(好题)高中数学必修五第三章《不等式》检测题(包含答案解析)(3)

一、选择题
1．已知正数a 、b 满足1a b +=，则411a b
a b
+--的最小值是（ ） A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
2．已知实数x ，y 满足221x y x m
-≤-≤⎧⎨≤≤⎩且2z y x =-的最小值为-6，则实数m 的值为
（ ）． A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 3．已知x ，y 满足约束条件20
030x y x y m x -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
，若34z x y =-的最大值为9，则m 的值为
（ ） A ．32-
B ．28-
C ．2
D ．3
4．若实数x ，y 满足约束条件403400x y x y x y -+≥⎧⎪
--≤⎨⎪+≥⎩
，则32z x y =+的最大值是（ ）
A ．1
B ．20
C ．28
D ．32
5．若正实数a ，b 满足lg a ＋lg b ＝1，则25
a b
+的最小值为（ ） A
B ．
C
．
2
D ．2
6．若实数x ，y 满足约束条件210
10
x y x y -+≥⎧⎨--≤⎩，则2z x y =-的最大值是（ ）
A ．1-
B ．2
C ．3
D ．4
7．已知0x >，0y >，21x y +=，若不等式2
212m m x y
+>+恒成立，则实数m 的取
值范围是（ ） A ．4m ≥或2m ≤- B ．2m ≥或4m ≤- C ．24m -<< D ．42m -<<
8．若实数,x y 满足121
x y y x -+<⎧⎨≥-⎩，则22
x y +的取值范围是（ ）
A
．1[2 B ．1[,13)4
C
． D ．1[,13)5
9．已知221
2,202
b m a a n b a -=+
>=≠-（）（），则m ，n 之间的大小关系是
A ．m ＝n
B ．m ＜n
C ．m ＞n
D ．不确定
10．设m 1>，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪
≤⎨⎪+≤⎩
下，目标函数z=x+my 的最大值小于2，则m 的取值
范围为（ ） A
．(1,1 B
．()
1++∞ C ．（1，3）
D ．（3，+∞）
11．已知函数()3x f x -=，对任意的1x ，2x ，且12x x <，则下列四个结论中，不一定正确的是（ ）
A ．()()()1212f x x f x f x +=⋅
B ．()()()1212f x x f x f x ⋅=+
C ．()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦
D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<
⎪⎝⎭
12．已知不等式230ax bx a --≥的解集是[]4,1-，则b a 的值为（ ） A ．-64
B ．-36
C ．36
D ．64
二、填空题
13．已知正数a ，b 满足30a b ab +-+=，则ab 的最小值是________． 14．已知圆1C ：()2
24x a y ++=和圆2C ：()2
221x y b +-=（,a b ∈R ，且
0ab ≠），若两圆外切，则22
22a b a b
+的最小值为______.
15．已知0x >，0y >，且212+=x y ，若23
22
+≥-x y m m 恒成立，则实数m 的取值范围_______．
16．已知a ，b 为正实数，且4a +b ﹣ab +2＝0，则ab 的最小值为_____．
17．
已知点(3,A ，O 是坐标原点，点(),P x y
的坐标满足0
200y x y -≤+≥⎨⎪≥⎪⎩
，设z 为
OA 在OP 上的投影，则z 的取值范围是__________.
18．已知实数,x y 满足不等式组20
1030
y x y x y -≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩
，则y
x 的取值范围为__________．
19．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2c cosB ＝2a ＋b ，若△ABC 的面
积为
12
c ，则ab 的最小值为_______．
20．若(0,1)x ∈时，不等式111m x x
≤
+-恒成立，则实数m 的最大值为________． 三、解答题
21．用铁皮做一个体积为350cm ，高为2cm 的长方体无盖铁盒，这个铁盒底面的长与宽各为多少cm 时，用料最省？
22．某地要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边所成的角为60°，考虑到防洪堤的坚固性及石块用料等因素，设计其横断面面积为93平方米，且高度不低于3米，记防洪堤横断面的腰长为x （米），外周长（梯形的上底BC 与两腰长的和）为y （米）.
（1）求y 关于x 的函数关系式，并指出其定义域；
（2）当防洪堤的腰长x 为多少米时，断面的外周长y 最小？求此时外周长的值．
23．小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售价格为(25－x )万元(国家规定大货车的报废年限为10年)． (1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？
(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)
24．某村计划建造一个室内面积为800平方米的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1米宽的通道，沿前侧内墙保留3米宽的空地．
（1）设矩形温室的一边长为x 米，请用S 表示蔬菜的种植面积，并求出x 的取值范围； （2）当矩形温室的长、宽各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积为多少． 25．已知a ＞0，b ＞0，a +b ＝3． （1）求
11
+2+a b
的最小值； （2）证明：
92+a b b a
ab
26．已知关于x 的一元二次不等式()2
2600kx x k k -+<≠.
（1）若不等式的解集是{|3x x <-或}2x >-，求k 的值； （2）若不等式的解集是R ，求k 的取值范围.
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一、选择题 1．C 解析：C 【分析】 化简得出441
511a b a b b a +=+---，将代数式14a b
+与+a b 相乘，展开后利用基本不等式可求得
411a b a b +--的最小值. 【详解】
已知正数a 、b 满足1a b +=，则
()414141511b a b
a a
b b a b a
--+=+=+---
()41454a b a b b a b a ⎛⎫
=++-=+≥= ⎪⎝⎭
，
当且仅当2b a =时，等号成立，
因此，
411a b
a b +--的最小值是4. 故选：C. 【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
2．C
解析：C 【分析】
作出不等式组22
1x y x m -≤-≤⎧⎨≤≤⎩
对应的区域，利用数形结合平移直线即可得到结论 .
【详解】
由题意可作图：
当2z y x =-经过点P 时，z 取最小值6，
此时P 符合：2x m
y x =⎧⎨=-⎩
，即(,2)P m m -代入2z y x =-得：
m -2-2m =-6,解得m =4 故选：C 【点睛】
简单线性规划问题的解题步骤： (1)画出可行域;
(2)作出目标函数所表示的某条直线（通常选作过原点的直线），移动此直线并观察此直线经过可行域的哪个（些）点时，函数有最大（小）值； (3)求（写）出最优解和相应的最大（小）值； (4)下结论．
3．D
解析：D 【分析】
作出x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
，表示的可行域如图中阴影部分所示，再利用数形
结合分析得()max 33439z m =⨯--=，解得参数即可. 【详解】
作出x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
，表示的可行域如图中阴影部分所示，
由z ＝3x -4y 得344z y x =
-，它表示斜率为34纵截距为4
z
-的一系列直线， 当直线经过点A 时，直线的纵截距4
z
-
最小，z 最大.
由0
3
x y m x +-=⎧⎨
=⎩，解得A (3，m －3)，
故()max 33439z m =⨯--=，解得3m =. 故选：D. 【点睛】
方法点睛：线性规划问题一般用图解法，其步骤如下： （1）根据题意，设出变量,x y ； （2）列出线性约束条件；
（3）确定线性目标函数(,)z f x y =；
（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）； （5）利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z =为参数).
4．C
解析：C 【分析】
画出可行域，向上平移基准直线320x y +=到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值. 【详解】
在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，如下图所示的阴影部分：其三
角形区域（包含边界），由40
340
x y x y -+=⎧⎨--=⎩得点(4,8)A ，
由图得当目标函数=3+2z x y 经过平面区域的点(4,8)A 时，=3+2z x y 取最大值
max 342828z =⨯+⨯=.
故选：C.
【点睛】
方法点睛：求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”： （1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；
（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；
（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
5．D
解析：D 【分析】
应用对数运算得到10ab =，由目标式结合基本不等式有25252a b a b
+≥⋅. 【详解】
∵lg lg 1a b +=，即lg 1ab =， ∴10ab =，而0,0a b >>， ∴2525
22a b a b
+≥⋅=当且仅当2,5a b ==时等号成立. ∴
25
a b +的最小值为2. 故选：D 【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
6．D
解析：D 【分析】
画出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，利用数形结合即可得到结论. 【详解】
画出约束条件210110x y x x y -+≥⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩或210110x y x x y -+≥⎧⎪
<⎨⎪+-≥⎩
所表示的平面区域，如图所示，
.
目标函数2z x y =-，可化为2y x z =-， 由图象可知，当直线2y x z =-经过点A 时， 使得目标函数2z x y =-取得最大值， 又由10
210x y x y --=⎧⎨
-+=⎩
，解得(3,2)A ，
所以目标函数的最大值为2324z =⨯-=， 故选：D. 【点睛】
思路点睛：本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于中等题. 求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”： （1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；
（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；
（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
7．D
解析：D 【分析】
先根据已知结合基本不等式得21
8x y
+≥，再解不等式228m m +<即可得答案. 【详解】
解：由于0x >，0y >，21x y +=， 所以
()21214424428y x y x x y x y x y x y x y
⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭，
当且仅当4y x x y
=，即
1
2
2
x y
==时等号成立，
由于不等式2
21
2
m m
x y
+>+成立，
故228
m m
+<，解得：42
m
-<<.
故实数m的取值范围是：42
m
-<<.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用基本不等式求最值，一元二次不等式的解法，考查运算能力，是中档题. 8．D
解析：D
【详解】
根据实数,x y满足
1
21
x y
y x
-+<
⎧
⎨≥-
⎩
，画出可行域如图所示
22
x y+表示可行域内的点与坐标原点O距离的平方，
O与直线AB：210
x y
+-=
2
20015
21
⨯+-
=
+
，
O与(2,3)
C22
2313
+=
∵可行域不包含(2,3)
C
∴2
1
13
5
r
≤<，即22
x y+的取值范围是1[,13)
5
故选：D
【点睛】
线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、
还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.
9．C
解析：C 【解析】
因为a ＞2，所以a －2＞0，所以()11
2222
m a a a a =+
=-++≥-- ()1
22
242
a a +-⋅
=-，当且仅当a ＝3时取等号，故[4m ∈，)+∞．由b ≠0得b 2＞0，所以2－b 2＜2，所以2
22b -＜4，即n ＜4，故()0,4n ∈．综 上可得m ＞n ，故选C ．
10．A
解析：A 【解析】 试题分析：∵
，故直线
与直线
交于
点，目标函数
对应的直线与直线垂直，且在点，取得最大值，其关系
如图所示：即，解得，又∵，解得，
选：A ．
考点：简单线性规划的应用.
【方法点睛】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们可以判断直线的倾斜
角位于区间
上，由此我们不难判断出满足约束条件的平面区域的形状，其中根据
平面直线方程判断出目标函数
对应的直线与直线
垂直，且在
点取得最大值，并由此构造出关于的不等式组是解答本题的关键．
11．B
解析：B 【分析】
将函数()3x
f x -=代入选项，由指数幂的运算性质可判断A 、B ；由函数的单调性可判断
C ；由基本不等式可判断
D ；即可得解. 【详解】
对于A ，1212)
(1212()333()()x x x x f x x f x f x -+--=⋅=⋅+=，故A 一定正确；
对于B ，()12
123
x x f x x -=⋅，1
212()()3
3x x f x f x --++=，
()()()1212f x x f x f x ⋅=+不一定成立，故B 不一定正确；
对于C ，因为()3x
f x -=为减函数，故满足1212()[()()]0x x f x f x --<，故C 一定正确；
对于D ，因为12x x <，
所以1212()()22332
x x f x f x --++=>=12122
32x x x x f +-+⎛⎫= ⎪⎝⎭
=，
故D 一定正确. 故选：B. 【点睛】
本题考查了指数函数性质及基本不等式的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.
12．D
解析：D 【分析】
先由不等式230ax bx a --≥的解集是[]4,1-求出a 、b ，再求b a 【详解】
∵不等式230ax bx a --≥的解集是[]4,1-，
∴23y ax bx a =--图像开口向下，即a <0,且23=0ax bx a --的两根为-4和1.
∴123
12034a b x x a a x x a ⎧
⎪<⎪
⎪
+==-⎨⎪
⎪-==-⎪⎩
，解得：=26a b -⎧⎨=⎩
∴()6
=2=64b a -
故选：D 【点睛】
不等式的解集是用不等式对应的方程的根表示出来的.
二、填空题
13．9【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解【详解】为正实数当且仅当时取等号即解得：或（舍去）当且仅当时取等号即的最小值是9故答案为：9【点睛】关键点点睛：本题主要考查了利用基本不等式求最值解题的关键
解析：9 【分析】
由已知结合基本不等式a b +≥，即可直接求解． 【详解】
30a b ab +-+=，3a b ab ∴+=-
,a b
为正实数，a b ∴+≥a b =时取等号，
3ab ∴-≥30ab ∴-≥，即
)
3
10≥
3≥1≤-（舍去），
9ab ∴≥，当且仅当3a b ==时取等号，即ab 的最小值是9．
故答案为：9 【点睛】
关键点点睛：本题主要考查了利用基本不等式求最值，解题的关键是利用基本不等式将已
的一元二次不等式，进而解不等式得解，考查学生的转化思想与运算能力，属于基础题．
14．1【分析】根据题意分析两圆的圆心与半径由两圆外切可得变形可得：据此可得结合基本不等式的性质分析可得答案【详解】解：根据题意圆其圆心为半径圆其圆心为半径若两圆外切则有变形可得：当且仅当时等号成立故的最
解析：1 【分析】
根据题意，分析两圆的圆心与半径，由两圆外切可得12||C C R r =+，变形可得：
2
2
49a b +=，据此可得22222211
a b a b a b
+=+，结合基本不等式的性质分析可得答案．
【详解】
解：根据题意，圆221:()4C x a y ++=，其圆心1C 为(,0)a -，半径2r ，
圆222:(2)1C x y b +-=其圆心2C 为(0,2)b ，半径1R =，
若两圆外切，则有12||3C C R r =+=，变形可得：2249a b +=，
222222
2222222211111141(4)()(5)(521999a b a b a b a b a b a b b a +=+=++=+++=，当且仅当222a b =时等号成立，
故22
22a b a b
+的最小值为1；
故答案为：1．
【点睛】
本题考查圆与圆的位置关系，涉及基本不等式的性质以及应用，属于中档题．
15．【分析】利用1的替换求出的最小值再解不等式即可【详解】因为当且仅当即时等号成立所以解得故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值涉及到解一元二次不等式是一道中档题
解析：3,32⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
【分析】
利用“1”的替换求出2x y +的最小值92
，再解不等式2
3922m m -≤即可.
【详解】 因为12112219
2()(2)(5)(54)2222
y x x y x y x y x y +=
++=++≥+=，当且仅当22y x
x y
=， 即32x y ==
时等号成立，所以2
3922m m -≤，解得332m -≤≤.
故答案为：3
,32
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
【点睛】
本题主要考查基本不等式求最值，涉及到解一元二次不等式，是一道中档题.
16．【分析】利用基本不等式转化为再利用换元法设转化为关于的一元二次不等式求的最小值【详解】当时等号成立设解得：或即的最小值为故答案为：【点睛】本题考查基本不等式一元二次不等式重点考查转化与变形计算能力属
解析：10+【分析】
利用基本不等式转化为20ab +≤0t =>，转化为关于t 的一元二次不等式，求ab 的最小值. 【详解】
0,0a b >>，
4a b ∴+≥=，当4a b =时等号成立，
20ab ∴+≤，
0t =>，2420t t -+≤，
2420t t --≥，解得：2t ≥2t ≤-
0t >，
26t ∴≥+，即()
2
26
1046ab ≥+=+，
ab ∴的最小值为1046+.
故答案为：1046+ 【点睛】
本题考查基本不等式，一元二次不等式，重点考查转化与变形，计算能力，属于基础题型.
17．【分析】作出可行域根据投影的定义得数形结合求出的取值范围即求z 的取值范围【详解】作出可行域如图所示∴当时；当时的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查简单的线性规划和向量的投影属于中档题 解析：[]3,3-
【分析】
作出可行域.根据投影的定义得23cos z AOP =∠，数形结合求出AOP ∠的取值范围，即求z 的取值范围. 【详解】
作出可行域，如图所示
cos 3OA OP z OA AOP AOP OP
⋅=
=⋅∠=∠.
5,66AOP ππ⎡⎤
∠∈⎢⎥⎣⎦
，∴当6AOP π∠=时，max 2336z π==；当56AOP π∠=
时，min 52336
z π
==-，z ∴的取值范围是[]3,3-. 故答案为：[]3,3-. 【点睛】
本题考查简单的线性规划和向量的投影，属于中档题.
18．【分析】作出可行域表示与（00）连线的斜率结合图形求出斜率的最小值最大值即可求解【详解】如图不等式组表示的平面区域（包括边界）所以表示与（00）连线的斜率因为所以故【点睛】本题主要考查了简单的线性规
解析：1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【分析】
作出可行域，
y
x
表示()
,x y与（0，0）连线的斜率，结合图形求出斜率的最小值，最大值即可求解.
【详解】
如图，不等式组
20
10
30
y
x y
x y
-
⎧
⎪
--
⎨
⎪+-
⎩
表示的平面区域ABC（包括边界），所以
y
x
表示()
,x y 与（0，0）连线的斜率，因为()()
1,22,1
A B
，，所以
1
2
2
OA OB
k k
==
，，故
1
,2
2
y
x
⎡⎤
∈⎢⎥
⎣⎦
.【点睛】
本题主要考查了简单的线性规划问题，涉及斜率的几何意义，数形结合的思想，属于中档题.
19．【解析】分析：由正弦定理将2ccosB＝2a＋b转化成由三角形内角和定理将利用两角和的正弦公式展开化简求得的值由余弦定理三角形的面积公式及基本不等式关系求得ab的最小值详解：2ccosB＝2a＋b由
解析：
1
3
【解析】
分析：由正弦定理将2c cosB＝2a＋b转化成2sin cos2sin sin
C B A B
=+，由三角形内角和定理，将()
sin sin
A B C
=+，利用两角和的正弦公式展开，化简求得sin C的值，由余弦定理、三角形的面积公式及基本不等式关系，求得ab的最小值.
详解：2c cosB＝2a＋b，
由正弦定理转化成2sin cos2sin sin
C B A B
=+
∴()
2sin cos2sin sin
C B B C B
=++
化简得：2sin cos sin0
B C B
+=，
又0,sin0
B B
π
<，得
1
cos
2
C=-，
0C π<<，得2
3
C π=
，
则△ABC 的面积为1sin 2S ab C ==，即3c ab =，
由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，化简得22229a b ab a b ++=，
222a b ab +≥，当且仅当a b =时取等，
∴2229ab ab a b +≤，即1
3
ab ≥
， 故ab 的最小值是13
. 故答案为
13
. 点睛：本题考查正余弦定理、三角形内角和定理及基本不等式相结合.
20．【分析】根据题意只需小于等于的最小值即可利用基本不等式可得的最值进而即可得到结论【详解】由则所以当且仅当即时取等号所以即的最大值为故答案为：【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值以及恒成立问题同时考 解析：4
【分析】
根据题意，只需m 小于等于111x x +-的最小值即可，利用基本不等式可得111x x
+-的最值，进而即可得到结论. 【详解】
由()0,1x ∈，则()10,1x -∈，11x x +-=， 所以，
()111
11124111x x x x x x x x x x
-⎛⎫+=++-=++≥ ⎪---⎝⎭， 当且仅当11x x
x x -=-，即12
x =时取等号， 所以，4m ≤，即m 的最大值为4.
故答案为：4. 【点睛】
本题主要考查了基本不等式求最值，以及恒成立问题，同时考查了转化的思想和运算求解的能力，属于基础题.
三、解答题
21．铁盒底面的长与宽均为5cm 时，用料最省. 【分析】
法一：因为体积为350cm 高为2cm ，所以底面积是定值25，设长为xcm ，则宽为
25x
，
列出表面积结合基本不等式即可；
法二：列出表面积后，利用求导函数的方法求最值. 【详解】
解法1：设铁盒底面的长为xcm ，宽为25
x
，则.. 表面积251002544425S x x x x
=++⨯
=++..
2565≥=.. 当且仅当25
x x
=
，即5x =时，表面积有最小值65. 所以这个铁盒底面的长与宽均为5cm 时，用料最省.
答：这个铁盒底面的长与宽均为5cm 时，用料最省. 解法2：设铁盒底面的长为xcm ，宽为
25x
，表面积为2
ycm ，则. ()2510025444250y x x x x x
=++⨯
=++> 2221004100
4x y x x -'=-=
.. 令22
4100
0x y x -'==得，5x =.
当()0,5x ∈时，0y '<，函数22
4100
x y x -'=为减函数； 当()5,+∈∞x 时，0y '>，函数22
4100
x y x
-'=为增函数； 所以当5x =时，y 有最小值65.
答：这个铁盒底面的长与宽均为5cm 时，用料最省.
22．(1)1832,(26)2
x
y BC x x x =+=
+≤<;(2)外周长的最小值为米，此时腰长为
.
【分析】
()1由腰与底边所成的角为60︒，求出2
h x =
，182x BC x =-，结合限制条件求出定义
域26x ≤<，从而得到y 关于x 的函数关系式
()2由()1得1832
x y x
=+，运用基本不等式求出结果
【详解】
（1）()1
932
AD BC h =
+, 其中3
2,22
x AD BC BC x h x
=+⋅
=+= ∴18 2x BC x =- 由3
32,261802h x x x BC x ⎧=≥⎪⎪≤<⎨
⎪=->⎪⎩
得 ∴183
2,(26)2
x
y BC x x x =+=+≤<. (2)183********
x x
y x x =
+≥⋅=当且仅当[)183232,62x x x ==∈即时等号成立 ∴
外周长的最小值为63米，此时腰长为23米. 【点睛】
本题是一道函数的应用题，解题时需要理清题目中各数量之间的关系，然后根据题意列出函数表达式，在求最值时一般运用基本不等式来求解，注意等号成立的条件 23．(1)3. (2)5. 【解析】 试题分析：
（1）求出第年年底，该车运输累计收入与总支出的差，令其大于0，即可得到结论； （2）利用利润=累计收入+销售收入-总支出，可得平均利润，利用基本不等式，可得结论． 试题
（1）设大货车运输到第年年底，该车运输累计收入与总支出的差为万元，
则
由,可得
∵
，故从第3年，该车运输累计收入超过总支出；
（2）∵利润=累计收入+销售收入−总支出， ∴二手车出售后,小张的年平均利润为，
当且仅当
时，等号成立
∴小张应当在第5年将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大． 考点：根据实际问题选择函数类型, 基本不等式 24．（1）()80042S x x ⎛⎫
=-⋅-
⎪⎝⎭
， 4400x <<；（2）长、宽分别为40米，20米时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为2648m ． 【分析】
（1）根据矩形温室的一边长为xm ，求出另一边长，然后根据矩形的面积公式表示即可，再由解析式即可列出关于x 的不等式，从而得出x 的取值范围；
（2）直接利用基本不等式可求出面积的最大值，注意等号成立的条件，进而得出矩形温室的长、宽. 【详解】
解：（1）矩形的蔬菜温室一边长为x 米，则另一边长为
800
x
米， 因此种植蔬菜的区域面积可表示()800
42S x x ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭
，
由40
80020x x
->⎧⎪⎨->⎪⎩得： 4400x <<；
（2）(
)8001600 428082808S x x x x =-⋅-=-+≤⎛⎫⎛
⎫
⎪ ⎪
⎝
-⎝⎭⎭2808160648m =-=，
当且仅当1600
x x
=，即()404,400x =∈时等号成立．
因此，当矩形温室的两边长、宽分别为40米，20米时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为2648m ． 【点睛】
本题考查了函数模型的选择与应用，以及利用基本不等式求函数的最值，属于中档题． 25．（1）4
5
；（2）证明见解析 【分析】 （1）由所给等式得
()215
a b ++=，再利用基本不等式即可求得最小值；（2）利用
()2
222
a b a b ++≥
即可逐步证明.
【详解】
（1）3a b +=，()215
a b ++∴
=，且200a b +>>，，
∴
()1111112++2225252b a a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝
⎭14255⎛≥+= ⎝，当且仅当2=2b a a b ++即1522a b ==，时等号成立， ∴
11+2+a b 的最小值为4
5
.
（2）因为a ＞0，b ＞0，所以要证
92+a b b a ab
，需证22
92a b +≥，
因为()2
222392
22
a b a b ++≥
==， 所以
92+a b
b a ab ，当且仅当3
2
a b ==时等号成立. 【点睛】
本题考查条件等式求最值、基本不等式的应用，属于中档题.
26．（1）2
5-；（2）6⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭
，-. 【分析】
（1）由不等式的解集为{}
32x x x <->-或知0k <,且3-，2-是方程2260kx x k -+=的两根，代入可解.
（2）不等式的解集为R ，知二次函数图像恒在x 轴下方，则利用0k <且
24240k ∆=-<可解
【详解】
（1）∵不等式的解集为{}
32x x x <->-或 ∴3-，2-是方程2260kx x k -+=的两根，且0k < ∴2
5
k =-
（2）∵不等式的解集为R ∴0k <且24240k ∆=-<
∴k <
∴k 的取值范围是(6
-∞，- 【点睛】
解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据
(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．
(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式∆与0的关系．
(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．。