江苏省2012届高三数学二轮专题训练 解答题(74)

江苏省2012届高三数学二轮专题训练：解答题（74）
本大题共6小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1．（本题满分14分）
1
32)(++-=x x x f 的定义域为A ，函数)1()]2)(1lg[()(<---=a x a a x x g 的定义域为 B ．
（1）求A ； （2）若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．
2．（本题满分14分）
已知命题p ：函数)2(log 25.0a x x y ++=的值域为R ，命题q ：函数x a y )25(--=
是减函数．若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围．
3．（本题满分14分）
某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为2.1万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为)10(<<x x ，则出厂价相应提高的比例为x 75.0，同时预计年销售量增加的比例为x 6.0．已知年利润=（出厂价–投入成本）⨯年销售量．
（1）写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；
（2）为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？
4．（本题满分16分）
已知函数)(x f 满足对任意实数y x ,都有1)()()(+++=+xy y f x f y x f ，且2)2(-=-f ．
（1）求)1(f 的值；
（2）证明：对一切大于1的正整数t ，恒有t t f >)(；
（3）试求满足t t f =)(的所有的整数t ，并说明理由．
5．（本题满分16分） 已知函数3
3log )(+-=x x x f m
，],[βα∈x ，（其中0>α）． （1）证明：3>α；
（2）问是否存在实数m ，使得自变量x 在定义域],[βα上取值时，该函数的值域恰好为)](log ),([log m m m m m m --αβ，若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由．
6．（本题满分16分）
已知函数)0()(2
>-=a bx ax x f ．
（1）当0>b 时，若对任意R x ∈都有1)(≤x f ，证明：b a 2≤；
（2）当1>b 时，证明：对任意]1,0[∈x ，1)(≤x f 成立的充要条件是b a b 21≤≤-；
（3）当10≤<b 时，探求对任意]1,0[∈x ，1)(≤x f 成立的充要条件．
1．（本题满分14分）
解：（1）由0132≥++-x x ，得01
1≥+-x x ，∴1-<x 或1≥x ， ……4分 即),1[)1,(+∞--∞= A ． ……6分
（2）由0)2)(1(>---x a a x ，得0)2)(1(<---a x a x ．
∵1<a ，∴a a 21>+．∴)1,2(+=a a B ． ……8分
∵A B ⊆，∴12≥a 或11-≤+a ，即21≥
a 或2-≤a ． ……12分 而1<a ，∴12
1<≤a 或2-≤a ． 故当A B ⊆时，实数a 的取值范围是)1,21
[]2,( --∞． ……14分
2．（本题满分14分）
解：对命题p ：∵函数)2(log 25.0a x x y ++=的值域为R ，
∴1)1(22
2-++=++a x a x x 可以取到),0(+∞上的每一个值，
∴01≤-a ，即1≤a ； ……4分 命题q ：∵函数x a y )25(--=是减函数，∴125>-a ，即2<a ． ……8分 ∵p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，∴命题p 与命题q 一真一假，
若p 真q 假，则1≤a 且2≥a ，无解， ……10分 若p 假q 真，则21<<a ， ……12分 ∴实数a 的取值范围是)2,1( ……14分
3．（本题满分14分）
解：（1）由题意得 )10)(6.01(1000)]1(1)75.01(2.1[<<+⨯⨯+⨯-+⨯=x x x x y ，
……5分
整理得 )10( 20020602<<++-=x x x y ．
……7分
（2）要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当
⎩⎨
⎧<<>⨯--.10,01000)12.1(x y (10)
分 即 ⎩⎨⎧<<>+-.
10,020602x x x
解不等式得 3
10<<x ． ……13分 答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x 应满足
33.00<<x ．
……14分
4．（本题满分16分）
解：（1）令0==y x ，得1)0(-=f ；
令1-==y x ，得2)1()1()2(+-+-=-f f f ，又2)2(-=-f ，∴2)1(-=-f ； 令1,1-==y x ，得)1()1()0(-+=f f f ，∴1)1(=f ． ……4分
（2）令1=x ，得2)()1(+=-+y y f y f ①
∴当N y ∈时，有0)()1(>-+y f y f ，
由1)1(),()1(=>+f y f y f 知对*
N y ∈有0)(>y f ， ……7分 ∴当*N y ∈时，111)(2)()1(+>+++=++=+y y y f y y f y f ，
于是对于一切大于1的正整数t ，恒有t t f >)(． ……9分
（3）由①及（1）可知1)4(,1)3(=--=-f f ； ……11分
下面证明当整数4-≤t 时，t t f >)(，
∵4-≤t ，∴02)2(>≥+-t 由① 得0)2()1()(>+-=+-t t f t f ，
即 0)4()5(>---f f
同理0)5()6(>---f f
……
0)2()1(>+-+t f t f 0)1()(>+-t f t f
将以上不等式相加得41)4()(->=->f t f ，
∴当4-≤t 时，t t f >)(， ……15分 综上，满足条件的整数只有2,1-=t ． ……16分
5．（本题满分16分）
解：（1）⇔>+-03
3x x 3-<x 或3>x ，∵)(x f 定义域为],[βα且0>α， ∴3>α． ……2分
（2）∵βα<<3，0>m ，∴)1()1(-<-βαm m ，而)1(log )1(log -<-αβm m m m ∴10<<m ， ……4分 设αβ≥>≥21x x ，有0)
3)(3()(6333321212211>++-=+--+-x x x x x x x x ， ∴当10<<m 时，)(x f 在],[βα上单调递减． ……7分 又)(x f 在],[βα上的值域为)](log ),([log m m m m m m --αβ， ∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=+-=-=+-=)1(log 33log )()1(log 33log )(ααααββββm f m f m m m m
即3,0
)1(3)12(0)1(3)12(22>>⎪⎩⎪⎨⎧=---+=---+αβααββ又m m m m m m ， ……10分 即βα,是方程0)1(3)12(2
=---+m x m mx 大于3的两个不相等的实数根，…11分 ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>-->+-=∆<<0
)3(3212011616102mf m m m m m 解之得4320-<<m ， ……15分 因此，当4
320-<<m 时，满足题意条件的m 存在． ……16分 6．（本题满分16分）
证明：（1）由题意知012
≥+-ax bx 对任意R x ∈恒成立，
∴042≤-=∆b a ，又0,0>>b a ，所以b a 2≤． ……2分
（2）①先证充分性：∵1,1-≥>b a b ，对任意]1,0[∈x ，
有1)()1(222-≥-≥--=--≥-x x x x b bx x b bx ax ，
即12
-≥-bx ax ； ……4分 ∵b a b 2,1≤>，对任意]1,0[∈x ， 有11)1(2222≤+--=-≤-x b bx x b bx ax ， 即12≤-bx ax ，充分性得证； ……6分 ②再证必要性：∵对任意]1,0[∈x ，1)(≤x f ，∴1)1(-≥f ，
即1-≥b a ； ……8分 ∵对任意]1,0[∈x ，1)(≤x f ，而1>b ，∴1)1(≤b
f ， 即b a 2≤，必要性得证． ……10分 由①②可知，当1>b 时，对]1,0[∈x ，
1)(≤x f 成立的充要条件是b a b 21≤≤-； ……11分
（3）∵当10,0≤<>b a 时，对任意]1,0[∈x ，1)(2
-≥-≥-=b bx ax x f ， 即1)(-≥x f ，
由11)1(1)(≤-⇒≤⇒≤b a f x f ，即1+≤b a ； ……13分
而当1+≤b a 时，1)1()(22≤-+≤-=bx x b bx ax x f ， ……15分 ∴当10,0≤<>b a 时，对任意]1,0[∈x ， 1)(≤x f 成立的充要条件是10+≤<b a ． ……16分。