〖汇总3套试卷〗济南市2020年九年级上学期期末复习能力测试数学试题

九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如图，AB是⊙O的直径，AC，BC分别与⊙O交于点D，E，则下列说法一定正确的是（）
A．连接BD，可知BD是△ABC的中线B．连接AE，可知AE是△ABC的高线
C．连接DE，可知DE CE
AB BC
=D．连接DE，可知S△CDE：S△ABC＝DE：AB
【答案】B
【分析】根据圆周角定理，相似三角形的判定和性质一一判断即可．
【详解】解：A、连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴BD是△ABC的高，故本选项不符合题意．B、连接AE．∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴BE是△ABC的高，故本选项符合题意．
C、连接DE．可证△CDE∽△CBA，可得DE EC
AB AC
=，故本选项不符合题意．
D、∵△CDE∽△CBA，可得S△CDE：S△ABC＝DE2：AB2，故本选项不符合题意，
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定以及性质，辅助线的作图是解本题的关键2．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，则a的值是（）
A．1 B．﹣1 C．1
4
D．
1
4
-
【答案】B
【分析】根据关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根可知△=0，求出a的取值即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，
∴△=22+4a=0，
解得a=﹣1．
故选B ．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式，熟记公式正确计算是本题的解题关键．
3．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc ＞0；②b ＜a+c ；③4a+2b+c ＞0；④2c ＜3b ；⑤a+b ＞m （am+b ）（m≠1的实数）．
其中正确的结论有（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
【答案】A 【分析】观察图象：开口向下得到a ＜0；对称轴在y 轴的右侧得到a 、b 异号，则b ＞0；抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方得到c ＞0，所以abc ＜0；当x ＝﹣1时图象在x 轴上得到y ＝a ﹣b+c ＝0，即a+c ＝b ；对称轴为直线x ＝1，可得x ＝2时图象在x 轴上方，则y ＝4a+2b+c ＞0；利用对称轴x ＝﹣2b a
＝1得到a ＝﹣12b ，而a ﹣b+c ＜0，则﹣12
b ﹣b+
c ＜0，所以2c ＜3b ；开口向下，当x ＝1，y 有最大值a+b+c ，得到a+b+c ＞am 2+bm+c ，即a+b ＞m （am+b ）（m≠1）．
【详解】解：开口向下，a ＜0；
对称轴在y 轴的右侧，a 、b 异号，则b ＞0；
抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方，c ＞0，则abc ＜0，所以①不正确；
当x ＝﹣1时图象在x 轴上，则y ＝a ﹣b+c ＝0，即a+c ＝b ，所以②不正确；
对称轴为直线x ＝1，则x ＝2时图象在x 轴上方，则y ＝4a+2b+c ＞0，所以③正确；
x ＝﹣2b a
＝1，则a ＝﹣12b ，而a ﹣b+c ＝0，则﹣12b ﹣b+c ＝0，2c ＝3b ，所以④不正确； 开口向下，当x ＝1，y 有最大值a+b+c ；
当x ＝m （m≠1）时，y ＝am 2+bm+c ，则a+b+c ＞am 2+bm+c ，
即a+b ＞m （am+b ）（m≠1），所以⑤正确．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象，当a ＞0，开口向上，函数有最小值，a ＜0，开口向下，函数有最大值；对称轴为直线x=2b a
，a 与b 同号，对称轴在y 轴的左侧，a 与b 异号，对称轴在y 轴的右侧；当c ＞0，抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方；当△=b 2-4ac ＞0，
抛物线与x轴有两个交点．
4．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(4，4)，B(6，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段
AB缩小为原来的1
2
后得到线段CD，则端点C和D的坐标分别为()
A．(2，2)，(3，2) B．(2，4)，(3，1) C．(2，2)，(3，1) D．(3，1)，(2，2) 【答案】C
【解析】直接利用位似图形的性质得出对应点坐标乘以1
2
得出即可．
【详解】解：∵线段AB两个端点的坐标分别为A（4，4），B（6，2），
以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的1
2
后得到线段CD，
∴端点的坐标为：（2，2），（3，1）．
故选C．
【点睛】
本题考查位似变换；坐标与图形性质，数形结合思想解题是本题的解题关键．5．如图，AB∥CD，点E在CA的延长线上.若∠BAE=40°，则∠ACD的大小为（）
A．150°B．140°C．130°D．120°
【答案】B
【解析】试题分析：如图，延长DC到F，则
∵AB∥CD，∠BAE=40°，∴∠ECF=∠BAE=40°.
∴∠ACD=180°-∠ECF=140°.
故选B．
考点：1.平行线的性质；2.平角性质.
6．从拼音“nanhai”中随机抽取一个字母，抽中a的概率为( )
A．1
2
B．
1
3
C．
1
5
D．
1
6
【答案】B
【解析】nanhai共有6个拼音字母，a有2个，根据概率公式可得答案．【详解】∵nanhai共有6个拼音字母，a有2个，
∴抽中a的概率为21
=
63
，
故选：B．
【点睛】
此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
7．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，且点B的坐标为（6，4），如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积
的1
4
，那么点B′的坐标是（）
A．（3，2）B．（－2，－3）
C．（2，3）或（－2，－3）D．（3，2）或（－3，－2）【答案】D
【分析】利用位似图形的性质得出位似比，进而得出对应点的坐标．
【详解】解：∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的1
4
，
∴两矩形面积的相似比为：1：2，
∵B的坐标是（6，4），
∴点B′的坐标是：（3，2）或（-3，-2）．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了位似变换的性质，得出位似图形对应点坐标性质是解题关键．
8．如图，是用棋子摆成的“上”字：如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：第30个“上”字需用多少枚棋子（）
A．122 B．120 C．118 D．116
【答案】A
【分析】可以将上字看做有四个端点每次每个端点增加一个，还有两个点在里面不发生变化．找到其规律即可解答.
【详解】第1个“上”字中的棋子个数是6；第2个“上”字中的棋子个数是10；第3个“上”字中的棋子个数是14；进一步发现规律：第n个“上”字中的棋子个数是（4n+2）．
所以第30个“上”字需要4×30+2=122枚棋子．
故选：A．
【点睛】
此题考查规律型：图形的变化，解题关键是通过归纳与总结，得到其中的规律.
9．如图，⊙O的圆周角∠A =40°，则∠OBC的度数为（）
A．80°B．50°C．40°D．30°
【答案】B
【分析】然后根据圆周角定理即可得到∠OBC的度数，由OB=OC，得到∠OBC=∠OCB，根据三角形内角和定理计算出∠OBC．
【详解】∵∠A=40°．
∴∠BOC=80°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=50°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半；也考查了等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理．
10．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，设OA a
=，下列式子中正确的
=，OB b
是（）
A．DC a b
=-；
=+B．DC a b
C．DC a b
=--．
=-+D．DC a b
【答案】C
【分析】由平行四边形性质，得DC AB
+=，代入计算即可得到答
=，由三角形法则，得到OA AB OB
案.
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC AB
=，
∵OA a
=，
=，OB b
在△OAB中，有OA AB OB
+=，
∴AB OB OA b a a b
=-=-=-+，
∴DC a b
=-+；
故选择：C.
【点睛】
此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．
11．已知，如图，E（-4，2），F（-1，-1）．以O为位似中心，按比例尺1：2把△EFO缩小，点E的对应点）的坐标（）
A．（-2，1）B．（2，-1）C．（2，-1）或（-2，-1）D．（-2，1）或（2，-1）
【答案】D
【分析】由E（-4，2），F（-1，-1）．以O为位似中心，按比例尺1：2把△EFO缩小，根据位似图形的性质，即可求得点E的对应点的坐标．
【详解】解：∵E（-4，2），以O为位似中心，按比例尺1：2把△EFO缩小，
∴点E的对应点的坐标为：（-2，1）或（2，-1）．
故选D．
【点睛】
本题考查位似变换；坐标与图形性质，利用数形结合思想解题是关键．
12．把二次函数y=2x 2的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位后的函数关系式是（ ） A ．22(3)2y x =-+
B ．22(3)2y x =++
C ．22(3)?2y x =-
D ．22(3)?2y x =+
【答案】A
【解析】将二次函数22y x =的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位后的函数关系式为：22(3)2y x =-+.
故选A.
二、填空题（本题包括8个小题）
13．已知三点A （0，0），B （5，12），C （14，0），则△ABC 内心的坐标为____．
【答案】（6，4）．
【分析】作BQ ⊥AC 于点Q ，由题意可得BQ=12，根据勾股定理分别求出BC 、AB 的长，继而利用三角形
面积，可得△OAB 内切圆半径，过点P 作PD ⊥AC 于D ，PF ⊥AB 于F ，PE ⊥BC 于E ，设AD=AF=x ，则CD=CE=14-x ，
BF=13-x ，BE=BC-CE=15-（14-x ）=1+x ，由BF=BE 可得13-x=1+x ，解之求出x 的值，从而得出点P 的坐标，即可得出答案．
【详解】解：如图，过点B 作BQ ⊥AC 于点Q ，
则AQ=5，BQ=12，
∴13=，CQ=AC-AQ=9，
∴15=
设⊙P 的半径为r ，根据三角形的面积可得：r=14124141315
⨯=++ 过点P 作PD ⊥AC 于D ，PF ⊥AB 于F ，PE ⊥BC 于E ，
设AD=AF=x ，则CD=CE=14-x ，BF=13-x ，
∴BE=BC-CE=15-（14-x ）=1+x ，
由BF=BE 可得13-x=1+x ，
解得：x=6，
∴点P 的坐标为（6，4），
故答案为：（6，4）．
【点睛】
本题主要考查勾股定理、三角形的内切圆半径公式及切线长定理，根据三角形的内切圆半径公式及切线长定理求出点P的坐标是解题的关键．
14．如图，四边形ABCD内接于圆，点B关于对角线AC的对称点E落在边CD上，连接AE.若
∠的度数为__________．
∠=，则DAE
115
ABC
【答案】50︒
【分析】直接利用圆内接四边形对角互补，再结合三角形外角的性质即可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD内接于圆，115
∠=，
ABC
∴∠ADC=180°-115°=65°，
又∵点B关于对角线AC的对称点E落在边CD上，
∴∠AEC=∠ABC=115°，
∴∠DAE=∠AEC-∠ADC=115°-65°=50°.
故答案为：50°.
【点睛】
此题主要考查了圆内接四边形的性质以及三角形的外角，正确得出∠AEC和∠ADC的度数是解题关键．15．如图，直线AB与⊙O相切于点C，点D 是⊙O上的一点，且∠EDC=30°，则∠ECA的度数为_________．
【答案】30°
【分析】连接OE 、OC ，根据圆周角定理求出∠EOC=60°，从而证得EOC △为等边三角形，再根据切线及等边三角形的性质即可求出答案．
【详解】解：如图所示，连接OE 、OC ，
∵∠EDC=30°，
∴∠EOC=2∠EDC=60°，
又∵OE=OC ，
∴EOC △为等边三角形，
∴∠ECO=60°，
∵直线AB 与圆O 相切于点C ，
∴∠ACO=90°，
∴∠ECA=∠ACO －∠ECO=90°－60°=30°．
故答案为：30°．
【点睛】
本题考查了圆的基本性质、圆周角定理及切线的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握各性质判定定理是解题的关键．
16．有一条抛物线，三位学生分别说出了它的一些性质：甲说：对称轴是直线2x =；乙说：与x 轴的两个交点的距离为6；丙说：顶点与x 轴的交点围成的三角形面积等于9，则这条抛物线解析式的顶点式是______. 【答案】()21233y x =--，()21233
y x =--+ 【分析】根据对称轴是直线x=2，与x 轴的两个交点距离为6，可求出与x 轴的两个交点的坐标为（-1，0），（5，0）；再根据顶点与x 轴的交点围成的三角形面积等于9，可得顶点的纵坐标为±1，然后利用顶点式求得抛物线的解析式即可．
【详解】解：∵对称轴是直线x=2，与x 轴的两个交点距离为6，
∴抛物线与x 轴的两个交点的坐标为（-1，0），（5，0），
设顶点坐标为（2，y ），
∵顶点与x 轴的交点围成的三角形面积等于9， ∴1692
y ⨯⨯=， ∴y=1或y=-1，
∴顶点坐标为（2，1）或（2，-1），
设函数解析式为y=a （x-2）2+1或y=a （x-2）2-1；
把点（5，0）代入y=a （x-2）2+1得a=-13； 把点（5，0）代入y=a （x-2）2-1得a=13； ∴满足上述全部条件的一条抛物线的解析式为y=-
13（x-2）2+1或y=13（x-2）2-1． 故答案为：()21233y x =
--，()21233
y x =--+. 【点睛】
此题考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式．解题的关键是理解题意，采用待定系数法求解析式，若给了顶点，注意采用顶点式简单．
17．分解因式：29a -=__________．
【答案】()()33a a +-
【解析】试题分析：本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．先把式子写成a 2-32，符合平方差公式的特点，再利用平方差公式分解因式．
a 2-9=a 2-32=（a+3）（a-3）．
故答案为（a+3）（a-3）．
考点：因式分解-运用公式法．
18．如图，抛物线2(0)y ax c a =+<交x 轴于点G F 、，交y 轴于点D ，在x 轴上方的抛物线上有两点B E 、，它们关于y 轴对称，点G B 、在y 轴左侧．BA OG ⊥于点A ，BC OD ⊥于点C ，四边形OABC 与四边形ODEF 的面积分别为6和10，则ABG 与BCD 的面积之和
为 ．
【答案】1
【分析】根据抛物线的对称性知：四边形ODBG 的面积应该等于四边形ODEF 的面积；由图知△ABG 和△BCD 的面积和是四边形ODBG 与矩形OCBA 的面积差，由此得解．
【详解】解：由于抛物线的对称轴是y 轴，根据抛物线的对称性知：S 四边形ODEF =S 四边形ODBG =10； ∴S △ABG +S △BCD =S 四边形ODBG -S 四边形OABC =10-6=1．
【点睛】
本题考查抛物线的对称性，能够根据抛物线的对称性判断出四边形ODEF 、四边形ODBG 的面积关系是解答此题的关键．
三、解答题（本题包括8个小题）
19．如图，建筑物AB 的高为6cm ，在其正东方向有个通信塔CD ，在它们之间的地面点M （B ，M ，D 三点在一条直线上）处测得建筑物顶端A 、塔项C 的仰角分别为37°和60°，在A 处测得塔顶C 的仰角为30°，则通信塔CD 的高度．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，3=1.73，精确到0.1m ）
【答案】通信塔CD 的高度约为15.9cm ．
【解析】过点A 作AE ⊥CD 于E ，设CE=xm ，解直角三角形求出AE ，解直角三角形求出BM 、DM ，即可得出关于x 的方程，求出方程的解即可．
【详解】过点A 作AE⊥CD 于E ，
则四边形ABDE 是矩形，
设CE=xcm ，
在Rt△AEC 中，∠AEC=90°，∠CAE=30°， 所以AE=330CE tan =︒
， 在Rt△CDM 中，CD=CE+DE=CE+AB=（x+6）cm ， DM=)36603
x CD tan +=︒cm ， 在Rt△ABM 中，BM=
63737AB tan tan =︒︒cm ， ∵AE=BD， )3663373
x x tan +=+︒，
解得：x=33
+3，
∴CD=CE+ED=33
+9≈15.9（cm），
答：通信塔CD的高度约为15.9cm．
【点睛】
本题考查了解直角三角形，能通过解直角三角形求出AE、BM的长度是解此题的关键．
20．如图，请在下列四个论断中选出两个作为条件，推出四边形ABCD是平行四边形，并予以证明(写出一种即可)．
①AD∥BC；②AB＝CD；③∠A＝∠C；④∠B＋∠C＝180°.
已知：在四边形ABCD中，____________．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
【答案】已知：①③（或①④或②④或③④），证明见解析．
【解析】试题分析：根据平行四边形的判定方法就可以组合出不同的结论，然后即可证明．
其中解法一是证明两组对角相等的四边形是平行四边形；
解法二是证明两组对边平行的四边形是平行四边形；
解法三是证明一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
解法四是证明两组对角相等的四边形是平行四边形．
试题解析：已知：①③，①④，②④，③④均可，其余均不可以．
解法一：
已知：在四边形ABCD中，①AD∥BC，③∠A=∠C，
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°．
∵∠A=∠C，
∴∠B=∠D．
∴四边形ABCD是平行四边形．
解法二：
已知：在四边形ABCD中，①AD∥BC，④∠B+∠C=180°，
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵∠B+∠C=180°，
∴AB∥CD，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
解法三：
已知：在四边形ABCD中，②AB=CD，④∠B+∠C=180°，求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵∠B+∠C=180°，
∴AB∥CD，
又∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
解法四：
已知：在四边形ABCD中，③∠A=∠C，④∠B+∠C=180°，求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵∠B+∠C=180°，
∴AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°，
又∵∠A=∠C，
∴∠B=∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形．
考点：平行四边形的判定．
21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=17，CD=10，∠A=90°，cosB=3
5
，求AD的长．
【答案】AD=1．
【解析】根据圆内接四边形的对角互补得出∠C=90°，∠ABC+∠ADC=180°．作AE⊥BC于E，DF⊥AE于F，
则CDFE是矩形，EF=CD=2．解Rt△AEB，得出BE=AB•cos∠ABE=51
5
，22
58
=
5
AB BE
-，那么
AF=AE-EF=18
5
．再证明∠ABC+∠ADF=90°，根据互余角的互余函数相等得出sin∠ADF=cos∠ABC=
3
5
．解
Rt△ADF，即可求出AD=
AF
sin ADF
∠
=1．
【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A=90°，
∴∠C=180°-∠A=90°，∠ABC+∠ADC=180°．
作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥AE 于F ，则CDFE 是矩形，EF=CD=2．
在Rt △AEB 中，∵∠AEB=90°，AB=17，cos ∠ABC=
35， ∴BE=AB•cos ∠ABE=
515， ∴22585
AB BE -， ∴AF=AE-EF=68181055-=． ∵∠ABC+∠ADC=180°，∠CDF=90°，
∴∠ABC+∠ADF=90°，
∵cos ∠ABC=35
， ∴sin ∠ADF=cos ∠ABC=35
． 在Rt △ADF 中，∵∠AFD=90°，sin ∠ADF=
35， ∴AD=18
5635
AF sin ADF
==∠． 【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，求出AF=
185以及sin ∠ADF=35
是解题的关键． 22．如图,在ABC ∆中, 13AB AC ==,10BC =,AG BC ⊥于G 点, D 是BC 上的点, DE AB ⊥于E 点, //DF AB ,交AC 于点F .
（1）求证: DBE ABG ∆∆;
（2）当DEF ∆的面积最大时,求BD 的长.
【答案】（1）见解析；（2）5
【分析】（1）根据相似三角形的判定方法即可求；
（2）设BD x =，DEF ∆的面积为y ，
由等腰三角形性质和平行线分线段成比例，可求出13(10)10DF x =-，再根据DEF ∆的面积12
ED DF =
可以得出y 关于x 的函数关系式，由二次函数性质可得DEF ∆的面积y 为最大时x 的值即可．
【详解】解：（1）证明： DE AB ∵⊥，AG BC ⊥， 90BED AGB ∴∠=∠=︒，
B B ∠∠=，
DBE ABG ∴∆∆．
（2）解：设BD x =，则10CD x =-，
∵13AB AC ==，10BC =，AG BC ⊥， ∴152
BG BC ==， 在Rt △ABG 中，2212AG AB BG =
-=， ∵DBE
ABG ∆∆ ∴ED AG BD AB =，即1213
ED x =， ∴1213
ED x =， //DF AB ，
DF CD AB CB ∴
=，即101310
DF x -= 13(10)10
DF x ∴=-， DEF ∴∆的面积112133(10)(10)213105
S x x x x =⨯⨯-=- 23(5)155x =--+
∴当DEF ∆的面积最大时，5x =，即BD 的长为5．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，可利用数形结合思想根据题目提供的条件转化为函数关系式．
23．（1）计算：011(2017)()93---+ （2）已知2
3a b =，求342a b a b
-+的值 【答案】（1）1；（2）67-. 【分析】（1）先计算乘方并对平方根化简，最后进行加减运算即可；
（2）用含b 的代数式表示a ，代入式子即可求值.
【详解】解： （1）01
1(2017)()93---+
=133-+
=1 （2）已知23a b =，可得23a b =，代入342a b a b -+=234632723
b b b b ⨯-=-⨯+. 【点睛】
本题考查实数的运算以及代入求值，熟练掌握相关计算法则是解题关键.
24．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是直径，OD ⊥AC ，垂足为D 点，直线OD 与⊙O 相交于E ，F 两点，P 是⊙O 外一点，P 在直线OD 上，连接PA ，PB ，PC ，且满足∠PCA ＝∠ABC
（1）求证：PA ＝PC ；
（2）求证：PA 是⊙O 的切线；
（3）若BC ＝8，32
AB DF =，求DE 的长．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）DE ＝1．
【分析】（1）根据垂径定理可得AD ＝CD ，得PD 是AC 的垂直平分线，可判断出PA ＝PC ；
（2）由PC ＝PA 得出∠PAC ＝∠PCA ，再判断出∠ACB ＝90°，得出∠CAB+∠CBA ＝90°，再判断出∠PCA+∠CAB ＝90°，得出∠CAB+∠PAC ＝90°，即可得出结论；
（2）根据AB 和DF 的比设AB ＝3a ，DF ＝2a ，先根据三角形中位线可得OD ＝4，从而得结论．
【详解】（1）证明∵OD⊥AC，
∴AD＝CD，
∴PD是AC的垂直平分线，
∴PA＝PC，
（2）证明：由（1）知：PA＝PC，∴∠PAC＝∠PCA．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°．
又∵∠PCA＝∠ABC，
∴∠PCA+∠CAB＝90°，
∴∠CAB+∠PAC＝90°，即AB⊥PA，∴PA是⊙O的切线；
（3）解：∵AD＝CD，OA＝OB，
∴OD∥BC，OD＝1
2
BC＝
1
8
2
⨯＝4，
∵
3
2 AB
DF
=，
设AB＝3a，DF＝2a，∵AB＝EF，
∴DE＝3a﹣2a＝a，
∴OD＝4＝3
2
a
﹣a，
a＝1，
∴DE＝1．
【点睛】
本题考查的是圆的综合，难度适中，需要熟练掌握线段中垂线的性质、圆的切线的求法以及三角形中位线的相关性质.
25．解方程：x（x﹣3）+6＝2x．
【答案】x1＝2，x2＝1．
【分析】先去掉括号，再把2x移到等号的左边，再根据因式分解法即可求解．
【详解】解：x（x﹣1）+6＝2x，
x2﹣1x+6﹣2x＝0，
x2﹣5x+6＝0，
（x﹣2）（x﹣1）＝0，
x ﹣2＝0或x ﹣1＝0，
x 1＝2，x 2＝1．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法，因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
26．如图，锐角三角形ABC 中，CD ，BE 分别是AB ，AC 边上的高，垂足为D ，E ．
（1）证明：ACD ABE ∽．
（2）若将D ，E 连接起来，则AED 与ABC 能相似吗？说说你的理由．
【答案】（1）见解析；（2）能，理由见解析.
【分析】（1）根据已知利用有两个角相等的三角形相似判定即可；
（2）根据第一问可得到AD ：AE=AC ：AB ，有一组公共角∠A ，则可根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似进行判定．
【详解】()1证明：ACD ABE ∽．
证明：∵CD ，BE 分别是AB ，AC 边上的高，
∴90ADC AEB ∠=∠=．
∵A A ∠=∠，
∴ACD ABE ∽．
()2若将D ，E 连接起来，则AED 与ABC 能相似吗？说说你的理由．
∵ACD ABE ∽，
∴::AD AE AC AB =．
∴AD:AC=AE:AB
∵A A ∠=∠，
∴AED ABC ∽．
【点睛】 考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.
27．如图，在平行四边形ABCD 中，点A 、B 、C 的坐标分别是（1，0）、（3，1）、（3，3），双曲线y ＝k x
（k≠0，x ＞0）过点D ．
（1）写出D 点坐标；
（2）求双曲线的解析式；
（3）作直线AC 交y 轴于点E ，连结DE ，求△CDE 的面积．
【答案】（1）点D 的坐标是（1，2）；（2）双曲线的解析式是：y ＝2x
；（1）△CDE 的面积是1． 【分析】（1）根据平行四边形对边相等的性质，将线段长度转化为点的坐标即可；
（2）求出点D 的坐标后代入反比例函数解析式求解即可；
（1）观察图形，可用割补法将CDE ∆分成ADE ∆与ACD ∆两部分，以AD 为底，分别以E 到AD 的距离和C 到AD 的距离为高求解即可.
【详解】解：（1）∵在平行四边形ABCD 中，点A 、B 、C 的坐标分别是（1，0）、（1，1）、（1，1）， ∴点D 的坐标是（1，2），
（2）∵双曲线y ＝
k x （k≠0，x ＞0）过点D （1，2）， ∴2＝1
k ，得k ＝2， 即双曲线的解析式是：y ＝2x
； （1）∵直线AC 交y 轴于点E ，点A 、B 、C 的坐标分别是（1，0）、（1，1）、（1，1），点D 的坐标是（1，
2），
∴AD＝2，点E 到AD 的距离为1，点C 到AD 的距离为2， ∴S△CDE＝S△EDA+S△ADC＝
212222
⨯⨯+＝1+2＝1， 即△CDE 的面积是1．
【点睛】
本题主要考查反比例函数与平行四边形的性质，熟练掌握两知识点的性质是解答关键.
九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如图，A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四点，BD 为⊙O 的直径，若四边形ABCO 是平行四边形，则∠ADB 的大小为（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．75°
【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCO 是平行四边形，且OA=OC ， ∴四边形ABCO 是菱形， ∴AB=OA=OB ，
∴△OAB 是等边三角形， ∴∠AOB=60°， ∵BD 是⊙O 的直径，
∴点B 、D 、O 在同一直线上， ∴∠ADB=1
2
∠AOB=30° 故选A ．
2．若12x x 、是一元二次方程2320x x ++=的两个实数根，则22
12x x +的值为（ ）
A ．13-
B ．1-
C ．5
D ．13
【答案】C
【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得x 1+x 2=-3，x 1·x 2=2，利用完全平方公式即可求出答案． 【详解】∵12x x 、是一元二次方程2320x x ++=的两个实数根， ∴x 1+x 2=-3，x 1·
x 2=2， ∴22
12x x +=( x 1+x 2)2-2x 1·
x 2=9-4=5， 故选：C ． 【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为12x x 、，那么x 1+x 2=b a -
，x 1·x 2=c
a
，熟练掌握韦达定理是解题关键． 3．如图，矩形ABCD 中，BC ＝4，CD ＝2，O 为AD 的中点，以AD 为直径的弧DE 与BC 相切于点E ，连接
BD ，则阴影部分的面积为（ ）
A ．π
B ．
2
π C ．π+2 D ．
2
π+4 【答案】A
【分析】连接OE 交BD 于F ，如图，利用切线的性质得到OE ⊥BC ，再证明四边形ODCE 和四边形ABEO 都是正方形得到BE=2，∠DOE=∠BEO=90°，易得△ODF ≌△EBF ，所以S △ODF =S △EBF ，然后根据扇形的面积公式，利用阴影部分的面积=S 扇形EOD 计算即可． 【详解】连接OE 交BD 于F ，如图， ∵以AD 为直径的半圆O 与BC 相切于点E ， ∴OE ⊥BC ．
∵四边形ABCD 为矩形，OA=OD=2， 而CD=2，
∴四边形ODCE 和四边形ABEO 都是正方形， ∴BE=2，∠DOE=∠BEO=90°． ∵∠BFE=∠DFO ，OD=BE ， ∴△ODF ≌△EBF(AAS)， ∴S △ODF =S △EBF ，
∴阴影部分的面积=S 扇形EOD 2
902360
ππ⋅⋅==．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了矩形的性质和扇形面积公式． 4．如图，点P （x ，y ）（x ＞0）是反比例函数y=
k
x
（k ＞0）的图象上的一个动点，以点P 为圆心，OP 为半径的圆与x 轴的正半轴交于点A ，若△OPA 的面积为S ，则当x 增大时，S 的变化情况是（ ）
A ．S 的值增大
B ．S 的值减小
C ．S 的值先增大，后减小
D ．S 的值不变
【答案】D
【分析】作PB ⊥OA 于B ，如图，根据垂径定理得到OB=AB ，则S △POB =S △PAB ，再根据反比例函数k 的几何意义得到S △POB =
1
2
|k |，所以S=2k ，为定值． 【详解】作PB ⊥OA 于B ，如图，则OB=AB ，∴S △POB =S △PAB ． ∵S △POB =
1
2
|k |，∴S=2k ，∴S 的值为定值． 故选D ．
【点睛】
本题考查了反比例函数系数k 的几何意义：在反比例函数y=k
x
图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k |． 5．已知x 是实数，则代数式2321x x -+的最小值等于（ ） A ．-2 B ．1
C ．
23
D ．
43
【答案】C
【分析】将代数式配方，然后利用平方的非负性即可求出结论． 【详解】解：2321x x -+ =2
2313x x ⎛⎫-
+ ⎪⎝
⎭
=2
21131399x x ⎛⎫-
+-+ ⎪⎝
⎭
=2
113133x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭ =2
12333x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ ∵21303x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭ ∴21223333x ⎛⎫-+≥ ⎪⎝
⎭ ∴代数式2321x x -+的最小值等于23
故选C ． 【点睛】
此题考查的是利用配方法求最值，掌握完全平方公式是解决此题的关键．
6．从口袋中随机摸出一球，再放回口袋中，不断重复上述过程，共摸了150次，其中有50次摸到黑球，已知口袋中有黑球10个和若干个白球，由此估计口袋中大约有多少个白球（ ） A ．10个 B ．20个 C ．30个 D ．无法确定
【答案】B
【详解】解：摸了150次，其中有50次摸到黑球，则摸到黑球的频率是501
1503
=， 设口袋中大约有x 个白球，则101
103
x =+， 解得x=1．
经检验：x=1是原方程的解 故选B ．
7．一个布袋内只装有1个黑球和2个白球,这些球除颜色不同外其余都相同,随机摸出一个球后放回搅匀,再随机摸出一个球,则两次摸出的球都是黑球的概率是( ) A ．49
B ．13
C ．
16
D ．19
【答案】D
【解析】试题分析：列表如下
白1 （黑，白
1）
（白1，白1）
（白2，白1）
白2
（黑，白2）
（白1，白2）
（白2，白2）
由表格可知，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球所以的结果有9种，两次摸出的球都是黑球的结果有1种，所以两次摸出的球都是黑球的概率是1
9
．故答案选D ． 考点：用列表法求概率．
8．如图，抛物线2
y ax bx c =++与x 轴交于点()1,0A -，顶点坐标为()1,n ，与y 轴的交点在()0,2、()
0,3之间（包含端点）．有下列结论：
①当3x =时，0y =；②30a b +>；③213a -≤≤-；④8
43
n ≤≤． 其中正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C
【分析】①由抛物线的顶点坐标的横坐标可得出抛物线的对称轴为x=1，结合抛物线的对称性及点A 的坐标，可得出点B 的坐标，由点B 的坐标即可断定①正确；②由抛物线的开口向下可得出a ＜1，结合抛物线对称轴为x=-
2a
b
=1，可得出b=-2a ，将b=-2a 代入2a+b 中，结合a ＜1即可得出②不正确；③由抛物线与y 轴的交点的范围可得出c 的取值范围，将（-1，1）代入抛物线解析式中，再结合b=-2a 即可得出a 的取值范围，从而断定③正确；④结合抛物线的顶点坐标的纵坐标为2
44ac b a
-，结合a 的取值范围以及c 的
取值范围即可得出n 的范围，从而断定④正确．综上所述，即可得出结论． 【详解】解：①由抛物线的对称性可知： 抛物线与x 轴的另一交点横坐标为1×2-（-1）=2， 即点B 的坐标为（2，1）， ∴当x=2时，y=1，①正确； ②∵抛物线开口向下， ∴a ＜1．
∵抛物线的顶点坐标为（1，n ）， ∴抛物线的对称轴为x=-
2b
a
=1，
2a+b=a ＜1，②不正确；
③∵抛物线与y 轴的交点在（1，2）、（1，2）之间（包含端点）， ∴2≤c≤2．
令x=-1，则有a-b+c=1， 又∵b=-2a ，
∴2a=-c ，即-2≤2a≤-2， 解得：-1≤a≤-
2
3
，③正确； ④∵抛物线的顶点坐标为2424b ac b a
a ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭， ，
∴n=2
44ac b a -=c-2
b 4a
,
又∵b=-2a ，2≤c≤2，-1≤a≤-2
3
， ∴n=c-a ，
8
3
≤n≤4，④正确． 综上可知：正确的结论为①③④． 故选C ． 【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决该题型题目时，利用二次函数的系数表示出来抛物线的顶点坐标是关键．
9．如图，在Rt △ABC 中，CE 是斜边AB 上的中线，CD ⊥AB ，若CD ＝5，CE ＝6，则△ABC 的面积是（ ）
A ．24
B ．25
C ．30
D ．36
【答案】C
【分析】根据题意及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得：AB=2CE=12再根据三角形面积公式，即△ABC 面积=
1
2
AB×CD=30.故选C. 【详解】解：∵CE 是斜边AB 上的中线， ∴AB ＝2CE ＝2×6＝12， ∴S △ABC ＝
12×CD×AB ＝1
2
×5×12＝30，
【点睛】
本题的考点是直角三角形斜边上的中线性质及三角形面积公式.方法是根据题意求出三角形面积公式中的底，再根据面积公式即可得出答案.
10．如图，在正方形ABCD 中，以BC 为边作等边BPC △，延长,BP CP 分别交AD 于点,E F ，连接
,BD DP 、BD 与CF 相交于点H ，给出下列结论： ①1
2
AE CF =；②135BPD ∠=︒；
③~PDE DBE ∆∆；④2ED EP EB =⋅；其中正确的是（ ）
A ．①②③④
B ．②③
C ．①②④
D ．①③④
【答案】A
【分析】根据等边三角形、正方形的性质求得∠ABE=30°，利用直角三角形中30°角的性质即可判断①；证得PC=CD ，利用三角形内角和定理即可求得∠PDC ，可求得∠BPD ，即可判断②；求得∠FDP=15°，∠PBD=15°，即可证明△PDE ∽△DBE ，判断③正确；利用相似三角形对应边成比例可判断④． 【详解】∵△BPC 是等边三角形， ∴BP=PC=BC ，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°， 在正方形ABCD 中，
∵AB=BC=CD ，∠A=∠ADC=∠BCD=90° ∴∠ABE=∠DCF=30°， ∴Rt
ABE Rt DCF ≅，
∴11
22
AE BE CF =
=；故①正确； ∵PC=CD ，∠PCD=30°， ∴∠PDC=∠CPD =
()1180PCD 2∠︒-=()1
180302
︒-︒=75°， ∴∠BPD=∠BPC+ ∠CPD =60°+75°=135°，故②正确； ∵∠PDC=75°，
∴∠FDP=∠ADC -∠PDC=90°- 75°=15°， ∵∠DBA=45°，
∴∠PBD=∠DBA -∠ABE =45°-30°=15°， ∴∠EDP=∠EBD ， ∵∠DEP=∠DEP ，
∴△PDE ∽△DBE ，故③正确； ∵△PDE ∽△DBE ， ∴
EP ED
ED EB
=，即2ED EP EB =，故④正确； 综上：①②③④都是正确的． 故选：A ． 【点睛】
本题考查的正方形的性质，等边三角形的性质以及相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握性质和定理．
11．已知点P 是线段AB 的黄金分割点（AP ＞PB ），AB=4，那么AP 的长是（ ）
A ．2
B ．2-
C ．1
D 2
【答案】A
【解析】根据黄金比的定义得：
AP AB =
，得42AP == .故选A. 12．成语“水中捞月”所描述的事件是（ ）． A ．必然事件 B ．随机事件
C ．不可能事件
D ．无法确定
【答案】C
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可． 【详解】水中捞月是不可能事件． 故选C ． 【点睛】
本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
二、填空题（本题包括8个小题）
13．如图，在平行四边形ABCD 中，AE ：BE ＝2：1，F 是AD 的中点，射线EF 与AC 交于点G ，与CD 的延长线交于点P ，则
AG
GC
的值为_____．。