MHK二级试题

MHK二级试题
试题1
题目
已知 $f(x)=\\dfrac{x+2}{x-3}$，则f−1(x)为:
A. $f^{-1}(x)=-\\dfrac{x+2}{x-3}$
B. $f^{-1}(x)=\\dfrac{x+2}{x-3}$
C. $f^{-1}(x)=\\dfrac{3x+2}{x-1}$
D. $f^{-1}(x)=\\dfrac{x+3}{x-2}$
解析
由于f−1(x)是f(x)的反函数，所以f(f−1(x))=x。

我们先求出f(f−1(x))，再令其等于x，得到f−1(x)的表达式。

$$f(f^{-1}(x))=\\dfrac{f^{-1}(x)+2}{f^{-1}(x)-3}$$
令f(f−1(x))=x，得到
$$x=\\dfrac{f^{-1}(x)+2}{f^{-1}(x)-3}$$
移项，化简得到
$$f^{-1}(x)=\\dfrac{3x+2}{x-1}$$
所以选 C。

试题2
题目
已知等差数列 $\\{a_n\\}$ 的公差为d，前n个数的和为S n，则
$Sn=a_1+[\\dfrac{n-1}{2}(a_1+a_n)]$。

现有 $\\{a_n\\}$ 的前n项和 $S_n=\\dfrac{1}{4}(3n^2+5n)$，求a n。

解析
首先我们要确定a1。

由于 $S_n=a_1+[\\dfrac{n-1}{2}(a_1+a_n)]$，已知S n和n，代入可得
$$S_n=a_1+[\\dfrac{n-1}{2}(a_1+a_n)]$$
$$\\dfrac{1}{4}(3n^2+5n)=a_1+[\\dfrac{n-1}{2}(a_1+a_n)]$$
化简得到
$$a_1=\\dfrac{2S_n-n^2-n}{n}$$
已知S n，代入上式可得a1。

接下来我们要求a n。

由于 $\\{a_n\\}$ 是等差数列，所以有
a n=a1+(n−1)d
代入 $S_n=\\dfrac{1}{4}(3n^2+5n)$ 并解方程，得到
$$a_n=\\dfrac{2S_n-n^2+3n}{2n}$$
所以选 D。

试题3
题目
已知函数f(x)=x4−4x3+ax2+bx+c的图像上有两个拐点，求a+b+c 的值。

解析
首先，函数f(x)的一阶导数为f′(x)=4x3−12x2+2ax+b，二阶导数为f″(x)=12x2−24x+2a。

由于题目中说f(x)的图像上有两个拐点，所以f″(x)的解析式有两个实根。

因此，$24^2-4(12)(2a) \\geq 0$，即 $a \\leq 6$。

又因为f″(x)的判别式非负，所以 $12^2-4(12)a \\geq 0$，即 $a \\leq 3$。

综合两个不等式可得a=3。

接下来，根据a=3，f″(x)的解析式为f″(x)=12x2−24x+6，求出
f″(x)=0的两个实根为 $x=1\\pm\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$。

由于这两个点是f(x)的拐点，所以 $f''(1+\\dfrac{\\sqrt{3}}{2})>0$，$f''(1-\\dfrac{\\sqrt{3}}{2})<0$。

因此，$1+\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$ 是f(x)的下凸点，$1-
\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$ 是f(x)的上凸点。

根据拐点的性质，f(x)在这两个拐点处的一阶导数为0。

因此，我们可以列出以下方程组：
$$\\left\\{\\begin{aligned}&f'(1+\\dfrac{\\sqrt{3}}{2})=4(1+\\dfrac{\\sqrt{3 }}{2})^3-
12(1+\\dfrac{\\sqrt{3}}{2})^2+6(1+\\dfrac{\\sqrt{3}}{2})+b=0\\\\&f'(1-
\\dfrac{\\sqrt{3}}{2})=4(1-\\dfrac{\\sqrt{3}}{2})^3-12(1-
\\dfrac{\\sqrt{3}}{2})^2+6(1-\\dfrac{\\sqrt{3}}{2})+b=0\\end{aligned}\\right.$$ 解得 $b=-\\dfrac{7}{2}$。

最后，根据a=3，$b=-\\dfrac{7}{2}$，f(0)=c，可求得f(x)的解析式为$f(x)=x^4-4x^3+3x^2-\\dfrac{7}{2}x+c$。

由于f(0)=c，所以c=f(0)=0。

因此，$a+b+c=3-\\dfrac{7}{2}+0=-\\dfrac{1}{2}$。

答案为选 B。