湖南省2011年高考数学 必考点题型热点预测与分析(2) 数列与不等式

2011年某某高考数学必考点题型热点预测与分析
命题热点二 数列与不等式
高考对该部分主要从以下几个方面考查：数列的概念、等差数列和等比数列、一元二次不等式、一元二次不等式组和简单的线性规划问题、基本不等式的应用等。

高考在解答题中一般有一道数列题，各地高考的试题不尽相同，但总的趋势是难度在下降；试卷中没有不等式解答题（选做题除外），通常会在小题中设置1到2道，而对不等式的深层考查则在数列解答题、解析几何解答题、函数导数解答题中考查。

预测1. 数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，其前n 项的和为.n S （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a 及前n 项和n S ；
（Ⅱ）设2n a
n b =，求数列{}n b 的通项公式n b 及前n 项和.n T 解：（Ⅰ）依题意：2(1)1n a n n =+-=+ 2分
(1)
212
n n n S n -=+⨯=2322n n + 4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 42
1
1==a b
5分
{}111
222n n a a n n n
b b b +-+===∴是首项为4,公比为2的等比数列 7分
11422n n n b -+∴=⨯=
9分
24(12)2412
n n n T +-==--
12分
预测 2. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，121n n a S +=+，等差数列{}n b 满足
353,9b b ==，
（1）分别求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）若对任意的*
n N ∈，1
()2
n n S k b +⋅≥恒成立，某某数k 的取值X 围． 解析：（1）由121n n a S +=+----①得121n n a S -=+----②， ①-②得112()n n n n a a S S +--=-，
113,3n n n n a a a -+∴=∴=；
5326,3,3(3)336n b b d d b n n -==∴=∴=+-⨯=-； -
（2）1(1)13311132n n n n a q S q ---===--， 311
(
)3622
n k n -∴+≥-对*n N ∈恒成立， 即363
n
n k -∴≥
对*
n N ∈恒成立， 令363n n n c -=，1
1363927333n n n n n
n n n c c -----+-=-=， 当3n ≤时，1n n c c ->，当4n ≥时，1n n c c -<，max 32()9n c c ∴==
，2
9
k ≥．
预测3. 设数列{}n a 是首项为()a a 11>0，公差为2的等差数列，其前n 项和为n S ，
.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记2
n
n n a b =
的前n 项和为n T ，求n T . 解：（Ⅰ）∵11S a =，212122S a a a =+=+，3123136S a a a a =++=+，
=
=
解得11a =，故21n a n =-；
（Ⅱ）211(21)()222n
n n n n a n b n -===-， 法1：12311111()3()5()(21)()2222
n
n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯， ①
①12⨯得，2341
1111111()3()5()(23)()(21)()222222
n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，
②
①-②得，231111111
2()2()2()(21)()222222n n n T n +=
+⨯+⨯++⨯--⨯
11111(1)
113121222(21)()12222212
n n n n n n +-+--=⨯---⨯=---， ∴42123
33222n n n n
n n T -+=--=-． 法2：121112222n n n n n n
a n
b n --===⋅-， 设112n
n k k k F -==∑，记1
1
()()n k k f x kx -==∑，
则()1111(1)()1(1)n n n
n k
k n
k k x x n nx x f x x x x x +==''⎛⎫--+-⎛⎫'==== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
∑∑， ∴1
14(2)2n n F n -⎛⎫
=-+ ⎪
⎝⎭
， -
故111(1)
1123224(2)13122212
n n n n n n n T F n --+=-=-+⋅-+=--．
预测4. 已知数列1*
11{}7,328.()n n n n a a a a n n N -+==+-∈满足
（I ）李四同学欲求{}n a 的通项公式，他想，如能找到一个函数
1()2n f n A B n C -=⋅+⋅+ （A 、B 、C 是常数），把递推关系变成1(1)3[()]n n a f n a f n +-+=-后，就容易求出 {}n a 的通项了，请问：他设想的()?{}n f n a 存在吗的通项公式是什么？
（II ）记2*123,23n n n n S a a a a S n p n N =++++->⨯∈若不等式对任意都成
立，某某数p 的取值X 围。

解：
（Ⅰ）1(1)3[()]n n a f n a f n +-+=-
13(1)3()n n a a f n f n +∴=++-,
所以只需1
(1)3()2
8n f n f n n -+-=-,
1(1)3()22(2)n f n f n A Bn B C -+-=-⋅-+-,
1,28,20A B B C ∴-=-=--=,
1,4,2A B C ∴=-==.故李四设想的()f n 存在，1()242n f n n -=-++. 1111()3[(1)]3(75)23n n n n a f n a f ---∴-=-=-=⨯, 123()n n a f n -∴=⨯+=112322(21).n n n --⨯-++ 5分
（Ⅱ）2
112(1333)(122)n n n S --=+++
+-+++
22[35(21)]3224.n n n n n +++
++=-++
22324n n n S n n ∴-=-+, 7分
由2
23n
n S n p ->⨯，得 32424133n n n n n
n n
p -+-<=-
. 设3243
n n n n
n
b -+=，则 11124(1)241133n n n n n n n n b b +++-+--=--+11
28424(21)
33n n n n n n ++-+--==
, 当6n ≥时，2
21232
22222
(11)1n n n n n n n n C C C C --------=+≥+++
++
(2)(3)
2(12)222(3)48212
n n n n n n n --≥+-+
≥-+-=->-,（用数学归纳法证
也行）
6n ∴≥时， 1n n b b +>. 容易验证 ,15n ≤≤时,|1n n b b +<, min ()n p b ∴<6689
729
b ==
, p ∴的取值X 围为 689
(,)729
-∞. 13分
预测 5. 已知公差大于零的等差数列}{n a 的前n 项和n S ，且满足：6542=⋅a a ，
1851=+a a ．
（1）求数列}{n a 的通项公式n a ；
（2）若121i <<,211,,a a a i 是某等比数列的连续三项，求i 值；
（3）是否存在常数k
，使得数列为等差数列，若存在，求出常数k ；若不存
在，请说明理由.
（1）解：}{n a 为等差数列，∵184251=+=+a a a a ，
又6542=⋅a a ，∴2a ，4a 是方程065182
=+-x x 的两个根
又公差0>d ，∴42a a <，∴52=a ，134=a . ∴11
5,313,a d a d +=⎧⎨+=⎩∴11, 4.a d ==
∴34-=n a n .…………5分
（2）由121i <<,211,,a a a i 是某等比数列的连续三项，2
211i a a a =⋅∴，
即2
)34(811-=⋅i ， 解得3=i . （3）由(1)知，n n n n n S n -=⋅-+
⋅=2242
)
1(1, 假设存在常数k
，使数列为等差数列， 【法一】由2231231⋅+⋅=⋅++⋅+k S k S k S ， 得26231511⋅+⋅=⋅++⋅+k k k , 解得1=k .
n n kn S n 222==+∴,
易知数列为等差数列.
【法二】假设存在常数k
，使数列
为等差数列，由等差数列通项公式可知
an b =+，
得222(1)2n k n an abn b +-=++恒成立，可得2,0,1a b k ===.
n n kn S n 222==+∴,
易知数列为等差数列.
【说明】本题考查等差、等比数列的性质，等差数列的判定，方程思想、特殊与一般思
想、待定系数法.
预测6. 已知函数2
()1
ax b
f x cx +=
+（a ，b ，c 为常数，0a ≠）. （Ⅰ）若0c =时，数列{}n a 满足条件：点(, )n n a 在函数2()1
ax b
f x cx +=+的图象上，
求{}n a 的前n 项和n S ；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若37a =，424S =，, p q N *
∈（p q ≠），
证明：221
()2
p q p q S S S +<
+； （Ⅲ）若1c =时，()f x 是奇函数，(1)1f =，数列{}n x 满足11
2
x =
，1()n n x f x +=， 求证：2
22231121223
1()()()5
16
n n n n x x x x x x x x x x x x ++---++
+<.
解：（Ⅰ）依条件有()f x ax b =+.
因为点(, )n n a 在函数()f x ax b =+的图象上，所以()n a f n an b ==+. 因为1(1)()n n a a a n b an b a +-=++-+=，
所以{}n a 是首项是1a a b =+，公差为d a =的等差数列. …………………… 1分 所以(1)()2n n n S n a b a -=++
⋅(1)
2
n n nb a +=+⋅. 即数列{}n a 的前n 项和n S (1)
2
n n nb a +=+⋅. ……………………………… 2分
（Ⅱ）证明：依条件有()27,
43
4()24.2
a b a a b a ++=⎧⎪
⎨⨯++⋅=⎪⎩ 即37, 10424.a b a b +=⎧⎨+=⎩解得2,1.a b =⎧⎨=⎩ 所以21n a n =+. 所以.22
)
(21n n a a n S n n +=+=
……………………………………… 3分 因为222()p q p q S S S +-+=2
2
2
2[()2()](44)(44)p q p q p p q q +++-+-+
2
2()p q =--，
又
p q ≠，所以222()0p q p q S S S +-+<.
即221
()2
p q
p q S S S +<+. …………………………………………………… 5分 （Ⅲ）依条件2
()1
ax b
f x x +=
+. 因为()f x 为奇函数，所以()()0f x f x -+=. 即
22011ax b ax b x x +-++=++. 解得0
b =. 所以2()1
ax
f x x =+. 又(1)1f =，所以2a =. 故2
2()1
x
f x x =
+. ……………………………………………………………6分 因为1()n n x f x +=，所以12
21n n n x x x +=
+. 所以1102
x =>时，有10n x +>（n N *
∈）.
又12
22()112n n
n n n n
x x x f x x x +==
=+≤， 若11n x +=，则1n x =. 从而11x =. 这与11
2
x =
矛盾. 所以101n x +<<. …………………………………………………………… 8分 所以12
1(1)1k k k k k k x x x x x x ++-=-⋅
+≤1124121
k k x x ⋅++-+
≤1148=.
所以2111111()111()()8k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x ++++++--=-<-. ………………10分
所以2
2
2231121223
1
()()()n n n n x x x x x x x x x x x x ++---++
+
1223
1
1111
11
)()(
)]n n x x x x x x +<
-+-++- 111
11111
()(2)88n n x x x ++=
-=-. …………………12分 因为112x =
，1n n x x +>，所以11
12
n x +<<. 所以1112n x +<<. 所以2
2
2
23112122
3
1
()
()()n n n n x x x x x x x x x x x x ++---+++3
1152(21)8816+<-<=. …14分
预测7. 过点0(1,0)P 作曲线3
:((0,))C y x x =∈+∞的切线，切点为1Q ，过1Q 作x 轴的垂线交x 轴于点1P ，又过1P 作曲线C 的，切点为2Q ，过2Q 作x 轴的垂线交x 轴于点2P ，…，依次下去得到一系列点123,,Q Q Q ，…，设点n Q 的横坐标为n a ． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求和
1n
i i
i
a =∑； （3）求证：1(2,)2
n n
a n n N *>+
≥∈．
（本小题主要考查数列.导数.不等式.数学归纳法等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力.运算求解能力和创新意识）
解：（1）∵3y x =，∴2
3y x '=． 若切点是3
(,)n n n Q a a ，
则切线方程为32
3()n n n y a a x a -=-． …………………1分
当1n =时，切线过点0(1,0)P ，
即：32
11103(1)a a a -=-，
依题意10a >．所以13
2
a =
． …………………2分 当1n >时，切线过点11(,0)n n P a --，
即：32
103()n n n n a a a a --=-，
依题意0n a >，所以13
(1)2
n n a a n -=>． ………………3分 所以数列{}n a 是首项为
32
， 公比为32的等比数列．所以32n
n a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
． …………4分
（2）记12
112
1n n n
n n
S a a a a --=
+++
+， 因为
11213n n a a -=⋅， 所以
23
1
21213n n n n n
S a a a a +-=+++
+． …………………5分 两式相减， 得：12
1
1
1113
n n n n S a a a a +=
+++
- 2
1
22223333n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
12213322313
n
n n +⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=
- ⎪⎝⎭
-
1
222133n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫
=--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
． …………………7分
∴1n
n i i
i S a ==
∑ 1
2261333n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
262(3)3n
n ⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭
． …………………9分
（3）证法1：112n
n a ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
2
12111222n
n n
n
n n
C C C C ⎛⎫⎛⎫=+⋅+++ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
0111(2)22n n n C C n ⎛⎫>+=+≥ ⎪
⎝⎭
． …………………14分
证法2：当2n =时，
2
239
521124
42a ⎛⎫===+>+ ⎪⎝⎭．…………………10分
假设n k =时，结论成立， 即12
k k a >+， 则13313111111222222222
k k k k k k a a ++⎛⎫=
>+=++⋅>++=+ ⎪⎝⎭． 即1n k =+时．
11
12
k k a ++>+
． …………………13分
综上，12
n n a >+
对2,n n N *
≥∈都成立． …………………14分
预测8. 平面直角坐标系中，已知，…，
是直
线
上的
个点（
，
、
均为非零常数）. （1）若数列成等差数列，求证：数列也成等差数列；
（2）若点是直线上一点，且，求的值； （3）若点
满足
，我们称
是向量
，
，…，
的线性组合,是该线性组合的系数数列. 当
是向量
，
，…，
的线性组合时，请参考以下线索：
① 系数数列需满足怎样的条件，点
会落在直线上？
② 若点
落在直线上，系数数列会满足怎样的结论？ ③ 能否根据你给出的系数数列
满足的条件，确定在直线上的点
的个数或坐
标？
试提出一个相关命题（或猜想）并开展研究，写出你的研究过程.【本小题将根据你提出的命题（或猜想）的完备程度和研究过程中体现的思维层次，给予不同的评分】 解：（1）证：设等差数列
的公差为
,
因为，
所以为定值，即数列也成等差数列.
（2）证：因为点
、
和
都是直线上一点，故有
()
于是，
令，，则有.
（3）（理科）
提出命题：（在本题大前提下）若点满足，则系数数列的和是点在直线上的充要条件.
证明：设，由条件，
先证充分性：“当时，点在直线上”.
因为，
故
而（），所以
当时，即有，即点在直线上.
再证必要性：“若点在直线上，则.”
因为，
故
而因为（），所以
又因为点在直线上，所以满足，故.
补充：由以上证明进一步可知，对于直线上任一点，若满足
，则都有.
动向解读：数列知识在高中是主干知识之一，数列题目蕴含着极为丰富的数学思想方法，高考对数列的考查主要以等差数列和等比数列为主，结合函数、不等式、解析几何等进行考查；不等式主要考查应用，即应用不等式研究函数的性质、研究直线与曲线的关系等，利用基本不等式求待定函数的最值，利用不等式表示的平面区域解决线性规划问题。