【精品】吉林省近两年(2017,2018)高考理科数学试卷以及答案(word解析版)

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吉林省2017年高考理科数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.
31i
i
+=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -
2. 设集合{}1,2,4A =，{}
2
40B x x x m =-+=．若{1}A
B =，则B =（ ）
A ．{}1,3-
B ．{}1,0
C ．{}1,3
D ．{}1,5
3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，
请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）
A ．1盏
B ．3盏
C ．5盏
D ．9盏
4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱
截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ）
A ． 90π
B ．63π
C ．42π
D ．36π
5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪+≥⎩
，则2z x y =+的最小值是（ ）
A ．15-
B ．9-
C ．1
D ．9
6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）
A ．12种
B ．18种
C ．24种
D ．36种
7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良
好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ）
A ．乙可以知道四人的成绩
B ．丁可以知道四人的成绩
C ．乙、丁可以知道对方的成绩
D ．乙、丁可以知道自己的成绩 8. 执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
9. 若双曲线C :22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆
()
2
224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）
A ．2 B
C
10. 已知直三棱柱111ABC A B C -中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1
C
B
所成角的余弦值为（ ） A
．
2 B
．5 C
．5
D
．3 11. 若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）
A.1-
B.32e --
C.35e -
D.1
12. 已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（ ）
A.2-
B.32-
C. 4
3
- D.1- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的
二等品件数，则D X = ．
14. 函数(
)2
3sin 4f x x x =-
（0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
）的最大值是 ． 15. 等差数列{}n a 的前项和为n S ，33a =，410S =，则
11
n
k k
S ==∑ ． 16. 已知F 是抛物线C ：28y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为F N 的
中点，则FN = ．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。

第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）
ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，已知2
sin()8sin 2
B
A C +=， （1）求cos
B ；
（2）若6a c +=，ABC ∆的面积为2，求b ． 18.（12分）
海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）某频率分布直方图如下：
（1） 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱
产量不低于50kg ”,估计A 的概率；
（2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
（3） 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++
19.（12分）
如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，
o 1
,90,2
AB BC AD BAD ABC ==
∠=∠= E 是PD 的中点. （1）证明：直线//CE 平面PAB
（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为o
45 ，求二面角M AB D --
的余弦值
20. （12分）
设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2
212
x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =
.
（1）求点P 的轨迹方程；
（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F . 21.（12分）
已知函数()2
ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥。

（1）求a ；
（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()2
202e
f x --<<.
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，按所做的第一题计分。

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．
（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直
角坐标方程； （2）设点A 的极坐标为(2,
)3
π
，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知3
3
0,0,2a b a b >>+=，证明： （1）5
5()()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤．
吉林省2017年高考理科数学试卷答案
一、选择题：
1. D
2. C
3. B
4. B
5. A
6. D
7. D
8. B
9. A
10. C 11. A 12. B
二、填空题：
13. 1.96 14. 1 15.
21
n
n + 16. 6
三、解答题： 17.（12分）解：
（1）由题设及A B C π++=得2
sin 8sin
2
B
B =，故 sin 41cos B B =-（）
上式两边平方，整理得 217cos 32cos 150B B -+= 解得 15
cosB=cosB 17
1（舍去），= （2）由158cosB sin B 1717==
得，故14
sin 217
ABC S ac B ac ∆== 又17
=22
ABC S ac ∆=，则
由余弦定理及a 6c +=得
2222b 2cos ()2(1cos )a c ac B a c ac B =+-=+-+
1715
362(1)4217
=-⨯
⨯+= 所以2b = 18.（12分） 解：
（1）记B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg ”， C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg ”.
由题意知()()()()P A P BC P B P C == 旧养殖法的箱产量低于50kg 的频率为
(0.0120.0140.0240.0340.040)50.62++++⨯=，
故()P B 的估计值为0.62
新养殖法的箱产量不低于50kg 的频率为
(0.0680.0460.0100.008)50.66+++⨯=，
故()P C 的估计值为0.66
因此，事件A 的概率估计值为0.620.660.4092⨯= （2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表
2
2
200(62663438)15.70510010096104
K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯
由于15.705 6.635>，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关。

（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg 的直方图面积为
(0.0040.0200.044)50.340.5++⨯=<，
箱产量低于55kg 的直方图面积为
(0.0040.0200.0440.068)50.680.5+++⨯=>，
故新养殖法箱产量的中位数的估计值为
0.50.34
5052.35()0.068
kg -+
≈
19.（12分） 解：
（1）取PA 的中点F ，连接,EF BF ，
因为E 是PD 的中点， 所以//EF AD ，1
2
EF AD =
由90BAD ABC ∠=∠= 得//BC AD ， 又1
2
BC AD =
， 所以//EF BC ，
四边形BCEF 是平行四边形，//CE BF ， 又BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ， 故//CE 平面PAB
（2）由已知得BA AD ⊥，以A 为坐标原点，AB 的方向为x 轴正方向，||AB 为单位长，建立如图所示
的空间直角坐标系A xyz -，则
(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1A B C P ， (1,0,3),(1,0,0)PC AB =-=
设(,,)(01)M x y z x
<<，则
(1,,),(,1,BM x y z PM x y z =-=-
因为BM 与底面ABCD 所成的角为45，而
(0,0,1)n =是底面ABCD
的法向量，
所以|cos ,|sin 452
BM n <>==
， 即222(1)0x y z -+-=
①
又M 在棱PC 上，设PM PC
λ=，则
,1,x y z λ===
②
由①，②解得11,x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=
⎪⎩（舍去）
，11,x y z ⎧=-⎪
⎪⎪
=⎨⎪
⎪=⎪
⎩
所以(1M
，从而2(1AM - 设000(,,)m x y z =是平面ABM 的法向量，则
0,0,
m AM m AB ⎧=⎪⎨
=⎪
⎩
即0000(22)0,0,x y x ⎧++=⎪
⎨=⎪⎩ 所以可取(0,m =， 于是10
cos ,||||m n m n m n <
>=
=
因此二面角M AB D --
的余弦值为5
20. （12分） 解：
（1）设(,)P x y ，00(,)M x y ，
则000(,0),(,),(0,)N x NP x x y NM y =-=
由2NP NM =
得
00,x x y y ==
因为00(,)M x y 在C 上，所以22
122
x y +=
因此点P 的轨迹方程为222x y += （2）由题意知(1,0)F -
设(3,),(,)Q t P m n -，则
(3,),(1,),33OQ t PF m n OQ PF m tn =-=---=+-， (,),(3,)OP m n PQ m t n ==---
由1OQ PQ =得22
31m m tn n --+-= 又由（1）知2
2
2m n +=，故
330m tn +-=
所以0OQ PF =，即OQ PF ⊥. 又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，
所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F . 21.（12分） 解：
（1）()f x 的定义域为(0,)+∞
设()ln g x ax a x =--，则()(),()0f x xg x f x =≥等价于()0g x ≥ 因为(1)0,()0g g x =≥， 故(1)0g '=， 而1
(),(1)1g x a g a x
''=-=-， 得1a =
若1a =，则1()1g x x
'=-
当01x <<时，()0,()g x g x '<单调递减； 当1x >时，()0,()g x g x '>单调递增
所以1x =是()g x 的极小值点，故()(1)0g x g ≥= 综上，1a =
（2）由（1）知2()ln ,()22ln f x x x x x f x x x '=--=--
设()22ln h x x x =--，则1()2h x x
'=-
当1(0,)2x ∈时，()0h x '<；当1(,)2
x ∈+∞时，()0h x '>.
所以()h x 在1(0,)2单调递减，在1(,)2+∞单调递增.
又2
1()0,()0,(1)02h e h h -><=，所以()h x 在1(0,)2有唯一零点0x ，在1[,)2
+∞有唯一零点1，且
当0(0,)x x ∈时，()0h x >；当0(,1)x x ∈时，()0h x <；当(1,)x ∈+∞时，()0h x >. 因为()()f x h x '=，所以0x x =是()f x 的唯一极大值点. 由0()0f x '=得00ln 2(1)x x =-，故000()(1)f x x x =-. 由0(0,1)x ∈得01
()4
f x <
. 因为0x x =是()f x 在(0,1)的最大值点，由11
(0,1),()0e f e --'∈≠得
120()()f x f e e -->=.
所以220()2e f x --<< （二）选考题： 22.解：
（1）设P 的极坐标为(,)(0)ρθρ>，M 的极坐标为11(,)(0)ρθρ>.
由题设知14||,||cos OP OM ρρθ
===
由||||16OM OP =得2C 的极坐标方程4cos (0)ρθρ=> 因此2C 的直角坐标方程为2
2
(2)4(0)x y x -+=≠ （2）设点B 的极坐标为(,)(0)B B ρθρ>.
由题设知||2,4cos B OA a ρ==， 于是OAB ∆面积
1
||sin 2
B S OA AOB ρ=
∠ 4cos |sin()|3
a a π
=-
2|sin(2)3a π=-
2≤
当12
a π
=-
时，S 取得最大值2
所以OAB ∆面积的最大值为2+23.解：
（1）556556()()a b a b a ab a b b ++=+++
3323344()2()a b a b ab a b =+-++ 2224()ab a b =+-
4≥
（2）因为33223()33a b a a b ab b +=+++
23()ab a b =++
2
3()2()4a b a b +≤++
3
3()24
a b +=+
所以3
()8a b +≤，因此2a b +≤.
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吉林省2018年高考理科数学试卷
本试卷共23题，共150分，共4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。

1．12i 12i +=-
A ．43i 55--
B ．43i 55-+
C ．34i 55--
D ．34i 55
-+
2．已知集合22
{(,)|3,,A x y x y x y =+≤∈∈Z Z}，则A 中元素的个数为
A ．9
B ．8
C ．5
D ．4
3．函数2
e e
()x
x
f x x
--=
的图象大致为
4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4
B ．3
C ．2
D ．0
5．双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>
A ．y =
B ．y =
C ．y =
D ．y = 6．在ABC △中，cos 2C =1BC =，5AC =，则AB = A ．B C 7．为计算11111
123499100S =-+-++-，设计了右侧的程
序框图，则
在空白框中应填入 A ．1i i =+
B ．2i i =+
C ．3i i =+
D ．4i i =+
8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是
A ．
112 B ．114 C ．115 D ．118
9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==
，1AA 1AD 与1DB 所成角的余弦值为
A ．1
5
B
C
D
10．若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是
A ．
π4 B ．π2 C ．3π4
D ．π 11．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，
则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++= A ．50- B ．0 C ．2 D ．50
12．已知1F ，2F 是椭圆22
221(0)x y C a b a b
+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A
的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．23 B ．12 C ．1
3
D ．
14
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为__________．
14．若,x y 满足约束条件250,230,50,x y x y x +-⎧⎪
-+⎨⎪-⎩
≥≥≤则z x y =+的最大值为__________．
15．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________． 16．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为
7
8
，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB △的
面积为__________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考
生都必须作答。

第22、23为选考题。

考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）
记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值．
18．（12分）
下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,,17）建立模型①：ˆ30.413.5y
t =-+；根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,
,7）建立模型②：ˆ9917.5y
t =+． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由． 19．（12分）
设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；
（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． 20．（12分）
如图，在三棱锥P ABC -
中，AB BC ==
4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．
（1）证明：PO ⊥平面ABC ；
（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30︒，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值． 21．（12分）
已知函数2()e x f x ax =-．
（1）若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥； （2）若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a ．
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,
4sin ,x θy θ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为
1cos ,
2sin ,x t αy t α=+⎧⎨
=+⎩
（t 为参数）． （1）求C 和l 的直角坐标方程；
（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．
23．[选修4－5：不等式选讲]（10分） 设函数()5|||2|f x x a x =-+--．
（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；（2）若()1f x ≤，求a 的取值范围．
绝密★启用前
吉林省2018年高考理科数学试卷答案
一、选择题 1．D 2．A 3．B 4．B 5．A 6．A 7．B
8．C
9．C
10．A
11．C
12．D
二、填空题
13．2y x = 14．9
15．12
-
16．
三、解答题 17．解：
（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-． 由17a =-得d =2．
所以{}n a 的通项公式为29n a n =-． （2）由（1）得228(4)16n S n n n =-=--． 所以当n =4时，n S 取得最小值，最小值为−16． 18．解：
（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
ˆ30.413.519226.1y
=-+⨯=(亿元)． 利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
ˆ9917.59256.5y
=+⨯=(亿元)． （2）利用模型②得到的预测值更可靠． 理由如下：
（ⅰ）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线30.413.5y t =-+上下．这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016
年的数据建立的线性模型ˆ9917.5y
t =+可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．
（ⅱ）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226．1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理．说明利用模型②得到的预测值更可靠．
以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分． 19．解：
（1）由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->． 设1221(,),(,)A y x y x B ， 由2
(1),
4y k x y x
=-⎧⎨
=⎩得2222(24)0k x k x k -++=．
2
16160k ∆=+>，故1222
24
k
x k x ++=． 所以122244
||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=．
由题设知22
44
8k k
+=，解得1k =-（舍去），1k =． 因此l 的方程为1y x =-．
（2）由（1）得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+． 设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则
0022
0005,
(1)(1)16.2
y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=
+⎪⎩解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩ 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=． 20．解：
（1）因为4AP CP AC ===，O 为AC 的中点，所以OP AC ⊥
，且OP = 连结OB
．因为AB BC AC ==，所以ABC △为等腰直角三角形， 且OB AC ⊥，1
22
OB AC =
=． 由222
OP OB PB +=知PO OB ⊥．
由,OP OB OP AC ⊥⊥知PO ⊥平面ABC ．
（2）如图，以O 为坐标原点，OB uu u r
的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -．
由已知得(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),O B A C P AP -=u u u r
取平面PAC 的法向量(2,0,0)OB =u u u r
．
设(,2,0)(02)M a a a -<≤，则(,4,0)AM a a =-u u u r
．
设平面PAM 的法向量为(,,)x y z =n ．
由0,0AP AM ⋅=⋅=u u u r u u u r n n
得20(4)0
y ax a y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩
，可取
,)a a =--n ，
所以cos ,OB =
uu u r
n
|cos ,|2
OB =uu u r n ．
．解得4a =-（舍去），43a =．
所以4()3=-n
．又(0,2,PC =-u u u r
，所以cos ,PC =
uu u r n 所以PC 与平面PAM
．
21．解：
（1）当1a =时，()1f x ≥等价于2(1)e 10x x -+-≤．
设函数2()(1)e 1x g x x -=+-，则22()(21)e (1)e x x g'x x x x --=--+=--． 当1x ≠时，()0g'x <，所以()g x 在(0,)+∞单调递减． 而(0)0g =，故当0x ≥时，()0g x ≤，即()1f x ≥． （2）设函数2()1e x h x ax -=-．
()f x 在(0,)+∞只有一个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞只有一个零点．
（i ）当0a ≤时，()0h x >，()h x 没有零点； （ii ）当0a >时，()(2)e x h'x ax x -=-．
当(0,2)x ∈时，()0h'x <；当(2,)x ∈+∞时，()0h'x >． 所以()h x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增． 故2
4(2)1e a
h =-
是()h x 在[0,)+∞的最小值． ①若(2)0h >，即2e
4
a <，()h x 在(0,)+∞没有零点；
②若(2)0h =，即2e
4
a =，()h x 在(0,)+∞只有一个零点；
③若(2)0h <，即2e
4
a >，由于(0)1h =，所以()h x 在(0,2)有一个零点，
由（1）知，当0x >时，2
e x
x >，所以3334224
1616161
(4)11110e (e )(2)a a a a a h a a a
=-=->-=->． 故()h x 在(2,4)a 有一个零点，因此()h x 在(0,)+∞有两个零点．
综上，()f x 在(0,)+∞只有一个零点时，2
e
4
a =．
22．．解：
（1）曲线C 的直角坐标方程为22
1416
x y +=．
当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-， 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．
（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程
22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=．①
因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120t t +=． 又由①得1224(2cos sin )
13cos t t ααα
++=-+，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2k α==-．
23．解：
（1）当1a =时，24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪
=-<≤⎨⎪-+>⎩
可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤． （2）()1f x ≤等价于|||2|4x a x ++-≥．
而|||2||2|x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立．故()1f x ≤等价于|2|4a +≥． 由|2|4a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞．
21（12分）
第 21 页 共 21 页 已知函数2()e x f x ax =-．
（1）若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥；
（2）若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a ．
解：
（1）()e 2x f x x '=-，()e 2x f x ''=-．
当ln 2x <时，()0f x ''<，当l n2x >时，()0f x ''>，所以()f x '在(,ln 2)-∞单调递减，在(ln 2,)+∞单调递增，故()(ln 2)22ln 20f x f ''≥=->，()f x 在(,)-∞+∞单调递增．
因为0x ≥，所以()(0)1f x f ≥=．
（2）当0x >时，设2e ()x
g x a x
=-，则2()()f x x g x =，()f x 在(0,)+∞只有一个零点等价于()g x 在(0,)+∞只有一个零点．
3
e (2)()x x g x x -'=，当02x <<时，()0g x '<，当2x >时，()0g x '>，所以()g x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增，故2
e ()(2)4
g x g a ≥=-． 若2
e 4
a <，则()0g x >，()g x 在(0,)+∞没有零点． 若2
e 4
a =，则()0g x ≥，()g x 在(0,)+∞有唯一零点2x =． 若2
e 4a >，因为(2)0g <，由（1）知当0x >时，2e 1x x >+，22e 1()1x g x a a x x
=->+-
，故存在1(0,2)x ∈⊆，使1()0g x >． 4422
e e (4)1616a a
g a a a a a =->- 2e x x >，。