一学期北京四中初三级数学期中考试试题及答案

2013-2014第一学期北京四中初三年级数学期中考试试卷及答案
（时间：120分钟满分：120分）
姓名：
班级：成绩: ____________
一．选择题（每题4分，共32分）
1.抛物线2
(1)4y
x 的顶点坐标是（
）
A ．（1,4）B.(-1,4) C.(1,-4) D.(-1,-4) 2.在Rt △ABC 中，∠C=90°，4sinA
5
，则cosB 的值等于（）
A ．
5
3 B.
5
4 C.
4
3D.
5
53.如图，在
ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BD ，
且AE 、BD 交于点F ，DE ：EC=2:3，则S △DEF :S △ABF =（）
A. 2：3
B.4：9
C.2：5
D.4：25 4.在平面直角坐标系中，已知点E （﹣4，2），F （﹣2，﹣2），以原点O 为位似
中心，相似比为
2，把△EFO 放大，则点E 的对应点E ′的坐标是（
）
A.(-2,1)
B.(-8,4)
C.(-8,4)或(8,-4)
D.(-2,1)
或(2,-1)
5.二次函数2
y ax
bx
c （a ≠0）中的x 与y 的部分对应值如下表：
x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 y
12
5
﹣3
﹣4
﹣3
5
12
给出了结论：（1）二次函数2
y ax
bx c 有最小值，最小值为﹣
3；
（2）当
122
x 时，y ＜0；（3）二次函数2
y ax
bx c 的图象与x 轴有两个交点，且它们分别在
y 轴两侧．
则其中正确结论的个数是（）
A ．1个 B
．2个 C ． 3个 D
．0个6.如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，已知
AB=4，AD=2．
∠DAC=∠B ，若△ABD 的面积为a ，则△ACD 的面积为（
）
A ．a
B ．
12
a C
．13
a
D ．
23
a
7.若定义变换：(,)
(,)f a b a b ，(,)
(,)g m n m n ，如：(1,2)
(1,2)f ，
(4,5)
(4,5)g ，则((2,3))g f =（
）
A ．(2,3)
B ．(2,3)
C ．(2,3)
D ．(2,3)8.小明从如图所示的二次函数2
y ax
bx c （a ≠0）的图象中，
观察得出了下面五条信息：
①ab ＞0；②a+b+c ＜0；③b+2c ＞0；④a ﹣2b+4c ＞0；⑤32
a b
你认为其中正确信息的个数有（）
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
二．填空题（每题4分共16分）
9.在△ABC 中，∠C =90°，3cos ,32
B
a
，则b=_________．
10.已知(-3，m ）、(1，m)是抛物线2
23y x bx 的两点，则b=____. 11.如图，是二次函数
2
1y ax
bx c 和一次函数
2
y mx
n 的图象，观察图象写出
21y y 时，x 的取值范围__________．
12. 已知二次函数2
y ax
bx c 图象的一部分如图，则
a 的取值范围是______．
三．解答题（本题共30分）
13.计算：.1
1
()
8|12|
2sin 60tan 60
2
14.如图，正△ABC 中，∠ADE=60°，(1)求证：△ABD ∽△DCE
x
y
O
（2）若BD=2，CD=4，求AE 的长．
15.如图，为了测量某建筑物AB 的高度，在平地上C 处测得建筑物顶端A 的仰角为30°，
沿CB 方向前进(939)m 到达D 处，在D 处测得建筑物顶端
A 的仰角为45°，求该建筑
物AB 的高度.
16. 已知抛物线2
234y x
kx k ．
(1)顶点在y 轴上时，k 的值为_________. (2)顶点在x 轴上时，k 的值为_________. (3)抛物线经过原点时，k 的值为_______.
17.已知二次函数
2
132
2
y
x x
.
（1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；（2）根据图象，写出当y ＜ 0时，x 的取值范围；
（3）若将此图象沿
x 轴向右平移
3个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式．
18.已知：如图，在△ABC 中，AD 是边BC 上的高，
E 为边AC 的中点，BC ＝14，AD ＝12，5
4sin B 求：(1)线段DC 的长；
(2)tan ∠EDC 的值．四、解答题（本题共
20分，19、20每小题5分21题6分22题4分）
19.如图，直角△ABC 中，
90C ，25AB
，5sin 5
B
，点P 为边BC 上一动点，
PD ∥AB ，PD 交AC 于点D ，连结AP ．
（1）求AC 、BC 的长；
（2）设
PC 的长为x ，ADP 的面积为y ．当x 为何值时,y 最大并求出最大值．
20.如图，直线
3y x 和2y x 分别与直线2x
相交于点A 、B ，将抛物线2
y
x 沿线段
OB 移动，使其顶点始终在线段OB 上，抛物线与直线
x ＝2相交于点C ，设△AOC 的面积为S ，
求S 的取值范围．
21.某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的
售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．
设每件商品的售价上涨元（为正整数），每个月的销售利润为
元．
（1）求
与的函数关系式并直接写出自变量
的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，
每个月的利润恰为
2200元？根据以上结论，
请你直接
写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于
2200元？
22、当抛物线的解读式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐
标也将发生变化. 例如：
x x y y x x
由抛物线2
2
221y x
mx m
m ①有2
()
21y x m m ②，
所以抛物线顶点坐标为（m ，2m －1），即x = m ③, y = 2m －1④.
当m 的值变化时，x ，y 的值也随之变化，因而y 的值也随x 值的变化而变化.
将③代入④，得
y=2x －1⑤. 可见，不论m 取任何实数，抛物线顶点的纵坐标
y 和横坐标x
都满足关系式：y=2x －1；
(1)根据上述阅读材料提供的方法，确定点（－2m, m －1）满足的函数关系式为
_______.
(2)根据阅读材料提供的方法，确定抛物线2
2
211y x
x m
m
m
顶点的纵坐标
y 与横
坐标x 之间的关系式. 五、解答题（本题共22分，第23题6分，第24题7分，第25题9分）
23. 已知二次函数2
2
a
ax x
y （1）求证：不论
a 为何实数，此函数图象与
x 轴总有两个交点．
（2）设a<0，当此函数图象与x 轴的两个交点的距离为13时，求出此二次函数的解读式．
（3）在（2）的条件下，若此二次函数图象与
x 轴交于A 、B 两点，在函数图象上是否存在
点P ，使得△PAB 的面积为
3132
，若存在求出P 点坐标，若不存在请说明理由。

24. 已知：∠ACD=90°，MN 是过点A 的直线，AC=DC ，DB ⊥MN 于点B ，如图（1）．
易证BD+AB=
2CB ，过程如下：
过点C 作CE ⊥CB 于点C ，与MN 交于点 E
∵∠ACB+∠BCD=90°，∠ACB+∠ACE=90°，∴∠BCD=∠ACE ．∵四边形ACDB 内角和为360°，∴∠BDC+∠CAB=180°．∵∠EAC+∠CAB=180°，∴∠EAC=∠BDC ．
又∵AC=DC ，∴△ACE ≌△DCB ，∴AE=DB ，CE=CB ，∴△ECB 为等腰直角三角形，∴BE=2CB ．
又∵BE=AE+AB ，∴BE=BD+AB ，∴BD+AB=
2CB ．
(1)当MN 绕A 旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，其它条件不变，则BD 、AB 、CB 满足
什么样关系式，请写出你的猜想，并对图（
2）给予证明．
(2)MN 在绕点A 旋转过程中，当∠BCD=30°，BD=
2时，则CB=__________．
6 / 10
1
1
O y
x
25.如图，抛物线
2
y ax
bx c 经过点A （﹣3，0），B （0，3），C （1，0）．
（1）求此抛物线的解读式．
（2）点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点，（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线，垂足为F ，交直线AB 于点E ，作PD ⊥AB 于点D ．①动点P 在什么位置时，△PDE 的周长最大，求出此时P 点的坐标；
②连接PA ，以AP 为边作图示一侧的正方形APMN ，随着点P 的运动，正方形的大小、位置也
随之改变．当顶点M 或N 恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的
P 点的坐标．（结果保留
根号）
参考答案DBDCBCBD
9.1。

10.4。

11.-2<x<1。

12.－1＜a ＜0。

13. 原式＝322212
3222
.
14.(略) 15.9。

16.(1)0。

(2)-1，4。

(3)43
17.（1）画图(如图)；
（2）当y ＜ 0时，x 的取值范围是
x ＜-3或x ＞1；
（3）平移后图象所对应的函数关系式为2
2
11(2)
2(2)2
2
或写成y
x y
x
x .
18.（1）CD=5。

(2) tan
∠EDC=
125
19.（1）在Rt ABC 中，5sin 5
B
，
25AB
，得
55
AC AB
，
∴
2AC ，根据勾股定理得：4BC ．
（2）∵
PD ∥
AB ，∴
∽ABC DPC
，∴
12
DC AC PC
BC
设
PC x ，则12
DC
x ，122
AD x ∴2
2
11111(2
)(2)
1
2
22
44
ADP
S
AD PC
x x
x
x
x ∴当
2x 时，y 的最大值是1．
20.解：由题意，得A （2，6），B （2，4）
设直线
2=x 与x 轴相交于点D ，则AD
＝6 ∵抛物线2
y
x 的顶点在线段
OB ：2y
x （0≤x ≤2）上移动
∴设抛物线的解读式为2
2（-m)
y x m （0≤m ≤2）
当x ＝2时，2
2
224
（2-m)y m m m 即2
2
2
24,6(24)22
m
CD m m AC
m
m m ∴2
22
11()24222()2
13
2
－＋＋＝－＋＋＝－－＋S
AC m m m m m OD
∵0≤m ≤2，∴2≤S ≤3. 21.（1）（且为整数）；
（2））当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元．
（3）当售价定为每件51或60元，每个月的利润为
2200元．
当售价不低于
51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元
22.（1）12
x y
（2）x
x y
12
(21010)(5040)101102100y
x x x
x
015x ≤x O A B
C
x
y
y ＝3x y ＝2x
x ＝2
D
23.（1）因为△=0
4)
2()
2(42
2
a a
a
所以不论a 为何实数，此函数图象与x 轴总有两个交点．
（2）此二次函数的解读式为2
3
y x x （3）存在这样的
P 点，P 点坐标是(－2,3), (3,3), (0,
－3)或(1, －3)．
24.（1）如图（2）：AB ﹣BD=
2CB ．
证明：过点C 作CE ⊥CB 于点C ，与MN 交于点E ，∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=90°﹣∠DCE ，∠BCD=90°﹣∠ECD ，∴∠BCD=∠ACE ．∵DB ⊥MN ，
∴∠CAE=90°﹣∠AFC ，∠D=90°﹣∠BFD ，∵∠AFC=∠BFD ，∴∠CAE=∠D ，又∵AC=DC ，∴△ACE ≌△DCB ，∴AE=DB ，CE=CB ，
∴△ECB 为等腰直角三角形，∴BE=
2CB ．
又∵BE=AB ﹣AE ，∴BE=AB ﹣BD ，∴AB ﹣BD=
2CB ．
如图（3）：BD ﹣AB=
2CB ．
（2）CB =3+1；或CB=3-1 25.解：（1）∵抛物线
2
y ax
bx c 经过点A （﹣3，0），B （0，3），C （1，0），
∴，解得，
所以，抛物线的解读式为223
y x x；
（2）①∵A（﹣3，0），B（0，3），
∴OA=OB=3，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAO=45°，
∵PF⊥ｘ轴，
∴∠AEF=90°﹣45°=45°，
又∵PD⊥AB，
∴△PDE是等腰直角三角形，
∴PD越大，△PDE的周长越大，
易得直线AB的解读式为y=x+3，
设与AB平行的直线解读式为y=x+m，
联立，
消掉y得，2330
x x m，
当2341(3)0
m，
即m=时，直线与抛物线只有一个交点，PD最长，
此时
332115
,
2244
x y，
∴点P（﹣，）时，△PDE的周长最大；
②抛物线223
y x x的对称轴为直线
2
1
2(1)
x，
（i）如图1，点M在对称轴上时，过点P作PQ⊥对称轴于Q，在正方形APMN中，AP=PM，∠APM=90°，
∴∠APF+∠FPM=90°，∠QPM+∠FPM=90°，
∴∠APF=∠QPM，
∵在△APF和△MPQ中，
，
∴△APF ≌△MPQ （AAS ），∴PF=PQ ，
设点P 的横坐标为n （n ＜0），则PQ=﹣1﹣n ，即PF=﹣1﹣n ，
∴点P 的坐标为（n ，﹣1﹣n ），∵点P 在抛物线2
23y x
x 上，
∴
2
23
1n
n n ，整理得，2
40n n ，
解得1
2
1
17117
(22舍去），n n ，
117117
11
2
2
n ，
所以，点P 的坐标为（，
）；
（ii ）点N 在对称轴上时，
同理：点P 坐标为（﹣
﹣1，2）．。