分式知识点总结和练习题讲义

分式知识点总结和题型归纳 第一部分 分式的运算 （一）分式定义及有关题型
题型一：考查分式的定义:
一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子B
A
叫做分式，A 为分子，B 为分母。

【例1】下列代数式中：y
x y
x y x y x b a b a y x x -++-+--1
,
,,21,22π，是分式的有： .
题型二：考查分式有意义的条件
分式有意义：分母不为0（0B ≠） 分式无意义：分母为0（0B =）
【例1】当x 有何值时，下列分式有意义
（1）
44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x
（5）x
x 11-
题型三：考查分式的值为0的条件 分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩⎨
⎧≠=0
B A ）
【例1】当x 取何值时，下列分式的值为0.
（1）3
1
+-x x
（2）4
2||2--x x （3）6
53222----x x x x
【例2】当x 为何值时，下列分式的值为零： （1）4
|1|5+--x x
（2）
5
62522+--x x x
题型四：考查分式的值为正、负的条件 分式值为正或大于0：分子分母同号（⎩⎨
⎧>>00B A 或⎩⎨⎧<<0
B A ）
分式值为负或小于0：分子分母异号（⎩⎨⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><0
B A ）
【例1】（1）当x 为何值时，分式
x
-84
为正；
（2）当x 为何值时，分式2
)1(35-+-x x 为负；
（3）当x 为何值时，分式3
2
+-x x 为非负数.
【例2】解下列不等式 （1）
01
2
||≤+-x x （2）
03
252
>+++x x x
题型五：考查分式的值为1，-1的条件 分式值为1：分子分母值相等（A=B ）
分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 【例1】若
2
2
||+-x x 的值为1，-1，则x 的取值分别为
思维拓展练习题：
1、若a>b>0,2a ＋2
b －6ab=0,则a b
a b +=- 2、一组按规律排列的分式：25811
234,,,,
b b b b a a
a a --（a
b ≠0），则第n 个分式为
3、已知2310x x -+=，求
221
x x +
的值。

4、已知22
2450,x y x y +--+=求分式
y x x y -的值。

（二）分式的基本性质及有关题型
1．分式的基本性质：M B M
A M
B M A B A ÷÷=
⨯⨯= 2．分式的变号法则：
b
a
b a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数
【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.
（1）y x y
x 4
1313221+- （2）
b
a b
a +-04.003.02.0
题型二：分数的系数变号
【例1】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.
（1）y x y
x --+- （2）b a a --- （3）b a ---
题型三：化简求值题
【例1】已知：511=+y x ，求y
xy x y
xy x +++-2232的值.
【例2】已知：21=-
x x ，求221
x
x +的值.
【例3】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求
y
x 241
-的值.
【例4】已知：
311=-b a ，求a
ab b b ab a ---+232的值.
【例5】若0106222=+-++b b a a ，求
b
a b
a 532+-的值.
【例6】如果21<<x ，试化简x x --2|2|x
x x x |
||1|1+
---.
思维拓展练习题
1、对于任何非零实数a,b,定义运算“*”如下：a *b a b
ab -=
,求2*1+3*2+…+10*9的值
2、已知0,234x y z
==≠求代数式2x y z x y z +-++的值
（三）分式的运算
① 分式的乘除法法则：
乘法分式式子表示为：
d
b c a d c b a ••=• 除法分式式子表示为：c
c ••=•=÷b d
a d
b a d
c b a
② 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。

式子表示为：n n n
b a b a =⎪⎭
⎫
⎝⎛
③ 分式的加减法则：
c
b
a c
b ±=±
c a 异分母分式加减法：式子表示为：
bd
bc
ad d c ±=±b a 整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分
母为1的分式，再通分。

题型一：通分
1．系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 2．取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.
3．如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母. 【例1】将下列各式分别通分.
（1）c
b a
c a b ab c 225,
3,2--； （2）a b b b a a 22,--；
（3）
2
2
,
21,
1
222--+--x x x x x
x x ； （4）a
a -+21
,
2
题型二：约分
①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。

②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。

【例2】约分：
（1）
3
22016xy y x -； （2）n m m n --2
2； （3）6
222---+x x x x .
题型三：分式的混合运算
【例3】计算： （1）4
2232)()()(a
bc ab c c b a ÷-⋅-；
（2）2
2233)()()3(
x
y x y y x y x a +-÷-⋅+；
（3）m
n m n m n m n n m --
-+-+22；
（4）11
2
---a a a ；
（5）874321814121111x x x x x x x x +-+-+-+--； （6）)
5)(3(1)3)(1(1)1)(1(1+++++++-x x x x x x ；
（7）)12()2
1444
(22
2+-⋅--+--x x x x x x x
题型四：化简求值题 【例4】先化简后求值
（1）已知：1-=x ，求分子)]121()144[(4
8
122
x x x x -÷-+--的值；
（2）已知：432z y x ==，求22232z
y x xz
yz xy ++-+的值；
（3）已知：0132=+-a a ，试求)1)(1
(22a a a a --
的值.
题型五：求待定字母的值
【例5】若111312-+
+=--x N
x M x x ，试求N M ,的值.
思维拓展练习题：
1、某工厂通过改造设备，平均每天节约用煤1
5，那么相同数量的煤，现在使用的天数是原
来的几倍？
2、若非零实数a,b 满足22104a ab b -+=，则b
a =
3、若2
7x y =，求2222
32257x xy y x xy y -++-的值
4、已知abc=1,求111a b c
ab a bc b ac c ++
++++++的值
5、已知a,b,c 为实数，且111',345ab bc ca a b b c c a ===
+++，求abc
ab bc ca ++的值
第二部分 分式方程
分式方程的解的步骤：
⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。

（产生增根的过程） ⑵解整式方程，得到整式方程的解。

⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：
如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。

产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。

（一）分式方程题型分析
题型一：用常规方法解分式方程 【例1】解下列分式方程
（1）x x 311=-；（2）0132=--x x ；（3）114112=---+x x x ；（4）x x x x -+=++4535
题型二：特殊方法解分式方程 【例2】解下列方程
（1）
4441=+++x x x x ； （2）5
6
9108967+++
++=+++++x x x x x x x x 提示：（1）换元法，设y x x =+1； （2）裂项法，6
1
167++=++x x x .
【例3】解下列方程组
⎪⎪⎪⎩⎪⎪
⎪⎨⎧=+=+=+)
3(4
111)2(3111)1(2111x z z y y x
题型三：求待定字母的值 【例4】若关于x 的分式方程
3
132--=-x m
x 有增根，求m 的值.
【例5】若分式方程
12
2-=-+x a
x 的解是正数，求a 的取值范围.
题型四：解含有字母系数的方程 【例6】解关于x 的方程
)0(≠+=--d c d
c
x b a x
题型五：列分式方程解应用题
1、某服装厂准备加工400套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问：原计划每天加工服装多少套？
2、某商店经销一种泰山旅游纪念品，4月份的营业额为2000元，为扩大销售量，5月份该商店对这种纪念品打6折销售，结果销售量增加20件，营业额增加700元。

（1） 求该种纪念4月份的销售价格？
（2） 若4月份销售这种纪念品获得800元，5月份销售这种纪念品获利多少元？
3、河边两地相距50km,,船在静水中的速度是m(km/h)，水流速度是n(km/h). (1)船从河边两地往返一次需要多长时间？
（2）当m=30,n=10时，求船往返一次需要的时间？ 4、“丰收1号”小麦的试验田是边长为a （m ）的正方形减去一个边长为1m 的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a-1)m 的正方形，两块试验田的小麦都收获了500kg
（1）哪种小麦的单位面积产量高?
(2)小麦高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
思维拓展练习题：
1、已知111a b a b +=+，求
a b b a +的值。

（二）分式方程的特殊解法
解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下： 一、交叉相乘法 例1．解方程：
2
31+=x x
二、化归法 例2．解方程：
01
2112=---x x
三、左边通分法
例3：解方程：871
78=----x
x x
四、分子对等法
例4．解方程：)(11b a x
b b x a a ≠+=+
五、观察比较法
例5．解方程：4
17
425254=-+-x x x x
六、分离常数法
例6．解方程：8
7
329821+++++=+++++x x x x x x x x
七、分组通分法
例7．解方程：4
1
315121+++=+++x x x x 于x 的分式方程
a x a =++112无解，试求a 的值.
(三）分式方程求待定字母值的方法
11 题型一：关于无解的情况
例1．若分式方程x
m x x -=--221无解，求m 的值。

题型二：关于不会有增根的情况
例2．若关于x 的方程1
1122+=-+-x x x k x x 不会产生增根，求k 的值。

题型三：关于有增根的情况
例3．若关于x 分式方程4
32212-=++-x x k x 有增根，求k 的值。

例4．若关于x 的方程
1151221--=+-+-x k x x k x x 有增根1=x ，求k 的值。