4-平面图形的面积

实验三 怎样计算平面图形的面积一、试验目的和要求探索曲线拟合的不同方式，使学生了解泰勒公式的意义，并且对运用定积分计算任意平面图形的面积有更深入的认识。

能初步运用所学数学知识及数学软件工具matlab 解决实际问题。

二、问题的描述通过学习高等数学，我们知道可以利用定积分来计算平面图形的面积。

但这是有前提条件的，既要知道围成所考虑的平面图形的曲线对应的函数。

如图(图1) （图2）图1中曲边梯形的面积为()⎰=badx x f A ，图2中平面图形的面积为，()()()⎰-=badx x g x f B然而在现实生活中，我们考虑计算平面图形的面积时，并不知道围成所考虑的平面图形的曲线对应的函数。

要运用定积分计算平面图形的面积，首先要找到这样的函数。

三、问题的分析当然首先我们必须建立适当的坐标系，无妨我们就象图2那样建立直角坐标系。

接下来我们面临的问题是函数()()x g y x f y ==,应该设成什么形式。

如果连函数应该是什么样的形式都不清楚，那就更谈不上把它们求出来。

面对这样的情况，我们很自然希望这些函数有一种统一的简洁的形式。

四、背景知识其实在高等数学的学习中，这个问题已经解决。

这就是我们学习的泰勒公式、幂级数。

满足一定条件的函数，都可以用多项式近似表示，因此，这里的函数我们可以统一设成多项式的形式（多项式逼近）。

练习1：在同一坐标系内作出区间()2,2-∈x 上指数函数x e y =及多项式逼近函数：24621,621,21,1432322xxxx y xxx y xx y x y ++++=+++=++=+=的图像，观察这些多项式函数逼近指数函数的情况。

相关的Matlab 语句： x=(-2:0.1:2); y=exp(x) ; y1=1+x ;y2=1+x+(x.^2) / 2 ; y2=1+x+(x.^2) / 2 ;y3=1+x+(x.^2) / 2+(x.^3) / 6+(x.^4) / 24 ; plot (x , y , 'k' , x , y1 , 'm' , x , y2 , 'g' , x , y3 , 'c')练习2：在同一坐标系内作出区间()ππ,-∈x 上余弦函数x y cos =及多项式函数：!8!62421,!62421,2421,218642642422xxxxy xxxy xxy xy +-+-=-+-=+-=-=的图像，观察这些多项式函数逼近余弦函数的情况。

相关的Matlab 语句： x=(- 2 : 0.1 : 2) ; y=cos(x) ; y1=1- (x.^2) / 2 ;y2=1- (x.^2) / 2+(x.^4) / 24 ;y3=1- (x.^2) / 2+ (x.^4) / 24 - (x.^6) / 144 ;y4=1- (x.^2) / 2+(x.^4) / 24 - (x.^6) / 144+(x.^8) / 1152 ; plot (x , y , 'k' , x , y1 , 'm' , x , y2 , 'g' , x , y3 , 'c ' , x , y4 , ' b ')因此我们可以把函数()()x g y x f y ==,设成多项式的形式，设()()nn nn xb x b x b b x g xa x a x a a x f ++++=++++= 22102210,接下来的问题是怎样找到多项式合适的系数。

我们可以先在曲线上确定若干个点。

五、实验过程 1．拉格朗日插值法无妨设上半段曲线()x f y =上取得不同的点为：(),,0,1,2,3,,i i x y i n = ，则一定要有20102000201121112012n n n n n n n n n na a x a x a x y a a x a x a x y a a x a x a x y ìï+++=ïïï+++=ïïíïïïïï+++=ïî我们可用矩阵的形式表示00001111111nn n n n nn a y x x a y x x a y x x 骣骣骣÷鼢ç珑÷鼢ç珑÷鼢ç珑÷鼢ç珑÷鼢ç珑÷鼢?ç÷珑鼢ç÷珑鼢÷ç鼢珑÷鼢ç珑÷鼢ç珑÷鼢珑ç桫桫桫前面这个n 阶矩阵就是有名的范德蒙矩阵，因为取的是不同的点，所以nx x x ,,21两两不相等，此范德蒙矩阵的秩为n ，所以方程组有唯一的解。

相关的Matlab 语句： %原始数据-下边界曲线X1=[ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 7.35 ; 3 , 1.25 , 0.875 , 0.5 , 0.27 , 0.4 , 1.2 , 2.65 , 4 ] ; t1=X1(1, : ) ; %横坐标 y1=X1(2 , : ) ; %竖坐标for i=1:length(X1) %计算范德蒙矩阵 b( i , 1 ) = 1 ; for j=2:length(X1)b( i , j ) = X1 ( 1 , i ) .^ ( j - 1 ) ; end ; enda1=inv( b ) * X1( 2 , : )' %解方程组 for i=1 : 9 %调整h1( i ) = a1 ( 10 - i ) ;end , h1s=0 : 0.01 : 7.35; %绘图-横坐标k1=polyval( h1 , s ) ; %绘图-竖坐标plot( s , k1 , ' b - ' ) %绘图-拉格朗日插值曲线hold onplot( t1 , y1 , 'r.' , 'MarkerSize' , 18 ) %绘图-原始数据点%原始数据-上边界曲线X2=[ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 7.35 ; 3 , 5.1 , 5.6 , 6.05 , 6.2 , 6 , 5.6 , 4.9 , 4 ] ; t2=X2( 1 , : ) ; %横坐标y2=X2( 2 , : ) ; %竖坐标for i = 1 : length( X2 ) %计算范德蒙矩阵b(i,1)=1;for j = 2 : length( X2 )b( i , j ) = X2( 1 , i ) .^ ( j - 1 ) ;end ;enda2=inv( b ) * X2( 2 , : )' %解方程组for i=1 : length(X2) %调整h2( i ) = a2( 10 - i ) ;end , h2s = 0 : 0.01 : 7.35; %绘图-横坐标k2 = polyval ( h2 , s ) ; %绘图-竖坐标plot( s , k2 , ' b - ' ) %绘图-拉格朗日插值曲线plot ( t2 , y2 , ' r . ' , 'MarkerSize' , 18 ) %绘图-原始数据点hold off%计算图形的面积f1=inline('-0.00014384*x.^8 + 0.0043349*x.^7 - 0.055551*x.^6 + 0.39407*x.^5 - 1.6774*x.^4+4.305*x.^3 - 6.4166*x.^2 + 5.5464*x + 3','x') %插值多项式上q1=quadl(f1,0,7.35) %插值多项式上的数值积分f2=inline('0.00026363*x.^8 - 0.0077636*x.^7 + 0.094958*x.^6 - 0.62637*x.^5 + 2.4235*x.^4- 5.5753*x.^3 + 7.356*x.^2 - 5.4154*x + 3','x') %插值多项式下q2=quadl(f2,0,7.35) %插值多项式下的数值积分q1 - q2 %图形的面积答案：32.7785如果我们多取一些点，情况会怎样呢？X1=[ 0,0.5,1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,4.5,5,5.5,6,6.5,7,7.35;3,1.57,1.25,1.08,0.875,0.67,0.5,0. 36,0.27,0.25,0.4,0.67,1.2,1.66,2.65,4 ] ;X2=[ 0,0.5,1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,4.5,5,5.5,6,6.5,7,7.35; 3 , 4.6 , 5.1 , 5.35 , 5.6 , 5.85 , 6.05 , 6.17 , 6.2 , 6.15 , 6 , 5.8 , 5.6 , 5.37 , 4.9 , 4 ] ;用拉格朗日插值法，并不是取的点越多越好，当取样点越来越多时，不但多项式越来越复杂、计算越来越烦，而且曲线除了中部拟合得还算可以，在两端会产生振荡，这称为龙格振荡，也叫龙格现象。

怎样解决这个问题呢？有兴趣的同学，可以去阅读有关分段插值、样条插值的书籍。

2．最小二乘法还有一种方法就是最小二乘法。

设()m i y x i i ,,3,2,1,, =是曲线()x f y =上的不同的点。

我们考虑：()()()∑=++++-=mi nin i i in x a x a x a a ya a a F 12221010,, ，使此式取得最小值的n a a a ,,10应该就是所求多项式的最恰当的系数。

而这样的取值应该使函数()n a a a F ,,10在此点的偏导数都为零（驻点）。

由此可得()()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-++++=-++++=-++++∑∑∑===000122101221012210m i i ni n i i n i m i i ni n i i i m i i ni n i i y x a x a x a a x y x a x a x a a x y x a x a x a a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑=====+==+====m i i ni m i i i mi i n mi n i mi n im i ni m i n i m i imi i mi nimi iy x y x y a a a x xx x xx x x n 111101211111121111这是一个n 元线性方程组，解此方程组可得到唯一一组n a a a ,,10的取值。