2 = 0，t1·t2 < 0.
直线参数方程的一般式
过点P(xb,y)，斜率为k = a的直线的参数方程是
x = x + at
y = y + bt
其中t为参数，表示有向线段PP的数量，P(xb,y)为直线上的任意一点。

直线的参数方程
给定点P(xl,y)，倾斜角为α，求经过该点的直线l的参数方程。

直线l的参数方程为
x = x + tcosα
y = y + tsinα
其中t为参数，表示有向线段PP的数量，P(xl,y)为直线上的任意一点。

特别地，若直线l的倾斜角α = 90°，直线l的参数方程为
x = x + t
y = y
其中t为参数，表示有向线段PP的数量，P(xl,y)为直线上的任意一点。

2、直线的参数方程与标准形式
如果直线的方向已知，那么可以使用参数方程来表示直线。

对于倾斜角为 $\alpha$，过点 $M(x,y)$ 的直线 $l$，其参数方
程一般式为：
begin{cases}
x=x_M+t\cos\alpha \\
y=y_M+t\sin\alpha
end{cases}
其中 $t$ 是参数，表示从点 $M$ 沿着直线 $l$ 方向前进的距离。

如果要将参数方程转化为标准形式，可以通过以下步骤：
1.消去参数 $t$，得到 $y-
y_M=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}(x-x_M)$。

2.将 $\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ 代入上式，得到 $y-y_M=\tan\alpha(x-x_M)$。

3.将常数项移项，得到 $y=\tan\alpha(x-x_M)+y_M$。

这就是直线的标准参数方程。

需要注意的是，在参数方程中，$t$ 的几何意义是从点
$M$ 沿着直线 $l$ 方向前进的距离。

而在标准参数方程中，参数 $t$ 被替换成了 $x-x_M$，表示点 $P(x,y)$ 沿着直线 $l$ 方
向到达 $M$ 点的距离。

因此，标准参数方程中的参数 $x-
x_M$ 的几何意义是点 $P$ 到直线 $l$ 的距离。

3、例题解析
例1：将直线 $l_1$ 的普通方程 $x+3y-1=0$ 化为参数方程，并说明参数的几何意义。

解：将 $x$ 表示为 $t$ 的函数，得到 $x=-3t+1$。

将
$x$ 的表达式代入直线方程，得到$-3t+1+3y-1=0$，即$y=t$。

因此，直线 $l_1$ 的参数方程为：
begin{cases}
x=-3t+1 \\
y=t
end{cases}
其中，$t$ 表示从直线上的某个点出发，沿着直线方向前
进的距离。

因此，参数 $t$ 的几何意义是沿着直线方向前进的
距离。

例2：将直线 $l_2$ 的参数方程 $\begin{cases} x=-3+t^2 \\
y=1+3t \end{cases}$ 化为普通方程，并求倾斜角。

解：将 $t$ 表示为 $x$ 的函数，得到 $t=\sqrt{x+3}$。

将$t$ 的表达式代入参数方程，得到 $y=1+3\sqrt{x+3}$。

因此，直线 $l_2$ 的普通方程为 $y-1=3\sqrt{x+3}$。

直线 $l_2$ 的倾斜角可以通过斜率来求解。

将 $y$ 的表达式对 $x$ 求导，得到：
frac{dy}{dx}=\frac{3}{2\sqrt{x+3}}
因此，直线 $l_2$ 的斜率为
$\dfrac{dy}{dx}\bigg|_{x=0}=\dfrac{3}{2\sqrt{3}}$。

直线
$l_2$ 的倾斜角为 $\arctan\dfrac{3}{2\sqrt{3}}$。

例3：判断直线 $l$ 的参数方程 $\begin{cases} x=1+t \\
y=3+3t \end{cases}$ 是否可以化为标准形式，并说明参数
$t$ 的几何意义。

解：将 $t$ 表示为 $y-3$ 的函数，得到 $t=\dfrac{y-3}{3}$。

将 $t$ 的表达式代入参数方程，得到 $x=1+\dfrac{y-3}{3}$，
即 $x=\dfrac{y}{3}-\dfrac{2}{3}$。

因此，直线 $l$ 的斜率为$\dfrac{1}{3}$，倾斜角为 $\arctan\dfrac{1}{3}$。

将直线 $l$ 的参数方程化为标准形式，得到：
y-3=3(x-1)
因此，直线 $l$ 的标准参数方程为：
begin{cases}
x=t+1 \\
y=3t+3
end{cases}
其中，参数 $t$ 的几何意义是从直线上的某个点出发，沿着直线方向前进的距离。

已知椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$，求
$|F_2A|\cdot|F_2B|$的最大值，其中$F_1(0,0)$为左焦点，
$F_2(2,0)$为右焦点。

解题思路：过定点的直线与圆锥曲线相交的距离之积可利用直线的参数方程求解。

本题中两定点$F_1,F_2$已知，选择过$F_1$的直线的参数方程，将$|F_2A|\cdot|F_2B|$转化为$|F_1A|\cdot|F_1B|$。

具体步骤如下：
1.求过$F_1$的直线的参数方程为$x=t,XXX。

2.将直线的参数方程代入椭圆的定义式
$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$后，得到关于$t$的一元二次方程$f(t)=\frac{t^2}{4}+\frac{9t^2}{4}-1$。

3.当$f(t)>0$时，直线与椭圆相离；当$f(t)=0$时，直线与椭圆相切；当$f(t)<0$时，直线与椭圆相交有两个交点。

4.当$f(t)<0$时，解出方程$f(t)=0$的两个根$t_1,t_2$，代
入直线的参数方程，可求得直线与椭圆的两个交点$A,B$的坐标。

5.定点$P(6,0)$是弦$AB$的中点，即$t_1+t_2=0$。

6.弦$AB$的长$|AB|=|t_1-t_2|$，$PA\cdot PB=t_1\cdot t_2$。

7.过点$P(6,0)$的直线的参数方程为$x=2-t,y=-1+t$，与抛
物线$y^2=2x$相交于$A,B$两点。

8.$|PA|\cdot|PB|=\frac{1}{2}\cdot|AB|^2=\frac{1}{2}\cdot(t
_1-t_2)^2$，求导可得最大值为$\frac{45}{4}$。

基础知识测试2：
1.直线$x=1+t,y=-2+t$与椭圆
$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{4}=1$交于$A,B$两点，则$|AB|$等
于$B$。

2.直线$x=x_0+tcos\alpha,y=y_0+tsin\alpha$与二次曲线$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$交于$A,B$两点，则$|AB|$等于$C$。

3.直线$x=2-t,y=2t$与圆$x^2+y^2=1$有两个交点$A,B$，若$P$点的坐标为$(2,-1)$，则$|PA|\cdot|PB|=2$。