2022高考数学总复习(人教A理一轮)课时规范练26 平面向量基本定理及向量的坐标表示

课时规范练26 平面向量基本定理及向量的坐标表
示
基础巩固组
1.已知向量a =(3,4),b =(1,2),则2b -a =( ) A.(-1,0) B.(1,0)
C.(2,2)
D.(5,6)
2.(2020山东济南长清高三段考模拟)已知{e 1,e 2}是平面向量的一组基底,则下列四组向量中,不能作为一组基底的是( ) A.{e 1,e 1+e 2} B.{e 1-2e 2,e 2-2e 1} C.{e 1+e 2,e 1-e 2}
D.{e 1-2e 2,4e 2-2e 1}
3.已知平面直角坐标系内的两个向量a =(1,2),b =(m ,3m-2),且平面内的任一向量c 都可以唯一地表示成c =λa +μb (λ,μ为实数),则实数m 的取值范围是( ) A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(-∞,+∞) D.(-∞,2)∪(2,+∞)
4.(2020山东菏泽一模,4)已知向量a ,b 满足a =(1,2),a +b =(1+m ,1),若a ∥b ,则m=( )
A.2
B.-2
C.1
2
D.-1
2
5.已知向量AC
⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在正方形网格中的位置如图所示,若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λμ=( )
A.-3
B.3
C.-4
D.4
6.(2020湖北襄阳五中高三模拟)已知向量a =(-1,2),b =(3,m ),m ∈R ,则“m=-6”是“a ∥(a+b )”的( )
A.充要条件 B .充分不必要条件 C.必要不充分条件 D .既不充分也不必要条件
7.已知平面向量a =(1,-3),b =(-2,0),则|a +2b |= ( )
A.3√2
B.3
C.2√2
D.5
8.(2020河北石家庄二中开学预考)已知非零不共线向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R ),则点Q (x ,y )的轨迹方程是( ) A.x+y-2=0 B .2x+y-1=0 C.x+2y-2=0
D .2x+y-2=0
9.在平面直角坐标系xOy 中,已知A (1,0),B (0,1),C 为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC=π
4
,且|OC|=2,若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ=( ) A.2√2 B.√2 C.2
D.4√2
10.(2020安徽马鞍山二模,13)已知向量a =(2,-1),b =(1,t ),且|a +b |=|a -b |,则t= .
11.已知抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点,若PF
⃗⃗⃗⃗⃗ =2QF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则|QF|= . 综合提升组
12.(2020山东青岛5月模拟,3)已知向量a =(1+cos x ,2),b =(sin x ,1),x ∈0,π
2,若a ∥b ,则sin x=( ) A.4
5
B.3
5
C.2
5
D.2√5
5
13.(2020山东潍坊临朐模拟二,5)已知向量m =(a ,-1),n =(2b-1,3)(a>0,b>0),若m ∥n ,则2
a +1
b 的最小值为( ) A.12 B.8+4√3 C.15
D.10+2√3
14.(2020安徽六安一中期中)已知△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,向量m =(a+b ,b+c ),n =(c-b ,a ),若m ∥n ,则C=( ) A.5π
6
B.2π
3
C.π
3
D.π
6
15.已知△OAB 是边长为1的正三角形,若点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-t )OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +t OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (t ∈R ),则|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为( ) A.√3
B.1
C.√3
D.√3
16.若α,β是一组基底,向量γ=x α+y β(x ,y ∈R ),则称(x ,y )为向量γ在基底α,β下的坐标.现已知向量a 在基底p =(1,-1),q =(2,1)下的坐标为(-2,2),则向量a 在另一组基底m =(-1,1),n =(1,2)下的坐标为 .
创新应用组
17.在矩形ABCD 中,AB=1,AD=√3,P 为矩形内一点,且AP=√3.若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R ),则λ+√3μ的
最大值为( ) A.3
B.√6
C.3+√3
4 D.
√6+3√2
4
参考答案
课时规范练26 平面向量 基本定理及向量的坐标表示
1.A 由题得2b =(2,4),∴2b -a =(-1,0),故选A .
2.D 因为{e 1,e 2}是平面向量的一组基底,故e 1和e 2不共线,所以e 1和e 1+e 2不共线,e 1-2e 2和e 2-2e 1不共线,e 1+e 2和e 1-e 2不共线.因为4e 2-2e 1=-2(e 1-2e 2),所以e 1-2e 2和4e 2-2e 1共线.故选D .
3.D 由题意,得向量a ,b 不共线,则2m ≠3m-2,解得m ≠2.故选D .
4.D 由已知,得b =(a +b )-a =(1+m ,1)-(1,2)=(m ,-1).因为a ∥b ,所以2m+1=0,解得m=-1
2.故选D . 5.A 设小正方形的边长为1,建立如图所示的平面直角坐标系,则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-2),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0).由题意,得(2,-2)=λ(1,2)+μ(1,0),即{
2=λ+μ,-2=2λ,
解得{λ=-1,
μ=3,所以λμ=-3.
故选A .
6.A 由题意得a+b =(2,2+m ),由a ∥(a+b ),得-1×(2+m )=2×2,所以m=-6,则“m=-6”是“a ∥(a+b )”的充要条件.
7.A 因为a =(1,-3),b =(-2,0),
所以a +2b =(-3,-3),
因此|a +2b |=√9+9=3√2.故选A .
8.A 由PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ),即OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1+λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -λOB
⃗⃗⃗⃗⃗ . 又2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以{x =2+2λ,y =-2λ,
消去λ得x+y-2=0,故选A .
9.A 因为|OC|=2,∠AOC=π
4,所以C (√2,√2),又OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA
⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以(√2,√2)=λ(1,0)+μ(0,1)=(λ,μ),所以λ=μ=√2,λ+μ=2√2. 10.2 由|a +b |=|a -b |,得32+(t-1)2=1+(-1-t )2,解得t=2.
11.3 设点P (-1,t ),Q (x ,y ),易知点F (1,0),FP
⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,t ),QF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-x ,-y ),
∴2(1-x )=-2,解得x=2, 因此|QF|=x+1=3,故选D .
12.A 因为a ∥b ,所以1+cos x-2sin x=0,所以cos x=2sin x-1.
又sin 2x+cos 2x=1,所以sin 2x+(2sin x-1)2=1,
即5sin 2x-4sin x=0,解得sin x=4
5或sin x=0,又因为x ∈0,π
2, 所以sin x=4
5.故选A.
13.B ∵m =(a ,-1),n =(2b-1,3)(a>0,b>0),m ∥n ,∴3a+2b-1=0,即3a+2b=1,
∴2
a +1
b =
2a +1b (3a+2b )=8+4b
a +
3a
b
≥8+2√4b a ·
3a b =8+4√3,当且仅当4b
a
=
3a
b
,即a=
3-√36,b=√3-1
4
时取等号,∴2a +1b 的最小值为8+4√3.故选B.
14.B ∵m =(a+b ,b+c ),n =(c-b ,a ),且m ∥n ,∴(a+b )×a-(c-b )×(b+c )=0,整理得c 2=a 2+b 2+ab.又c 2=a 2+b 2-2ab cos C ,∴cos C=-1
2.∵C ∈(0,π),∴C=2π
3.故选B. 15.C 以O 为原点,以OB 为x 轴,建立坐标系,
∵△OAB 是边长为1的正三角形, ∴A (12,
√3
2
),B (1,0),OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-t )OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +t OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1+12
t ,√3−
√3
2
t ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =
12t+12,√32−√3
2
t .
∴|AP
⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(12
t +12
)2+(
√32
-
√3
2
t)2
=
√t 2-t
+1=√(t -12
)2
+34
≥√3
2
,故选C .
16.(0,2) ∵向量a 在基底p ,q 下的坐标为(-2,2),∴a =-2p +2q =(2,4).令a =x m +y n =(-x+y ,x+2y ),所以{-x +y =2,x +2y =4,
解得{x =0,y =2,故向量a 在基底m ,n 下的坐标为(0,2).
17.B 以点A 为原点,AB 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系.
设∠PAB=θ,θ∈0,π
2, 则B (1,0),D (0,√3),P
√3
2cos θ,√32
sin θ,由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗ 得 { √3
2cosθ=λ,
√3
2
sinθ=√3μ,
∴λ+√3μ=√3
2
(sin θ+cos θ)
=√62sin θ+π4≤√6
2,
当且仅当
θ+π4=π2,即
θ=π
4时取等号.故选B .
内容仅供参考
后记
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