高考数学2009年全国高考试题分类汇编—选做题部分

2009年全国高考试题分类汇编年全国高考试题分类汇编——选做题部分
广东卷
13．（坐标系与参数方程选做题）若直线
+=−=.2,21:1kt y t x l （t 为参数）与直线2,
:12.x s l y s =
=− （s 为参数）垂直，则k = ． 【解析】1)2(2
−=−×−
k
，得1−=k . 14．（不等式选讲选做题）不等式
112
x x +≥+的实数解为 ．
【解析】1
1
2x x +≥+2302)2()1(0
22122−≤⇔ ≠++≥+⇔ ≠++≥+⇔x x x x x x x 且2−≠x .
15．（几何证明选讲选做题）如图4，点,,A B C 是圆O 上的点， 且04,45AB ACB =∠=，
则圆O 的面积等于 ．
【解析】解法一：连结OA 、OB ，则0
90=∠AOB ，∵4=AB ，OB OA =，∴22=OA ，
则ππ8)22(2
=×=圆S ；解法二：222445
sin 4
20
=⇒==
R R ，则ππ8)22(2=×=圆S .
江苏卷
21.[选做题]在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分。

请在答题答题．．卡指定区域．．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

A.选修4 - 1：几何证明选讲
如图，在四边形ABCD 中，△ABC ≌△BAD. 求证：AB ∥CD.
[解析] 本小题主要考查四边形、全等三角形的有关知识，考查推理论证能力。

满分10分。

证明：由△ABC ≌△BAD 得∠ACB=∠BDA ，故A 、B 、C 、D 四点共圆，从而∠CBA=∠CDB 。

再由△ABC ≌△BAD 得∠CAB=∠DBA 。

因此∠DBA=∠CDB ，所以AB ∥CD 。

B. 选修4 - 2：矩阵与变换
求矩阵3221A
=
的逆矩阵. [解析] 本小题主要考查逆矩阵的求法，考查运算求解能力。

满分10分。

解：设矩阵A 的逆矩阵为,x y z w
则3210,2101x y z w
=
即323210,2201x z y w x z y w ++ =
++ 故321,320,20,21,
x z y w x z y w +=+= +=+= 解得：1,2,2,3x z y w =−===−，
从而A 的逆矩阵为1
1223A −− = −
.
C. 选修4 - 4：坐标系与参数方程
已知曲线C
的参数方程为13(x y t t = =+
（t 为参数，0t >）.
求曲线C 的普通方程。

[解析] 本小题主要考查参数方程和普通方程的基本知识，考查转化问题的能力。

满分10分。

解：因为2
1
2,x t t
=+−所以2
12,3
y x t t +=+
= 故曲线C 的普通方程为：2360x y −+=.
D. 选修4 - 5：不等式选讲
设a ≥b ＞0,求证：3
3
32a b +≥2
2
32a b ab +.
[解析] 本小题主要考查比较法证明不等式的常见方法，考查代数式的变形能力。

满分10分。

证明：3322222232(32)3()2()(32)().a b a b ab a a b b b a a b a b +−+=−+−=−− 因为a ≥b ＞0,所以a b −≥0，2
2
32a b −＞0，从而22(32)()a b a b −−≥0， 即3
3
32a b +≥2
2
32a b ab +.
[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分。

请在答题卡指定区域答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22.（本题满分10分）
在平面直角坐标系xoy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A （2，2），其焦点
F 在x 轴上。

（1）求抛物线C 的标准方程；
（2）求过点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程；
（3）设过点(,0)(0)M m m >的直线交抛物线C 于D 、E 两点，ME=2DM ，记D 和E 两点间的距离为()f m ，求()f m 关于m 的表达式。

[解析] [必做题]本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识，考查运算求解能力。

满分10分。

23. （本题满分10分）
对于正整数n ≥2，用n T 表示关于x 的一元二次方程2
20x ax b ++=有实数根的有序数组
(,)a b 的组数，其中{},1,2,,a b n ∈L （a 和b 可以相等）；对于随机选取的{}
,1,2,,a b n ∈L
（a 和b 可以相等），记n P 为关于x 的一元二次方程2
20x ax b ++=有实数根的概率。

（1）求2n T 和2n P ；
（2）求证：对任意正整数n ≥2，有1
n P >. [解析] [必做题]本小题主要考查概率的基本知识和记数原理，考查探究能力。

满分10分。

海南宁夏卷
（22）（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲
如图，已知∆ABC 中的两条角平分线AD 和CE 相交于H ，∠B=60o ，F 在AC 上，且AE AF =。

（1）证明：,,,B D H E 四点共圆；
（2）证明：CE 平分∠DEF 。

（22）解：
（Ⅰ）在△ABC 中，因为∠B=60°，
所以∠BAC+∠BCA=120°. 因为AD,CE 是角平分线， 所以∠HAC+∠HCA=60°，
故∠AHC=120°.
于是∠EHD=∠AHC=120°. 因为∠EBD+∠EHD=180°，
所以B,D,H,E 四点共圆。

（Ⅱ）连结BH ，则BH 为ABC ∠的平分线，得HBD ∠=30°
由（Ⅰ）知B ，D ，H ，E 四点共圆，
所以CED HBD ∠=∠=30°
又AHE EBD ∠=∠=60°，由已知可得EF AD ⊥， 可得CEF ∠=30°
所以CE 平分DEF ∠
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程。

已知曲线C 1：4cos ,3sin ,x t y t =−+ =+ （t 为参数）， C 2：8cos ,3sin ,x y θθ= =
（θ为参数）。

（1）化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C 1上的点P 对应的参数为2
t π
=
，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线
332,
:2x t C y t =+ =−+
（t 为参数）距离的最小值。

（23）解：
（Ⅰ）22
2
2
12:(4)(3)1,:1
649
x y C x y C ++−=+=
1C 为圆心是(4,3)−，半径是1的圆。

2C 为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆。

（Ⅱ）当2
t π
=
时，(4,4).(8cos ,3sin )P Q θθ−，故3
(24cos ,2sin )2
M θθ−++
3C 为直线270x y −−=，
M 到3C 的距离|4cos 3sin 13|d θθ=
−−
从而当43cos ,sin 55θθ==−时，d 85
（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
如图，O 为数轴的原点，,,A B M 为数轴上三点，C 为线段OM 上的动点，设x 表示C 与原点的距离，y 表示C 到A 距离4倍与C 到B 距离的6倍的和. （1）将y 表示为x 的函数；
（2）要使y 的值不超过70，x 应该在什么范围内取值？
（24）解：
（Ⅰ）4|10|6|20|,030y x x x =−+−≤≤
（Ⅱ）依题意，x 满足
4|10|6|20|70,
030x x x −+−≤
≤≤
解不等式组，其解集为[9,23] 所以 [9,23]x ∈
辽宁辽宁理理卷
( 22 ) 题满（本小分 10 选分）修 4- l 证选讲：几何明 己知ABC △中，AB=AC , D 是ABC △外接圆 劣弧 AC 与上的点（不点A , C 长重合），延BD 至E 。

(1)证求：AD 长线的延平分CDE ∠；
(2)若0
30BAC ∠=，ABC △中BC 边上的
高2+,
求ABC △圆积外接的面．
( 22 ) 解：( 1 图设）如，F 为AD 长线延上一点，A ∵，B ，C ， D 圆四点共， CDF ∠=ABC ∠ ， 又AB ＝AC ，∴ABC ACB ∠=∠，且ADB ACB ∠=∠， ∴ADB CDF ∠=∠，对顶角EDF ADB ∠=∠，故EDF CDF ∠=∠， 故AD 长线的延平分CDE ∠。

---------------5分 .( 2设）O 为外接圆圆连心，接AO 交BC 于H 则，AH
BC , ⊥
连接 OC 题，由意∠OAC ＝∠OCA =15o
，75ACB
∠=o ，
∴60OCH ∠=o
，设圆径为半r 则，2r +
=， B
A
D C
F
E
B
A O
D
C
F
E
H
得：r= 2 圆积为，故外接面4π。

---------10 分
( 23 ) 题满（本小分 10 选分）修 4- 4 极标与参数：坐方程
标在直角坐系xOy 中，以O 为极点，x 轴轴为极轴极标线正半建立坐系，曲C 极标的坐为方程cos(13
π
ρθ−
=，M , N 别为线分曲C 与x 轴，y 轴的交点．
（1写线）出曲C 标并的直角坐方程，求M , N 极标的坐； （2设）M , N 为的中点P 线，求直OP 极标的坐方程．
( 23 )解：（1）由cos()13π
ρθ−
=得：1cos sin 12ρθθ+=，
∴线曲C 标为
的直角坐方程112x y +=，即2x +=， 当0θ
=时，2ρ=，M ∴极标的坐（2，0）；
当2
π
θ
=
时，ρ=
，N ∴极标的坐)2
π。

-----------------5分
（2）M 标为的直角坐（2，0），N 标为的直角坐，P ∴标为的直角坐，
则P 极标为
的坐)6π，线直OP 极标为的坐方程,(,)6
π
θρ=∈−∞+∞．----10分 ( 24 ) 题满（本小分 10 选分）修 4- 5 ：选讲不等式
设数
函()|1|||f x x x a =−+−，
（1）若1a =−，解不等式()3f x ≥；
（2）如果x R ∀∈，()2f x ≥，求a 值围的取范。

( 24 )解：（1当）1a =−时，()|1||1|f x x x =−++，由()3f x ≥得：|1||1|3x x −++≥， 绝对值义为（法一）由的几何意知不等式的解集3
3{|}22
x x x ≤−≥或。

为（法二）不等式可化123x x ≤− −≥ 或1123x −<≤ ≥ 或1
23x x > ≥
，
∴为不等式的解集33{|}22
x x x ≤−≥或。

-------------5分 （2）若1a =，()2|1|f x x =−满题设条，不足件；
若1a <，21,()()1,(1)2(1),(1)x a x a f x a a x x a x −++≤
=−<< −+≥ ，()f x 值为的最小1a −；
若1a >，21,(1)()1,(1)2(1),()x a x f x a x a x a x a −++≤
=−<< −+≥
，()f x 值为的最小1a −。

所以对于x R ∀∈，()2f x ≥条的充要件是|1|2a −≥从，而a 值围
的取范(,1][3,)−∞−+∞U 。

-------------10分。