浅谈初中数学线段之和最值问题

浅谈初中数学线段之和最值问题
近年来，在全国各地出现的中考试题的平面几何最值问题中，呈现出变化多、涉及面广、形式灵活的 景象，对学生来讲是个难点；如果深入思考，可以发现：这类试题的命制都是立足于教材，解决途径都是 运用转化的思想“化折为直”。

本文中，笔者根据近几年的中考试题，结合浙教版教材和自己的教学体会, 谈谈初中数学中求线段之和最值的求解策略。

1.直接应用定（公）理求最值
平面几何解决最短线路问题时常用的公理
（定理）：①两点之间线段最短•②三角形的两边之和大于第
三边，两边之差小于第三边（②是由①得出） ；③直线外一点到直线的所有线段中
垂线段最短•
1.1应用两点之间线段最短
教材链接：七上7.3线段的长短作业题：
D
如图，A 、B 、C D 表示4个村庄.村民们准备合打一口水井，（1）略（2）你能给出一 中使水井到各村庄的距离之和最小的方案吗？若能，请标出水井的位置，并说明理由 A
口 解题分析：
u B
教材作业题中，因点 D 与点B 、点A 与点C 是定点，当水井打在 AC 与BD 的交点时，水 井到各村庄的距离之和最小，直接利用“两点之间线段最短”的原理。

中考链接：（2009山东潍坊）已知边长为 a 的正三角形 ABC 一象限）,两顶点 A,B 分别在平面直角坐标系的 x 轴,y 轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连接OC, 求OC 的长
的最大值.
解题分析：潍坊的这一试题对教材进行了拓展：点 C 为动点，直接相联不可
能解决，但因为直角三角形斜边上的中线长和等边三角形边上的中线也是定值
,
所以设AB 中点为P,在一般情况下 OP+P O OC 当OP 、C 三点一线时 OC=OP+P 最大. 求解策略：教材的模型是在两定点之间求最小值，根据“两点之间线段最短” 连，对无法或较难量化的两点间距离则可以利用几何图形的性质转化为“折线和” 系或两点间线段最短可得出最值 .
1.2应用垂线段最短
教材链接：七上7.7相交线（2）作业题
如图,直线I 表示一段河道，点A 表示集镇，图上距离与实际距离之 比为1 : 2000 000.现要从河I 向集镇A 引水，问沿怎样的路线开挖水渠， 才能使水渠的长度最短？……
解题分析：教材作业题解决思路是过点
A 向垂直于水渠的方向开挖
水渠，水渠长最短•直接利用“直线外一点到直线的所有线中垂线段最 短”的原理.
试题链接：2010台湾
如图，△ ABC 中，有一点 P 在AC 上移动.若AB=AC=5,BC=6 的最小值为何？
（A ） 8 （B ） 8.8 （C ） 9.8 （D ） 10
解题分析：台湾此题AP*PC=AC 为定值5，从而三线段和转化 值，因为B 为定点，P 为AC 上一动点，所以BP 最小值就是定点 B
求解策略：教材的模型是已知一定点和一定直线求最小值 .解答此类试题只要透过问题找到本质，剔
T
\
7
*
，只要把两定点直接相 ，再利用三角形三边关
到AC 的垂线
A
則 APBPCP
为求BP 最小
除一些不变的线段（和）转化为一定点到一定直线的距离，再利用“直线外一点到直线的所有线中垂线段 最短”即可得出最小值•
在平面几何求最值这类问题中，应用轴对称变换、平移变换和旋转变换这三种图形变换及性质，可以 将那些分散、远离的条件转移到适当的位置上，得以相对集中后，再应用上述定（公）理，便可迎刃而解
2.结合图形变换求最值
' 2. 1应用轴对称变换把直线同侧的线段和转化为异侧线段之和 ”
2.1.1 —定直线+两定点+ —动点
教材链接：浙教版科学七下1.5光的反射和折射
—
基本模型1：（将军饮马问题）白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。

诗中隐含着一个有趣的数学问题：
诗中将军在观望烽火之后从山脚上的
A 点出发，奔向交河旁边的 P 点饮马，饮马后再到
B 点宿营，试问怎样
走，才能使总的路程最短？
图1
国2
思路分析：如图2作A 关于直线a 的对称点A ',过A '作A 'H 垂直I 于点H,则p 点即为所求使 AP 和P 到直线I 距离和为
最短的点.
中考链接：2009绍兴
定义一种变换：平移抛物线F 1得到抛物线F 2，使F 2经过F 1的顶点A .设F 2的对称轴分别交F 1, F 2
如图，在定直线I 同侧有两个定点 A 、B,在定直线I 上有一动点
P,请找到使PA+PB 最短的点P 位置. 思路分析:
如图2作A 关于直线I 的对称点A ,连接A B 交|于p ，则p 点即为所求使 AP+BP 为最短的距离（此题过
B 作关于I 的对称点B '也可，方法都是一样的.
中考链接：2010湖北鄂州市
女口图所示，四边形 OABC 为正方形，边长为6,点A 、C 分别在x 轴， 的正半轴上，点 D 在OA 上，且D 点的坐标为（2,0），P 是OB 上的一动点， 求PD
PA 和的最小值是 A . 2.10 B. ■ 10 C. 4 D. 6
y
解题分析：由已知得点P 为定直线OB 上的动点，点 D 和点A 为两个定点，將 轴对称性可知点 A 关于OB 的对称点就是点 C,因此PD + PA 和的最小值就是 PD • 和点C 都是定点，根据“两点之间线段最短”可得 DC 即为所求.
求解策略：此类试题往往把背景变换成角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、 线
等，但都有一个 “轴对称性”的图形共同点，解题时只要从变换的背景中提取“一定直
「形的 ，而点A
+
-
动点”的数学模型，再通过找定直线的对称点把同侧线段和转化为异侧线段和，利用“两点间线段最短” 实现“折”转“直”即可解决 .若设问是求三角形周长或四边形周长最值，则必含有定长线段，依然可以
转化为两线段和的最值
2.1.2两定直线+—定点+—动点
基本模型2：如图1,已知两定直线a 和I ,其中在定直线I 上有一个定点 A,在定直线a 上有一动点P , 请找到使PA 和点P 到直线I 距离之和的最小值的点
P 位置.
B
P
L
口模型；用正
z.
1 2 7 于点D , B ，点C 是点A 关于直线BD 的对称点.（1）、（2 ）略（3）如图3,若F ! ： y = —x 2 ——x+—, 3
3
3
经过变换后， AC =2..、3，点P 是直线AC 上的动点，求点 P 到点D 的距离和到直线 AD 的距离之和的 最小值.
解题分析：容易证得菱形 ABCD ，由菱形对称性可知 PD 二PB •如图1,
作PH _ AD 交AD 于点H ,则PD PH = PB PH .要使PD PH 最小, 只要使PB PH 最小，此最小值是点 B 到AD 的距离， 即：ABD 边AD 上的
高 h .(••• DN -1, AN =冷3 , DB _ AC ，二 DAN =30，故
ABD 是等边三角形.••• h
3
A^ ?'3 •••最小值为 3 .
2
（C 在点A 的右侧和左侧同理）.
求解策略：解决此类题的关键是在轴对称背景中提取模型条件，通过找定直线的对称点把同侧线段和 转化为异侧线段和，利用“点到直线垂线段最短”
，实现“折”转“直”时，最小值就得到。

2.1.2两定直线+ —定点+ 两动点
基本模型3:如图，已知/ AOB=45 ,其中有一定点 P ,在AO,BO 的边上有两动点 MN 是否存在点 MN
使得△ PMN 的周长最小
解题分析：要求厶PMN 周长的最小值，其实就是求 PM+PN+M 的最小值，根据基本模型 2,作P 关于OA 的对称点 R,作P 关于OB 的对称点 P 2，连接P 1 P 2交OA,OB 于点M,N,贝U PM+PN+M 最小，即△ PMN 的周长 最小。

2. 2 .应用平移变换将无交点的两线段之和转化为“将军饮马问题” 中的两线段之和
教材链接：浙教版七下2.6图形变换的简单应用作业题：
\ y 1
i
\ \
广
2
a M
/
B :十
O 1
x
/ V
B
O
x
图1
（第 24题图3）
B
小聪的方夷:
e
皿的方黛:
“要在一条河上架一座桥（桥通常与河岸垂直）,小聪小明小慧分别提供了一种方案 ，哪一种方案能使
从A 地到B 地的路程最短？请说明理由.”
（建桥问题）
思路分析：小明的方案能使从 A 到B 地的路程最短.方法是：将B 点向下平移到 M 使BM 的长等于桥 长；连结A M 交b 于点D,过点D 作a 的垂线，交a 于点C,则CD 是桥所在的位置.
基本模型4;两定点+—定直线+同侧两定点
如图1,已知两定点 A 、B 和定直线L ,其中在定直线上有两个定距离的动点 A,B 请在直线L 上找到使
AC+BD 直最小的点C 和点D 的位置.
-B
B ',过点A 作AA ' // L,且AA '=CD,连结A B '与直线L 交点即为
所求的点D 位置，点C 位置随之也就确定
中考链接： 2010 天津：
在平面直角坐标系中，矩形 OACB 的顶点0在坐标原点，顶点 A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上， 0A=3, 0B =4,
D 为边0B 的中点.（1）略（叮若
E 、
F 为边0A 上的两个动点，且 EF = 2 , 当四边形CDEF 的周长最小时，求点
解题思路： 如图，由于 CD 和EF 是两定长线段，因此，四边形 CDEF 的周长最小值其实就是 DE+CF 的最小值.作点D 关于X 轴的对称点D •，在CB 边上截取CG =2，连接DG 与x 轴交于点E ，在EA 上截 取EF -2. •/ GC // EF , GC 二EF 四边形GEFC 为平行四边形，有 GE 二CF .又DC 、EF 的长为 定值，•••此时得到的点E 、
F 使四边形CDEF 的周长最小.
思路分析：如图2，作点B 的对称点
.该模型是教材的变式。

1 1 7
•••由Rt . D OE s Rr D BG,可得OE . • OF = OE EF 2 . •••点E 的坐标为
3 3 3
1 7
（丄，0），点F的坐标为（7, 0）.天津试题是模型的变式，区别在于把定直线异侧不“聚头”的两线
3 3
段变化成定直线同侧不“聚头”的两线段•解决过程中多了一次轴对称变换
求解策略：此类题是求定直线同侧未连接两线段和的最小值，首先需要用轴对称变换转化成“建桥问题”模型后，再用平移变换将未连接的两线段在定直线上“聚头”，等量转化为折线，利用“两点间线段
最短”，实现“折”转“直”找到其中一个点的位置，另一点位置也随之找到
2.3应用旋转变换将交于同一点的三线段之和改变位置等量转化为两定点间的折线之和
教材链接：浙教版八下课本第82页：
你听说过费马点吗？……费马点有许多有趣并且有意义的性质……把你的探究结果写成一篇小论文，并通过与同学交流来修改完善你的小论文•
中考链接：2010福建宁德
如图，四边形ABCD是正方形，△ ABE是等边三角形，M为对角线BD （不含B点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN连接EN AM CM.⑴略⑵ ①略②当M点在何处时，AW BM+ CM的值最小，并说明理由；（3）
略
解题分析：根据旋转变换的性质可得：EN=AM^BNM为等边三角形推的MN=BN此时AW BW CM的最小值转化为求“三折线” EN+NM+M的最小值•根据“两点之间线段最短” EN+NM+M等于CE时最小•所以，当M位于BD与CE交点时，AM+ BW CM的值最小，即等于EC的长•
求解策略：此类试题的模型是：三条聚在一起的线段，求线段和的最小值；解决策略是利用旋转变换，把如图1所求的“相聚于同一点的三条线段”转化为如图2 “两定点间的三折线”；根据“两点之间线段最短”可知两定点的
转化
连线长即为所求的线段和最小值
中考试题依托的是教材•试题命制往往有从教材中提取模型、类比模型、变式模型三类•作为教师，不
管在平时教学还是在中考复习中，应立足教材，深挖教材，拓展例、习题及重视学生的探究；作为学生，解题不在多，真正掌握方法就行！所以，找到变幻万千的试题背后最本质的原理或模型，才能发展思维，提升能力；因此，重视解题后的反思及整理才是学习之根本
圉2。