文科2012年上海市奉贤区高三年级二模数学(含答案)

2012年上海市奉贤区高三年级二模试卷——数学（文科）
2012年4月
一、填空题（本大题共14小题，满分56分）
1.若(4)
a i i
b i
+=+，其中,,
a b R i
∈是虚数单位，则a b
-=
2.函数()3
2-
=x
x
f的反函数()=
-x
f1
3.若集合{1,0,1},{cos,},
A B y y x x A
=-==∈
|则A B=
I
4.阅读如图1，所示的程序框图，若输出y的值为0，则输入x的值为___________
5.二项式
6
1
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+x
x
展开式中的常数项是（用数字回答）
6.无穷等比数列满足
1
2
+
=
n
n
a
a，1
1
=
a，则数列{}n a
7.已知数列{}n a是等差数列，公差0≠
d，在行列式
8
7
5
4
2
1
a
a
a
a
a
a
()9
1,*≤
≤
∈i
N
i
a
i
是实数，
8.不等式0
2
2>
-
-a
x
x的在[]2,1内有实数解，则实数a
9.在ABC
∆中，C
B
C
B
A sin
sin
sin
sin
sin2
2
2⋅
-
+
=，
则A
∠=________
10.如图,一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为
全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角
边长为1，那么这个几何体的体积为___________
正视图侧视图俯视图
11.双曲线()0
1
2
2
2
2
>
>
=
-b
a
b
y
a
x
的实轴长4，则双曲线上的一点
()3,4到两渐近线的距离的乘积等于
12.从
11
{,,2,3}
32
中随机抽取一个数记为a，从{1,1,2,2}
--中随机抽取一个数记为b,则函数x
y a b
=+的图象经过第三象限的概率是
13.过平面区域
20
20
20
x y
y
x y
-+≥
⎧
⎪
+≥
⎨
⎪++≤
⎩
内一点P作圆22
:1
O x y
+=的两条切线，切点分别为,A B，记APBα
∠=，当α最小时，此时点P坐标为____________
14.操作变换记为)
,
(1y
x
P，其规则为：)
,
(
)
,
(1y
x
y
x
y
x
P-
+
=，且规定：))
,
(
(
)
,
(1
1
y
x
P
P
y
x
P n
n-
=，n是大于1的整数，如：)1
,3(
)2,1(1-
=
P，)4,2(
)1
,3(
))
2,1(
(
)2,1(1
1
1
2
=
-
=
=P
P
P
P，则=
-)1
,1(
2012
P
二、选择题（本大题共4小题，满分20分）
15.已知b ，c 是平面α内的两条直线，则“直线a α⊥”是“直线a b ⊥且直线a c ⊥”的 [答］（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
16.若有不同的三点C B A ,,满足()()()
()5:4:3::-=⋅⋅⋅
则这三点 [答］（ ）
A ．组成锐角三角形
B ．组成直角三角形
C ．组成钝角三角形
D ．在同一条直线上
17. 预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是()n
n k P P +=10，其中n P 为预测人口数，0P 为初
期人口数，k 为预测年内增长率，n 为预测期间隔年数．如果在某一时期k 满足01<<-k ，那么这期间人口数 [答］（ ）
A.呈上升趋势
B.呈下降趋势
C.摆动变化
D.不变
18.平行于x 轴的直线1l 与椭圆C ：192522=+y x 交于左右A 、B 两点，平行于y 轴的直线2l 与椭圆C ：1
9
2522=+y
x 交于上下C 、D 两点，则四边形ACBD 面积的最大值为 [答］ （ ）
A ．15
B ．60
C ．30
D ．不是一个定值
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 19. (本题满分10分)本题共有两个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分. 设关于x 的不等式(1)0()x x a a --<∈R 的解集为M ，不等式
03
1
≤-+x x 的解集为N . （1）当1a =时,求集合M ； （2）若M N ⊆,求实数a 的取值范围.
20.(本题满分11分) 本题共有两个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分.
已知函数2
()sin cos f x x x x =+，π[,π]2
x ∈.
（1）求()f x 的零点； （2）求()f x 的最大值和最小值.
21.(本题满分11分) 本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分. 函数()()
x b x
x f 24lg
2
++=，其中0>b
（1）若()x f 是奇函数，求b 的值；
（2）在（1）的条件下，判别函数()x f y =的图像是否存在两点A,B ，使得直线AB 平行于x 轴，说明理由；
22.(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分
如图，直三棱柱111ABC A B C -中， 90ABC ∠=o
，4AB =，4BC =，13BB =，M 、
N 分别是11B C 和AC 的中点．
（1）求异面直线1AB 与N C 1所成的角；（2）求三棱锥CN C M 1-的体积．
23.(本题满分17分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题9分 平面内一动点()y x P ,到两定点()()0,1,0,121F F -的距离之积等于2， （1） 求21F PF ∆周长的最小值（4分）
（2） 求动点()y x P ,的轨迹C 方程，用()x f y =2
形式表示（4分）
（1） 类似高二第二学期教材（12.4椭圆的性质、12.6双曲线的性质、12.8抛物线的性质）中研究曲线的方法请
你研究轨迹C 的性质，请直接写出答案（9分）
24. (本题满分17分) 本题有3小题，第1小题满分6分，第2小题满分4分，第3小题满分7分.
数列{}n a 的各项均为正数，,1p a =0>p ，*
N k ∈,()n k n n p k p f a a ⋅=++,，
（1）当,1=k ()k p k p f +=,，5=p 时，求32,a a ；
（2）若数列{}n a 成等比数列，请写出()k p f ,满足的一个条件，并写出相应的通项公式（不必证明） （3）当,1=k ()k p k p f +=,时，设1321222++++++=n n n a a a a a T Λ，求n T
2012年奉贤区高三年级二模数学试卷(文科)
参考答案和评分标准
说明：
1、本解答仅列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分．
2、评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．
一、填空题
1、5
2、()3log 2+x
3、{
}1 4、3log 2=x 或0=x 5、20 6、2 7、4 8、3<a 9、
3
π
10、61 11、54 12、）或375.0(83
13、()2,4-- 14、(
)
10061006
2,2
-
二、选择题
15、 A ； 16、C ； 17、B ； 18、C ； 三、解答题（10+11+11+12+17+17）
19．解：(Ⅰ) {|02}M x x =<<. （3分） (Ⅱ) {}
31<≤-=x x N . （5分） ①当1a <-时, 则{|10}M x a x =+<<.
因为M N ⊆，所以110a -≤+<，解得21a -≤<- （7分） ②若1a =-时, M =∅，显然有M N ⊆，所以1a =-成立 （8分） ③若1a >-时, 因为10a +>，所以{|01}M x x a =<<+.
又{}
13N x x =-≤≤，因为M N ⊆，所以013a <+≤,解得12a -<≤ （9分）
综上所述,a 的取值范围是[2,2]-. （10分）
20．（1）解：令()0f x =，得 sin cos )0x x x ⋅+=，
所以sin 0x =，或tan x =. （2分） 由 sin 0x =，π[,π]2
x ∈，得πx =； （3分）
由 tan x =π[,π]2x ∈，得5π6
x =. （4分）
综上，函数)(x f 的零点为
5π
6
或π. （5分）
（2）解：1π()1cos2sin 2sin(2)2232
f x x x x =
-+=-+（）. （8分） 因为π[,π]2x ∈，所以π2π5π
2[]333
x -∈,. （9分）
当π2π233x -
=
，即π
2x =时，)(x f （10分）
当π3π232x -
=
，即11π
12
x =时，)(x f 的最小值为12-+. （11分） 21．解：（1）2244,0x b x b >+∴>Θ恒成立，
所以函数()()
x b x
x f 24lg
2
++=的定义域是R ，关于原点对称 （2分）
()x f 是奇函数，()00=f （3分） ()0lg 0==b f 1=∴b （5分）
（2）假设存在B A ,两点，使得AB 平行x 轴，0=AB k （6分）
⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∴22
2121214lg 214lg x x x x （7分）
122
221221414x x x x -=+-+，两边平方化简得到：01442
22
1=++x x （10分）
得到矛盾，()x f y =∴的图像上不存在两点，使得所连的直线与x 轴平行 （11分） 说明：证明在整个R 上单调递增的要4分，不证明单调性，直接说函数是单调递增的，扣3分 22．解：（1）过A 作AQ ∥C 1N 交A 1C 1于Q ，连结Q B 1，
∴AQ A 1∠为异面直线1AB 与N C 1所成的角（或其补角）． （2分）
根据四边形C C AA 11，N 是中点，为矩形，可证Q 为中点
计算17,22,511===AQ Q B AB （3分）
Q 11B C ∥BC ，11B C =BC ，BC ∥AD ，BC AD =，∴四边形11ADC B 为矩形，且1AB ∥1C D ，
由已知条件和余弦定理可得5
17
cos 1=
∠Q CC （5分） ∴异面直线1AB 与1BC 所成的角为5
17
arccos
（6分） （2）过M 作11C A MH ⊥于H ，面⊥111C B A 面C C AA 11于11C A
∴⊥MH 面C C AA 11MP ⊥ 平面ABC ， （8分）
2=MH （10分）
1NCC M V - MH C C NC ⨯⨯⨯=12131223222
1
31=⨯⨯⨯⨯= （12分）
23．解:（1）2222121=⋅≥+PF PF PF PF 2分 当且仅当()1,0,221±=
=P PF PF 时等式成立 1分
21F PF ∆周长的最小值222+ 1分
（2）221=⋅PF PF Θ,列式：
()()2112
222=+-⋅++y x y x 3分
化简112222--+=x x y 1分
（3）性质：
对称性：关于原点对称
关于x 轴对称
关于y 轴对称 3分 顶点：()1,0±，()
0,3± 2分 x 的范围：33≤
≤-x 2分
y 的范围：11≤≤-y 2分
24.解（1）n
n n a a 561⋅=++ ……2分
252=∴a ， 1253=∴a ……6分
（2）当()k
p k p f +=1,时，n n p a = ……10分 （3）()111+++=⋅+=+n n n n n p p p p a a 由（2）知，n
n p a = ……12分
1321222++++++=n n n a a a a a T Λ
()()()()113221+-++++++++=n n n n n a a a a a a a a T Λ ……13分 ()()
n n p p p p T ++++=Λ21 ……15分
1=p 时，n T n 2= ……16分
当01>≠p p 且时，()p
p p p T n n --⋅+=1)1(1， ……17分。