江西省上高县第二中学2020届高三数学上学期第二次月考试题理

江西省上高县第二中学2020届高三数学上学期第二次月考试题 理
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合12log 1A x x ⎧⎫
=>-⎨⎬⎩⎭
，{}1,0,1,2,3B =-则A B =I （ ）
A ．{}1,0,1-
B ．{}1,0,1,2-
C ．{}1
D ．{}0,1
2．下列说法不正确的是（ ）
A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”
B ．p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题
C ．“1x >”是“||1x >”的充分不必要条件
D ．若命题：:p “0x R ∃∈，使得2
0010x x ++<”，则:p ⌝“x R ∀∈，均有210x x ++≥”
3．已知一个奇函数的定义域为{}b a ,,2,1-，则=+b a （ ） A ．-1
B ．1
C ．0
D ．2
4．函数2
()sin f x x =的导数是( ) A ．2sin x
B ．22sin x
C ．2cos x
D ．sin 2x
5．当1x =是函数(
)
2
2
()233x
f x x ax a a e =+--+的极值点，则a 的值为（ ） A ．-2
B ．3
C ．-2或3
D ．-3或2
6．函数x
x x f 2
11)1(log )(2
2
1--
+=，则使得)12()(-≤x f x f 成立的x 取值范围是（ ）
A 、]1,(-∞
B 、⎥⎦⎤
⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,2121,31Y C 、 ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡1,31 D 、[)+∞⎥⎦
⎤ ⎝
⎛∞-,13
1,Y
7．已知函数2()log f x x =，()2g x x a =+，若存在121
,,22x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣
⎦
，使得()()12f x g x =，
则a 的取值范围是（ ） A ．[5,0]-
B ．(,5][0,)-∞-+∞U
C ．(5,0)-
D ．(,5)(0,)-∞-⋃+∞
8．已知)2(log log log ,0,01684n m n m n m +==>>，则=-n m 42log log （ ）
A.-2
B.2
C. 21-
D.
2
1 9．已知函数()12
2log x
f x x =- ，且实数0a b c >>>满足()()()0f a f b f c < ，若实数
0x 是函数()y f x =的一个零点，那么下列不等式中不可能．．．
成立的是（ ）
A.0x a <
B.0x a >
C.0x b <
D.0x c <
10．已知函数21,1()ln ,1x x f x x x x
⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，若关于x 的方程[]2
2()(12)()0f x m f x m +--=由5
个不同的实数解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1(0,)e
B ．10,e
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
C ．1(1,)e
-
D ．(0,)+∞
11．设函数()2
2
ln f x x x ax x =--，若不等式()0f x <仅有1个正整数解，则实数a 的取值范围是( ) A ．11,ln 22⎡⎫--⎪⎢⎣⎭
B ．11,ln 22
⎛⎤-- ⎥⎝⎦
C ．11ln 2,ln 323⎡⎫-
-⎪⎢⎣⎭
D ．11ln 2,ln 323⎛⎤
-
- ⎥⎝
⎦
12
．已知ln a =1b e -=，3ln 2
8
c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A.a b c >>
B.a c b >>
C.b c a >>
D.b a c >>
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．已知集合P ＝{x|a ＋1≤x≤2a＋1}，Q ＝{x|x 2
－3x≤10}．若P∪Q＝Q ，求实数a 的取值范围__________．
14．已知,a b ∈R ，且280a b -+=，则1
24a
b
+的最小值为______．
15．设函数10()20x
x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，
则满足1
()()12f x f x +->的x 的取值范围是____________.
16．若函数2()1(x
f x mx e e =-+为自然对数的底数）在1x x =和2x x =两处取得极值，且
212x x ≥，则实数m 的取值范围是______．
三、解答题（第17小题10分，第18-22小题各12分，共70分）
17．（本小题满分10分）已知函数()32f x a x x =--+. （1）若2a =,解不等式()30f x -≤；
（2）若存在实数a ,使得不等式()1220f x a x -+-+≥成立,求实数a 的取值范围.
18．（本小题满分12分）已知集合U ＝R ，集合A ＝{x|（x －2）（x －3）<0}，函数
y ＝lg 2(2)x a a x
-+-的定义域为集合B ．
（1）若a ＝
1
2
，求集合A∩（∁U B ）； （2）命题p ：x∈A，命题q ：x∈B，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．
19．（本小题满分12分）已知函数211()ln 2f x x a x x a ⎛⎫
=
-++ ⎪⎝
⎭，其中0a >. （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点()()
1,1f 处切线的方程；
（2）当1a ≠时，求函数()f x 的单调区间；
20．如图所示的几何体中，111ABC A B C -为三棱柱，且1AA ⊥平面ABC ，四边形ABCD 为平行四边形，2AD CD =，60ADC ∠=︒． （1）若1AA AC =，求证：1AC ⊥平面11A B CD ；
（2）若2CD =，1AA AC λ=，二面角11C A D C --的余弦值为2
，求三棱锥11C A CD -的体积．
21．某仪器经过检验合格才能出厂，初检合格率为
4
3
；若初检不合格，则需要进行调试，经调试后再次对其进行检验；若仍不合格，作为废品处理，再检合格率为5
4
.每台仪器各项费用如表： 项目 生产成本
检验费/次
调试费
出厂价
金额（元）
1000
100
200
3000
（2）求生产一台仪器所获得的利润为1600元的概率（注：利润=出厂价-生产成本-检验费-调试费）；
（3）假设每台仪器是否合格相互独立，记X 为生产两台仪器所获得的利润，求X 的分布列和数学期望.
22．已知函数()x
f x e
ax -=-（x ∈R ）.
（1）当1a =-时，求函数()f x 的最小值；
（2）若0x ≥时，()ln(1)1f x x -++≥，求实数a 的取值范围.
2020届高三年级第二次月考数学（理）试卷答题卡班级：学号：姓名：一、选择题（每小题5分，共60分）
13、 14、 15、 16、
三、解答题（共70分）
17.（10分）
18. （12分）
19. （12分）
20. （12分）
21. （12分）
22.（12分）
2020届高三第二次月考数学（理科）试卷答案
1．C 2．B 3．A 4．D 5．B 6．B 7．A 8．C 9．D 10．A 11．B 12．D 二、填空题
13．
14．18 15．1(,)4-+∞ 16．
12ln ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， 三、解答题
17．（1）不等式()3f x ≤化为2323x x --+≤,
则2,2323x x x ≤-⎧⎨-++≤⎩或2232323x x x ⎧-<≤⎪⎨⎪---≤⎩,或23
3223
x x x ⎧
>⎪⎨⎪---≤⎩, 解得3742x -
≤≤,所以不等式()3f x ≤的解集为37|42x x ⎧
⎫
-≤≤
⎨⎬⎩⎭
. （2）不等式()122f x a x ≥-++等价于3321a x x a --+≥-，
即3361x a x a --+≥-，由基本不等式知()()3363366x a x x a x a --+≤--+=+， 若存在实数a ，使得不等式()1220f x a x -+-+≥成立，则61a a +≥-， 解得52
a ≥-
，所以实数a 的取值范围是)
5
,2⎡-+∞⎢⎣.
18．（1）集合{
}23A x x =<<，因为1
2
a =
． 所以函数2
9(2)4lg lg
12x x a y a x x -
-+==--， 由9
4012
x x -
>-， 可得集合1924B x
x ⎧⎫=<<⎨⎬⎭⎩．1924U C B x x x ⎧⎫
=≤≥⎨⎬⎭⎩
或，
故()9
x|
x<3}4
U A C B ={≤I ． （2）因为q 是p 的必要条件等价于p 是q 的充分条件，即A B ⊆，
由{}A x |2x 3<<＝，而集合B 应满足x
a a x -+-)
2(2>0，
因为2
2
172024a a a ⎛⎫+-=-+> ⎪⎝
⎭，故2
B {x |a x a 2}<<＝＋，
依题意就有：2
223
a a ≤⎧⎨
+≥⎩，即a 1≤－或1a 2≤≤，
所以实数a 的取值范围是[](1]1,2∞⋃－，－．
19．（1）当2a =时，则函数221115
()2ln ln 2222f x x x x x x x ⎛⎫=-++=-+ ⎪⎝
⎭， 则51()2f x x x '=-
+，则25115
(1)11,(1)11ln122222
f f '=-+=-=⨯-⨯+=-，
曲线()y f x =在点()()
1,1f 处切线的方程为1
(2)(1)2
y x --=--，即230x y ++=. （2）由函数211()ln 2f x x a x x a ⎛⎫
=
-++ ⎪⎝
⎭，则1()11'()(0)x a x a f x x a x a x x ⎛
⎫-- ⎪
⎛⎫⎝⎭=-++=> ⎪⎝
⎭， 令'()0f x =，x a =，1
x a
=，又0a >， ①若01a <<，1
a a
<
，当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：
所以()f x 在区间(0,)a 和(,)a +∞内是增函数，在(,)a a
内是减函数. ②若1a >，
1
a a
<，当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：
所以()f x 在(0,)a 和(,)a +∞内是增函数，在(,)a a
内是减函数.
20．（1）证明：连接1A C 交1AC 于E ，因为1AA AC =，又1AA ⊥平面ABCD ， 所以1AA AC ⊥，所以四边形11A ACC 为正方形，
所以11A C AC ⊥，在ACD ∆中，2,60AD CD ADC =∠=o
，
由余弦定理得2222cos60AC AD CD AD CD =+-⋅o ，
所以AC =，所以222AD AC CD =+，所以CD AC ⊥，又1AA CD ⊥， 所以CD ⊥平面11A ACC ，
所以1CD AC ⊥，又因为1,CD A C C ⋂= AC 1⊥平面A 1B 1CD ；
（2）如图建立直角坐标系，则()()()()
112,0,0,
0,23,0,0,0,23,0,23,23D A C A λλ
()()
112,0,23,2,23,23DC DA λλ∴=-=-u u u u v u u u u v
，
设平面11AC D 的法向量为()1111,,n x y z =u v
，由
111100n DC n DA u v u u u u v u v u u u u v ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即111112*********
x z x y z λλ⎧-+=⎪⎨-++=⎪⎩， 解得()
11113,03,0,1x z y n λλ==∴=u v
设平面1A CD 的法向量为()2222,,n x y z u u v
=
由22100n CD n CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u v u u u v
u u v u u u v 得2222023230x y z λ=⎧⎪
⎨+=⎪⎩
解得()22220,,0,,1x y z n λλ==-∴=-u u v
由1222122cos 4||311
n n n n θλλ⋅===⋅+⋅+u v u u v u v u u u v 得1λ=，所以1,AA AC =
此时12,,23,
CD AA AC === 所以1111
1123232432C A CD D A CC V V --⎛⎫
==⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭
21．（Ⅰ）记每台仪器不能出厂为事件，则，所以每台仪器能出厂的概
率
．
（Ⅱ）生产一台仪器利润为1600的概率．
（Ⅲ）可取
，
，
，
，
，
． ，，
，
，
，
．
的分布列为：
3800 3500 3200 500 200
．22．(1) 当1
a=-时，函数的解析式为()x
f x e x
-
=+，则：()'10
x x
f e-
=-+≥，
结合导函数与原函数的关系可得函数在区间()
0,∞
+上单调递增，在区间(),0
-∞上单调递减，函数的最小值为：()0
011
f e
=+=.
（2）若0
x≥时，()()11
f x ln x
-++≥，即()110
x
e ax ln x
+++-≥（*）
令()()11
x
g x e ax ln x
=+++-，则()1
'
1
x
g x e a
x
=++
+
①若2
a≥-，由（1）知1
x
e x
-+≥，即1
x
e x
-≥-，故1
x
e x
≥+
()()()
111
'12120
111
x
g x e a x a x a a
x x x
=++≥+++≥+⋅=+≥
+++
∴函数()
g x在区间[)
0,+∞上单调递增，∴()()00
g x g
≥=.
∴（*）式成立.
②若2
a<-，令()1
1
x
x e a
x
φ=++
+
，则()()
()
()
2
22
11
1
'0
11
x
x
x e
x e
x x
φ
+-
=-=≥
++
∴函数()x
φ在区间[)
0,+∞上单调递增，由于()020
a
φ=+<，
()111
110
111
a
a e a a a
a a a
φ-
-=++≥-++=+>
---
.
故()
0,
x a
∃∈-，使得()00
x
φ=，
则当0
0x x
<<时，()()00
x x
φφ
<=，即()
'0
g x<.
∴函数()
g x在区间()0
0,x上单调递减，
∴()()
00
g x g
<=，即（*）式不恒成立,综上所述，实数a的取值范围是[)
2,
-+∞.。