高中数学同步讲义必修二——第三章 3.2.2 直线的两点式方程

3.2.2 直线的两点式方程
学习目标 1.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围.2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围.3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标．
知识点一 直线方程的两点式
思考 过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？ 答案 不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示． 梳理
名称
已知条件 示意图
方程
使用范围 两点式
P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，
y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2
y －y 1
y 2－y 1＝x －x 1
x 2－x 1 斜率存在且不为0
知识点二 直线方程的截距式
思考 已知两点P 1(a,0)，P 2(0，b )，其中a ≠0，b ≠0，求通过这两点的直线方程． 答案 由直线方程的两点式，得y －0b －0＝x －a 0－a ，
即x a ＋y
b ＝1. 梳理
名称
已知条件 示意图
方程
使用范围
截距式 在x ，y 轴上的截
距分别为a ，b 且
a ≠0，
b ≠0
x a ＋y b
＝1 斜率存在且不为0，不过原点
知识点三 线段的中点坐标公式
若点P 1
，P 2
的坐标分别为(x 1
，y 1
)，(x 2
，y 2
)，设P (x ，y )是线段P 1P 2
的中点，则⎩⎨⎧
x ＝x 1
＋x 2
2
，y ＝y 1
＋y
2
2.
1．不经过原点的直线都可以用方程x a ＋y
b
＝1表示．( × )
2．经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( √ )
3．能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示．( √ )
类型一 直线的两点式方程
例1 已知A (－3,2)，B (5，－4)，C (0，－2)，在△ABC 中， (1)求BC 边的方程；
(2)求BC 边上的中线所在直线的方程． 解 (1)BC 边过两点B (5，－4)，C (0，－2)， 由两点式，得y －(－4)
－2－(－4)＝x －5
0－5，即2x ＋5y ＋10＝0，
故BC 边的方程是2x ＋5y ＋10＝0(0≤x ≤5)． (2)设BC 的中点为M (a ，b )，
则a ＝5＋02＝52，b ＝－4＋(－2)2＝－3，所以M ⎝⎛⎭⎫5
2，－3， 又BC 边的中线过点A (－3,2)，
所以y －2
－3－2＝x －(－3)
52
－(－3)
，即10x ＋11y ＋8＝0，
所以BC 边上的中线所在直线的方程为10x ＋11y ＋8＝0. 引申探究
若本例条件不变，试求BC 边的垂直平分线所在的直线方程．
解 k BC ＝－4－(－2)5－0＝－2
5，
则BC 边的垂直平分线的斜率为5
2，
又BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫5
2，－3， 由点斜式方程可得y ＋3＝5
2⎝⎛⎭⎫x －52， 即10x －4y －37＝0.
反思与感悟 (1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴．若满足，则考虑用两点式求方程．
(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误，在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系，即x 2与y 2是同一点坐标，而x 1与y 1是另一点坐标．
跟踪训练1 若点P (3，m )在过点A (2，－1)，B (－3,4)的直线上，则m ＝________. 答案 －2
解析 由直线方程的两点式，得y －(－1)
4－(－1)＝x －2
－3－2，
即
y ＋15＝x －2
－5
. ∴直线AB 的方程为y ＋1＝－x ＋2， ∵点P (3，m )在直线AB 上， ∴m ＋1＝－3＋2，得m ＝－2. 类型二 直线的截距式方程
例2 求过点A (5,2)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l 的方程．
解 方法一 (1)当直线l 在两坐标轴上的截距均为0时，方程为y ＝2
5x ，即2x －5y ＝0；
(2)当直线l 在两坐标轴上的截距不为0时，可设方程为x a ＋y
－a ＝1，即x －y ＝a ，
又∵l 过点A (5,2)，∴5－2＝a ，解得a ＝3， ∴l 的方程为x －y －3＝0.
综上所述，直线l 的方程是2x －5y ＝0或x －y －3＝0. 方法二 由题意知直线的斜率一定存在． 设直线的点斜式方程为y －2＝k (x －5)， 当x ＝0时，y ＝2－5k ，当y ＝0时，x ＝5－2
k .
根据题意得2－5k ＝－⎝⎛⎭⎫5－2k ，解方程得k ＝2
5或1. 当k ＝25时，直线方程为y －2＝2
5(x －5)，即2x －5y ＝0；
当k ＝1时，直线方程为y －2＝1×(x －5)，即x －y －3＝0. 综上，直线l 的方程是2x －5y ＝0或x －y －3＝0.
反思与感悟 (1)如果问题中涉及直线与两坐标轴相交，则可考虑选用直线截距式的方程，用待定系数法确定其系数即可．
(2)选用直线截距式的方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直． 跟踪训练2 过点P (2,3)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．无数多条
答案 C
解析 当过原点时，有一条符合题意；当与坐标轴截距为正数时，有一条；当与坐标轴截距互为相反数且不为0时，有一条，共3条．
1．在x 轴，y 轴上的截距分别是－3,4的直线方程是( ) A.x －3＋y
4＝1 B.x 3＋y
－4＝1 C.x －3－y
4＝1 D.x 4＋y
－3
＝1 答案 A
2．经过M (3,2)与N (6,2)两点的直线方程为( ) A ．x ＝2 B ．y ＝2 C ．x ＝3 D ．x ＝6 答案 B
解析 由M ，N 两点的坐标可知，直线MN 与x 轴平行，所以直线方程为y ＝2，故选B. 3．过点P (1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为________． 答案 2x －y ＝0或x －y ＋1＝0
解析 当直线过原点时，得直线方程为2x －y ＝0； 当在坐标上的截距不为零时， 可设直线方程为x a －y
a
＝1，
将x ＝1，y ＝2代入方程可得a ＝－1， 得直线方程为x －y ＋1＝0.
∴直线方程为2x －y ＝0或x －y ＋1＝0.
4．已知点A (3,2)，B (－1,4)，则经过点C (2,5)且经过线段AB 的中点的直线方程为______． 答案 2x －y ＋1＝0
解析 AB 的中点坐标为(1,3)， 由直线的两点式方程可得y －35－3＝x －1
2－1，
即2x －y ＋1＝0.
5．直线l 过点(1,2)和第一、二、四象限，若直线l 的横截距与纵截距之和为6，求直线l 的方程． 解 设直线l 的横截距为a ，由题意可得纵截距为6－a ， 所以直线l 的方程为x a ＋y 6－a ＝1，
因为点(1,2)在直线l 上，所以1a ＋2
6－a ＝1，
解得a 1＝2，a 2＝3.
当a ＝2时，直线的方程为2x ＋y －4＝0， 直线经过第一、二、四象限；
当a ＝3时，直线的方程为x ＋y －3＝0， 直线经过第一、二、四象限．
综上所述，所求直线方程为2x ＋y －4＝0或x ＋y －3＝0.
1．当直线没有斜率(x 1＝x 2)或斜率为0(y 1＝y 2)时，不能用两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1
x 2－x 1求它的方程，
此时直线的方程分别是x ＝x 1和y ＝y 1，而它们都适合(x 2－x 1)·(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)，即两点式的整式形式，因此过任意两点的直线的方程都可以写成(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)的形式．
2．直线的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线以及判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面积比较方便．注意直线过原点或与坐标轴平行时，没有截距式方程，但直线过原点时两截距存在且同时等于零．
一、选择题
1．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程( ) A ．可以写成两点式或截距式 B ．可以写成两点式或斜截式或点斜式 C ．可以写成点斜式或截距式
D ．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式 答案 B
解析 由于直线不与坐标轴平行或重合，所以直线的斜率存在，且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式．由于直线在坐标轴上的截距有可能为0，所以直线不一定能写成截距式．故选B. 2．直线x a 2－y
b 2＝1在y 轴上的截距是( )
A ．|b |
B ．－b 2
C ．b 2
D ．±b 答案 B
解析 令x ＝0，得y ＝－b 2.
3．若直线l 的横截距与纵截距都是负数，则( ) A ．l 的倾斜角为锐角且不过第二象限 B ．l 的倾斜角为钝角且不过第一象限 C ．l 的倾斜角为锐角且不过第四象限 D ．l 的倾斜角为钝角且不过第三象限
答案 B
解析 依题意知，直线l 的截距式方程为x －a ＋y
－b ＝1(a >0，b >0)，显然直线l 只能过第二、
三、四象限，而不会过第一象限，且倾斜角为钝角，故选B. 4．以A (1,3)，B (－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( ) A ．3x －y －8＝0 B ．3x ＋y ＋4＝0 C ．3x －y ＋6＝0 D ．3x ＋y ＋2＝0
答案 B
解析 因为k AB ＝1－3
－5－1＝1
3，AB 的中点坐标为(－2,2)，
所以所求直线方程为y －2＝－3(x ＋2)，化简为3x ＋y ＋4＝0.
5．若直线l 过点(－1，－1)和(2,5)，且点(1 009，b )在直线l 上，则b 的值为( ) A ．2 019 B ．2 018 C ．2 017 D ．2 016 答案 A
解析 由直线的两点式方程得直线l 的方程为y －(－1)
5－(－1)＝x －(－1)
2－(－1)，
即y ＝2x ＋1，令x ＝1 009， 则有b ＝2×1 009＋1，即b ＝2 019.
6．(2017·菏泽二中检测)一条光线从点A ⎝⎛⎭⎫－1
2，0处射到点B (0,1)后被y 轴反射，则反射光线所在直线的方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝－2x ＋1 C ．y ＝12x －1
2
D ．y ＝－12x －1
2
答案 B
解析 由光的反射定律可得，点A ⎝⎛⎭⎫－12，0关于y 轴的对称点M ⎝⎛⎭⎫1
2，0在反射光线所在的直线上．再由点B (0,1)也在反射光线所在的直线上，用两点式可求得反射光线所在的直线方程为y －01－0＝x －1
2
0－1
2
，即y ＝－2x ＋1. 7．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －y
a
＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )
答案 A
解析 两条直线化为截距式分别为x a ＋y －b ＝1，x b ＋y
－a ＝1.假定l 1，判断a ，b ，确定l 2的位置，
知A 符合．
8．直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( ) A.⎝
⎛⎭⎫－1，1
5 B.⎝
⎛⎭⎫－∞，1
2∪(1，＋∞) C.()－∞，1∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞ D.()－∞，－1∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 答案 D
解析 设直线的斜率为k ，如图，过定点A 的直线经过点B 时，直线l 在x 轴上的截距为3，此时k ＝－1；过定点A 的直线经过点C 时，直线l 在x 轴上的截距为－3，此时k ＝1
2，满足
条件的直线l 的斜率的取值范围是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭
⎫1
2，＋∞.
二、填空题
9．过点P (1,3)的直线l 分别与两坐标轴交于A ，B 两点，若P 为AB 的中点，则直线l 的截距式方程是_________________________________________________________． 答案 x 2＋y
6
＝1
解析 设A (m,0)，B (0，n )，
由P (1,3)是AB 的中点可得m ＝2，n ＝6， 即A ，B 的坐标分别为(2,0)，(0,6)， 则l 的截距式方程是x 2＋y
6
＝1.
10．过点(1,3)且在x 轴上的截距为2的直线方程是______________． 答案 3x ＋y －6＝0
解析 由题意知直线过点(2,0)， 又直线过点(1,3)， 由两点式可得， y －0
3－0＝x －2
1－2
， 整理得3x ＋y －6＝0.
11．已知A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________． 答案 3
解析 直线AB 的方程为x 3＋y
4＝1，
设P (x ，y )，则x ＝3－3
4
y ，
∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y )＝3
4[－(y －2)2＋4]≤3.
即当P 点坐标为⎝⎛⎭⎫
32，2时，xy 取得最大值3. 三、解答题
12．在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7,3)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求： (1)顶点C 的坐标； (2)直线MN 的截距式方程． 解 (1)设C (x 0，y 0)， 则AC 边的中点为M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x 0＋52，
y 0－22， BC 边的中点为N ⎝
⎛⎭
⎪⎫
x 0＋72，
y 0＋32，
因为M 在y 轴上，所以x 0＋5
2＝0，解得x 0＝－5.
又因为N 在x 轴上，所以y 0＋3
2＝0，解得y 0＝－3.
即C (－5，－3)．
(2)由(1)可得M ⎝⎛⎭⎫0，－5
2，N (1,0)， 所以直线MN 的截距式方程为x 1＋y
－52
＝1.
13．已知△ABC 的三个顶点分别为A (0,4)，B (－2,6)，C (－8,0)． (1)求边AC 和AB 所在直线的方程； (2)求AC 边上的中线BD 所在直线的方程； (3)求AC 边上的中垂线的方程．
解 (1)由截距式，得边AC 所在直线的方程为x －8＋y
4＝1，即x －2y ＋8＝0.
由两点式，得边AB 所在直线的方程为y －46－4＝x －0
－2－0，
即x ＋y －4＝0.
(2)由题意，得点D 的坐标为(－4,2)， 由两点式，
得边BD 所在直线的方程为y －2
6－2＝x －(－4)－2－(－4)， 即2x －y ＋10＝0.
(3)由k AC ＝1
2，得AC 边上的中垂线的斜率为－2.
又AC 的中点坐标为(－4,2)，
由点斜式，得AC 边上的中垂线方程为 y －2＝－2(x ＋4)，即2x ＋y ＋6＝0. 四、探究与拓展
14．若直线l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，则直线l 的方程为________．
答案 x ＋y ±6＝0或x －y ±6＝0
解析 ∵直线l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，
∴直线l 在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0，若l 在两坐标轴上的截距相等，且设为a ，
则直线方程为x a ＋y a
＝1，即x ＋y －a ＝0. ∵12
|a |·|a |＝18，即a 2＝36， ∴a ＝±6，
∴直线方程为x ＋y ±6＝0.
若l 在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设横截距为a ，则纵截距为－a ，故直线方程为x a
＋y －a
＝1，即x －y －a ＝0. ∵12
|－a |·|a |＝18，即a 2＝36， ∴a ＝±6，∴直线方程为x －y ±6＝0.
综上所述，直线l 的方程为x ＋y ±6＝0或x －y ±6＝0.
15．已知直线l ：x －y ＋3＝0，一束光线从点A (1,2)处射向x 轴上一点B ，又从B 点反射到l 上的一点C ，最后从C 点反射回A 点，求直线BC 的方程．
解 作点A 关于x 轴的对称点A 2，则A 2(1，－2)．
设点A 关于l ：x －y ＋3＝0的对称点为A 1(x 0，y 0)，
则⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＋12－y 0＋22＋3＝0，
y 0
－2x 0－1×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝－1，y 0＝4， 即A 1点坐标为(－1,4)．
由已知条件知点A 1，A 2均在直线BC 上，
∴由直线的两点式方程，得y －4－2－4＝x ＋1
1＋1， 即3x ＋y －1＝0.故直线BC 的方程为3x ＋y －1＝0.。