2017高考仿真卷 理科数学(二) Word版含答案

2017高考仿真卷·理科数学(二)
(考试时间:120分钟试卷满分:150分)
第Ⅰ卷选择题(共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知i是虚数单位,则复数=()
A.-2+i
B.i
C.2-i
D.-i
2.已知集合M={x|x2-4x<0},N=,则M∪N=()
A.[-2,4)
B.(-2,4)
C.(0,2)
D.(0,2]
3.采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,3,…,1 000,适当分组后,在第一组中采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.若编号落在区间[1,400]上的人做问卷A,编号落在区间[401,750]上的人做问卷B,其余的人做问卷C,则抽到的人中,做问卷C的人数为()
A.12
B.13
C.14
D.15
4.已知命题p:函数y=ln(x2+3)+的最小值是2;命题q:“x>2”是“x>1”的充分不必要条件.则下列命题是真命题的是()
A.p∧q
B.(p)∧(q)
C.(p)∧q
D.p∧(q)
5.已知点A是抛物线C1:y2=2px(p>0)与双曲线C2:=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点,若点A到抛物线C1的焦点的距离为p,则双曲线C2的离心率等于()
A. B. C. D.
6.的展开式中含x的正整数指数幂的项的个数是()
A.1
B.2
C.3
D.4
7.若数列{a n}是等差数列,则下列结论正确的是()
A.若a2+a5>0,则a1+a2>0
B.若a1+a3<0,则a1+a2<0
C.若0<a1<a2,则a3>
D.若a1<0,则(a2-a1)( a4-a2)>0
8.
如图,正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点A,B,C,D在球O的同一个大圆上,点P在球面上,若V =,则球O的表面积是()
正四棱锥P-ABCD
A.4π
B.8π
C.12π
D.16π
9.已知变量x,y满足线性约束条件若目标函数z=kx-y仅在点(0,2)处取得最小值,则k的取值范围是()
A.k<-3
B.k>1
C.-1<k<1
D.-3<k<1
10.某几何体的三视图如图所示,当a+b取最大值时,这个几何体的体积为()
A. B. C. D.
11.已知M是△ABC内一点(不含边界),且=2,∠BAC=30°.若△MBC,△MCA,△MAB的面积分别为x,y,z,记f(x,y,z)=,则f(x,y,z)的最小值为()
A.26
B.32
C.36
D.48
12.已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,则称集合M是“商高线”.给出下列四个集合:
①M=;②M={(x,y)|y=sin x+1};③M={(x,y)|y=log2x};④M={(x,y)|y=e x-2}.
其中是“商高线”的序号是()
A.①②
B.②③
C.①④
D.②④
第Ⅱ卷非选择题(共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.
执行如图所示的程序框图,若输入x=0.1,则输出的m值为.
14.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=3x+m(m为常数),则f(-log35)的值为.
15.关于函数f(x)=2(sin x-cos x)cos x的下列四个结论:
①函数f(x)的最大值为;
②把函数f(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后可得到函数f(x)=2(sin x-cos x)·cos x的图象;
③函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z;
④函数f(x)的图象的对称中心为,k∈Z.
其中正确的结论有个.
16.已知数列{a n}满足a1=,a n-1-a n=(n≥2),则该数列的通项公式为.
三、解答题(本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=,sin B=3sin C.
(1)求tan C的值;
(2)若a=,求△ABC的面积.
18.(本小题满分12分)某青少年研究中心为了统计某市青少年(18岁以下)2017年春节所收压岁钱的情况进而研究青少年的消费去向,随机抽查了该市60名青少年所收压岁钱的情况,得到如下数据统计表(图①).已知“压岁钱不少于2千元的青少年”与“压岁钱少于2千元的青少年”人数比恰好为2∶3.
(1)试确定x,y,p,q的值,并补全频率分布直方图(图②);
(2)该机构为了进一步了解这60名青少年压岁钱的消费去向,将这60名青少年按“压岁钱不少于2千元”和“压岁钱少于2千元”分为两部分,并且用分层抽样的方法从中抽取10人,若需从这10人中随机抽取3人进行问卷调查.设ξ为抽取的3人中“压岁钱不少于2千元的青少年”的人数,求ξ的分布列和均值;
(3)若以频率估计概率,从该市青少年中随机抽取15人进行座谈,若15人中“压岁钱不少于2
图①
图②
19.(本小题满分12分)
在如图所示的多面体中,四边形ABCD是菱形,ED∥FB,ED⊥平面ABCD,AD=BD=2,BF=2DE=2.
(1)求证:AE⊥CF;
(2)求二面角A-FC-E的余弦值.
20.(本小题满分12分)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为4,且点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设P是椭圆C长轴上的一个动点,过点P作斜率为的直线l交椭圆C于A,B两点,求证:|P A|2+|PB|2为定值.
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=-x3+x2(x∈R),g(x)满足g'(x)=(a∈R,x>0),且g(e)=a,e为自然对数的底数.
(1)已知h(x)=e1-x f(x),求曲线h(x)在点(1,h(1))处的切线方程;
(2)若存在x∈[1,e],使得g(x)≥-x2+(a+2)x成立,求a的取值范围;
(3)设函数F(x)=O为坐标原点,若对于y=F(x)在x≤-1时的图象上的任一点P,在曲线y=F(x)(x ∈R)上总存在一点Q,使得<0,且PQ的中点在y轴上,求a的取值范围.
请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评分.
22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C:ρcos2θ=2a sin θ(a>0),过点P(-4,-2)的直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C分别交
于点M,N.
(1)写出C的直角坐标方程和l的普通方程;
(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值.
23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|.
(1)求不等式f(x)≥3的解集;
(2)若关于x的不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,求实数a的取值范围.
参考答案
2017高考仿真卷·理科数学(二)
1.B解析(方法一)=i.
(方法二)=i.
2.A解析∵M={x|0<x<4},N={x|-2≤x≤2},∴M∪N=[-2,4).
3.A解析若采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,则需要分为50组,每组20人.若第一组抽到的号码为8,则以后每组抽取的号码分别为28,48,68,88,108,…,所以编号落在区间[1,400]上的有20人,编号落在区间[401,750]上的有18人.所以做问卷C的有12人.
4.C解析因为命题p为假命题,命题q为真命题,所以(p)∧q为真命题.
5.C解析因为点A到抛物线C1的焦点的距离为p,所以点A到该抛物线准线的距离为p.所以点A的坐标为所以双曲线C2的渐近线方程为y=±2x.所以=2.所以b2=4a2.又b2=c2-a2,所以c2=5a2.所以双曲线C2的离心率为
6.B解析的展开式中第r+1项为)12-r=(-1)r当6-为正整数时,可知r=0或r=2,故的展开式中含x的正整数指数幂的项的个数是2.
7.C解析设等差数列{a n}的公差为d,若a2+a5>0,则a1+a2=(a2-d)+(a5-3d)=(a2+a5)-4d.由于d 的正负不确定,因而a1+a2的符号不确定,故选项A错误.
若a1+a3<0,则a1+a2=(a1+a3)-d.由于d的正负不确定,因而a1+a2的符号不确定,故选项B
错误.
若0<a1<a2,则d>0.所以a3>0,a4>0.
所以-a2a4=(a1+2d)2-(a1+d)(a1+3d)=d2>0.所以a3>故选项C正确.
由于(a2-a1)(a4-a2)=d(2d)=2d2,而d有可能等于0,故选项D错误.
8.D解析连接PO,由题意知,PO⊥底面ABCD,PO=R,S正方形ABCD=2R2.
因为V正四棱锥P-ABCD=,所以2R2·R=,解得R=2.所以球O的表面积是16π.
9.D解析如图,作出题中不等式组所表示的平面区域.由z=kx-y得y=kx-z,要使目标函数z=kx-y仅在点A(0,2)处取得最小值,则阴影部分区域在直线y=kx+2的下方,故目标函数线的斜率k满足-3<k<1.
10.D解析由该几何体的三视图可得其直观图为如图所示的三棱锥,且从点A出发的三条棱两两垂直,AB=1,PC=,PB=a,BC=b.
可知P A2+AC2=a2-1+b2-1=6,即a2+b2=8.故(a+b)2=8+2ab≤8+2,即a+b≤4,当且仅当a=b=2时,a+b取得最大值,此时P A=,AC=所以该几何体的体积V=1
11.C解析由=2,∠BAC=30°,可得S△ABC=1,即x+y+z=1.
故(x+y+z)
=1+4+9+14+4+6+12=36,
当且仅当x=,y=,z=时等号成立.因此,f(x,y,z)的最小值为36.
12.D解析若对于函数图象上的任意一点M(x1,y1),在其图象上都存在点N(x2,y2),使OM⊥ON,则函数图象上的点的集合为“商高线”.对于①,若取M(1,1),则不存在这样的点;对于③,若取M(1,0),则不存在这样的点.②④都符合.故选D.
13.0解析若输入x=0.1,则m=lg 0.1=-1.因为m<0,所以m=-1+1=0.所以输出的m值为0.
14.-4解析因为f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(0)=1+m=0.所以m=-1.
所以f(-log35)=-f(log35)=-(-1)=-4.
15.2解析因为f(x)=2sin x·cos x-2cos2x=sin 2x-cos 2x-1=sin-1,所以其最大值为-1.所以①错误.
因为函数f(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后得到函数f(x)=sin-1=sin-1的图象,所以②错误.
由-+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z,得函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z,即为,k'∈Z.故③正确.
由2x-=kπ,k∈Z,得x=,k∈Z,故④正确.
16.a n=解析因为a n-1-a n=(n≥2),所以所以
所以,…,
所以
所以
所以a n=(n≥2).经检验,当n=1时也适合此公式.
所以a n=
17.解(1)∵A=,∴B+C=
∴sin=3sin C.
cos C+sin C=3sin C.
cos C=sin C.∴tan C=
(2)由,sin B=3sin C,得b=3c.
在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A=9c2+c2-2×(3c)×c=7c2.
∵a=,∴c=1,b=3.
∴△ABC的面积为S=bc sin A=
18.解(1)根据题意,有
解得
故p=0.15,q=0.10.
补全的频率分布直方图如图所示.
(2)用分层抽样的方法从中抽取10人,则其中“压岁钱不少于2千元的青少年”有10=4人,“压岁钱少于2千元的青少年”有10=6人.
故ξ的可能取值为0,1,2,3,
且P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,
所以ξ的分布列为
所以E(ξ)=0+1+2+3
(3)以频率估计概率,从该市青少年中随机抽取1人为“压岁钱不少于2千元的青少年”的概率是,则η~B,故随机变量η的均值为E(η)=15=6.
19.(1)证明(方法一)由题意知,在△AEF中,AE=,EF=,AF=2
∴AE2+EF2=AF2,
∴AE⊥EF.
在△AEC中,AE=,EC=,AC=2
∴AE2+EC2=AC2,∴AE⊥EC.
又EF∩EC=E,∴AE⊥平面ECF.
又FC⊂平面ECF,∴AE⊥FC.
(方法二)∵四边形ABCD是菱形,AD=BD=2,∴AC⊥BD,AC=2
故可以O为坐标原点,以OA,OB所在直线为x轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系.
由ED⊥平面ABCD,ED∥FB,BD=2,BF=2,DE=,可知A(,0,0),E(0,-1,),C(-,0,0),F(0,1,2).
=(-,-1,),=(,1,2).
=(-,-1,)·(,1,2)=-3-1+4=0.
∴AE⊥CF.
(2)解由(1)中方法二可知A(,0,0),E(0,-1,),C(-,0,0),F(0,1,2),
则=(-,1,2),=(-2,0,0),=(0,2,),=(-,1,-).
设平面AFC的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),
由n1=0,n1=0,得-x1+y1+2z1=0,且-2x1=0.
令z1=1,得n1=(0,-2,1).
设平面EFC的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),
由n2=0,n2=0,得2y2+z2=0,且-x2+y2-z2=0.
令y2=-1,得n2=(-,-1,).
设二面角A-FC-E的大小为θ,则cos θ=
20.(1)解因为2a=4,所以a=2.又因为焦点在x轴上,所以设椭圆方程为=1.
将点代入椭圆方程得b2=1,所以椭圆方程为+y2=1.
(2)证明设点P(m,0)(-2≤m≤2),可得直线l的方程是y=,
由方程组消去y得2x2-2mx+m2-4=0.(*)
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程(*)的两个根.
所以x1+x2=m,x1x2=
所以|P A|2+|PB|2=(x1-m)2++(x2-m)2+
=(x1-m)2+(x1-m)2+(x2-m)2+(x2-m)2
=[(x1-m)2+(x2-m)2]=-2m(x1+x2)+2m2]
=[(x1+x2)2-2m(x1+x2)-2x1x2+2m2]=[m2-2m2-(m2-4)+2m2]=5.
所以|P A|2+|PB|2为定值.
21.解(1)∵h(x)=(-x3+x2)e1-x,
∴h'(x)=(x3-4x2+2x)e1-x.
∴h(1)=0,h'(1)=-1.
∴曲线h(x)在点(1,h(1))处的切线方程为y=-(x-1),即y=-x+1.
(2)∵g'(x)=(a∈R,x>0),
∴g(x)=a ln x+c(c为常数).
∴g(e)=a ln e+c=a+c=a.
∴c=0.
∴g(x)=a ln x.
由g(x)≥-x2+(a+2)x,得(x-ln x)a≤x2-2x.
∵当x∈[1,e]时,ln x≤1≤x,且等号不能同时成立,
∴ln x<x,即x-ln x>0.
∴aa
设t(x)=,x∈[1,e],
则t'(x)=
∵x∈[1,e],∴x-1≥0,ln x≤1,x+2-2ln x>0.∴t'(x)≥0.
∴t(x)在[1,e]上为增函数.
∴t(x)max=t(e)=a
(3)设P(t,F(t))为y=F(x)在x≤-1时的图象上的任意一点,则t≤-1.
∵PQ的中点在y轴上,∴点Q的坐标为(-t,F(-t)).
∵t≤-1,∴-t≥1.
∴P(t,-t3+t2),Q(-t,a ln(-t)).
=-t2-at2(t-1)ln(-t)<0,
∴a(1-t)ln(-t)<1.
当t=-1时,a(1-t)ln(-t)<1恒成立,此时a∈R.
当t<-1时,a<,
令φ(t)=(t<-1),
则φ'(t)=
∵t<-1,∴t-1<0,t ln(-t)<0.
∴φ'(t)>0.
∴φ(t)=在(-∞,-1)内为增函数.
∵当t→-∞时,φ(t)=0,
∴φ(t)>0.∴a≤0.
综上,可知a的取值范围是(-∞,0].
22.解(1)曲线C的直角坐标方程为x2=2ay(a>0),
直线l的普通方程为x-y+2=0.
(2)将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立,得t2-2(4+a)t+8(4+a)=0.(*)
由Δ=8a(4+a)>0,
可设点M,N对应的参数分别为t1,t2,且t1,t2是方程(*)的根,则|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1-t2|.
由题设得(t1-t2)2=|t1t2|,即(t1+t2)2-4t1t2=|t1t2|.
由(*)得t1+t2=2(4+a),t1t2=8(4+a)>0,
则有(4+a)2-5(4+a)=0,解得a=1或a=-4.
因为a>0,所以a=1.
23.解(1)原不等式等价于
解得x≤-或x
故原不等式的解集为
(2)令g(x)=|x-1|+|x+1|+x2-2x,
则g(x)=
当x∈(-∞,1]时,g(x)单调递减;当x∈[1,+∞)时,g(x)单调递增.故当x=1时,g(x)取得最小值1.
因为不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,所以a2<1,解得-1<a<1.
所以实数a的取值范围是(-1,1).。