【期末专练】西藏自治区拉萨市拉萨中学2019-2020学年高二第六次月考数学理科试卷(解析版)

理科数学试卷
（满分：150分，考试时间：120分钟.请将答案填写在答题卡上）
一、单选题（每小题5分，共计60分）
1.设全集,{|22},{|1}U R M x x N x x ==-≤≤=<,则()U C M N 等于（ ）
A. {}|1x x <
B. {}|21x x -<<
C. {}|2x x <-
D. {|21}x x -≤<
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意首先进行补集运算，然后进行交集运算即可. 【详解】由题意可得：{}|22U C M x x x =><-或， 结合交集的定义可得：(){}|2U C M N x x =<-
故选C.
【点睛】本题主要考查集合的
交并补混合运算，属于基础题. 2.设12i
1i
z +=-，则z 的虚部是（
） A. 3 B.
3i
C.
3
2
D.
32
i 【答案】C 【解析】 【分析】
根据复数的除法运算求得复数z ，即可得到其虚部. 【详解】12(12)(1)1313
1(1)(1)222
i i i i z i i i i +++-+=
===-+--+， 故复数z 的虚部是3
2
， 故选：C
【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，复数的概念，属于容易题.
3.抛物线2
4y x =的焦点到双曲线22
21y x b -=则双曲线的虚轴长是（ ）
A.
B. C. 3 D. 6
【答案】B 【解析】
抛物线24y x =的焦点为(1,0)，双曲线的渐近线为y bx =
，因此
2
=
，b =
，虚轴为2b =B ．
4.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有:“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程比如在表达式
1
1111+
+
+⋅⋅⋅
中“⋅⋅⋅”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11x x +=
求得12
x =，类似上述过程，则23
111
1333+
+++⋅⋅⋅=( ) A. 2 B.
32
C. 3
D.
53
【答案】B 【解析】 【分析】 由2323
11111131333333⎛⎫⎛⎫
⨯+
++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，类比已知中的求法，可构造方程求得结果. 【详解】2323
11111131333333⎛⎫⎛⎫
⨯+
++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∴可设23111333
x =
+++⋅⋅⋅，则31x x =+，解得：12x =
2311113
1133322
++++⋅⋅⋅=+=∴
故选：B
【点睛】本题考查类比推理的应用问题，关键是能够明确已知中的代换关系，将所求式子整理变形为可以整体换元的方式.
5.甲、乙两班在我校举行的“不忘初心，牢记使命”合唱比赛中，7位评委的评分情况如茎叶图所示，其中甲班成绩的中位数是81，乙班成绩的平均数是86，若正实数,a b 满足：,,,x a b y 成等比数列，则
2a b +的最小值为（ ）
A. 6
B. 8
C. 2
D. 2
【答案】D 【解析】 【分析】
由中位数、平均数可得x ，y 的值，再由,,,x a b y 成等比数列得到4ab xy ==，最后利用基本不等式可得2a b +的最小值.
【详解】甲班成绩的中位数是81，故1x =，乙班成绩的平均数是86，则
768082(80)919396
867
y +++++++=，解得4y =，又,,,x a b y 成等比数列，
故4ab xy ==，所以，22242a b ab +≥=2,22a b ==时，等号成立.
故选：D.
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值的问题，涉及到茎叶图、中位数、平均数等知识，是一道容易题.
6.某地实行高考改革，考生除参加语文，数学，外语统一考试外，还需从物理，化学，生物，政治，
历史，地理六科中选考三科，要求物理，化学，生物三科至少选一科，政治，历史，地理三科至少选一科，则考生共有多少种选考方法 A. 6 B. 12 C. 18 D. 24
【答案】C 【解析】
利用间接法求解．从六科中选考三科的选法有3
6C ，其中包括了没选物理、化学、生物中任意一科与没
选政治、历史、地理中任意一科，这两种选法均有33C ，因此考生共有多少种选考方法有33
63C 2C 18
-=种．
7.在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，S 为ABC 的面积，22
2sin()S
A C b c +=-，
且A 、B 、C 成等差数列，则C 的大小为（ ）
A.
6
π B.
3
π C.
23
π D.
56
π 【答案】A 【解析】 【分析】
由等差中项的性质和三角形的内角和定理可求得B ，由余弦定理和三角形面积公式，可
得
2,a c b ==，再由余弦定理求得cos C ，可求得角C 的大小．
【详解】
在ABC 中，
由A C B π+=-，
∴()sin()sin sin A C B B π-+== ∴sin()sin A C B +=，
又
由22
2sin()S
A C b c +=
-，
则有22
1
2sin 2sin ac B
B b c ⨯=
-， 变形可得：22ac b c =-——①
A 、
B 、
C 成等差数列，
根据等差数列中项公式可得： 2B A C =+——② 根据三角形内角和性质可得：A B C π++=——③ 由②③可得：3
B π
=
，
根据余弦定理可得：222
cos 2a c b B ac
+-=
∴222cos 32a c b ac π
+-=，即：222
122a c b ac
+-= 变形可得： 222a c b ac +-=——④ 联立①④可得：22a ac =， 即2a c =， 又
由22ac b c =-，
则2223b ac c c =+=
，即b =，
∴222222cos
22a b c C ab +-===
0C π<∠<
故6
C π
∠=
；
故选：A ．
【点睛】本题主要考查等差中项的性质和三角形的内角和定理、余弦定理和三角形面积公式，解题关键是掌握余弦定理，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．
8.已知二项式2(*)n
x n N
⎛∈ ⎝
的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则3
x 的系
数为（ ） A. 14 B. 14-
C. 240
D. 240-
【答案】C 【解析】 【分析】
由二项展开式的通项公式为()
12r
n r
r
r n T C x -+⎛= ⎝
及展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是
2︰5可得：6n =，令展开式通项中x 的指数为3，即可求得2r ，问题得解．
【详解】二项展开式的第1r +项的通项公式为()
12r
n r
r
r n
T C
x -+⎛= ⎝
由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，可得：12
:2:5n n C C =.
解得：6n =.
所以()
()3
662
16221r
r n r
r r
r r r n T C x C x
---+⎛==- ⎝
令3
632
r -
=，解得：2r ，
所以3x 的系数为()2
262
621240C --=
故选C
【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式，考查了方程思想及计算能力，还考查了分析能力，属于中档题．
9.已知函数()()()2
2130x
f x x e ax a x =-+->为增函数，则a 的取值范围是（ ）
A. )
⎡-+∞⎣ B. 3
,2e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
C. (
,-∞-
D. 3,2
e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦
【答案】A 【解析】 【分析】
函数2()(21)3(0)x f x x e ax a x =-+->为增函数，可得()0f x '≥，化为122x
a e x ⎛⎫≥-+
⎪⎝⎭
，令1()2x g x e x ⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出.
【详解】∵函数2()(21)3(0)x f x x e ax a x =-+->为增函数， ∴()(2x 1)e 20x f x ax '=++≥，化为122x
a e x ⎛
⎫≥-+
⎪⎝⎭
， 令1()2x g x e x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则()()2211()x x x e g x x
-+'=-， 当12x >
时，()0g x '<，当1
02
x <<时，()0g x '>，
可得12x =
时，函数()g x 取得极大值即最大值，12g ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
∴a ≥-
∴a 的取值范围是)
⎡-+∞⎣. 故选：A.
【点睛】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
10.据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、侯、公，共五级，若给获得巨大贡献的7人进行封爵，要求每个等级至少有一人，至多有两人，则伯爵恰有两人的概率为（ ） A.
310
B.
25
C.
825
D.
35
【答案】B 【解析】
【分析】
根据部分平均分组分配的方法可求得分法总数和伯爵恰有两人的分法数，根据古典概型概率公式可求得结果.
【详解】7人进行封爵，每个等级至少一人，至多两人，则共有
2211225
5
7532755
5
322
322
C C C C C C A
A
A A A
⋅=种分法；
其中伯爵恰有两人的分法有
2211
14224
7532
24754
32
32
C C C C
C A C C A
A A
⋅=种分法，
∴伯爵恰有两人的概率
224
754
225
755
2
2
2
5
C C A
p
C C A
A
==
.
故选：B.
【点睛】本题考查数学史与古典概型概率问题的求解，关键是能够利用排列组合中不平均分组分配的方法确定分法总数和符合题意的分法数.
11.已知抛物线22(0)
x py p
=>的焦点F是椭圆
22
22
1(0)
y x
a b
a b
+=>>的一个焦点，且该抛物线的准线
与椭圆相交于A、B两点，若FAB
∆是正三角形，则椭圆的离心率为（）
A. 1
2
B.
2
C.
3
D.
2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意画出几何图形,由椭圆和抛物线的对称性可知AB与y轴交于椭圆的另一焦点'F,则
'2
FF c
=.根据正三角形性质可得
1
',
2
AF AF
=结合椭圆定义'2
AF AF a
+=,可由勾股定理求得
椭圆的离心率.
【详解】由题意可知,画出几何图形如下图所示:
由椭圆与抛物线的对称性可知, AB 与y 轴交于椭圆的另一焦点'F ,则'2FF c =. 由椭圆定义可知'2AF AF a +=,且FAB ∆为正三角形 所以1',2AF AF =
则24',33
a a AF AF == 由正三角形性质可知'AF F ∆为直角三角形 所以()
()2
2
2'
'AF FF AF +=
即()2
2
224233a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,化简可得223c a = 所以22
13
33
c e a ==
=
故选:C
【点睛】本题考查了抛物线与椭圆的标准方程与几何性质的综合应用,椭圆离心率的求法,属于中档题. 12.已知P 是曲线1C ：e x y =上任意一点，点Q 是曲线2C ：ln x
y x
=上任意一点，则PQ 的最小值是（ ） A. ln 2
12
-
B. ln 2
12
+
C. 2
D.
2
【答案】D 【解析】 【分析】
易知1C 在点()0,1A 处切线方程为1y x =+，且e 1x x ≥+恒成立，2C 在点()1,0B 处的切线方程为
1y x =-，且()ln 10x
x x x
-≥
>恒成立，由AB 等于平行线1y x =+与1y x =-间的距离，从知min PQ AB =.
【详解】曲线1C ：e x y =，求导得e x y '=，易知1C 在点()0,1A 处切线方程为1y x =+. 下面证明e 1x x ≥+恒成立.
构造函数()e 1x f x x =--，求导得()e 1x
f x '=-，则(),0x ∈-∞时，0f
x
，()f x 单调递减；
()0,x ∈+∞时，0f
x
，()f x 单调递增.
故函数()()00f x f ≥=，即e 1x x ≥+恒成立. 又2C ：ln x y x =
，求导得21ln x
y x
-'=，当1x =时，1y '=，且2C 过点()1,0B ，故2C 在点()1,0处的切线方程为1y x =-. 下面证明ln 1x
x x
-≥
在0,上恒成立.
令()2
ln F x x x x =--，则()()()221112121x x x x F x x x x x
+---'=--==， 当01x <<时，()0F x '<，()F x 单调递减；当1x >时，()0F x '>，()F x 单调递增， 所以()()min 10F x F ==，即()()10F x F ≥=， 则2ln 0--≥x x x ，即ln 1x
x x
-≥在0,上恒成立.
因为AB ==
1y x =+与1y x =-
=PQ 的最小值
. 故选：D.
【点睛】本题考查曲线的切线的应用，考查平行线间距离的计算，考查函数单调性的应用，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于难题.
第II 卷（非选择题）
二、填空题（每小题5分，共计20分）
13.等差数列{}n a 中，271224a a a ++=，则13S =_______. 【答案】104 【解析】 【分析】
由等差数列的性质可得7a 的值，由等差数列的求和公式和等差数列的性质可得13713S a =，代入计算即可求出13S .
【详解】因为等差数列{}n a 中，271224a a a ++=， 所以由等差数列的性质可得72712324a a a a =++=， 解得78a =， 所以1137
13713()1321310422
a a a S a +⨯=
===， 故答案为：104.
【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式，等差数列的性质，属于基础题. 14.
1
1
2
20
1
1-+=⎰
⎰
x dx dx x
________. 【答案】
ln 24
π
+
【解析】 【分析】
由定积分的几何意义和定积分基本定理，即可求解. 【详解】由题意得，
10
21x dx -⎰
表示21y x =-，01x <<
与x 轴围成的
区域的面积，表示一个半径为1的1
4
个圆， 其面积为21144
S ππ=
⨯=， 又
2
1
21
ln ln 2ln1ln 21dx x x ==-=⎰， 所以
1
2
20
1
11x dx dx x -+⎰
⎰
ln 24
π
=+. 故答案为：
ln 24
π
+.
【点睛】本题考查定积分的计算，注意定积分几何意义的应用，属于基础题. 15.若直线y x b =+是曲线ln y x x =的一条切线，则实数b = ． 【答案】1- 【解析】
【详解】试题分析:设切点为,因1ln y x '=+,故切线的斜率,则,即.
所以切点
代入y x b =+可得
,故应填答案
.
考点：导数的几何意义及运用．
【易错点晴】本题以直线y x b =+是曲线ln y x x =的一条切线为背景,考查的是导函数几何意义及导数语切线方程之间的关系的应用问题.解答本题的关键是搞清导函数值是函数在切点处的导函数的值就是切线的斜率,求解时先将切点的坐标设出来
,然后再借助这些条件建立方程求出切点坐标为
.再将其代入求出
,从而使得问题最终获解.
16.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为4，点H 在棱1AA 上，且11HA =，在侧面11BCC B 内作边长为1的正方形1,EFGC P 是侧面11BCC B 内一动点，且点P 到平面11CDD C 距离等于线段PF 的长，则当点P 运动时，2
HP 的范围是_______.
【答案】11322,4⎡
⎤
⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
建立空间直角坐标系,根据P 在11BCC B 内可设出P 点坐标.作'HM BB ⊥,连接
PM ,可得
222HP HM MP =+.作'PN CC ⊥根据空间中两点间距离公式即可求得2
HP 的范围.
【详解】根据题意,以D 为原点建立空间直角坐标系如下图所示:
作'HM BB ⊥交'BB 于M,连接PM
则HM PM ⊥
作'PN CC ⊥交'CC 于N,则PN 即为点P 到平面11CDD C 距离 设(),4,P x z ,则()()()1,4,3,4,4,3,0,4,F M N z ()04,04x z ≤≤≤≤ 由题意点P 到平面11CDD C 距离等于线段PF 的长 所以PN PF =
由两点间距离公式可得x =
化简得()2
213x z -=-,则210x -≥解不等式可得12
x ≥ 综上可得
1
42
x ≤≤ 则在Rt HMP ∆中222HP HM MP =+
()()22
2443x z =+-+-
()2
24421x x =+-+- ()2
322x =-+142x ⎛⎫
≤≤ ⎪⎝⎭
所以2
11322,4HP ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
故答案为: 11322,
4⎡
⎤
⎢⎥⎣⎦
【点睛】本题考查了空间直角坐标系的综合应用,利用空间两点间距离公式及二次函数求最值,属于难题.
三、解答题（其中17题10分，其余大题各12分，共计70分. 解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边，1
cos 2
a B
b
c +=. （1）求A ；
（2）若a =ABC ABC 的周长.
【答案】（1）60A =︒；（2）5+. 【解析】 【分析】
(1)利用正弦定理把边转化为角，再由两角和的正弦可求出角A ；
(2)利用三角形面积公式可得到6bc =，再由余弦定理可求出ABC 的周长； 【详解】(1)由正弦定理知1sin cos sin sin 2
A B B C +=， ∴1sin sin()sin cos sin cos 2
B A B A B B A =+-=， ∴1
cos 2
A =
，60A =︒.（或用余弦定理将cos B 换掉求解） (2)由(1)
及已知可得12
bc =
，解得6bc =， 由余弦定理知22227()3a b c bc b c bc ==+-=+-，∴5b c +=， ∴ABC
的周长为5.
【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理以及面积公式，考查了学生的计算能力，属于较易题.
18.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且214S a =，2a 是11a +与31
2
a 的等差中项．
（1）求n a 与n S ； （2）若数列{}n b 满足1
n
n n n a b S S +=
⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
【答案】（1）123n n a -=⨯．31n
n S =-．（2）n T 111
1331n +⎛
⎫=-
⎪-⎝⎭
【解析】 【分析】
（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由214S a =，2a 是11a +与31
2
a 的等差中项．可得()1114a q a +=，
2131212a a a =++，即2
1111212
a q a a q =++，联立解得1a ，q ，再利用通项公式与求和公式即可得出n a ，
n S ．
（2）()()111123111331313131n n n n n n n n n a b S S -+++⨯⎛⎫
===- ⎪⋅----⎝⎭
，利用裂项求和方法即可得出数列{}n b 的
前n 项和n T ．
【详解】解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，∵214S a =，2a 是11a +与31
2
a 的等差中项．
∴()1114a q a +=，2131212a a a =++
，即21111
212
a q a a q =++，
联立解得12a =，3q =，
∴1
23n n a -=⨯．
()()2132313113
31
n n n n S --=
=
=---．
（2）()()111123111331313131n n n n n n n n n a b S S -+++⨯⎛⎫===- ⎪⋅----⎝⎭
，
∴数列{}n b 的前n 项和
223111111113313131313131n n n T +⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+- ⎪------⎝⎭
1111331n +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭
． 【点睛】本题考查等差、等比数列的综合应用以及裂项相消法求和，难度一般.常见的几种可裂项相消的数列形式：
()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪
++⎝⎭
=()()1
111212122121n n n n ⎛⎫
=- ⎪-+-+⎝⎭，()()
11
21121212121n n n n n ++=-----. 19.已知函数2
1()ln 2
f x x x =
+. （1）求函数()f x 在区间[]1,e 上的最大、最小值；. （2）求证：在区间()1,+∞上，函数()f x 的图象在函数3
2()3
g x x =的图象的下方. 【答案】（1）2max 1()12f x e =+，min 1
()2
f x =（2）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）利用函数的导数可确定函数为增函数，即可求解（2）构造函数2312
()ln 23
F x x x x =+-，利用导数证明()F x 在区间()1,+∞上为减函数，故最大值1
(1)06
F =-<即可证明. 【详解】（1）由2
1()ln 2
f x x x =
+有()1f x x x '=+，
当[]1,x e ∈时，()0f x '>,
()f x ∴在区间[]1,e 上为增函数，
2max 1
()()12f x f e e ∴==+，min 1()(1)2
f x f ==，
（2）设2312
()ln 23
F x x x x =
+-， 则()2
2(1)121()2x x x
F x x x x x
-++'=+-=
，
当(1,)x ∈+∞时，()0F x '<， 且1
(1)06
F =-
<故(1,)x ∈+∞时，()0F x < 2312
ln 23
x x x ∴+<，得证. 【点睛】本题主要考查了利用导数证明函数的单调性，求函数最值，属于中档题.
20.在平行四边形EABC 中，4EA =，22EC =，45E ∠=︒，D 是EA 的中点（如图1），将ECD 沿CD 折起到图2中PCD 的位置，得到四棱锥是P ABCD -．
（1）求证：CD ⊥平面PDA ；
（2）若PD 与平面ABCD 所成的角为60︒．且PDA 为锐角三角形，求平面PAD 和平面PBC 所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析； （2）21
7
【解析】 【分析】
（1）证明CD DA ⊥，CD PD ⊥，即可证明线面垂直；
（2）由线面角求得DP ，以AD 中点O 为坐标原点建立直角坐标系，由向量法求得二面角的余弦值.
【详解】（1）将ECD 沿CD 折起过程中，CD ⊥平面PDA 成立．证明如下：
D 是EA 的中点，4EA =，2D
E DA ∴==， EDC △中，由余弦定理得，
2222
2cos 4584222242
CD EC ED EC =+-=+-⨯⨯⨯
︒=⋅， 2CD ED ∴==，
2228D DE EC C +==，
EDC ∴△为等腰直角三角形且CD EA ⊥，
CD DA ∴⊥，CD PD ⊥，PD AD D ⋂=，
CD 平面PDA ．
（2）由（1）知CD ⊥平面PDA ，CD ⊂平面ABCD ，
∴平面PDA ⊥平面ABCD ，
PDA 为锐角三角形，
P ∴在平面ABCD 内的射影必在棱AD 上，记为O ，连接PO ，PO ∴⊥平面ABCD ，
则PDA ∠是PD 与平面ABCD 所成的角，
60PDA ∴∠=︒， 2DP DA ==，
PDA ∴为等边三角形，O 为AD 的中点，
故以O 为坐标原点，过点O 且与CD 平行的直线为x 轴，
DA 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设x 轴与BC 交于点M ，
2DA PA ==，3OP ∴易知1OD OA CM ===
3BM ∴=，
则(3P ，()0,1,0D -，()2,1,0C -，()2,3,0B ，
()2,0,0DC =，()0,4,0BC =-，()
2,1,3PC =--，
CD
⊥平面PDA ，
∴可取平面PDA 的一个法向量()11,0,0n =，
设平面PBC 的法向量()2222,,n x y z =，
则00
n BC n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222240,230y x y z =⎧⎪⎨--=⎪⎩，
令21z =，则23,0,12n ⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭
为平面PBC 的一个法向量，
设平面PAD 和平面PBC 所成的角为θ， 由图易知θ为锐角，
121212
3
212cos cos ,7
71n n n n n n θ⋅∴==
==
⋅⨯
． ∴平面PAD 和平面PBC 所成角的余弦值为217
．
【点睛】本题考查线面垂直的证明，以及由线面角求线段长，以及利用向量法求二面角，属综合中档题.
21.已知点()0,2D -，过点D 作抛物线2
12(0)C x py p =>：的切线l ，切点A 在第二象限．
()1求切点A 的纵坐标；
()2有一离心率为3
2
的椭圆22221(0)x y a b a b +=>>恰好经过切点A ，设切线l 与椭圆的另一交点为点
B ，记切线,,l OA OB 的斜率分别为k ，1k ，2k ，若124k k k +=，求椭圆的方程．
【答案】（1）02y =（2）22
1328
x y +=
【解析】 【分析】
()1设切点()00,A x y 则有20
02x y p
=，利用导数求出切线斜率，可得求出切线方程，将()0,2D -代入切
线方程即可得结果；()2 由()1得()
,2A -，切线斜率k
=2y kx =-，利用
222214x y b b +=，切线与椭圆方程联立，由124k k k +=，利用韦达定理及斜率公式可
得2
3224164k
k k b
-
=-，从而可求得结论． 【详解】()1设切点()00,A x y 则有20
02x y p
=，
由切线l 的斜率为0
x k p
=
， 得l 的方程为2
00
2x x y x p p
=-， 又点()0,2D -在l 上所以2
22x p
=，即02y =，
所以点A 的纵坐标02y =．
()
2由()1得()
,2A -，切线斜率k
= 设()11,B x y ，切线方程为2y kx =-，
由e =223
4c a =又222c a b =-，
所以224a b =．
所以椭圆方程为22
2214x y b b
+=且过()
2A -，
所以24b p =+．
由2
22244y kx x y b =-⎧+=⎨⎩
得()222
14161640k x kx b +-+-=，
所以012
2
012161416414k x x k b x x k ⎧
+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
， 又因为124k k k +=，
即()()()21001100122
0101012
322223214222416416414k
x x x kx x x y y k k k k k k b x x x x x x b k -+-+++==-=-=-=--+， 解得28b =，所以22432a b == ,
所以椭圆方程为22
1328
x y += .
【点睛】本题主要考查抛物线的切线方程以及求椭圆方程，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；②
设方程：根据上述判断设方程()222210x y a b a b +=>>或22
221x y b a
+=()0a b >>；③找关系：根据已知
条件，建立关于a 、b 、c 的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求. 22.已知函数()2
ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥.
（1）求a ；
（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()2
202e f x --<<.
【答案】（1）a=1；（2）见解析. 【解析】 【分析】
（1）通过分析可知f （x ）≥0等价于h （x ）＝ax ﹣a ﹣lnx ≥0，进而利用h ′（x ）＝a 1
x
-可得h （x ）min ＝h （
1a
），从而可得结论； （2）通过（1）可知f （x ）＝x 2﹣x ﹣xlnx ，记t （x ）＝f ′（x ）＝2x ﹣2﹣lnx ，解不等式可知t （x ）min ＝t （
1
2
）＝ln2﹣1＜0，从而可知f ′（x ）＝0存在两根x 0，x 2，利用f （x ）必存在唯一极大值点x 0及x 012＜可知f （x 0）14＜，另一方面可知f （x 0）＞f （
1e ）21e
=． 【详解】（1）解：因为f （x ）＝ax 2﹣ax ﹣xlnx ＝x （ax ﹣a ﹣lnx ）（x ＞0），
则f （x ）≥0等价于h （x ）＝ax ﹣a ﹣lnx ≥0，求导可知h ′（x ）＝a 1x
-． 则当a ≤0时h ′（x ）＜0，即y ＝h （x ）在（0，+∞）上单调递减， 所以当x 0＞1时，h （x 0）＜h （1）＝0，矛盾，故a ＞0． 因为当0＜x 1a ＜
时h ′（x ）＜0、当x 1
a
＞时h ′（x ）＞0， 所以h （x ）min ＝h （
1
a
）， 又因为h （1）＝a ﹣a ﹣ln1＝0， 所以
1
a
=1，解得a ＝1； 另解：因为f （1）＝0，所以f （x ）≥0等价于f （x ）在x ＞0时的最小值为f （1）， 所以等价于f （x ）在x ＝1处是极小值， 所以解得a ＝1；
（2）证明：由（1）可知f （x ）＝x 2﹣x ﹣xlnx ，f ′（x ）＝2x ﹣2﹣lnx ，
令f ′（x ）＝0，可得2x ﹣2﹣lnx ＝0，记t （x ）＝2x ﹣2﹣lnx ，则t ′（x ）＝21
x
-， 令t ′（x ）＝0，解得：x 12
=， 所以t （x ）在区间（0，12）上单调递减，在（1
2
，+∞）上单调递增， 所以t （x ）min ＝t （
1
2
）＝ln2﹣1＜0，从而t （x ）＝0有解，即f ′（x ）＝0存在两根x 0，x 2， 且不妨设f ′（x ）在（0，x 0）上为正、在（x 0，x 2）上为负、在（x 2，+∞）上为正， 所以f （x ）必存在唯一极大值点x 0，且2x 0﹣2﹣lnx 0＝0，
所以f （x 0）20x =-x 0﹣x 0lnx 020x =-x 0+2x 0﹣220x =x 02
0x -，
由x 012
＜可知f （x 0）＜（x 02
0x -）max 2111224
=-+=； 由f ′（
1e ）＜0可知x 0112
e ＜＜， 所以
f （x ）在（0，x 0）上单调递增，在（x 0，1
e
）上单调递减， 所以f （x 0）＞f （
1e ）21e
=；
综上所述，f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．
【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．
21。