2021年高考数学考点46直线的倾斜角与斜率直线的方程必刷题理含解析

考点46 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
1．设双曲线C:的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距离为1，则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（）
A． 2 B． C． D． 4
【答案】B
2．数学家欧拉在1765年提出，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A(2，0)，B(0，4)，若其欧拉线的方程为x－y＋2＝0，则顶点C的坐标为
A． (－4，0) B． (－3，-1) C． (－5，0) D． (－4，-2)
【答案】A
【解析】
设C(m，n)，由重心公式，可得△ABC的重心为，
代入欧拉直线有：，
整理得m－n＋4＝0 ①.
AB的中点为(1，2)，k AB＝＝－2，
AB的中垂线方程为y－2＝(x－1)，即x－2y＋3＝0，
联立可得：，所以△ABC的外心为(－1，1)，
外心与点B的距离：，
外心与点B的距离与外心与点C的距离相等，则：
(m＋1)2＋(n－1)2＝10，整理得m2＋n2＋2m－2n＝8 ②，
联立①②，可得m＝－4，n＝0或m＝0，n＝4.
当m＝0，n＝4时，B，C两点重合，舍去，
当m＝－4，n＝0时满足题意.
所以点C的坐标为(－4，0)．
本题选择A选项.
3．已知双曲线的一个焦点为,则焦点到其中一条渐近线的距离为（）
A． 2 B． 1 C． D．
【答案】C
4．过抛物线上两点分别作抛物线的切线,若两切线垂直且交于点,则直线的方程为（）
A． B． C． D．
【答案】B
由和可得且，
∴直线的方程为．故选B．
5．已知为实数,直线,,则“”是“”
的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
6．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过定点.（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
设是圆的切线，
7．已知直线与直线垂直，则的值为（）
A． 0 B． 1 C． D．
【答案】B
【解析】
因为两直线垂直所以：，
解得：.
故选B.
8．已知、、是双曲线上不同的三点，且、连线经过坐标原点，若直线、的斜率乘积，则该双曲线的离心率为（）
A． B． C． D．
【答案】C
9．关于直线，下列说法正确的是（）
A．直线的倾斜角为 B．向量是直线的一个方向向量
C．直线经过点 D．向量是直线的一个法向量
【答案】B
【解析】
因为直线，所以斜率倾斜角为，一个方向向量为，因此也是直线的一个方向向量，
选B.
10．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则= A． 5 B． 6 C． 7 D． 8
【答案】D
【解析
根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，
与抛物线方程联立，消元整理得：，
解得，又，
所以，
从而可以求得，故选D.
11．已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=
A． B． 3 C． D． 4
【答案】B
12．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值X 围是
A． B． C． D．
【答案】A
13．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值X 围是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
直线分别与轴，轴交于，两点
,则
点P在圆上
圆心为（2，0），则圆心到直线距离
故点P到直线的距离的X围为
则
故答案选A.
14．已知变量，满足则的取值X围是（）
A． B． C． D．
【答案】B
所以的取值X围是，故答案为：B.
15．已知椭圆，是其左右焦点，为其左右顶点，为其上下顶
点，若，
(1)求椭圆的方程；
(2)过分别作轴的垂线，椭圆的一条切线，与交于二点，求证：．
【答案】（1）；（2）见解析
16．已知椭圆的方程为，在椭圆上，椭圆的左顶点为，左、右焦点分别为
，的面积是的面积的倍．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线（）与椭圆交于，，连接，并延长交椭圆于，，连接，指出与之间的关系，并说明理由．
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】
（1）由的面积是的面积的倍，可得，即，
又，
所以，
所以．
17．选修:坐标系与参数方程选讲
在直角坐标系中,曲线:(为参数).以为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,直线的极坐标方程为().
(Ⅰ) 求曲线的极坐标方程与直线的直角坐标方程；
(Ⅱ) 若直线与,在第一象限分别交于,两点,为上的动点,求面积的最大值.
【答案】（1）（2）
18．直线过点，且分别交轴的正半轴和轴的正半轴于两点，为坐标原点.
①当最小时，求的方程；
②若最小，求的方程.
【答案】（1）；（2）
19．设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为. （1）当与轴垂直时，求直线的方程；
（2）设为坐标原点，证明：.
【答案】(1) AM的方程为或.
(2)证明见解析.
【解析】
20．设抛物线2
2C y x =：，点()20A ，， ()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ， N 两点． （1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；
（2）证明： ABM ABN ∠=∠． 【答案】(1) y =112x +或112
y x =--．
(2)见解析.
21．已知点及圆，一光线从点出发，经轴上一点反射后与圆相切于点，则的值为______________．
【答案】
【解析】
点关于轴的对称点为，
22．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是______．
【答案】2
【解析】
双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，
可得
可得
，即c=2a，
所以双曲线的离心率为：
故答案为：2．
23．设函数，若，，则对任意的实数，的最小值为_________________．
【答案】10
的距离的平方，这样只要确定点所在曲线，点所在曲线，则可由几何方法得出结论．本题考查了数形结合思想，等价转化思想，属于难题．
24．已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为___________.
【答案】
25．已知点满足，的取值X围是__________．
【答案】.
【解析】分析：先画出不等式组表示的可行域，然后将看作点到两条直线的距离之和求解．
详解：画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．。