沪科版九年级上册数学期末考试试卷含答案详解

沪科版九年级上册数学期末考试试题一、选择题。

（每小题只有一个正确答案）
1．如图，DE∥BC，分别交△ABC的边AB、AC于点D、E，
1
3
AD
AB
，若AE=5，则EC的
长度为（）
A．10 B．15 C．20 D．25
2．如图，放映幻灯片时通过光源把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为()
A．6cm B．12cm C．18cm D．24cm
3．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90º，∠BAC＝30º，AB＝2，D是AB边上的一个动点(不与点A、B重合)，过点D作CD的垂线交射线CA于点E．设AD＝x，CE＝y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系图象大致是( )
A．B．C．D．
4．将抛物线y＝2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是( )
A．y＝2x2+3 B．y＝2x2﹣3
C ．y ＝2(x+3)2
D ．y ＝2(x ﹣3)2
5．若:3:2a b =，且2b ac =，则:b c 等于（ ）
A ．4:3
B ．3:2
C ．2:3
D ．3:4
6．若点()1A 6,y -，()2B 2,y -，()3C 3,y 在反比例函数223k y x
+=（k 为常数）的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）
A ．123y y y >>
B ．231y y y >>
C ．321y y y >>
D ．312y y y >>
7．k 为任何实数，则抛物线y ＝2(x ＋k)2－k 的顶点在（ ）上
A 、直线y=x 上，
B 、直线y=-x
C 、x 轴
D 、y 轴
8．比较cos10°、cos20°、cos30°、cos40°大小，其中值最大的是（ ）
A ．cos10°
B ．cos20°
C ．cos30°
D ．cos40° 9．若反比例函数k y x =
的图象经过点（2，-3），则k 值是（ ） A ．6 B ．-6 C ．16 D ．16
- 10．如图，矩形ABCD 中，F 是DC 上一点，BF ⊥AC ，垂足为E ，
12AD AB =，△CEF 的面积为S 1，△AEB 的面积为S 2，则12
S S 的值等于( )
A ．116
B ．15
C ．14
D ．125
二、填空题
11．抛物线y ＝－x 2＋2x －2的顶点坐标为________．
12．若锐角α满足sin αcos α≥，则α的取值范围是______．
13．在平面直角坐标系中，一直角三角板如图放置，其中30角的两边与双曲线()k y k 0x
=≠在第一象限内交于A 、B 两点，若点A 的纵坐标、点B 的横坐标都是1，则该双曲线的解析式是______．
14．如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB 的高度，站在教学楼的C 处测得旗杆底端B 的俯角为 45°，测得旗杆顶端A 的仰角为30°，若旗杆与教学楼的距离为9 m ，则旗杆AB 的高度是___m(结果保留根号)．
15．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=6，BC=10，点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折 叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处，有下列结论：①∠EBG=45°；②△DEF ∽△ABG ；③S △ABG = 1.5 S △FGH ；④AG+DF=FG ；其中正确的是______________．（填写正确结论的序号）
16．如果线段a 、b 、c 、d 满足
25a c b d ==，则2323a c b d ++ =_________.
三、解答题
17．计算：2009111
()3tan3013
--+---．
18．已知二次函数2y ax bx c =++的图象过()A 2,0，()B 0,1-和()C 4,5三点
()1求二次函数的解析式；
()2直接写出不等式2ax bx c x1
++<+的解集．
19．如图，在ABC中，D、E在边BC上，且ADE是等边三角形，BAC120.
∠=试探究线段BD、DE、CE之间的数量关系，并说明理由．
20．某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C 处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．
21．某水产养殖户进行小龙虾养殖已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p(元/千克)与时间第t(天)之间的函数关系为
()()1t 161t 40,t 4p 1t 4641t 80,t 2
⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≤≤⎪⎩为整数为整数，日销售量y(千克)与时问第(天)之间的函数关系如图所示．
()1求日销售量y 与时间t 的函数关系式；
()2求利润w 与时间t 的函数关系式；
()3哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？
22．如图，一次函数y=kx+b （k≠0）的图象与反比例函数y=a x
（a≠0）的图象在第二象限交于点A （m ，2）．与x 轴交于点C （﹣1，0）．过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，△ABC 的面积是3．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）若直线AC 与y 轴交于点D ，求△BCD 的面积．
23．已知抛物线C 1的解析式为y= -x 2+bx+c ，C 1经过A （-2,5）、B （1,2）两点.
（1）求b 、c 的值；
（2）若一条抛物线与抛物线C 1都经过A 、B 两点，且开口方向相同，称两抛物线是“兄弟抛物线”，请直接写出C 1的一条“兄弟抛物线”的解析式.
24．如图，在ABC △中，D 是AB 的中点，求证：AE BF EC CF
．
25．（1）如图1，在△ABC 中，点D ，E ，Q 分别在AB ，AC ，BC 上，且DE ∥BC ，AQ 交DE 于点P ，求证：DP EP BQ CQ
＝； （2） 如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，正方形DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上，连接AG ，AF 分别交DE 于M ，N 两点．
①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN 的长；
②如图3，求证MN 2=DM·EN ．
参考答案
1．A
【详解】
∵DE ∥BC ，
∴根据平行线分线段成比例定理可得
13AD AE AB AC ==， 又∵AE =5，
∴AC =15
∴EC=AC-AE =15-5=10
故选：A
2．C
【详解】
设屏幕上图形的高度xcm ，为根据相似三角形对应高的比等于相似比可得
20660x
= ，解得x =18cm ，即屏幕上图形的高度18cm ，故选C.
3．B
【解析】
试题分析：∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，
∴BC=1，
∴当x=0时，y
当x=1时，y ∵当x=2时CD 的垂线与CA 平行，虽然x 不能取到2，但y 应该是无穷大， ∴y 与x 的函数关系图象大致是B ，
过点D 作点DG ⊥AC 于点G ，过点D 作点DF ⊥BC 于点F ，
∴CF=DG=2x ，)x - ∴EG=y-CG ，
分别在直角三角形CDF、直角三角形DGE、直角三角形CDE中利用勾股定理，
DF2+CF2+DG2+GE2=CE2，
2
y=
故选B．
考点：动点问题的函数图象．
4．C
【分析】
按照“左加右减，上加下减”的规律，从而选出答案.
【详解】
y＝2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是y＝2（x＋3）2，故答案选C.
【点睛】
本题主要考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变换规律，解本题的要点在于熟知“左加右减，上加下减”的变化规律.
5．B
【解析】
【分析】
根据比例的基本性质，若b2=ac，则b：c可求．
【详解】
∵a：b=3：2，且b2=ac，
∴b：c=a：b=3：2．
故选B．
【点睛】
根据比例的基本性质进行比例式和等积式的互相转换，并能够熟练应用．
6．D
【解析】
试题分析：∵a2≥0，∴a2+1≥1，∴反比例函数
21
a
y
x
+
=（a为常数）的图象位于第一三象限，
∵﹣6＜﹣2，∴0＞y1＞y2，∵3＞0，∴y3＞0，∴y3＞y1＞y2．故选D．7．A
【解析】解：抛物线k k x y -+=2)(2的顶点坐标为)(k k --，，横坐标与纵坐标相同，故选A 。

8．A
【解析】
【分析】
根据同名三角函数大小的比较方法比较即可．
【详解】
∵10203040︒<︒<︒<︒，
∴10203040cos cos cos cos ︒>︒>︒>︒．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了同名三角函数大小的比较方法，熟记锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；锐角的余弦、余切值随角度的增大而减小．
9．B
【分析】
直接把点()23-，
代入反比例函数解析式即可得出k 的值． 【详解】
∵反比例函数k y x
=
的图象经过点()23-，， ∴32k -=， 解得：6k =-．
故选：B ．
【点睛】
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
10．A
【解析】
【详解】 ∵12
AD AB =，
∴设AD=BC=a ，则AB=CD=2a ，
∴
，
∵BF ⊥AC ，
∴△CBE ∽△CAB ，△AEB ∽△ABC ，
∴BC 2=CE•CA ，AB 2=AE•AC
∴a 2
，2a 2
，
∴
∴14CE AE =， ∵△CEF ∽△AEB ， ∴212116
S CE S AE ==（）， 故选A ．
11．（1，-1）
【解析】
∵2222(1)1y x x x =-+-=---，
∴抛物线222y x x =-+-的顶点坐标为（1，-1）.
故答案为：（1，-1）.
12．45α90≤<
【解析】
【分析】
由()cos αsin 90α=-且sin α随α的增大而增大，结合sin αcos α≥知α90α≥-，解之可得．
【详解】
()
cos αsin 90α=-，且sin α随α的增大而增大， ∴由sin αcos α≥，即()sin αsin 90α≥-知α90α≥-，
解得：a 45≥，
又α是锐角，
45α90∴≤<，
故答案为：45α90≤<．
【点睛】
本题主要考查同角三角函数的关系，解题的关键是掌握同角三角函数的关系及锐角三角函数的增减性．
13．y = 【解析】
【分析】
过A 作AC x ⊥轴于C ，过B 作BD y ⊥轴于D ，首先证明ACO ≌BDO ，得出AOC BOD 30∠∠==，然后在Rt AOC 中，由AC 1=，AOC 30∠=，求出OC 的值，即得到点A 的坐标，由点A 在双曲线上，利用待定系数法即可求出双曲线的解析式．
【详解】 双曲线()k y k 0x
=≠过点A 、B ，且点A 的纵坐标、点B 的横坐标都是1，
∴可设()A k,1，()B 1,k ．
如图，过A 作AC x ⊥轴于C ，过B 作BD y ⊥轴于D ，
则AC BD 1==，ACO BDO 90∠∠==，OC OD k ==，
ACO ∴≌()BDO SAS ，
()()
11AOC BOD COD AOB 90303022∠∠∠∠∴==-=-=．
在Rt AOC 中，OA=2,∴
∴点A 的坐标为
)．
点)
A 为双曲线k y x =上的点，
k 1∴=
∴反比例函数的解析式为y ．
故答案为y =
． 【点睛】 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，涉及到利用待定系数法求反比例函数的解析式，全等三角形的判定与性质，正切函数的定义等多个知识点.此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．
14．【详解】
试题分析：在Rt △ACD 中，∵tan ∠ACD=AD CD ，∴tan30°=9AD ，∴9AD ∴AD=
m ，在Rt △BCD 中，∵∠BCD=45°，∴BD=CD=9m ，∴AB=AD+BD=9（m ）．故答案
为9．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
15．①③④
【分析】
根据矩形的性质和折叠的性质，可知45EBF GBH ∠+∠=︒，DF 的长度．利用勾股定理可求出AG 、GF 、GH 、HF 的长度，结合题意逐个判断即可．
【详解】
①：根据题意可知EBC EBF ∠=∠，GBA GBH ∠=∠，90EBC EBF GBA GBH ∠+∠+∠+∠=︒， ∴45EBF GBH ∠+∠=︒，即45EBG ∠=︒．
故①正确；
②：90EFD AFB ∠+∠=︒，90ABF AFB ∠+∠=︒，
∴EFD ABF ∠=∠，
∴ABF DFE ， ∴AB AF DF DE
=，
∵8AF ，
∴8463
DE AF DF AB ===． 设AG =x ，则GH =x ，GF =8-x ，HF =BF -BH =10-6=4．
又∵在Rt GHF 中，222GH HF GF +=，
∴2224(8)x x +=-
解得x =3，即AG =3， ∴
623AB AG ==． ∴AB DE AG DF
≠ 故DEF 和△ABG 不相似．
故②错误；
③：由②得GH =3，
1163922ABG S AB AG ==⨯⨯=，1134622
GFH S GH HF ==⨯⨯=． ∴:9:6 1.5ABG GFH S S ==．
故③正确．
④：DF =10-8=2，由②可知AG +DF =3+2=5，GF =8-3=5．
∴AG +DF =GF ．
故④正确． 故答案为①③④．
【点睛】
本题考查折叠的性质、矩形的性质、三角形相似的判定和性质结合勾股定理来解题．本题利用勾股定理计算出AG 的长度是解题的关键．
16．25
【分析】
设2a m =，2c n =，则5b m =，5d n =，代入计算即可求得答案.
【详解】
∵线段a b c d 、、、满足25
a c
b d ==， ∴设2a m =，2
c n =，则5b m =，5
d n =，
∴()()223234622310155235
m n a c m n b d m n m n +++===+++， 故答案为：25
． 【点睛】
本题考查了比例线段以及比例的性质，设出适当的未知数可使解题简便．
17
．3-【解析】
【分析】
直接利用特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质和绝对值的性质分别化简得出答案．
【详解】
原式1331⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭
)
41=--，
3=-
【点睛】
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18．（1）211y x x 122
=
--；（2）1x 4-<< 【解析】
【分析】 ()1利用待定系数法求抛物线解析式；
()2先解方程211
x x 1x 122--=+得抛物线2y ax bx c =++与直线y x 1=+的交点的横坐标分别为1-，4；如图，然后写出直线在抛物线上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】
()1根据题意得42011645a b c c a b c ++=⎧⎪=-⎨⎪++=⎩，解得12121a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩，
所以抛物线解析式为211y x x 122=
--； ()2解方程211x x 1x 122--=+得1x 1=-，2x 4=，
即抛物线2y ax bx c =++与直线y x 1=+的交点的横坐标分别为1-，4；如图，
所以当1x 4-<<时，2ax bx c x 1++<+，
即不等式2ax bx c x 1++<+的解集为1x 4-<<．
【点睛】
本题考查了二次函数与不等式(组)：对于二次函数2y ax bx c(a =++、
b 、
c 是常数，a 0)≠与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
19．2DE BD CE =⋅，理由见解析
【解析】
【分析】
根据等边三角形的性质得到AD AE DE ==，ADE AED 60∠∠==，由邻补角的定义得到ADB AEC 120∠∠==，求得B CAE ∠∠=，根据相似三角形的性质得到
AD BD CE AE
=，等量代换即可得到结论．
【详解】
结论：2DE BD CE =⋅．
理由：ABC 是等边三角形， AD AE DE ∴==，ADE AED 60∠∠==，
ADB AEC 120∠∠∴==，
BAC 120∠=，
B BAD BAD CAE 60∠∠∠∠∴+=+=，
B CAE ∠∠∴=，
ABD ∴∽CAE ，
AD BD CE AE
∴=， AD AE CE BD ∴⋅=⋅，
2DE BD CE ∴=⋅．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
20．
【分析】
作AD ⊥BC 于D ，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据正切的定义求出CD 的长，得到答案．
【详解】
解：作AD ⊥BC 于D ，∵∠EAB=30°，AE ∥BF ，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，∴∠ABD=45°，
又AB=60，∴AD=BD=∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°，∴∠C=60°，
在Rt △ACD 中，∠C=60°，AD=，则tanC=AD CD ，∴=∴BC=
故该船与B 港口之间的距离CB 的长为
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用-方向角问题．
21．（1）y=﹣2t+200（1≤x≤80，t 为整数）；（2）① 当1≤t≤40时，w=﹣12
（t ﹣30）2+2450，
②当41≤t≤80时，w=（t﹣90）2﹣100；（3）第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元．
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法求解可得一次函数解析式；
（2）根据“日销售利润=每斤的利润×日销售量”，求得函数解析式；
（3）结合t的取值范围分情况求解可得．
【详解】
（1）设解析式为y=kt+b，
将（1，198）、（80，40）代入，得：
198
8040
k b
k b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得：
2
200
k
b
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
∴y=﹣2t+200（1≤x≤80，t为整数）
（2）设日销售利润为w，则w=（p﹣6）y，
①当1≤t≤40时，w=（1
4
t+16﹣6）（﹣2t+200）=﹣
1
2
（t﹣30）2+2450，
②当41≤t≤80时，w=（﹣1
2
t+46﹣6）（﹣2t+200）=（t﹣90）2﹣100，
（3）当t=30时，w最大=2450；当t=41时，w最大=2301，
∵2450＞2301，
∴第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意找到相等关系并确定函数解析式、分类讨论思想的运用及二次函数的性质．
22．（1）反比例函数的解析式为y=﹣8
x
，一次函数的解析式为y=﹣
2
3
x﹣
2
3
；（2）S△BCD=1．
【解析】
【分析】
（1）根据点A坐标，点C坐标，结合△ABC的面积是3，求出m的值，从而确定点A的坐标，利用待定系数法即可求出反比例函数解析式，一次函数解析式；
（2）求出点D坐标，利用三角形面积公式进行求解即可得.
【详解】
（1）∵AB⊥x轴于点B，点A（m，2），∴点B（m，0），AB=2，
∵点C （﹣1，0），∴BC=﹣1﹣m ，
∴S △ABC =12
AB•BC=﹣1﹣m=3，∴m=﹣4，∴点A （﹣4，2）， ∵点A 在反比例函数y=a x
（a≠0）的图象上，∴a=﹣4×2=﹣8， ∴反比例函数的解析式为y=﹣
8x ， 将A （﹣4，2）、C （﹣1，0）代入y=kx+b ，得：
420k b k b -+=⎧⎨-+=⎩，解得：2323k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，∴一次函数的解析式为y=﹣23x ﹣23； （2）当x=0时，y=﹣
23x ﹣23=﹣23
， ∴点D （0，﹣23
）， ∴OD=23， ∴S △BCD =12BC•OD=12×3×23
=1．
【点睛】
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及待定系数法，三角形的面积等，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.
23．（1）b=-2，c=5；（2）2 237y x x =-
-+(答案不唯一). 【分析】
（1）直接把点()()2512A B -，
、，代入2 y x bx c =-++，求出b c 、的值即可得出抛物线的解析式；
（2）根据题意，设“兄弟抛物线”的解析式为：2 2y x bx c =-
++，直接把点()()2512A B -，、，代入即可求得答案
.
【详解】
（1）∵()()2512A B -，
、，在C 1上 ， ∴42512b c b c --+=⎧⎨-++=⎩
， 解得：25b c =-=， .
（2）根据“兄弟抛物线”的定义，知：“兄弟抛物线”经过A （-2,5）、B （1,2）两点，且开口方向相同，
∴设“兄弟抛物线”的解析式为：2 2y x bx c =-++，
∵()()2512A B -，
、，在“兄弟抛物线”上， ∴82522b c b c --+=⎧⎨-++=⎩
， 解得：37b c =-=，.
∴另一条“兄弟抛物线”的解析式为：2 237y x x =--+.
【点睛】
本题主要考查了待定系数法求二次函数，正确理解题意，明确“兄弟抛物线”的定义是解题的关键.
24．详见解析
【分析】
作DG ∥BC ，DH ∥AC ，可得G 是AC 中点，H 是BC 中点，BC ＝2DG ，AC ＝2AG ，根据DG ∥BC 可得
DG EG CF CE
=，根据2121DG EG CF CE +=+，化简即可解题． 【详解】
证明：如图，作DG ∥BC ，DH ∥AC ，
∵D 是AB 中点，
∴G 是AC 中点，H 是BC 中点，BC ＝2DG ，AC ＝2AG ，
∵DG ∥BC ，
∴△DGE ∽△FCE ， ∴DG EG CF CE =，
∴2
2DG EG CF CE =，即2BC EG CF CE =， ∴211BC EG CF EC
+=+，即BC CF EG EG EC CF EC +++=， ∵EG ＋EC ＝GC ＝AG ，
∴EG ＋EG ＋EC ＝EG ＋AG ＝AE ， ∴BC CF AE CF EC
+=，即AE BF EC CF =．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理以及相似三角形的判定和性质，本题中求证△DGE ∽△FCE 是解题的关键．
25．（1）证明见解析；（2）②证明见解析． 【分析】
（1）易证明△ADP ∽△ABQ ，△ACQ ∽△ADP ，从而得出DP EP BQ CQ ＝；
（2）①根据等腰直角三角形的性质和勾股定理，求出BC ，根据△ADE ∽△ABC ，
求出正方形DEFG △AMN ∽△AGF 和△AMN 的MN ，
△AGF 的GF MN ：GF 等于高之比即可求出MN ； ②可得出△BGD ∽△EFC ，则DG•EF=CF•BG ；又DG=GF=EF ，得GF 2=CF•BG ，再根据（1）DM MN EN BG GF CF
＝＝，从而得出结论． 【详解】
解：（1）在△ABQ 和△ADP 中，
∵DP ∥BQ ，
∴△ADP ∽△ABQ ， ∴DP AP BQ AQ
=， 同理在△ACQ 和△APE 中，EP AP CQ AQ
=，
∴DP
PE
BQ QC =；
（2）①作AQ ⊥BC 于点Q ．
∵BC 边上的高
∵DE=DG=GF=EF=BG=CF
∴DE ：BC=1：3
又∵DE ∥BC
∴AD ：AB=1：3，
∴AD=13，
∵DE MN ：
∴MN
∴
②证明：∵∠B+∠C=90°∠CEF+∠C=90°，
∴∠B=∠CEF ，
又∵∠BGD=∠EFC ，
∴△BGD ∽△EFC ， ∴DG
BG
CF EF =，
∴DG•EF=CF•BG ，
又∵DG=GF=EF ，
∴GF 2=CF•BG ，
由（1）得DM
MN
EN
BG GF FC ==，
∴MN MN DM EN
GF GF BG CF =，
∴2()MN
DM EN
GF BG CF =，
∵GF 2=CF•BG ，
∴MN 2=DM•EN ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，是一道综合题目，难度较大．。