浙江省2018届初三数学中考总复习第13讲《一次函数及其图象》名师讲练含答案.docx

浙江省 2018 届初三数学中考总复习
第 13 讲一次函数及其图象
1．一次函数与正比例函数的概念
考试
考试内容
要求
一般地，如果(k、b 是常数， k≠ 0)，那么 y 叫做 x 的一
一次函数
次函数．
b 特别地，当时， y＝ kx＋b 变为(k 是常数，
正比例函数
k≠ 0)，这时 y 叫做 x 的正比例函数．
2.一次函数的图象
考试
考试内容
要求一次函数 y＝kx ＋ b 的图象是经过点 (0， ____________________) 和
一次函数的(____________________ ，0) 的一条 ____________________．
b 图象特别地，正比例函数 y＝ kx 的图象是经过点 (0，)和 (1，)的一条．
直线 y＝kx
直线 y＝ kx＋ b 可以看成是由直线 y＝ kx 平移得到， b＞ 0，向平
＋ b 与 y＝ kx
c
个单位； b＜ 0，向
移平移个单位．
之间的关系
3.一次函数y＝kx ＋ b 的性质
考试
考试内容
要求k、 b 符号图象形状经过的象限函数的性质c
k>0， b>0____________________
y 随 x 的增大而
_________________ ．
____________________
k>0， b<0
k<0， b>0____________________
y 随 x 的增大而
_________________ ．
____________________
k<0， b<0
一次函数图象不经过第二象限是指图象经过第一、三、四象限或第一、
易错点
三象限．
4.确定一次函数的解析式
考试内容
常用方法待定系数法．
①已知两点坐标确定解析式；②已知两对函数对应值确定解析式；③常见类型
通过平移规律确定函数解析式．
5.一次函数与方程、不等式的关系
考试内容
一次函数与一元一次方程kx＋ b＝ 0 的根就是一次函数y＝ kx＋ b(k、 b 是常数， k 一次方程≠ 0)的图象与轴交点的坐标．
一次函数与一元一次不等式kx＋ b＞ 0(或 kx＋ b＜ 0)(k≠ 0)的解集可以看作一次函一元一次不数 y＝kx＋b 取值 (或值 )时自变量 x 的取值范等式围．
一次函数与两直线的交点坐标是两个一次函数解析式y＝k1x＋b1和 y＝ k2x＋ b2方程组所组成的关于x、 y 的方程组的解．考试要求
b
考试要求
c b
考试
考试内容
要求将实际问题转化为数学问题，即数学建模．要做到这种转化，首先要
建模思想分清哪个量是自变量，哪个量是函数；其次建立函数与自变量之间的
关系，要注意自变量的取值范围.
c 实际问题中在实际问题中，可以根据自变量的取值求函数，或者由函数求自变量
一次函数的的值．由于自变量的取值范围一般受到限制，所以可以根据一次函数应用的性质求出函数在某个范围的最值．
考试
考试内容
要求
1.待定系数法，是求一次函数解析式的常用方法，一般是先设待求的
函数关系式 (其中含有未知常数 )，再根据条件列出方程或方程组，通基本过解方程或方程组，求出未知系数，从而得到所求函数解析式的方法．
方法
c 2．利用函数图象解决实际问题时，要注意仔细分析图象中各点的含
义，尤其是图象与图象或坐标轴的交点，要善于运用数形结合思想从
图象中获取有用的信息．
1． (2017 ·州温 )已知点 (－ 1，y1)，(4 ，y2) 在一次函数y＝ 3x－ 2 的图象上，则y1， y2， 0的大小关系是 ()
A． 0＜ y1＜ y2B．y1＜ 0＜ y2C． y1＜ y2＜0 D ． y2＜0＜ y1
2． (2017 ·兴绍 )某市规定了每月用水 18 立方米以内 (含 18 立方米 )和用水 18 立方米以上
两种不同的收费标准，该市的用户每月应交水费y(元 )是用水量x(立方米 )的函数，其图象如图所示．
(1)若某月用水量为18 立方米，则应交水费多少元？
(2)求当 x＞ 18 时， y 关于 x 的函数表达式，若小敏家某月交水费81 元，则这个月用水量为多少立方米？
【问题】如图，直线AB 分别交 x， y 轴于点 A ， B.
(1)若点 A( －1， 0)，写出一条直线AB 的解析式；
(2)若点 A( －2， 0)， B(0， 1)，请你尽可能多的写出关于直线AB 的信息．
【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理一次函数概念以及图象与性质．
类型一一次函数的图象和性质
例 1一次函数 y＝ 2x＋ 6.
(1)图象经过第 ________象限；
(2)图象与 x 轴的交点坐标为 ________，与 y 轴的交点坐标为 ________．
(3)当－ 1＜ x≤1 时， y 的取值范围是 ________；
(4)当点 A( －5， y1)和 B( －2， y2)都在图象上，则y1与 y2的关系是 ________；
(5)图象与两坐标轴围成的三角形面积是________．
【解后感悟】一次函数的图象与性质问题，数形结合思想是解题的关键．
例 2如图，已知直线l1：y＝－ 2x＋4 与 x， y 轴分别交于点N， C，与直线l2： y＝ kx ＋b(k ≠ 0)交于点 M，直线 l2与 x 轴的交点为A( － 2， 0)，
(1)若点 M 的横坐标为1，则△ AMN 的面积是 ________；
(2)若点 M 在第一象限，则k 的取值范围是____________．
【解后感悟】两条直线的相交问题，利用数形结合和图象的运动来解决．
1． (1)(2017 海·南模拟 )一次函数y＝ mx ＋n 与 y＝ mnx(mn ≠ 0)，在同一平面直角坐标系
的图象是 ()
(2)(2017南· 京模拟)关于直线l ： y ＝ kx ＋ k(k ≠ 0) ，下列说法正确的是____________________ ．
①点 (0， k)在直线 l 上；②直线l 经过定点 (－ 1， 0)；③当 k＞ 0 时， y 随 x 的增大而增大；④直线l 经过第一、二、三象限；⑤直线l 经过第一、二、三象限，则k＞ 0.
类型二一次函数的解析式
例 3
(1) 如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于 A ， B 两点， P 是线段 AB 上任意一点(不包括端点 )，过 P 分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为10，则该直线的函数表达式是 ____________ ．
(2)一次函数y＝ 2x＋ b 与两坐标轴围成三角形的面积为4，则 b＝ ________．
(3)已知一次函数图象交x 轴于点 (－ 2， 0)，与 y 轴的交点到原点的距离为5，则该一次函数解析式为 ___________________________________________________________ ．
(4)在平面直角坐标系xOy 中，已知一次函数y＝ kx ＋ b(k ≠ 0)的图象过点 P(1， 1)，与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ，且 tan∠ ABO ＝ 3，那么点 A 的坐标是 __________ ．【解后感悟】待定系数法求一次函数解析式是本题的关键；注意数形结合、分类讨论思想运用．
例 4已知直线l ： y＝ 2x－ 1
(1) 将直线l 向上平移 5 个单位长度后再向左平移 3 个单位后所得的直线解析式为
____________；
(2)将直线 l 与直线 m 关于 x 轴对称，则直线m 的解析式为 ____________；
(3)将直线 l 绕原点顺时针旋转90°得到直线n，则直线n 的解析式为 ______________．
【解后感悟】 (1) 求直线平移后的解析式时要注意平移时k 的值不变，只有 b 发生变化；
(2)根据平面直角坐标系中，点关于 x 轴对称的特点求解； (3)根据点 (a，b)绕原点顺时针旋转90°得到的点的坐标是(b，－ a)，得到它们绕原点顺时针旋转90°以后对应点的坐标，然后
根据待定系数法求解．
2．(1)(2017 温·州模拟 )根据下表中一次函数的自变量x 与函数 y 的对应值，可得p 的值为____________________.
x－ 201
y3p0
(2)(2017 南·京市江宁区模拟 )把一次函数y＝ kx ＋ 1 的图象向上平移 1 个单位，再向右平移 3 个单位后所得直线正好经过点(5， 3)，则该一次函数表达式为____________________ ．
(3)(2017 绍·兴模拟 )把直线 y＝－ x＋ 3 向上平移m 个单位后，与直线 y＝ 2x＋ 4 的交点在第一象限，则m 的取值范围是____________________．
(4)(2017 苏·州模拟 )如图， A(0 ， 1)， M(3 ，2)， N(4， 4)．动点 P 从点 A 出发，沿 y 轴以每秒 1 个单位长度的速度向上移动，且过点P 的直线 l ： y＝－ x＋ b 也随之移动，设移动时
间为 t 秒．
①当 t＝ 3 时，求 l 的解析式；
②若点 M ， N 位于 l 的异侧，确定 t 的取值范围；③直接写出 t
为何值时，点 M 关于 l 的对称点落在坐标轴上．
类型三一次函数
与一次方程 (组 )及一元一次不等式(组 )
例 5(1) 已知一次函数y＝ ax＋ b 中， x 和 y 的部分对应值如表：
x－2－10 1.523
y642－1－2－4
那么方程 ax＋ b＝0 的解是 ________；不等式ax＋ b＞2 的解集是 ________．
(2)如图，直线y＝ x＋ b 与直线 y＝ kx ＋ 6 交于点 P(3， 5)，则关于x 的不等式x＋b＞ kx ＋6 的解集是 ________．
【解后感悟】(1)此题主要理解一次函数与一元一次方程关系，关键是正确求出一次函
数关系式； (2)从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ x＋ b 的值大于y＝ kx ＋ 6 的值的自变量 x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝x＋ b 在直线 y＝ kx ＋ 6 上方部分所有的点的横坐标所构成的集合．解决此类问题一般方法为画出图象，仔细观察图象，根
据图象写出方程( 组)解、不等式解集．注意不等式解集交点(公共点 )处函数值相等，所以解
集要么在交点左侧要么在交点右侧．注意数形结合思想的运用．
3．(1)(2017 菏·泽 )如图，函数y1＝－ 2x 与 y2＝ ax＋ 3 的图象相交于点A(m ，2)，则关于x 的不等式－ 2x＞ ax＋3 的解集是 ()
A． x＞ 2B．x＜ 2C． x＞－ 1D． x＜－ 1
(2)(2017 潍·坊模拟 )如图，已知函数 y＝ ax＋ b 与函数 y＝kx － 3 的图象交于点P(4，－ 6)，则不等式ax＋ b≤ kx －3＜ 0 的解集是 ____________________．
第 (2)题图
(3) (2017 ·坊模拟潍)如图，直线y＝ kx ＋b 经过 A(2 ，1)，B( － 1，－ 2)两点，则不等式1 2
x>kx ＋ b>－2 的解集为 ____________________ ．
第(3)题图
(4)(2015 武·汉 )已知一次函数y＝ kx ＋ 3 的图象经过点 (1，4)．求这个一次函数的解析式，
并求关于x 的不等式kx ＋ 3≤6 的解集．
类型四一次函数的应用
例 6(2016 ·南京 )如图中的折线 ABC 表示某汽车的耗油量y(单位：L/km)与速度 x(单位：km/h)之间的函数关系(30≤ x≤ 120)，已知线段BC 表示的函数关系中，该汽车的速度每增加
1km/h，耗油量增加0.002L/km.
(1) 当速度为50km/h、 100km/h 时，该汽车的耗油量分别为L/km、L/km.
(2)求线段 AB 所表示的y 与 x 之间的函数表达式．
(3)速度是多少时，该汽车的耗油量最低？最低是多少？
【解后感悟】正确求出两线段的解析式是解好本题的关键，因为系数为小数，计算要格
外细心，容易出错；另外，此题中求最值的方法：两图象的交点，方程组的解；同时还有机
地把函数和方程结合起来，是数学解题方法之一，应该熟练掌握．
4．(2017 ·波模拟宁 )某种汽车油箱加满油并开始行驶，油箱中的剩余油量y(升)与行驶的
里程 x(km)之间的关系为一次函数，如图：
(1)求 y 与 x 的函数关系式；
(2)加满一箱油汽车可行驶多少千米？
【阅读理解题】
在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标
三角形．例如，图中的一次函数的图象与 x， y 轴分别交于点 A ， B ，则△ OAB 为此函数的坐标三角形．
3
(1)求函数 y＝－4x＋ 3 的坐标三角形的三条边长；
3
(2)若函数 y＝－4x＋ b(b 为常数 )的坐标三角形周长为16，求此三角形面积．。