高中数学 第二章 概率 6 正态分布同步测控 北师大版选修23

高中数学 第二章 概率 6 正态分布同步测控 北师大版选修2-3
我夯基，我达标
1.下列图象可以作为正态分布密度曲线的是( )
答案：D
2.对于正态分布N(0,1)的分布密度函数f(x)=,
2221x e
-π
,下列说法不正确的是( )
A.f(x)为偶函数
B.f(x)的最大值是
π
21
C.f(x)在x ＞0时是单调减函数,在x≤0时是单调增函数
D.f(x)是关于x=1对称的
解析：f(x)的对称轴为x=μ=0,不是x=1. 答案：D
3.关于正态分布的分布密度曲线的途述:
(1)曲线关于直线x=μ对称,并且曲线在x 轴上方; (2)曲线关于y 轴对称,且曲线的最高点的坐标是(0,
πσ
21);
(3)曲线最高点的纵坐标是
πσ
21,且曲线无最低点;
(4)当σ越大,曲线越“高瘦”,σ越小,曲线越“矮胖”. 上述说法正确的是( )
A.(1)和(2)
B.(2)和(3)
C.(4)和(3)
D.(1)和(3) 解析：曲线的对称轴为x=μ,不一定是y 轴,故(2)错;σ越大,曲线越“矮胖”,σ越小,曲线越“高瘦”,故(4)错. 答案：D
4.设随机变量X —N(μ,σ2
),且P(X≤C)=P(X＞C)，则C( ) A.等于0 B.等于μ
C.等于σ
D.与μ,σ无关 解析：由曲线的对称性知x=μ是对称轴,故C=μ. 答案：B
5.设X —N(0,1),且P(X ＜1.623)=p,那么P(-1.623≤X≤0)的值是( )
A.p
B.-p
C.p-0.5
D.0.5-p 解析：∵μ=0,∴P(X≤0)=0.5.
又P(X ＜1.623)=p,∴P(X≥-1.623)=p ⇒P(X ＜-1.623)=1-p, P(-1.623≤X≤0)=P(X≤0)-P(X ＜-1.623)=
2
1
-(1-p)=p-0.5. 答案：C
6.正态分布的分布密度曲线如图,图形对应的μ、σ分别如图示，则( )
A .μ1＞μ2,σ1＞σ2
B .μ2＞μ1,σ2＞σ1
C .μ1＞μ2,σ1＜σ2
D .μ2＞μ1,σ2＜σ1 解析：由图知μ2＞μ1,故排除A 、C.
又∵σ越小,曲线越“瘦高”,σ越大,曲线越“矮胖”,故σ2＞σ1. 答案：B
7.设离散型随机变量X —N(0,1),P(X≤0)=______________,P(-2＜X ＜2)=______________. 解析：∵P(X≤0)=P(X＞0)且P(X≤0)+P(X＞0)=1, ∴P(X≤0)=
2
1
=0.5, P(-2＜X ＜2)=P(μ-2σ＜X ＜μ+2σ)=0.954. 答案：0.5 0.954
8.某正态分布的分布密度函数是偶函数,而且该函数的最大值为(2π)
2
1-,若总体落在区间
（-∞,x）内的概率为0.001 5，则x 的值是______________________.
解析：∵密度函数为偶函数,∴对称轴x=μ=0. 函数最大值为
π
σ21=(2π)-+
,
∴σ=1.∴X—N(0,1). 由P(X ＜x)=0.001 5,
∴P(x＜X ＜-x)=1-2P(X ＜x)=1-2×0.001 5=0.997.
又∵P(μ-3σ＜X ＜μ+3σ)=P(-3＜X ＜3)=0.997, 故x=-3. 答案：-3
9.若X —N(3,1),求P(4＜X ＜6).
解：∵P(0＜X ＜6)=P(μ-3σ＜X ＜μ+3σ)=0.997, P(2＜X ＜4)=P(μ-σ＜X ＜μ+σ)=0.683. 又∵P(0＜X ＜6)-P(2＜X ＜4)=0.314, 又由对称性知2·P(4＜X ＜6)=0.314, ∴P(4＜X ＜6)=0.157.
10.若随机变量X —N （μ,σ2
）,则Y=
2
3-X 也服从正态分布N(μ0,σ2
0),求μ0和σ0. 解：∵X —N (μ,σ2
),∴EX =μ,DX =σ2
.
而Y=
2
3
-X 也服从正态分布，只需求EY 和DY, 而EY=E(2
3-X )=21
EX-23=23-μ,
DY=D(2
3-X )=41
DX=41σ2⇒DY =21σ,
∵Y —N (μ0,σ2
0),故μ0=23-μ,σ0=2
σ.
我综合，我发展
11.设随机变量X —N(2,4),那么D(
2
1
X)等于… ( ) A.0.5 B.1 C.2 D.4 解析：由X —N(2,4),知σ2
=4,即DX=4,D(
2
1X)=41DX=41
×4=1.
答案：B
12.如果随机变量X —N(μ,σ2
),且EX=3,DX=1,则P(0＜X ≤1)等于( ) A.0.021 5 B.0.723 C.0.215 D.0.64
解析：由EX=μ=3,DX=σ2
=1,∴X—N(3,1), P(μ-3σ＜X ＜μ+3σ)=P(0＜X ＜6)=0.997, P(μ-2σ＜X ＜μ+2σ)=P(1＜X ＜5)=0.954, P(0＜X ＜6)-P(1＜X ＜5)=2P(0＜X≤1)=0.043, ∴P(0＜X≤1)=0.021 5. 答案：A
13.某地区高二女生的体重X(单位:kg)服从正态分布N(50,25)，若该地区共有高二女生 2 000人,则体重在50—65 kg 之间的女生人数为_______________________. 解析：已知μ=50,σ=5,体重在50—65 kg 之间概率为P(50＜X ＜65)=
2
1
P(35＜X ＜65)= 21P(μ-3σ＜X ＜μ+3σ)=2
997.0=0.498 5. ∴体重在50—65 kg 之间的女生人数为2 000×0.498 5=997.
答案：997
14.若函数f(x)=
72
)1(221
--
x e
π
σ,则f(0),f(1),f(3)按由小到大排序应为
____________________.
解析：由f(x)知μ=1,2σ2
=75,∴σ=6. f(x)的对称轴是x=1,图象如图所示. 可知f(3)＜f(0)＜f(1). 答案：f(3)＜f(0)＜f(1)
15.某班学生共有48人,数学考试的分数服从正态分布,其平均分是80分,标准差为10分,则该班学生中成绩在70—90分之间的大约有__________________人. 解析：先求该班学生的成绩在70—90分之间的概率. P(70＜X ＜90)=P(μ-σ＜X ＜μ+σ)=68.3%, ∴该班学生的成绩在70—90分之间的人数为 48×68.3%=32.784≈33(人). 答案：33
16.设X —N （2,4）,试求下面的概率: (1)P(2＜X≤4);(2)P(-2＜X ＜0).
解：(1)∵P (2＜X≤4)=
21P(0＜X≤4)= 21P(μ-σ＜X≤μ+σ)= 21
×0.683=0.341 5. (2)P(-2＜X ＜0)= 21［P(-2＜X ＜6)-P(0＜X ＜4)］=21
［P(μ-2σ＜X ＜μ+2σ)-P(μ-σ＜
X ＜μ+σ)］=2
1
(0.954-0.683)=0.135 5.
我创新，我超越 17.某产品质量服从正态分布N(100,0.52
),则从一大批产品中任抽一件测得其质量为98 kg,问这批产品符合要求吗?
解：根据正态分布的性质可知,产品质量在μ-3σ=100-3×0.5=98.5(kg)和μ+3σ=100+3×0.5=101.5(kg)之间的概率为0.997,而质量超出这个范围的概率只有0.003,这是一个几乎不可能出现的事件,但是任抽一件产品测得其质量为98 kg,超出(μ-3σ,μ+3σ)范围,这是个小概率事件,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生,故这批产品不符合要求.
18.某县农民年平均收入服从μ=500元,σ=20元的正态分布. (1)求此县农民平均收入在500—520元间人数的百分比;
(2)如果要使农民的年平均收入在(μ-a,μ+a)内的概率不小于0.95,则a 至少为多大?
解：设X 表示此县农民的年平均收入,则X —N(500,202
). (1)P(500＜X ＜520)=P(480＜X ＜500).
而P(480＜X ＜520)=P(500-20＜X ＜500+20)=2P(500＜X ＜520)=0.683, ∴P(500＜X ＜520)=0.341 5.
(2)∵农民的年平均收入X—N（500,202）,故X在(500-2×20,500+2×20)的概率为0.95,即X在(460,540)内取值的概率为95%.
故a至少应为40元.。