高考数学冲刺拉格朗日中值定理考点突破

高考数学冲刺拉格朗日中值定理考点突破
在高考数学的冲刺阶段，拉格朗日中值定理作为一个重要的考点，常常让同学们感到困惑和棘手。

但只要我们掌握了它的核心概念和解
题方法，就能在考试中应对自如，为取得高分增添一份保障。

一、拉格朗日中值定理的定义及内涵
拉格朗日中值定理是指：如果函数 f(x) 满足在闭区间 a,b 上连续，
在开区间（a,b) 内可导，那么在开区间（a,b) 内至少存在一点ξ，使得f(b) f(a) ＝ f'（ξ)（b a) 。

简单来说，就是在一个连续且可导的函数区间内，一定存在某个点的导数等于区间两端点连线的斜率。

这个定理看似抽象，但实际上蕴
含着深刻的数学思想。

为了更好地理解它，我们可以通过一些具体的函数来进行分析。

比如，对于函数 f(x) ＝ x²，在区间 0, 2 上，f(2) f(0) ＝ 4 0 ＝ 4，而 f'（x) ＝ 2x，令2ξ ＝ 2，解得ξ ＝ 1，此时 f'（1) ＝ 2，恰好满足拉格朗日中值定理。

二、拉格朗日中值定理在解题中的应用
1、证明不等式
在证明不等式的问题中，拉格朗日中值定理常常能发挥重要作用。

例如，要证明当 x ＞ 0 时，x ／（1 ＋ x) ＜ ln(1 ＋ x) ＜ x 。

我们可以
令 f(x) ＝ ln(1 ＋ x) ，在区间 0, x 上应用拉格朗日中值定理，得到 ln(1 ＋ x) ln(1 ＋ 0) ＝ f'（ξ)x ，其中 0 ＜ξ ＜ x 。

因为 f'（ξ) ＝ 1 ／（1 ＋ξ) ，且 1 ／（1 ＋ x) ＜ 1 ／（1 ＋ξ) ＜ 1 ，所以可以得到 x ／（1 ＋x) ＜ ln(1 ＋ x) ＜ x 。

2、求函数的取值范围
当给定一个函数，要求其在某区间内的取值范围时，拉格朗日中值定理也能提供思路。

比如对于函数 f(x) ＝ x³ 3x ＋ 1 在区间 0, 2 上，我们可以先求出其导数 f'（x) ＝ 3x² 3 。

然后在区间（0, 2) 内，根据拉
格朗日中值定理，存在ξ 使得 f(2) f(0) ＝ f'（ξ)（2 0) ，进而分析 f'（ξ) 的取值范围，从而确定 f(x) 的取值范围。

3、解决函数单调性问题
通过拉格朗日中值定理，我们可以判断函数在某区间内的单调性。

若在区间（a, b) 内，f'（ξ) ＞ 0 恒成立，则函数 f(x) 在（a, b) 上单调
递增；若 f'（ξ) ＜ 0 恒成立，则函数 f(x) 在（a, b) 上单调递减。

三、高考中拉格朗日中值定理的常见题型及解题技巧
1、直接考查定理的应用
这类题目会明确给出一个满足拉格朗日中值定理条件的函数，要求根据定理进行计算或证明。

解题时，关键是要正确找出函数的区间和
导数，然后代入定理进行求解。

2、与其他知识点综合考查
高考中往往会将拉格朗日中值定理与函数的极值、最值、导数的应用等知识点综合起来考查。

此时，我们需要综合运用所学知识，分析题目中的条件和要求，逐步推导得出结论。

例如，已知函数 f(x) 在区间 a, b 上连续，在（a, b) 内可导，且 f(a) ＝ f(b) ，证明在（a, b) 内存在一点ξ ，使得 f'（ξ) ＝ 0 。

这就需要结合拉格朗日中值定理和函数极值的相关知识来解题。

解题技巧方面，首先要认真审题，明确题目所给的条件和要求；其次，要熟练掌握函数的求导公式和运算方法；最后，要善于运用定理进行合理的变形和推导。

四、如何在冲刺阶段高效复习拉格朗日中值定理
1、深入理解定理的本质
不要只是死记硬背定理的公式，而是要通过大量的实例和练习，深入理解定理所表达的数学关系和思想。

2、多做真题和模拟题
通过做题，熟悉高考中拉格朗日中值定理的考查方式和题型，总结解题规律和方法。

3、建立错题本
将做错的题目整理到错题本上，分析错误原因，加强对薄弱环节的复习和巩固。

4、与同学和老师交流
在复习过程中，遇到问题要及时与同学和老师交流，分享解题思路和方法，拓宽自己的思维。

总之，拉格朗日中值定理虽然有一定的难度，但只要我们在高考冲刺阶段有针对性地进行复习，掌握其核心概念和解题方法，就一定能够在考试中突破这一考点，取得优异的成绩。

加油吧，同学们！相信自己的能力，为高考的胜利努力拼搏！。