全国卷新高考数学总复习第八章 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程

[冲关演练]
1．直线 l 过点(2,2)，且点(5,1)到直线 l 的距离为 10，则直线 l
的方程是
()
A．3x＋y＋4＝0
B．3x－y＋4＝0
C．3x－y－4＝0
D．x－3y－4＝0
解析：由题设知，直线 l 的斜率存在，故可设直线 l 的方程为
y－2＝k(x－2)，即 kx－y＋2－2k＝0，所以|5k－k21＋＋－2－122k|＝
[怎样快解·准解]
1．掌握直线倾斜角与斜率问题的 3 种类型 (1)在已知斜率表达式的情况下，研究倾斜角的范围，应 首先求出斜率的取值范围，然后借助正切函数的图象求解．(如 第 1 题) (2)解决三点共线问题，若已知三个点中的两个坐标，可 以先通过这两个已知点求出直线方程，然后将第三个点代入求 解；也可利用斜率相等或向量共线的条件解决．(如第 2 题) (3)在解决与含参数的直线有关的直线相交问题时，首先 要考虑该直线是否过定点．(如第 3 题，发现直线过定点(0， －1)是解决问题的关键一步)
直接 根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写 法 出直线方程
待定 系数
法
①设所求直线方程的某种形式； ②由条件建立所求参数的方程(组)； ③解这个方程(组)求出参数； ④把参数的值代入所设直线方程
2．谨防 3 种失误 (1)应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜 率是否存在． (2)应用“截距式”方程时要注意讨论直线是否过原点， 截距是否为 0.(如典题领悟第 2 题(1)) (3)应用一般式 Ax＋By＋C＝0 确定直线的斜率时注意讨 论 B 是否为 0.
2．已知点 A(3,4)，求满足下列条件的直线方程： (1)经过点 A 且在两坐标轴上截距相等； (2)经过点 A 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 解：(1)设直线在 x 轴，y 轴上的截距均为 a. ①若 a＝0，即直线过点(0,0)及(3,4)． ∴直线的方程为 y＝43x，即 4x－3y＝0. ②若 a≠0，设所求直线的方程为xa＋ay＝1， 又点(3,4)在直线上，∴3a＋4a＝1，∴a＝7.
3．已知线段 PQ 两端点的坐标分别为 P(－1,1)和 Q(2,2)，若直线 l： x＋my＋m＝0 与线段 PQ 有交点，则实数 m 的取值范围是 ________． 解析：如图所示，直线 l：x＋my＋m＝0 过 定点 A(0，－1)，当 m≠0 时，kQA＝32，kPA ＝－2，kl＝－m1 . 结合图象知，若直线 l 与 PQ 有交点， 应满足－m1 ≤－2 或－m1 ≥32.解得 0<m≤12或－23≤m<0； 当 m＝0 时，直线 l 的方程为 x＝0，与线段 PQ 有交点． ∴实数 m 的取值范围为－23，12. 答案：－23，12
∴直线的方程为 x＋y－7＝0. 综合①②可知所求直线的方程为 4x－3y＝0 或 x＋y－7＝0. (2)由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3,4)，由点斜式得 y－4＝±(x－3)． 故所求直线的方程为 x－y＋1＝0 或 x＋y－7＝0.
[解题师说] 1．求解直线方程的 2 种方法
2．避免 2 类失误 (1)考虑直线的斜率不存在的情况．(如第 2 题) (2)由直线的斜率 k 求倾斜角 α 的范围时，要对应正切函数 的图象来确定，要注意图象的不连续性．(如第 1 题) 3．记牢倾斜角 α 与斜率 k 的关系 当 α∈0，π2且由 0 增大到π2α≠π2时，k 的值由 0 增大到 ＋∞. 当 α∈π2，π时，k 也是关于 α 的单调函数，当 α 在此区 间内由π2α≠π2增大到 π(α≠π)时，k 的值由－∞趋近于 0(k≠0)．
解：设直线 l：xa＋by＝1(a＞0，b＞0)，
因为直线 l 经过点 P(4,1)，所以4a＋1b＝1.
(1)4a＋1b＝1≥2
4a·1b＝
4 ，所以 ab
ab≥16，
当且仅当 a＝8，b＝2 时等号成立，
所以当 a＝8，b＝2 时，△AOB 的面积最小，
此时直线 l 的方程为x8＋2y＝1，即 x＋4y－8＝0.
(1)定义式：直线l的倾斜角为αα≠π2，则斜率k＝ tan α .
(2)坐标式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l
的斜率k＝
y2－y1 x2－x1
.
3．直线方程的五种形式
名称
方程
点斜式 _y_－__y_0_＝__k_(_x_－__x_0)__
斜截式 ____y_＝__k_x_＋__b____
10，解得 k＝3，所以直线 l 的方程为 3x－y－4＝0.
答案：C
2．已知△ABC 的三个顶点分别为 A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求： (1)BC 边所在直线的方程； (2)BC 边上中线 AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线 DE 所在直线的方程． 解：(1)因为直线 BC 经过 B(2,1)和 C(－2,3)两点， 由两点式得 BC 的方程为3y－－11＝－x－2－22， 即 x＋2y－4＝0.
第一 节
直线的倾斜角与斜率、直线的方程
过基 础知 识
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．
(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0. (3)范围：直线l倾斜角的取值范围是 [0，π) ．
2．斜率公式
考点二 直线的方程
直线的方程也是解析几何的基础知识，很少单独命 题，常与圆锥曲线相结合出现在题的已知条件中，主要 考查直线方程的求法.
[典题领悟] 1．求过点 A(1,3)，斜率是直线 y＝－4x 的斜率的13的直线方程．
解：设所求直线的斜率为 k，依题意 k＝－4×13＝－43. 又直线经过点 A(1,3)，因此所求直线方程为 y－3＝－43(x－1)， 即 4x＋3y－13＝0.
(2)设 BC 边的中点 D 的坐标为(x，y)， 则 x＝2－2 2＝0，y＝1＋2 3＝2. BC 边的中线 AD 经过 A(－3,0)，D(0,2)两点， 由截距式得 AD 所在直线的方程为－x3＋2y＝1， 即 2x－3y＋6＝0. (3)由(1)知，直线 BC 的斜率 k1＝－12， 则 BC 的垂直平分线 DE 的斜率 k2＝2. 由(2)知，点 D 的坐标为(0,2)． 由点斜式得直线 DE 的方程为 y－2＝2(x－0)， 即 2x－y＋2＝0.
[冲关演练] 1．若直线 ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1,1)，则该直线在 x 轴，
y 轴上的截距之和的最小值为
()
A．1
Байду номын сангаас
B．2
C．4
D．8
解析：∵直线 ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1,1)，
∴a＋b＝ab，即1a＋1b＝1，
∴a＋b＝(a＋b)1a＋1b＝2＋ba＋ab≥2＋2 ba·ab＝4， 当且仅当 a＝b＝2 时上式等号成立． ∴直线在 x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为 4. 答案：C
(2)看到直线与两坐标轴相交且同时出现与坐标原点 O 有 关的三角形面积或周长等问题时 想到利用直线的截距式方
程求解．
2．方法要熟 (1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够 整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”． (2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出 直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值． 3．易错要明 直线在坐标轴上的截距可以是正值、负值、零，注意与距 离的区别．
直线的倾斜角与斜率是解析几何的基础知识，高 考中极少单独考查.
1．直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是
()
A．[0，π) C.0，π4
B.0，π4∪34π，π D.0，π4∪π2，π
解析：因为直线xsin α＋y＋2＝0的斜率k＝－sin α，
又－1 ≤sin α≤1，所以－1≤k≤1.设直线xsin α＋y＋2＝0的
适用范围 不含垂直于x轴的直线 不含垂直于x轴的直线
两点式
__yy2_－－__yy_11_＝__xx_2－_－_x_x1_1_
不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝ y1(y1≠y2)
截距式 _____xa_＋__by_＝__1____ 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
Ax＋By＋C＝0，A2 一般式
3．过点 M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于 1，则 m 的值
为
()
A．1
B．4
C．1 或 3
D．1 或 4
解析：由 k＝4m－＋m2＝1，得 m＝1. 答案：A
4．(教材习题改编)已知三角形的三个顶点 A(－5,0)，B(3，－3)， C(0,2)，则 BC 边上中线所在的直线方程为________． 解析：由已知，得 BC 的中点坐标为32，－12，且直线 BC 边 上的中线过点 A，则 BC 边上中线的斜率 k＝－113，故 BC 边 上的中线所在直线方程为 y＋12＝－113x－32，即 x＋13y＋5 ＝0. 答案：x＋13y＋5＝0
❷
(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线 l 的方程.
❸
[思维路径] ①由于 A，B 两点分别在 x 轴，y 轴的正半轴上，因此可考虑 设截距式方程xa＋by＝1，且 a＞0，b＞0，可得4a＋1b＝1； ②S△AOB 最小，即12ab 最小，考虑到4a＋1b＝1，可采用“1”的代 换及基本不等式求解； ③|OA|＋|OB|最小，即 a＋b 最小，思路同第(1)问．
()
(5)经过任意两个不同的点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以
用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示． 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
()
2．若直线 x＝2 的倾斜角为 α，则 α 为
A．0
B．π4
C．π2
D．不存在
答案：C
()
＋B2≠0
平面内所有直线都适用
过基础小题
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率． ( )
(2)过点 M(a，b)，N(b，a)(a≠b)的直线的倾斜角是 45°.( )
(3)直线的倾斜角越大，斜率 k 就越大．
()
(4)经过点 P(x0，y0)的直线都可以用方程 y－y0＝k(x－x0)表示．
倾斜角为θ，所以－1≤tan θ≤1，而θ∈[0，π)，故倾斜角的
取值范围是0，π4∪34π，π. 答案：B
2．若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为
________． 解析：因为
kAC＝56－－34＝1，kAB＝5a－－43＝a－3.由于
A，B，C
三点共线，所以 a－3＝1，即 a＝4. 答案：4
2．设 P 为曲线 C：y＝x2＋2x＋3 上的点，且曲线 C 在点 P 处
的切线倾斜角的取值范围为0，π4，则点 P 横坐标的取值
范围为
()
A.－1，－12 C. [0,1]
B.－1，0 D.12，1
解析：由题意知 y′＝2x＋2，设 P(x0，y0)， 则 k＝2x0＋2. 因为曲线 C 在点 P 处的切线倾斜角的取值范围为0，π4，所 以 0≤k≤1， 即 0≤2x0＋2≤1，故－1≤x0≤－12. 答案：A
(2)因为4a＋1b＝1，a＞0，b＞0， 所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)4a＋1b＝5＋ab＋4ab≥ 5＋2 ab·4ab＝9，当且仅当a＝6，b＝3时等号成立， 所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x6＋3y＝1， 即x＋2y－6＝0.
[解题师说]
1．迁移要准 (1)看到直线与两坐标轴的交点(不过坐标原点)，求直线方 程时 想到直线的截距式．
考点三 直线方程的综合应用
虽然很少单独考查直线方程，但是，直线方程与函数、 导数、不等式、圆相结合的问题，经常出现在选择题或填 空题中．
[典题领悟] 过点 P(4,1)作直线 l 分别交 x 轴，y 轴正半轴于 A，B 两点，
❶
O 为坐标原点． (1)当△AOB 面积最小时，求直线 l 的方程.
5．直线 3x－4y＋k＝0 在两坐标轴上的截距之和为 2，则实数 k＝________. 解析：令 x＝0，得 y＝k4；令 y＝0，得 x＝－k3，则有k4－k3＝ 2，所以 k＝－24. 答案：－24
课 堂 考点突破
练透基点，研通难点，备考不留死角
考点一 直线的倾斜角与斜率
[考什么·怎么考]