中考数学 数学中考数学压轴题的专项培优练习题(含答案

一、中考数学压轴题
1．如图，抛物线214y x bx c =++与x 轴交于点A （-2，0），交y 轴于点B （0，52
-）．直线32y kx =+过点A 与y 轴交于点C ，与抛物线的另一个交点是D ．
(1) 求抛物线214
y x bx c =++与直线32y kx =+的解析式； (2)点P 是抛物线上A 、D 间的一个动点，过P 点作PM ∥CE 交线段AD 于M 点.
①过D 点作DE ⊥y 轴于点E ，问是否存在P 点使得四边形PMEC 为平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由;
②作PN ⊥AD 于点N ，设△PMN 的周长为m ，点P 的横坐标为x ，求m 关于x 的函数关系式，并求出m 的最大值．
2．在平面直角坐标系中，抛物线2
4y mx mx n =-+（m >0）与x 轴交于A ，B 两点，点B 在点A 的右侧，顶点为C ，抛物线与y 轴交于点D ，直线CA 交y 轴于E ，且:3:4∆∆=ABC BCE S S ．
（1）求点A ，点B 的坐标；
（2）将△BCO 绕点C 逆时针旋转一定角度后，点B 与点A 重合，点O 恰好落在y 轴上， ①求直线CE 的解析式；
②求抛物线的解析式．
3．已知：如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，()2,0C ．直线26y x =+与x 轴交于点A ，交y 轴于点B ．过C 点作直线AB 的垂线，垂足为E ，交y 轴于点D ． （1）求直线CD 的解析式；
（2）点G 为y 轴负半轴上一点，连接EG ，过点E 作EH EG ⊥交x 轴于点H ．设点G 的坐标为()0,t ，线段AH 的长为d ．求d 与t 之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）
（3）过点C 作x 轴的垂线，过点G 作y 轴的垂线，两线交于点M ，过点H 作HN GM ⊥于点N ，交直线CD 于点K ，连接MK ，若MK 平分NMB ∠，求t 的值．
4．如图，已知抛物线()2
y ax bx 2a 0=+-≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，直线BD 交抛物线于点D ，并且()D 2,3，()B 4,0-．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点M 为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B 、M 、C ，求BMC 面积的最大值；
（3）在（2）中BMC 面积最大的条件下，过点M 作直线平行于y 轴，在这条直线上是否存在一个以Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线AC 相切的圆？若存在，求出圆心Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
5．已知．在Rt △OAB 中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，OA=23，若以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B 在第一象限内，将Rt △OAB 沿OB 折叠后，点A 落在第一象限内的点C 处．
（1）求经过点O ，C ，A 三点的抛物线的解析式．
（2）若点M 是抛物线上一点，且位于线段OC 的上方，连接MO 、MC ，问：点M 位于何处时三角形MOC 的面积最大？并求出三角形MOC 的最大面积．
（3）抛物线上是否存在一点P ，使∠OAP=∠BOC ？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不
存在，请说明理由．
6．（1）阅读理解：
如图①，在ABC 中，若8AB =，5AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围． 可以用如下方法：将ACD 绕着点D 逆时针旋转180︒得到EBD △，在ABE △中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD 的取值范围是______；
（2）问题解决：
如图②，在ABC 中，D 是BC 边上的中点，DE DF ⊥于点D ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，求证：BE CF EF +>；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=︒，CB CD =，100BCD ∠=︒，以C 为顶点作一个50︒的角，角的两边分别交AB 、AD 于E 、F 两点，连接EF ，探索线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系，并说明理由．
7．已知：如图，二次函数213222
y x x =-++的图象交x 轴于A 点和B 点（A 点在B 点左则），交y 轴于E 点，作直线,EB D 是直线EB 上方抛物线上的一个动点．过D 点作 直线l 平行于直线.EB M 是直线 EB 上的任意点，N 是直线l 上的任意点，连接,MO NO ，始终保持MON ∠为90︒，以MO 和ON 边，作矩形MONC ．
（1）在D 点移动过程中，求出当DEB ∆的面积最大时点D 的坐标；在DEB ∆的面积最大 时，求矩形MONC 的面积的最小值．
（2）在DEB ∆的面积最大时，线段ON 交直线EB 于点G ，当点,,,D N G B 四个点组成平行 四边形时，求此时线段ON 与抛物线的交点坐标．
8．在平面直角坐标系xOy 中，对于点A 和图形M ，若图形M 上存在两点P ，Q ，使得3AP AQ =，则称点A 是图形M 的“倍增点”．
（1）若图形M 为线段BC ，其中点()2,0B -，点()2,0C ，则下列三个点()1,2D -，()1,1E -，()0,2F 是线段BC 的倍增点的是_____________；
（2）若O 的半径为4，直线l ：2y x =-+，求直线l 上O 倍增点的横坐标的取值范围；
（3）设直线1y x =-+与两坐标轴分别交于G ，H ，OT 的半径为4，圆心T 是x 轴上的动点，若线段GH 上存在T 的倍增点，直接写出圆心T 的横坐标的取值范围．
9．问题背景：如图，四边形ABCD 中，AD BC ∥，8BC =，17AD =+32AB =45ABC ∠=︒，P 为边AD 上一动点，连接BP 、CP ．
问题探究
（1）如图1，若30PBC ∠=︒，则AP 的长为__________．
（2）如图2，请求出BPC △周长的最小值；
（3）如图3，过点P 作PE BC ⊥于点E ，过点E 分别作EM PB ⊥于M ，EN PC ⊥于点N ，连接MN
①是否存在点P ，使得PMN 的面积最大？若存在，求出PMN 面积的最大值，若不存在，请说明理由；
②请直接写出PMN 面积的最小值．
10．如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，AB BC <，O 为AC 中点，点D 在BO 延长线上，CD BC =，AE BC ∥，CE CA =，AE 交BD 于点G ．
（1）若28DCE ∠=︒，求AOB ∠的度数；
（2）求证：AG GE =；
（3）设DC 交GE 于点M ．
①若3AB =，4BC =，求::AG GM ME 的值；
②连结DE ，分别记ABG ，DGM ，DME 的面积为1S ，2S ，3S ，当AC DE 时，123::S S S = ．（直接写出答案）
11．如图,矩形ABCD 中，AD >AB ，连接AC ，将线段AC 绕点A 顺时针旋转90∘得到线段AE ，平移线段AE 得到线段DF (点A 与点D 对应，点E 与点F 对应)，连接BF ，分别交直线AD ，AC 于点G ，M ，连接EF ．
(1) 依题意补全图形；
(2) 求证：EG ⊥AD ；
(3) 连接EC ，交BF 于点N ，若AB =2，BC =4，设MB =a ，NF =b ，试比较()()11a b ++与
9+62之间的大小关系，并证明．
12．如图1，平面直角坐标系xoy 中，A (－4，3)，反比例函数(0)k y k x
=<的图象分别交矩形ABOC 的两边AC ，BC 于E ，F （E ，F 不与A 重合），沿着EF 将矩形ABOC 折叠使A ，D 重合．
（1）①如图2，当点D 恰好在矩形ABOC 的对角线BC 上时，求CE 的长；
②若折叠后点D 落在矩形ABOC 内（不包括边界），求线段CE 长度的取值范围． （2）若折叠后，△ABD 是等腰三角形，请直接写出此时点D 的坐标．
13．如图，抛物线2
(40) y ax bx a =++≠与x 轴交于()() 3,0, 4,0A C -两点，与y 轴交于点B ．
()1求这条抛物线的顶点坐标；
()2已知AD AB =(点D 在线段AC 上)，有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度移动：同时另一个点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动，经过()t s 的移动，线段PQ 被BD 垂直平分，求t 的值；
()3在()2的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M ,使MQ MC +的值最小?若存在，请求出点M 的坐标：若不存在，请说明理由．
14．如图①，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，AC =1，D 为AB 的中点，EF 为△ACD 的中位线，四边形EFGH 为△ACD 的内接矩形（矩形的四个顶点均在△ACD 的边上）． （1）计算矩形EFGH 的面积；
（2）将矩形EFGH 沿AB 向右平移，F 落在BC 上时停止移动．在平移过程中，当矩形与
△CBD 重叠部分的面积为316时，求矩形平移的距离； （3）如图③，将（2）中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形1111E F G H ，将矩形1111E F G H 绕1G 点按顺时针方向旋转，当1H 落在CD 上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形2212E F G H ，设旋转角为α，求cos α的值．
15．定义：将函数l 的图象绕点P （m ，0）旋转180°，得到新的函数l '的图象，我们称函数l '是函数关于点P 的相关函数．
例如：当m ＝1时，函数y ＝（x +1）2+5关于点P （1，0）的相关函数为y ＝﹣（x ﹣3）2﹣5．
（1）当m ＝0时
①一次函数y ＝x ﹣1关于点P 的相关函数为 ；
②点（12，﹣98
）在二次函数y ＝﹣ax 2﹣ax +1（a ≠0）关于点P 的相关函数的图象上，求a 的值．
（2）函数y ＝（x ﹣1）2+2关于点P 的相关函数y ＝﹣（x +3）2﹣2，则m ＝ ； （3）当m ﹣1≤x ≤m +2时，函数y ＝x 2﹣mx ﹣
12
m 2关于点P （m ，0）的相关函数的最大值为6，求m 的值．
16．如图，在▱ABCD 中，对角线AC ⊥BC ，∠BAC ＝30°，BC ＝23，在AB 边的下方作射线AG ，使得∠BAG ＝30°，E 为线段DC 上一个动点，在射线AG 上取一点P ，连接BP ，使得∠EBP ＝60°，连接EP 交AC 于点F ，在点E 的运动过程中，当∠BPE ＝60°时，则AF ＝_____．
17．已知四边形ABCD为矩形，对角线AC、BD相交于点O，AD＝AO．点E、F为矩形边上的两个动点，且∠EOF＝60°．
（1）如图1，当点E、F分别位于AB、AD边上时，若∠OEB＝75°，求证：DF＝AE；（2）如图2，当点E、F同时位于AB边上时，若∠OFB＝75°，试说明AF与BE的数量关系；
（3）如图3，当点E、F同时在AB边上运动时，将△OEF沿OE所在直线翻折至△OEP，取线段CB的中点Q．连接PQ，若AD＝2a（a＞0），则当PQ最短时，求PF之长．
18．如图，在矩形ABCD中，点E为BC的中点，连接AE，过点D作DF AE
⊥于点F，过点C作CN DF
⊥于点N，延长CN交AD于点M．
（1）求证：AM MD
=
（2）连接CF，并延长CF交AB于G
①若2
AB=，求CF的长度；
②探究当AB
AD
为何值时，点G恰好为AB的中点．
19．已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，点M在BC边上，过点M作PM∥AB交对角线BD于点P，连接PC．
（1）如图1，当BM=1时，求PC的长；
（2）如图2，设AM与BD交于点E，当∠PCM=45°时，求证：BE
DE
=
33
+
；
（3）如图3，取PC的中点Q，连接MQ，AQ．
①请探究AQ和MQ之间的数量关系，并写出探究过程；
②△AMQ的面积有最小值吗？如果有，请直接写出这个最小值；如果没有，请说明理由．
20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知Rt ABC 的直角顶点()0,12C ，斜边AB 在x 轴上，且点A 的坐标为()9,0-，点D 是AC 的中点，点E 是BC 边上的一个动点，抛物线2
12y ax bx =++过D ，C ，E 三点．
（1）当//DE AB 时，
①求抛物线的解析式；
②平行于对称轴的直线x m =与x 轴，DE ，BC 分别交于点F ，H ，G ，若以点D ，H ，F 为顶点的三角形与GHE △相似，求点m 的值．
（2）以E 为等腰三角形顶角顶点，ED 为腰构造等腰EDG △，且G 点落在x 轴上.若在x 轴上满足条件的G 点有且只有一个时，请直接写出．．．．
点E 的坐标． 21．如图1，Rt △ABC 中，点D ，E 分别为直角边AC ，BC 上的点，若满足AD 2+BE 2＝DE 2，则称DE 为R △ABC 的“完美分割线”．显然，当DE 为△ABC 的中位线时，DE 是△ABC 的一条完美分割线．
（1）如图1，AB ＝10，cos A ＝45
，AD ＝3，若DE 为完美分割线，则BE 的长是 ． （2）如图2，对AC 边上的点D ，在Rt △ABC 中的斜边AB 上取点P ，使得DP ＝DA ，过点P 画PE ⊥PD 交BC 于点E ，连结DE ，求证：DE 是直角△ABC 的完美分割线．
（3）如图3，在Rt △ABC 中，AC ＝10，BC ＝5，DE 是其完美分割线，点P 是斜边AB 的中点，连结PD 、PE ，求cos ∠PDE 的值．
22．在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 为反比例函数()4x 0x y =
>的图像上两点，A 点的横坐标与B 点的纵坐标均为1，将()4x 0x y =
>的图像绕原点O 顺时针旋转90°，A 点的对应点为A’，B 点的对应点为B’．
（1）点A ’的坐标是 ，点B’的坐标是 ；
（2）在x 轴上取一点P ，使得PA+PB 的值最小，直接写出点P 的坐标． 此时在反比例函数()4x 0x
y =>的图像上是否存在一点Q ，使△A’B’Q 的面积与△PAB 的面积相等，若存
在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接AB’，动点M从A点出发沿线段AB’以每秒1个单位长度的速度向终点B’运动；动点N同时从B’点出发沿线段B’A’以每秒1个单位长度的速度向终点A’运动．当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t秒，试探究：是否存在使
△MNB’为等腰直角三角形的t值．若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
23．如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=2，AC=4．对角线AC、BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转α°（0°＜α＜180°），分别交直线BC、AD于点E、F．
（1）当α=_____°时，四边形ABEF是平行四边形；
（2）在旋转的过程中，从A、B、C、D、E、F中任意4个点为顶点构造四边形，
①当α=_______°时，构造的四边形是菱形；
②若构造的四边形是矩形，求该矩形的两边长．
24．在综合与实践课上老师将直尺摆放在三角板上，使直尺与三角板的边分别交于点P、M、N、Q，
（1）如图①所示．当∠CNG＝42°，求∠HMC 的度数．（写出证明过程）
（2）将直尺向下平移至图 2 位置，使直尺的边缘通过点 C，交 AB 于点 P，直尺另一侧与三角形交于 N、Q 两点。

请直接写出∠PQF、∠A、∠ACE 之间的关系．
25．如图，射线AM上有一点B，AB＝6．点C是射线AM上异于B的一点，过C作
CD ⊥AM ，且CD ＝43
AC ．过D 点作DE ⊥AD ，交射线AM 于E . 在射线CD 取点F ，使得CF ＝CB ，连接AF 并延长，交DE 于点G ．设AC ＝3x ．
（1） 当C 在B 点右侧时，求AD 、DF 的长．(用关于x 的代数式表示)
（2）当x 为何值时，△AFD 是等腰三角形． （3）若将△DFG 沿FG 翻折，恰使点D 对应点'D 落在射线AM 上，连接'FD ，'GD ．此时x 的值为 （直接写出答案）
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一、中考数学压轴题
1．A
解析：（1）2135442y x x =
--，33y x 42=+ ；（2）① 存在，点P 的坐标是（2，-3）和（4，32-）；②231848555m x x =-++ ， m 的最大值是15． 【解析】
【分析】
（1）将点A 和点B 的坐标代入抛物线的解析式可求得b 、c 的值，然后可求得抛物线的解析式，将点A 的坐标代入直线的解析式可求得k 的值，从而可求得直线的解析式； （2）①将2135442
y x x =--与33y x 42=+联立，可求得点158,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，然后再求得点30,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭则6CE =，设点P 的坐标为2135,442x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则M 的坐标是33,4
2x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．然后可得到PM 的长与x 的函数关系式，然后依据PM CE =，可求得x 的值，从而可得到点P 的坐标；
②在Rt CDE ∆中，依据勾股定理可知：10DC =，则CDE ∆的周长是24，接下来，证明PMN CDE ∆∆∽，依据相似三角形的周长比等于相似比可得到m 与x 的函数关系式，最
后利用配方法可求得m 的最大值．
【详解】
解：（1）214
y x bx c =++经过点A 和点B ， ∴12052
b c c -+=⎧⎪⎨=⎪⎩， 解得3452
b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴抛物线的解析式为2135442y x x =
--， 直线32y kx =+
经过点(2,0)A -， 3202
k ∴-+=，解得：34k =． ∴直线的解析式为33y x 42=
+； （2）①将2135442
y x x =--与33y x 42=+联立，解得2x =-或8x =， 将8x =代入33y x 42=+得：152y =， 158,2D ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭
， 将0x =代入33y x 42=+得：32
y =， 30,2C ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭
， 6CE ∴=，
设点P 的坐标为2135,442x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则M 的坐标是33,4
2x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 点P 在直线AD 的下方，
22331351344
244242PM x x x x x ⎛⎫⎛⎫∴=+---=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 四边形PMEC 为平行四边形，
PM CE ∴=，
2134642
x x ∴-++=，解得2x =或4x =， 当2x =时，3y =-，当4x =时，32
y =-，
∴当点P 的坐标为()2,3-或34,2⎛⎫
- ⎪⎝⎭
时，四边形PMEC 为平行四边形； ②在Rt CDE ∆中，8DE =，6CE =，
依据勾股定理可知：10DC =， CDE ∴∆的周长是24，
//PM y 轴，
PMN DCE ∴∠=∠，
又90PNM DEC ∠=∠=︒，
PMN CDE ∴∆∆∽， ∴PMN CDE l PM l DC ∆∆=，即2134422410
x x m -++=， 化简整理得：231848555
m x x =-++， 配方得：23(3)155
m x =--+， ∴当3x =时，m 有最大值，m 的最大是15．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，平行四边形的性质、相似三角形的性质和判定，依据相似三角形的周长比等于相似比列出m 与x 的函数关系式是解题的关键．
2．A
解析：（1） A （12,0） B （72,0）；(2)
①y x =+，
②2999
y x x =-+ 【解析】
【分析】
（1）根据抛物线的解析式可得对称轴为x =2，利用:3:4∆∆=ABC BCE S S 得出CA :CE =3:4，由△AOE ∽△AGC 可得13
=AO AG ，进而求得OA 、OB 的长，即可求得点A 、点B 的坐标； （2）根据旋转的性质求出C 点坐标，利用C 点坐标和△AOE ∽△AGC 可求得E 点坐标，，分别利用待定系数法即可求得直线CE 和抛物线的解析式．
【详解】
解：（1）∵抛物线的解析式为24(0)=-+>y mx mx n m ， ∴对称轴为直线422-=-
=m x m
， 如图，设对称轴与x 轴交于G ，则//CG y 轴，2OG =，
∴△AOE ∽△AGC ， ∴=AO AE AG AC ， ∵:3:4ABC BCE S S =，
∴CA :CE =3:4 ，则
31AE AC =， ∴13
==AO AE AG AC ， ∴1142==OA OG ，3342
==AG OG ， 则23==AB AG ，72=+=
OB OA AB ， ∴A (12,0)， B (72
,0)； （2）如图，设O 旋转后落在点Q 处，过点C 作CP y ⊥轴于点P ，
由旋转的性质得：△BCO ≌△ACQ ，
∴BO =AQ =
72，CO =CQ ， ∴OQ
==== ∵CP y ⊥轴，
∴12
==OP OQ ∴点C
的坐标为(2,
，则CG =由（1）得△AOE ∽△AGC ，
13==OE AE CG AC ，
∴3OE =，即点E
的坐标为(0,3
， ①设CE 的解析式为y kx b =+，分别代入
C (2,，
E 得：
23k b b ⎧+=⎪⎨=⎪⎩
，解得：k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， ∴CE
的解析式为33y x =-
+； ②将A (12
,0)，
C (2,分别代入24y mx mx n =-+得：
1204
48m m n m m n ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩
，解得：99m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
∴抛物线解析式为2999
y x x =
-+． 【点睛】
本题考查了二次函数的综合、旋转的性质、相似三角形的性质和求一次函数的解析式，正确的理解题意，熟练运算“数形结合思想”是解题的关键． 3．C
解析：（1）112y x =-
+；（2）1d t =-+；（3
）65
t -= 【解析】
【分析】
（1）根据互相垂直两直线斜率积为-1，设出直线CE 的解析式，再将点C 坐标代入即可求
解；
（2）过点E 作EM ⊥y 轴于点M ，过点E 作EN x ⊥轴于点N ，通过解直角三角形可证EDM ≌EAN ，ENH ≌EMG ，得到AN =DM ，HN =GM ，进而得到AH DG =，再根据CE 解析式求出D 点坐标，即可找出d 与t 之间的函数关系式；
（3）过点B 作BT CM ⊥于点T ，在直线BT 上截取TL NK =，证四边形BGMT 与四边形HNMC 均为矩形，得MN MT =，再进一步证明ENH ≌EMG ，利用全等三角形的性质通过角度计算，得出△BML 为等腰三角形且BM BL =，再用含有t 的代数式表示BM ，最后在Rt △BMG 中利用勾股定理建立等式，求出t 的值．
【详解】
解：（1）∵CE ⊥AB ，
∴设直线CE 的解析式为：12
y x c =-+， 把点C （2，0）代入上述解析式，得1c =，
∴直线CD 的解析式为：112
y x =-+； （2）过点E 作EM ⊥y 轴于点M ，过点E 作EN x ⊥轴于点N ，
令26112y x y x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩， 解得22x y =-⎧⎨=⎩
， ∴()2,2E -，
易证EDM ≌EAN ，ENH ≌EMG ，
∴AN =DM ，HN =GM ，
∴AH DG =，
由直线CE 的解析式112
y x =-
+，可求点D （0，1） ∴DG =1—t ，
∴1d t =-+；
（3）过点B 作BT CM ⊥于点T ，在直线BT 上截取TL NK =，
易证四边形BGMT 与四边形HNMC 均为矩形，
由（2）问可知1t AH GD ==-，则6t HC =-
∴6t BG MT ==-，
∴MN MT =，
∵90KNM LTM ∠=∠=︒，
∴ENH ≌EMG ，
∴L NKM ∠=∠，
设KMN α∠=，则KMB KMN α∠=∠=，
∴90NKM α∠=︒-，
∴90NKM L α∠=∠=︒-，
∵//BL MN ，
∴2MBL BMN α∠=∠=，
∴18090BML MBL L α∠=︒-∠-∠=︒-，
∴BM BL =， ∵1tan 2KCH ∠=
， ∴11322
KH CH t ==-， ∴133322KN KH HN t t t TL =+=-
-=-=， ∴352
BL BT TL t BM =+=-
=， 在Rt BMG △中， 222BM BG GM =+， 解得64215t +=（不合题意舍去）或64215t -= 故，6215
t -=． 【点睛】
本题一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理等，利用已知条件求相等交，相等线段是解决本题的关键．
4．B
解析：（1）213y x x 222=+-；（2）4
；（3）存在，Q 的坐标为()2,4-或()2,1-- 【解析】
【分析】 ()1根据题意将()D 2,3、()B 4,0-的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
()2由题意设点M 的坐标为213x,x x 222⎛⎫+- ⎪⎝⎭，则点1K x,x 22⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，BMC 1S MK OB 2
=⋅⋅，即可求解； ()3由题意和如图所示可知，1tan QHN 2∠=，在Rt
QNH 中，QH m 6=+，222QN OQ (2)m m 4==-+=+，2QN m 4sin QHN QH
5∠+===，进行分析计算即可求解．
【详解】
解：()1将()D 2,3、()B 4,0-的坐标代入抛物线表达式得：422316420a b a b +-=⎧⎨--=⎩
，解得：1232
a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 则抛物线的解析式为：213y x x 222=
+-； ()2过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点K ，
将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式：y k'x b'=+得：04'''2k b b =-+⎧⎨=-⎩，解得：1'2'2k b ⎧=
-⎪⎨⎪=-⎩， 则直线BC 的表达式为：1y x 22=-
-， 设点M 的坐标为213x,x x 222⎛⎫+- ⎪⎝⎭，则点1K x,x 22⎛⎫-- ⎪⎝⎭
， 22BMC 1113S MK OB 2x 2x x 2x 4x 2222⎛⎫=⋅⋅=----+=-- ⎪⎝⎭
， a 10=-<，BMC S
∴有最大值， 当b x 22a
=-=-时， BMC S 最大值为4，
点M 的坐标为()2,3--；
()3如图所示，存在一个以Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线AC 相切的圆，切点为N ， 过点M 作直线平行于y 轴，交直线AC 于点H ，
点M 坐标为()2,3--，设：点Q 坐标为()2,m -，
点A 、C 的坐标为()1,0、()0,2-，OA 1tan OCA OC 2
∠==， QH //y 轴，
QHN OCA ∠∠∴=，
1tan QHN 2∠∴=，则sin QHN 5
∠=
将点A 、C 的坐标代入一次函数表达式：y mx n =+得：02m n n +=⎧⎨=-⎩
， 则直线AC 的表达式为：y 2x 2=-，
则点()H 2,6--，
在Rt QNH 中，QH m 6=+，QN OQ ===
QN sin QHN
QH
m 6∠===+， 解得：m 4=或1-，
即点Q 的坐标为()2,4-或()2,1--．
【点睛】
本题考查的是二次函数知识的综合运用，涉及到解直角三角形、圆的基本知识，本题难点是()3，核心是通过画图确定圆的位置，本题综合性较强．
5．C
解析：（1）y=﹣x 2；（2）28⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,8；（3）存在，P(3，53)或(﹣
73) 【解析】
【分析】
（1）根据折叠的性质可得OC=OA ，∠BOC=∠BAO=30°，过点C 作CD ⊥OA 于D ，求出OD 、CD ，然后写出点C 的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）求出直线OC 的解析式，根据点M 到OC 的最大距离时，面积最大；平行于OC 的直线与抛物线只有一个交点，利用根的判别式求出m 的值，利用锐角三角函数的定义求解即可；
（3）分两种情况求出直线AP 与y 轴的交点坐标，然后求出直线AP 的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点P 的坐标．
【详解】
解：（1）∵Rt △OAB 沿OB 折叠后，点A 落在第一象限内的点C 处，
∴BOC=∠BAO=30°，
∴∠AOC=30°+30°=60°，
过点C 作CD ⊥OA 于D ，
则OD=1233 33， 所以，顶点C 33），
设过点O ，C ，A 抛物线的解析式为为y=ax 2+bx ， 则223)33(23)230
a b a b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩， 解得：123a b =-⎧⎪⎨=⎪⎩
∴抛物线的解析式为y=﹣x 23；
（2）∵C 33），
∴直线OC 的解析式为：3y x =，
设点M 到OC 的最大距离时，平行于OC 的直线解析式为3y x m =+， 联立233y x m y x x
⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩， 消掉未知数y 并整理得，230x x m +=，
△=（3-2-4m=0，
解得：m=
34
． ∴23304x x +=， ∴3x =； ∴点M 到OC 的最大距离=34×sin30°=313428
⨯=；
∵OC==
∴
13
288
MOC
S
∆
=⨯⨯=；
此时，
M
⎝⎭
，最大面积为
8
；
（3）∵∠OAP=∠BOC=∠BOA =30°，
∴2
3
=，
∴直线AP与y轴的交点坐标为（0，2）或（0，﹣2），
当直线AP
经过点（0）、（0，2
）时，解析式为2
y x
=+，
联立
2
2
y x
y x
⎧=-+
⎪
⎨
=+
⎪
⎩
，
解得1
1
x
y
⎧=
⎪
⎨
=
⎪⎩
2
2
5
3
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
．
所以点P
的坐标为（
3
，
5
3
），
当直线AP
经过点（0）、（0，﹣2
）时，解析式为2
y x
=-，
联立
2
2
3
y x
y x
⎧=-+
⎪
⎨
=-
⎪
⎩
解得1
1
x
y
⎧=
⎪
⎨
=
⎪⎩
2
2
3
7
3
x
y
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
；
所以点P
的坐标为（
7
3
-）．
综上所述，存在一点P
，
5
3
7
3
），使∠OAP=∠BOA．
【点睛】
本题是二次函数综合题型，主要利用了折叠的性质，待定系数法求二次函数解析式，联立两函数解析式求交点的方法，（2）判断出点M到OC的距离最大是，平行于OC的直线与
抛物线只有一个交点是解题的关键，（3）确定出直线AP 的解析式是解题的关键．
6．F
解析：（1）28AD <<；（2）见详解；（3）EF BE DF =+，理由见详解
【解析】
【分析】
（1）根据旋转的性质可证明ADC EDB ≅，6,AC BE AD ED ===，在ABE △中根据三角形三边关系即可得出答案；
（2）延长FD 至M ，使DF=DM ，连接BM ，EM ，可得出CF BM =，根据垂直平分线的性质可得出EF EM =，利用三角形三边关系即可得出结论；
（3）延长AB 至N ，使BN=DF ，连接CN ，可得NBC D ∠=∠，证明NBC FDC ≅，得出,CN CF NCB FCD =∠=∠，利用角的和差关系可推出50ECN ECF ∠=︒=，再证明NCE FCE ≅，得出EN EF =，即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵,,AD ED CD BD ADC BDE ==∠=∠
∴ADC EDB ≅
∴6,AC BE AD ED ===
在ABE △中根据三角形三边关系可得出：
AB BE AE AB BE -<<+，即4216AD <<
∴28AD <<
故答案为：28AD <<；
（2）延长FD 至M ，使DF=DM ，连接BM ，EM ，
同（1）可得出CF BM =，
∵,FD MD FD DE =⊥
∴EF EM =
在BEM △中，BE BM EM +>
∴BE CF EF +>；
（3）EF BE DF =+，理由如下：
延长AB 至N ，使BN=DF ，连接CN ，
∵180,180ABC D ABC NBC ∠+∠=︒∠+∠=︒
∴NBC D ∠=∠
∴NBC FDC ≅
∴,CF CN NCB FCD =∠=∠
∵100,50BCD FCE ∠=︒∠=︒
∴50ECN ECF ∠=︒=
∴NCE FCE ≅（SAS ）
∴EN EF =
∴EF EN BE BN BE DF ==+=+
∴EF BE DF =+．
【点睛】
本题考查的知识点有旋转的性质、全等三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质、三角形三边关系、角的和差等，解答此题的关键是作出辅助线，构造出与图①中结构相关的图形．此题结构精巧，考查范围广，综合性强．
7．D
解析：（1）D 点坐标为()2,3，矩形MONC 的最小值为
645；（2）交点坐标为（1393132+），（31393132-），（15152-），（515+）． 【解析】
【分析】
（1）当△DEB 的面积最大时，直线DN 与抛物线相切，可求出直线DN 的解析式和点D 的坐标，当矩形面积最小时，MG 最小，求出MG 的最小值即可．
（2）分两种情况讨论，以DB 为边和以DB 为对角线，分别求出此时ON 的解析式，联立求出交点坐标即可．
【详解】
解：（1）如图1所示，过点D 作y 轴的平行线交MB 于点H ，过点O 作OQ 垂直MB 于点Q ，
令y＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，∴A（﹣1，0），B（4，0），令x＝0，y＝2，
∴E（0，2），
设直线BE的解析式为y＝kx+b，则
2, 40,
b
k b
=
⎧
⎨
+=⎩
解得
1
2
2
k
b
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=
⎩
，
∴直线BE的解析式为y＝﹣1
2
x+2，
∵DN∥BE，
∴设直线DN的解析式为y＝﹣1
2
x+b1，
S△DEB＝DH
1
2
⨯•（x B﹣x E），
∴当△DEB面积最大时，即是DH最大的时候，
∴﹣1
2
x+b1＝﹣
1
2
x2+
3
2
x+2，
△＝b2﹣4ac＝0，即16﹣4（2b1﹣4）＝0，解得b1＝4，点D（2，3），
S矩＝2S△MOG+S平形四边形，
∴矩形面积最小时就是MG最小，
设QG＝m，MQ＝n，
∴MG＝m+n，
∵m+n≥mn
∵△QOG∽△MQO，
∴OQ2＝m•n，
∵△OEQ ∽△EOB ，
∴OQ
∴m •n ＝16
5，
∴m +n ．
∴MG ＝5，
∴S 矩＝2S △MOG +S 平形四边形＝64
5．
（2）分两种情况讨论，
情况一：当GN ∥DB 时，
直线DB 的解析式为：y ＝﹣3
2x +6，
则直线NG 的解析式为y ＝﹣3
2x ， ∴﹣3
2x ＝﹣1
2x 2+3
2x +2，
解得x 1＝x 2＝3
∴交点坐标为（），（3），
情况二：DB 为对角线时，此时NG 必过DB 的中点（3，3
2），
设直线ON 的解析式为y ＝k 1x ，
则k 1＝12，
∴直线OD 的解析式为y ＝1
2x ，
1
2＝﹣1
2x 2+3
2x +2，
解得x 1＝1x 2＝
∴交点坐标为（1），（），
综上所述：交点坐标为（），（3），（
1﹣
12），（12）．
【点睛】
此题考查了二次函数的性质以及二次函数与几何相结合的问题，转化矩形面积最小和三角形面积最大为某条线段的最值为解题关键．
8．A
解析：（1）()1,1E -；（2）12m -≤≤-或01m ≤≤3）9t ≤≤.
【解析】
【分析】
（1）首先要理解点A 是图形M 的“倍增点”的定义，将三个点逐一代入验证即可； （2）分两种情况:①点"倍增点”在O 的外部，分别求得“倍增点”横坐标的最大值和最小值，②点"倍增点"在O 的内部，依次求得“倍增点"横坐标的最大值和最小值，即可确
定“倍增点”横坐标的范围；
（3）分别求得线段GH 两端点为T "倍增点”时横坐标的最大值和最小值即可．
【详解】
（1）()1,2D -到线段BC 的距离为2，
32DC ==⨯
∴()1,2D -不是线段BC 的倍增点；
()1,1E -到线段BC 的距离为1，
3EC ==>,
∴在线段BC 上必存在一点P 使EP=3，∴()1,1E -是线段BC 的倍增点；
()0,2F 到线段BC 的距离为2，
32FC ==<⨯
∴()0,2F 不是线段BC 的倍增点；
综上，()1,1E -是线段BC 的倍增点；
（2）设直线l 上“倍增点”的横坐标为m ，
当点在O 外时，222(2)8,m m +-+≤
解方程222(2)8m m +-+=，
得11m =21m =
当点在O 内部时，43(4+≥
解得：m≥0或m≤-2
∴直线l 上“倍增点”的橫坐标的取值范围为
12m ≤≤-或01m ≤≤
（3）如图所示，
当点G(1,0)为T "倍增点"时，
T(9,0)，此时T 的横坐标为最大值，
当点H(0,1)为T “倍增点”时，
则T(63-,0)，此时T 的横坐标为最小值；
∴圆心T(t, 0)的横坐标的取值范围为：639t -≤≤．
【点睛】
在正确理解点A 是图形M 的“倍增点”定义的基础上，利用（1）判断是否是倍增点的不等关系式，即可列不等式组求解范围．
9．B
解析：（1）333-；（2）18；（3）①
2716；②972625 【解析】
【分析】
（1）过点B 作BF ⊥AD ，交DA 的延长线于点F ，利用等腰直角三角形ABF 求得AF 和BF 的长，再利用Rt △PBF 求得PF 的长，进而得解；
（2）作点B 关于直线AD 的对称点B'，连接B'C ，交AD 于点P'，连接BP'，根据两点之间线段最短可知当B'，P ，C 三点共线时，BPC △周长取得最小值，再利用勾股定理计算即可；
（3）①②根据EM PB ⊥，EN PC ⊥可得点E 、M 、P 、N 在以PE 为直径的圆上，利用圆周角定理和直角三角形两锐角互余可证得△MPN ∽△CPB ，进而可知当MN 最大时，PMN 面积的最大，当MN 最小时，PMN 面积的最小，由圆的性质可知当MN 为直径时MN 最大，当MN ⊥PE 时，MN 最小，最后利用勾股定理、等积法和相似三角形的性质求解即可．
【详解】
解：（1）如图，过点B 作BF ⊥AD ，交DA 的延长线于点F ，
∵AD ∥BC ，∠ABC ＝45°，
∴∠FAB ＝∠ABC ＝45°，
∵BF ⊥AD ，
∴在Rt △ABF 中，AF 2+BF 2＝AB 2， ∵32AB = ∴AF ＝BF ＝22AB ＝23232
⨯=， ∵AD ∥BC ，∠PBC ＝30°，
∴∠FPB ＝∠PBC ＝30°，
∵在Rt △PBF 中，tan ∠FPB ＝
BF PF ∴tan30°＝
333PF =， ∴33PF =
∴333AP PF AF =-=-；
（2）如图，作点B 关于直线AD 的对称点B'，连接B'C ，交AD 于点P'，连接BP'，
∵点B 与点B'关于直线AD 对称，
∴AD 垂直平分BB'，BF ＝B'F ＝3，
∴P'B ＝P'B'，BB'＝6，
∴当点P 在点P'时，PB+PC 取得最小值，最小值为B'C 的长，此时△BPC 的周长最小， 在Rt △BB'C 中，B'C ＝22226810'BB BC +=+=，
∴△BPC 的周长最小值为B'C +BC ＝10+8＝18；
（3）①∵EM PB ⊥，EN PC ⊥，
∴∠EMP ＝∠ENP ＝90°，
∴点E 、M 、P 、N 在以PE 为直径的圆上，如图所示，
则∠PMN ＝∠PEN ，
∵PE BC ⊥，EN PC ⊥，
∴∠PEC ＝∠ENC ＝90°，
∴∠PEN+∠NEC ＝∠NEC+∠PCB ＝90°，
∴∠PEN ＝∠PCB ，
∴∠PMN＝∠PCB，又∵∠MPN＝∠CPB，∴△MPN∽△CPB，
∴
2 PMN
PCB
S MN S BC
⎛⎫
=
⎪
⎝⎭
∵PE BC
⊥，
∴PE＝3，
∴
11
8312
22
PCB
S BC PE
==⨯⨯=
∴
2
128
PMN
S MN
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
∴当MN取得最大值时，PMN的面积取得最大值，
当MN＝PE＝3时，
2
3
128
PMN
S⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
解得
27
16
PMN
S=
即当MN ＝PE＝3时，PMN的面积最大，最大值为
27
16
；
②由①可知，
2
128
PMN
S MN
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，
∴当MN取得最小值时，PMN的面积取得最小值，
由垂径定理可知，当MN⊥PE时，MN取得最小值，
如图，当MN⊥PE时，则弧ME＝弧NE
∴∠MPE＝∠NPE，
∵PE BC
⊥，
∴∠PEB＝∠PEC＝90°，
∴△PEB≌△PEC，
∴EB＝EC＝
1
2
BC＝4，
在Rt△BEP中，BP2222
435
BE PE
+=+=,
∵
11
22
BEP
S BE PE BP ME
==
∴
11
435
22
ME
⨯⨯=⨯
∴125
ME =, 在Rt △PME 中，PM
95== ∵1122
PME S PM ME PE MH =
= ∴1912132552MH ⨯⨯=⨯ ∴3625
MH =, ∴72225
MN MH ==, ∴227292512825PMN S ⎛⎫ ⎪⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭
⎪⎝⎭
, 解得972625
PMN S =， ∴PMN 面积的最小值为
972625． 【点睛】
本题考查了等腰直角三角形、特殊角的三角函数、相似三角形的判定及性质、勾股定理、垂径定理和圆周角定理等相关知识，有点难度，属中考压轴题，能够将第（3）问转化为利用圆的相关知识和相似三角形的性质解决是解决本题的关键．
10．A
解析：（1）详见解析；（2）详见解析；（3）①::32:7:25AG GM ME =；②6:1:2．
【解析】
【分析】
（1）根据∠AOB=∠OBC+∠OCB ，只要求出∠OBC ，∠OCB 即可．
（2）想办法证明CG ⊥AE 即可解决问题．
（3）①如图2中，作MH ⊥CE 于H ，解直角三角形求出AG ，GM ，ME 即可解决问题． ②如图3所示：连接DE ．首先证明四边形OCED 是平行四边形，再证明EC=2DG ，利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．
【详解】
解：（1）∵CE CA =，CD BC =，
∴CAE CEA ∠=∠，CBD CDB ∠=∠．
∵AE BC ∥，
∴CAE OCB ∠=∠．
∵90ABC ∠=︒，O 为AC 中点，
∴OB OC =．
∴CBD OCB CAE ∠=∠=∠．
∴ACE BCD ∠=∠．即28ACB DCE ∠=∠=︒．
∴56AOB OBC OCB ∠=∠+∠=︒．
（2）连结CG （如图1）．
∵AE BC ∥，AO CO =，
∴BO OG =．
∵90ABC ∠=︒，
∴四边形ABCG 为矩形．
∴CG AE ⊥．
∵CE CA =，
∴AG GE =．
（3）①作MH CE ⊥于H （如图2）．
由AG BC ，AG GE BC ==，
则四边形GBCE 是平行四边形，
∴E OBC OCB DCE ∠=∠=∠=∠．
∴MC ME =，2222345CE BG AC AB BC ===
+=+=． ∵MH CE ⊥， ∴522
CE HE ==． ∵4cos cos 5E OCB =∠=
， ∴25cos 8
HE ME E ==． ∵4GE AG BC ===，
∴
257 4
8
8
GM GE ME
=-=-=．
∴
725
::4::32:7:25
88
AG GM ME==．②如图3所示：连接DE．
∵OA=OC，∠ABC=90°，
∴BO=OA=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵AE∥BC，
∴∠CAE=∠ACB，∠AGO=∠OBC，
∵CA=CE，
∴∠CAE=∠CAE，
∴∠AGB=∠AEC，
∴AD∥CE，
∵DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∴OD=CE=CA，
∵∠OAG=∠OGA，
∴OA=OG，
∴OA=OC=OG=DG，
∵DG∥EC，
∴1
2
GM DG
ME CF
==，
∴1
2
1
2
S
S
=，
设S2=m，则S3=2m，
∴S△DGE=3m，
∵OG=GD，∠AGO=∠DGE，∠OAG=∠DEG，∴△AGO≌△EGD（AAS），
∴S△AOG=S△DEG=3m，
∵OB=OG，
∴S△ABG=2S△AOG=6m，
∴S 1：S 2：S 3=6m ：m ：2m=6：1：2．
故答案为：6：1：2．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题．
11．E
解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）
()()11a b ++<9+62，理由见解析. 【解析】 【分析】
（1）根据题目要求作出图形即可；
（2）连EF ，EG ，延长AB 交EF 于点H ，先依据矩形与平行线的性质，等角的余角相等，旋转的性质，得到AHE ≌ADC (AAS),依据全等的性质及等量代换可得BH FH =，结合依据相似的判定与性质，得到AB AG =，再依据SAS 可证明GAE ≌BAC ，依据全等的性质得到90AGE ABC ∠=∠=︒，即EG ⊥AD ；
（3）依据勾股定理求出GB ，依据平行线分线段成比例可分别证MAG △∽MCB △，BAG ∽BHF ，NBC ∽NFE ，依据相似三角形的性质得到MG GB 、、
42a MB ==、BF 、122
b NF BF ===，即可求出()()11a b ++=()()
4
2121++=9+52<9+62. 【详解】 解：（1）补全图形如下：
（2）连EF ，EG ，延长AB 交EF 于点H ，设AD n =，CD m =，。