2019-2020学年人教B版数学必修二讲义：模块复习课 Word版含答案

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一、空间几何体
1．多面体及其结构特征
（1）棱柱：
①有两个平面(底面）互相平行；②其余各面都是平行四边形；
③每相邻两个平行四边形的公共边互相平行．
(2)棱锥：
①有一个面(底面）是多边形；
②其余各面(侧面）是有一个公共顶点的三角形．
(3）棱台：
①上下底面互相平行、且是相似图形；
②各侧棱延长线相交于一点．
2．圆柱、圆锥、圆台和球
圆柱、圆锥、圆台和球可以看成以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形垂直于底边的腰、一个半圆的直径所在的直线为旋转轴,将矩形、直角三角形、直角梯形、半圆分别旋转一周而形成的曲面围成的几何体．
3．斜二测画法的意义及建系原则
（1)斜二测画法中“斜"和“二测”：
“斜"是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°。

“二测"是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变;平行于y′轴的线段长度变为原来的一半．
(2)斜二测画法中的建系原则：
在已知图中建立直角坐标系,理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线或图形的对称直线为坐标轴，图形的
对称点为原点或利用原有互相垂直的直线为坐标轴等．
4．空间几何体的表面积和体积
（1）多面体的表面积：
各个面的面积之和,也就是展开图的面积．
(2)旋转体的表面积：
圆柱：S＝2πr2＋2πrl＝2πr(r＋l)．
圆锥：S＝πr2＋πrl＝πr(r＋l)．
球：S＝4πR2。

(3)柱体、锥体、台体的体积公式
①柱体的体积公式：V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)．
②锥体的体积公式：V锥体＝错误!Sh(S为底面面积，h为高）．
③台体的体积公式：V台体＝错误!(S＋错误!＋S′）h(S′，S分别为上、下底面面积，h为高）．
④球的体积公式：V球＝错误!πR3.
二、点、线、面之间的位置关系
1．共面与异面直线
（1）共面：空间中的几个点或几条直线,如果都在同一平面内，我们就说它们共面．
(2)异面直线：既不相交又不平行的直线．
2．平行公理
过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行．
3．基本性质4
平行于同一条直线的两条直线互相平行．即如果直线a∥b,c∥b，那么a∥c。

4．直线与平面平行的判定与性质
(1)判定：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行．那么这条直线和这个平面平行．
（2）性质:如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，
那么这条直线和交线平行．
5．平面与平面平行的判定
(1)文字语言：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
(2)符号语言：a⊂β，b⊂β,a∩b＝P，a∥α,b∥α⇒β∥α。

（3）图形语言：如图所示．
6．平面与平面平行的性质定理
（1）文字语言:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行．
(2)符号语言:α∥β，α∩γ＝a,β∩γ＝b⇒a∥b。

（3)图形语言：如图所示．
(4)作用:证明两直线平行．
7．直线与平面垂直的判定定理
定理:如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直,则这条直线与这个平面垂直．推论1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
推论2：如果两条直线垂直于同一平面，那么这两条直线平行．
8．直线与平面垂直的性质
性质：如果—条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直．符号表示：错误!⇒a⊥b。

9．面面垂直的判定定理
如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．
10．面面垂直的性质定理
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直．
三、直线的方程
1．直线倾斜角的范围[0°，180°)． 2．斜率公式
A （x 1，y 1）,
B (x 2，y 2）是直线l 上两点，且x 1≠x 2，则l 的斜率为错误!。

3．直线方程的几种形式
(1）点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)． (2)斜截式：y ＝kx ＋b 。

(3）两点式：错误!＝错误!。

(4)截距式:x
a
＋错误!＝1。

(5）一般式：Ax ＋By ＋C ＝0（A 2＋B 2≠0)． 4．两直线的位置关系
设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0。

(1)平行：A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0或A 2C 1－A 1C 2≠0。

（2）垂直：A 1A 2＋B 1B 2＝0。

5．距离公式
(1）两点间距离公式,A （x 1,y 1），B （x 2，y 2）,则|AB |＝错误!. (2)点到直线的距离公式:
点P (x 0，y 0）到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0（A 2＋B 2≠0)的距离d ＝错误!.
（3）两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0（A 2＋B 2≠0）的距离d ＝错误!。

四、圆的方程 1．圆的方程
（1)标准方程:（x －a ）2＋(y －b ）2＝r 2。

（2)一般方程:x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0（D 2＋E 2－4F ＞0）． 2．直线与圆的位置关系
设直线l与圆C的圆心之间的距离为d，圆的半径为r.
则（1)l与圆C相离⇔d＞r.
(2)l与圆C相切⇔d＝r。

（3)l与圆C相交⇔d＜r.
3．圆与圆的位置关系
设圆C1与圆C2的圆心距离为d，半径分别为R与r，则两圆
（1)外离⇔d＞R＋r.
(2)外切⇔d＝R＋r.
(3)相交⇔|R－r|＜d＜R＋r.
（4)内切⇔d＝｜R－r|。

(5)内含⇔0≤d＜｜R－r｜.
五、空间直角坐标系
空间两点间距离公式A(x1，y1，z1），B（x2,y2,z2），则｜AB｜＝x1－x22＋y1－y22＋z1－z22。

1．空间中两直线没有交点，则两直线平行．（×）
[提示] 还可以是异面．
2．有两个面互相平行，其余各面都是四边形，所围成的几何体是棱柱．
（×)
[提示］还要有每相邻两个四边形公共边平行．
3．棱锥是由一个面是多边形，其余各面是三角形所围成的几何体．(×）［提示］三角形必须有一个公共顶点．
4．圆台也可以看作是一个圆锥截去一个小圆锥所形成的几何体．(√)
5．三点确定一个平面．(×）
[提示］不共线三点才能确定平面．
6．球的表面积公式为S＝错误!πR2。

(×）
7．有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台．(×)
[提示] 棱台侧棱延长后会交于一点．
8．一条直线平行于两平行平面中的一个平面,也平行于另一个．(×)
[提示］可能直线在平面内．
9．一条直线平行于两互相垂直的两平面中的一个，就会垂直于另一平面．
(×)
[提示］还可能相交、平行，在平面内．
10．若a∥b，b⊂α，则a∥α。

(×)
［提示］还需要a⊄α.
11．如果一个平面内有两条直线与另一个平面平行,那么两平面平行．（×）[提示］两直线相交时才成立．
12．垂直于同一直线的两直线平行．(×)
13．垂直于同一直线的两平面平行．(√）
14．垂直于同一平面的两平面平行．（×)
15．锥体的体积等于底面面积与高之积(×)
16．经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径（√)
17．直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α. （×)
[提示］90°时斜率不存在．
18．直线在斜率存在的情况下，随倾斜角的增大而增大．(×)
［提示] 在［0°，90°）上斜率随倾斜角增大而增大，在(90°，180°）上斜率随倾斜角增大而增大．
19．直线的一般方程为Ax＋By＋C＝0。

(×)
[提示] A2＋B2≠0。

20．直线的点斜式方程不能表示垂直于x轴的直线（√)
21．与Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0）平行的直线可写为Ax＋By＋D＝0. （√）22．与Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0)垂直的直线可写为Bx＋Ay＋D＝0。

（×）[提示］应为Bx－Ay＋D＝0.
23．直线与圆有5种位置关系．(×）
［提示］相离、相切、相交,3种．
24．圆与圆有5种位置关系．(√)
25．正棱锥是底面是正多边形的棱锥．（×)
26．两平面互相垂直，其中一个平面内的直线垂直于另一平面．（×）
27．两平面互相平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面．(√）
28．平行于同一直线的两平面平行．(×）
29．空间直角坐标系中关于xOy平面对称的点的坐标,有相同的z坐标．
（×）
30．过圆O:x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B,则O,P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2. （√）
1.（2018·全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )
A[由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中,从俯视方向看,榫头看不见,所以是虚线，结合榫头的位置知选A。

]
2．（2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（) A．12错误!πB．12π
C．8错误!πD．10π
B[因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2错误!,底面圆的直径为2错误!,所以该圆柱的表面积为2×π×（错误!）2＋2π×2×22＝12π.］
3．(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表
面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）
A．217 B．2错误! C．3 D．2
B［由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱,该圆柱的高为2，底面周长为16。

画出该圆柱的侧面展开图,如图②所示,连接MN，则MS＝2，SN＝4，则从M到N的路径中，最短路径的长度为错误!＝错误!＝2错误!。

故选B.
图①图②]
4．（2018·全国卷Ⅲ）设A，B，C,D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为9错误!，则三棱锥D。

ABC体积的最大值为( ）A．12错误!B．18错误!
C．24错误!D．54错误!
B[设等边三角形ABC的边长为x，则错误!x2sin 60°＝9错误!，得x＝6.设△ABC
的外接圆半径为r,则2r＝
6
sin 60°
，解得r＝2错误!，所以球心到△ABC所在平面的
距离d＝错误!＝2，则点D到平面ABC的最大距离d1＝d＋4＝6，所以三棱锥D­ABC体积的最大值V max＝错误!S△ABC×6＝错误!×9错误!×6＝18错误!。

］
5．(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A,B两点，点P在圆(x－2）2＋y2＝2上,则△ABP面积的取值范围是（）
A．[2，6] B．［4,8］
C．［错误!，3错误!] D．［2错误!，3错误!]
A［圆心（2,0)到直线的距离d＝错误!＝2错误!，所以点P到直线的距离d1∈[错误!，3错误!]．根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为A（－2,0)，B(0，－2）,所以｜
AB｜＝2错误!，所以△ABP的面积S＝错误!｜AB|d1＝错误!d1。

因为d1∈[错误!，3错误!],所以S∈［2,6],即△ABP面积的取值范围是［2,6]．]
6．(2018·全国卷Ⅰ)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则｜AB｜＝________.
2错误!［由题意知圆的方程为x2＋(y＋1)2＝4，所以圆心坐标为（0，－1)，半径为2，则圆心到直线y＝x＋1的距离d＝错误!＝错误!，所以｜AB｜＝2错误!＝2错误!.］7．(2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S，母线SA,SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°.若△SAB的面积为8,则该圆锥的体积为________．
8π［由题意画出图形，如图，设AC是底面圆O的直径，连
接SO,则SO是圆锥的高．设圆锥的母线长为l，则由SA⊥SB，△SAB
的面积为8，得错误!l2＝8，得l＝4。

在Rt△ASO中,由题意知∠SAO
＝30°，所以SO＝错误!l＝2，AO＝错误!l＝2错误!.故该圆锥的体积V＝错误!π×AO2×SO ＝错误!π×（2错误!）2×2＝8π.]
8．(2018·全国卷Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC为折痕将△ACM折起,使点M到达点D的位置,且AB⊥DA.
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC;
(2）Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝错误!DA，求三棱锥Q－ABP的体积．
[解] (1)由已知可得，∠BAC＝90°，BA⊥AC。

又BA⊥AD，且AC⊂平面ACD,AD⊂平面ACD,
AC∩AD＝A,所以AB⊥平面ACD.
又AB⊂平面ABC,所以平面ACD⊥平面ABC。

(2)由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝3 2.
2019-2020学年人教B版数学必修二讲义：模块复习课 Word版含答案
又BP＝DQ＝错误!DA，所以BP＝2错误!。

作QE⊥AC，垂足为E，则QE错误!DC。

由已知及(1)可得DC⊥平面ABC,所以QE⊥平面ABC，QE＝1。

因此,三棱锥Q－ABP的体积为V Q－ABP＝错误!×QE×S△ABP＝错误!×1×错误!×3×2错误! sin 45°＝1。