初中生函数概念发展的特点
九年级数学函数的概念与性质
九年级数学函数的概念与性质函数是数学中的一个重要概念，同时也是九年级数学的重点内容之一。
本文将全面介绍函数的概念与性质，帮助学生进一步理解和掌握这一知识点。
概念部分：在数学中，函数是一种特定的关系，它将一个集合的元素（称为自变量）映射到另一个集合的元素（称为因变量）。
函数通常用“f(x)”或“y=f(x)”表示，其中f为函数名，x为自变量，y为因变量。
函数的定义域是所有可能的自变量的集合，值域是所有可能的因变量的集合。
函数的性质部分：1. 定义域和值域：函数的定义域和值域是函数最基本的性质。
定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
在实际问题中，定义域和值域可能受到一定限制，需要注意对于函数的适用范围。
2. 单调性：函数的单调性表示函数在定义域上的增减关系。
如果函数在定义域上递增，那么它是一个增函数；如果函数在定义域上递减，那么它是一个减函数。
可以通过函数的导数来判断函数的单调性。
3. 奇偶性：函数的奇偶性与函数的对称性相关。
如果一个函数满足f(-x) = f(x)，则它是一个偶函数；如果一个函数满足f(-x) = -f(x)，则它是一个奇函数。
奇偶函数通常都有一条对称轴，可以通过对称性质简化计算。
4. 分段函数：分段函数是由多个部分组成的函数，不同部分具有不同的定义域和表达式。
在定义分段函数时，需要根据自变量的取值范围来选择相应的表达式。
分段函数在实际问题中具有很强的适用性，可以更好地描述复杂的关系。
5. 函数的图像与性质：函数的图像是将自变量和因变量的对应关系用平面上的点表示。
通过观察函数的图像，可以得到一些关于函数的性质。
例如，函数的最值、函数的零点、函数的极值等。
函数的图像常常用来解释和验证函数的性质，对于理解函数提供了直观的帮助。
6. 反函数：对于一个函数f(x)，如果存在另一个函数g(x)，使得g(f(x)) = x，那么g(x)称为f(x)的反函数。
反函数可以通过函数的图像观察得到，通常表示为f^(-1)(x)。
初三数学知识点归纳函数与像的基本特征与变化规律
初三数学知识点归纳函数与像的基本特征与变化规律初三数学知识点归纳：函数与像的基本特征与变化规律数学作为一门学科，给了我们解决问题的工具和思维方式。
在初三阶段，函数与像是一个重要的知识点。
函数是数学中的一个重要概念，而像则是函数的一种基本特征。
本文将对初三数学中关于函数与像的基本特征与变化规律进行归纳总结。
一、什么是函数？函数是一种特殊的关系，它将一个集合的每个元素都与另一个集合中的唯一一个元素进行对应。
一般来说，我们用字母y表示函数值，用字母x表示自变量，函数可以表示为y=f(x)，其中f表示函数的名称或者规则。
二、函数的基本特征1. 定义域和值域：定义域是指自变量x的取值范围，而值域是指函数值y的取值范围。
它们决定了函数的有效性和范围。
2. 单调性：函数的单调性可以分为递增和递减两种，递增表示函数随着自变量的增大而增大，递减则表示函数随着自变量的增大而减小。
3. 奇偶性：奇函数的定义域关于原点对称，即f(-x)=-f(x)；偶函数的图象关于y轴对称，即f(-x)=f(x)。
4. 周期性：函数的周期性表示函数在一定范围内的值是重复出现的，即存在一个正数T，使得对于任意x，有f(x+T)=f(x)。
三、像的基本特征在函数的概念中，像是一个非常重要的概念。
像是函数中自变量取值对应的函数值。
对于函数y=f(x)，当自变量x取某个值时，通过函数规则计算得到的函数值y即为像。
像可以用数轴上的点来表示。
四、函数与像的变化规律函数与像的变化规律涉及到函数的性质以及自变量和函数值之间的关系。
下面我们将分别讨论概率性、连续性、不连续点和极值点四个方面的变化规律。
1. 概率性变化：函数的概率性变化指的是函数图象在坐标系上的摆动情况。
对于递增函数，图象从左往右逐渐上升；对于递减函数，图象从左往右逐渐下降。
2. 连续性变化：函数的连续性变化指的是函数在定义域内是否存在间断点。
如果函数在定义域内处处连续，则称为连续函数；如果函数在某一点或某几点存在间断，则称为不连续函数。
初三函数的概念及性质
初三函数的概念及性质函数是数学中十分重要的概念之一，它在初中数学学习中也是一个重要的内容。
了解函数的概念及性质对于初三学生来说是非常重要的。
本文将介绍初三函数的概念及性质，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
一、函数的概念在数学中，函数是用来描述两个集合之间的对应关系的工具。
简单来说，函数就是一个输入与输出之间的法则。
对于函数f，我们用f(x)表示其输出值，而x表示其输入值。
换句话说，函数就是将某个数值域中的数映射到另一个数值域中的数。
对于函数的定义域、值域和图像等概念，我们也需要了解。
定义域是指所有可能的输入值构成的集合，而值域是指所有可能的输出值构成的集合。
图像则是函数在坐标系中所表示的曲线或者点的集合。
二、函数的性质1. 单调性：函数的单调性是指函数的增减趋势。
如果在一个区间内函数递增，那么称这个函数在该区间上是递增的；如果在一个区间内函数递减，那么称这个函数在该区间上是递减的。
当函数在一个区间内既递增又递减时，则称这个函数在该区间上是不单调的。
2. 奇偶性：函数的奇偶性是指函数的对称性。
如果对于定义域内的任意一个数x，有f(-x) = f(x)，那么称这个函数是偶函数；如果对于定义域内的任意一个数x，有f(-x) = -f(x)，那么称这个函数是奇函数。
3. 对称轴：对于一个偶函数，其对称轴是y轴；对于一个奇函数，其对称轴是原点。
4. 零点：函数的零点是函数在定义域内使得f(x) = 0的输入值x，也就是函数的图像与x轴交点的横坐标。
5. 最值：函数在定义域内可能存在最大值和最小值。
最大值是函数在定义域内的点中具有最大纵坐标的点，最小值则是函数在定义域内的点中具有最小纵坐标的点。
三、例题分析下面我们通过几个例题来更好地理解函数的概念及性质。
例题1：已知函数f(x) = 2x + 1，求函数的定义域、值域和图像。
解析：对于这个函数，根据定义域的定义，我们可以认为定义域是全体实数集R；对于值域，根据函数的映射法则可知，输出值是全体实数集R；至于图像，由于这是一个一次函数，图像就是一条直线，斜率为2，截距为1。
初中数学-函数的概念和性质
初中数学-函数的概念和性质函数是初中数学中的重要概念之一，它是现代数学的基础。
掌握函数的概念和性质，可以帮助学生更好地理解数学知识，提高数学思维能力。
本文将为您介绍初中数学中关于函数的概念和性质。
1. 函数的定义函数是指一种特殊的关系，它将一个集合中的每一个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
简单来说，函数是一种输入和输出之间的关系。
2. 函数的符号表示函数可以用各种符号表示，其中最常见的是y=f(x)，其中y表示函数的输出值，x表示函数的输入值，f表示函数本身。
例如，当x=2时，函数f(x)=x^2的输出值为4。
3. 函数的性质（1）单调性：函数是单调递增的，当输入值增加时，输出值也随之增加；或者函数是单调递减的，当输入值增加时，输出值随之减少。
（2）奇偶性：如果函数满足f(-x)=-f(x)，则称该函数具有奇性；如果函数满足f(-x)=f(x)，则称该函数具有偶性。
（3）周期性：如果函数满足f(x+T)=f(x)，其中T为常数，则称该函数具有周期性。
（4）对称性：如果函数的图像关于某一条直线对称，称该函数具有对称性。
4. 函数的图像函数的图像是指输入和输出之间的关系在平面直角坐标系上的表现。
一个函数的图像可以通过计算一些特定点的输出值，然后将这些点连成一条曲线来绘制。
例如，函数y=x^2的图像如下图所示：5. 函数的应用函数在现实生活中有广泛的应用。
例如，函数可以用于建模和预测问题，如使用函数来预测未来的人口增长率或股票价格。
函数还可以用于计算和优化问题，如使用函数来优化车辆的燃油效率。
练习题：1. 已知函数f(x)=2x-1，求f(3)的值。
2. 已知函数g(x)=x^2-2x+1，求g(0)的值。
3. 已知函数h(x)=3x^3，求h(2)的值。
4. 已知函数f(x)=2x+3，求f(-1)的值。
5. 已知函数g(x)=x^3-3x，求g(1)的值。
6. 求函数y=2x+1的图像。
7. 求函数y=x^2的图像。
初中数学函数概念介绍
初中数学函数概念介绍数学函数在初中阶段是一个非常重要且基础的概念。
函数可以用来描述数值之间的关系，并在数学和实际生活中有广泛的应用。
本文将介绍初中数学函数的定义、性质及其应用。
一、函数的定义函数是一种数学工具，用来描述两个数值集合之间的关系。
在数学中，通常用字母表示函数。
一个函数通常包含两个部分：定义域和值域。
定义域是所有可能作为输入的数值的集合，值域是所有可能作为输出的数值的集合。
函数的关系可以用一个方程、图表或者文字描述。
二、函数的性质1. 定义域：函数的定义域是指能够输入函数的数值的范围。
在定义函数时，需要考虑输入是否满足约束条件，比如分母不能为零等。
2. 值域：函数的值域是指函数所有可能的输出值。
值域也可以称为函数的取值范围。
3. 单调性：函数可以是递增的或递减的，也可以是常数函数。
当输入增大时，如果函数的值也增大，则函数是递增的；当输入增大时，如果函数的值减小，则函数是递减的；如果函数的值保持不变，则函数是常数函数。
4. 奇偶性：函数可以是奇函数、偶函数或者其他函数。
奇函数以原点对称，满足f(-x)=-f(x)；偶函数以y轴对称，满足f(-x)=f(x)。
5. 零点：函数的零点是指函数的输出值为零的输入值。
在图表中，零点对应于函数与x轴的交点。
三、函数的应用函数在数学和实际生活中有着广泛的应用。
下面是一些常见的应用场景：1. 实际问题：函数可以用来模拟和解决实际问题。
比如，利润可以用收入和成本之间的关系来表示；身高和体重之间的关系可以用函数来描述。
2. 图表分析：函数可以用来绘制和分析图表。
通过绘制函数的图表，可以更直观地观察到函数的性质，比如最大值、最小值、变化趋势等。
3. 几何关系：函数可以用来描述几何图形之间的关系。
比如，直线可以由一元一次函数表示，圆可以由二元二次函数表示。
4. 统计分析：函数可以用来分析统计数据和概率。
比如，平均值、方差和概率分布可以用函数来描述。
总结：初中数学中，函数是一个基础且重要的概念。
函数概念初中数学教学中的函数概念与像
函数概念初中数学教学中的函数概念与像函数概念是初中数学教学中的重要内容，它是理解数学中的关系和规律的基础。
函数的概念和像是函数相关知识的两个重要方面。
下面将从初中数学教学的角度，深入探讨函数概念和像的含义以及它们在教学中的应用。
一、函数概念函数是一种数学关系，在初中数学中引入了函数的概念，通过函数的学习和理解，可以帮助学生建立数学思维，培养逻辑推理和问题解决能力。
函数是自变量和因变量之间的一种对应关系，通常表示为y=f(x)。
其中，x为自变量，y为因变量，f(x)表示函数的表达式。
函数概念的核心是对应关系，即自变量和因变量之间存在唯一的对应关系。
在教学中，可以通过绘制函数图像、列举函数的自变量和因变量等方式来帮助学生理解函数概念。
二、像的概念像是函数中的一个重要概念，它表示函数中自变量所对应的因变量的值。
像的概念可以帮助学生将函数的输入和输出联系起来，进一步理解函数的含义和性质。
在初中数学教学中，常常通过具体的实例来说明像的概念。
例如，给定函数y=2x+1，当x取2时，可以计算出相应的y的值为5。
这个y 的值就是函数中x=2时的像。
三、函数概念与像的应用函数概念和像在初中数学教学中有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用场景：1. 函数图像的绘制：通过绘制函数的图像，可以直观地展示函数的性质和规律。
学生可以通过观察函数图像，了解函数的增减性、奇偶性等特点。
2. 函数关系的分析：通过函数的表达式和对应的像，可以对函数的性质进行深入分析。
例如，通过计算函数在不同自变量取值下的像，可以判断函数的增减性、最值等特点。
3. 函数拓展和推广：从初中数学的函数概念出发，可以引入更复杂的函数概念，如二次函数、指数函数等，并探讨它们的性质和应用。
这有助于学生在进一步的学习中建立起数学的整体框架和思维模式。
总结起来，函数概念和像是初中数学教学中重要的内容。
通过学习函数的概念和像，学生可以培养数学思维能力，提高问题解决能力。
初中生函数学习困难的原因及教学策略
初中生函数学习困难的原因及教学策略函数是中学数学中极其重要的内容之一。
这一概念不仅渗透在中学数学教学的许多内容之中，而且它与物理、化学等学科的知识密切相关。
其次，它又是一种数学思想，运用函数思想可以更方便、更有效地解决一些数学问题，在学生的数学学习过程中有着重要的意义和作用。
由于函数在中学数学中最具复杂性，学生对函数的学习往往不是一帆风顺的，因此函数的教与学是一个需要认真研究的课题。
一、函数学习困难的原因分析1.函数自身的特点(1)函数概念的发展经历了一个漫长的过程，是众多数学家智慧的结晶。
函数概念萌芽于罗马时代，17世纪伽利略、笛卡尔都注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但是没能给出函数的定义。
进入18世纪，先后经历了公式表示函数和曲线表示函数的阶段。
1821年柯西给出了类似现在课本的函数定义。
1822年傅里叶揭示了函数的本质，结束了函数概念是否唯一的争论，把对函数的认识推到了一个新的层次。
之后又经历了若干科学家的研究提炼，给出了近代函数的定义，具体化了函数的对应关系、定义域和值域问题，打破了“变量是数”的极限，使得函数得到更广泛的应用。
由此可以看出，函数的发展是人类社会认识发展过程的简约反映，因此学生普遍出现认识上的困难是比较正常的。
(2)函数从客观世界中抽象出来，超越了千变万化的客体的个性，是个内涵深刻而又外延丰富的概念。
函数不是数，需要以变化的观点来考察变量之间的相互依赖关系，研究的着眼点是“关系”，对变量概念的学习不能简单地理解为变化的量，必须辩证地认识常量与变量这一关系。
(3)函数概念系统复杂，涉及因素众多。
伴随着函数概念的不断发展，数学思维方式也发生了重要转变，思维从静态走向了运动、从离散走向了连续、从运算转向了关系，实现了数与形的有机结合，在符号语言与图表语言之间可以灵活转换。
在函数的研究中，思维超越了形式逻辑的界限，进入了辩证逻辑思维，与常量数学相比，函数概念的抽象性更强，形式化程度更高。
初中生函数概念发展的研究
总的来说，函数概念的历史发展是一个漫长而复杂的过程。这个概念从最初的 提出到现在，经历了许多的修正和发展。随着科学技术的发展，函数的概念和 应用将会更加广泛和深入。
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三、影响初中生函数概念发展的 因素
1、教师教学：教师的教学方式和方法对初中生函数概念的发展有很大影响。 生动、直观的教学手段有利于学生初步掌握函数的概念；同时，引导学生自主 探索和发现函数的特点和规律也能促进其深化理解。
2、教材内容：教材内容的难易程度和呈现方式也会影响初中生函数概念的发 展。有研究指出，贴近生活的教材内容更有利于学生理解函数概念。
3、营造良好的学习环境：学校和家庭应当为学生营造一个积极、轻松的学习 环境，让学生能够在愉快的气氛中学习函数概念，同时也能培养学生的自主学 习能力和创新思维。
4、强调概念间的与区别：在教授函数概念时，教师应当强调不同概念之间的 与区别，帮助学生形成清晰、准确的理解。比如，一次函数、二次函数和反比 例函数等都是初中阶段学习的重点，教师应当引导学生发现它们之间的与区别。
首先，初中生的函数概念认知是从具体到抽象的。对于刚开始接触函数的学生 来说，函数是一个非常抽象的概念。然而，通过教师使用具体实例来解释函数 的概念，以及学生不断地进行与函数相关的实践练习，他们开始逐渐理解并掌 握了函数的基本概念。
其次，初中生在理解函数概念时，常常需要依赖具体的数学情境和实例。例如， 在解释一个一次函数时，教师可能会用一辆汽车的速度和时间的关系来举例。 学生通过观察这种具体的实例，能够更好地理解函数的关系和概念。
3、营造良好的学习环境：学校和家庭应当为学生营造一个积极、轻松的学习 环境，让学生能够在愉快的气氛中学习函数概念，同时也能培养学生的自主学 习能力和创新思维。
函数总结知识点初中
函数总结知识点初中初中阶段学习函数是数学学习的一个重要部分，对于学生的数学能力和思维能力的培养有着重要作用。
下面我们来总结一下初中函数的相关知识点。
一、函数的概念1.1 函数的定义在数学中，函数是一种对应关系，它将一个自变量的值映射到一个因变量的值。
通俗的讲，函数就是一种“工厂”，它接受输入，进行运算，然后产生输出。
函数通常用f(x)、y=f(x)或者y来表示，其中x为自变量，y为因变量。
1.2 函数的图像当我们将函数的自变量和因变量分别绘制在坐标轴上时，就得到了函数的图像。
函数的图像能够直观地表现函数的性质和特点。
1.3 函数的定义域和值域函数的定义域是所有自变量可以取的值的集合，而函数的值域是所有因变量的取值范围的集合。
1.4 函数的分类在初中阶段，我们主要学习了一次函数、二次函数、绝对值函数和分段函数等基本的函数类型。
二、一次函数2.1 一次函数的定义一次函数的一般表示形式为y=kx+b，其中k和b分别为函数的斜率和截距。
2.2 一次函数的图像一次函数的图像是一条直线，通过图像我们能够看出函数的斜率和截距的影响。
2.3 一次函数的性质一次函数经过点(0,b)，斜率为k，随着x的增大，y的增大或减小。
2.4 一次函数的应用在初中的物理、化学、经济等领域都涉及到了一次函数的应用。
学生可以通过学习一次函数，掌握一些基本的函数应用技巧。
三、二次函数3.1 二次函数的定义二次函数的一般表示形式为y=ax²+bx+c，其中a、b和c分别为函数的系数。
3.2 二次函数的图像二次函数的图像是一条抛物线，通过图像我们能够看出函数的开口方向、开口大小和顶点坐标等信息。
3.3 二次函数的性质二次函数的顶点坐标是通过-b/2a得到的，开口方向由a的正负决定，a的绝对值大小决定开口的大小。
3.4 二次函数的应用二次函数在初中阶段的数学中主要涉及到二次函数的图像和性质，对于函数的应用还比较简单。
四、绝对值函数4.1 绝对值函数的定义绝对值函数的一般表示形式为y=|x|，即对于x的取值是取绝对值后的结果。
认识简单函数认识函数的定义和特点
认识简单函数认识函数的定义和特点认识简单函数：认识函数的定义和特点函数是数学中的一个基本概念，广泛应用于各个领域。
在数学中，函数被定义为一种映射关系，它将一个集合的元素（称为自变量）映射到另一个集合的元素（称为因变量）。
简单函数是一类基本而常见的函数，它们具有一些特定的定义和特点。
一、函数的定义函数可以用数学表达式来表示，通常形式为f(x) = 表达式其中，f(x) 表示函数名称，x 表示自变量，表达式则是根据具体场景来确定的。
例如，我们可以定义一个简单函数：f(x) = 2x + 1这个函数的定义表示，自变量 x 经过运算后，得出的结果是 2x+1作为函数的值。
二、函数的特点1. 自变量和因变量：函数的特点之一就是它的输入和输出。
自变量是函数输入的值，而因变量则是函数对应的输出值。
在函数表达式中，自变量通常用 x 表示，而因变量则用函数名称表示。
2. 定义域和值域：函数的定义域是自变量可能取值的范围，而值域是函数的所有可能输出值的集合。
例如，对于函数 f(x) = 2x + 1，自变量 x 可以取任意实数，即定义域为全体实数集合 R，而值域则是所有满足表达式 2x + 1 的实数值。
3. 单调性：简单函数的另一个特点是单调性，它描述了函数在定义域内的增减趋势。
如果函数 f(x) 在定义域内的任意两个数 a、b 满足 a< b 时，有 f(a) < f(b)，则称该函数是递增函数；反之，若有 f(a) > f(b)，则称该函数是递减函数。
4. 奇偶性：函数的奇偶性指的是函数图像相对于坐标轴的对称性。
如果对于定义域内的任意 x，有 f(-x) = f(x)，则该函数是偶函数；若有f(-x) = -f(x)，则称该函数是奇函数；若不满足以上两个条件，则该函数既不是偶函数也不是奇函数。
5. 零点和极值：函数在某些点上可能会等于零，此时称该点为函数的零点。
另外，函数可能会取得极大值或极小值，这些点称为函数的极值点。
浅谈初高中函数概念教学的对比
浅谈初高中函数概念教学的对比1初高中函数概念教学对比问题的提出1.1函数概念的发展历史17世纪德国数学家莱布尼茨首先提出函数概念，到1718年瑞士数学家约翰·伯努利把函数定义为：“由某个变量x和常量按任何方式构成的量叫x的函数”[1]，提出变量的概念，强调的是函数要用公式来表示。
他的学生欧拉在1755年推广了这个定义并提出：“如果某些变量，以这样的方式依赖于另一些量，即当后面这些变量变化时前面这些变量也随之变化，则将前面的变量称为后面变量的函数”[1]，他说：“常量是指永远保持同一值的确定的量，变量是指不取定值的量或者说通用的量，它本身蕴含了一切通用的量”[1]，早在1734年欧拉就给出函数符号f(x).1797年拉格朗日进一步将函数定义为：所谓一个或者几个变量的函数是指任意一个适于计算的表达式，这些量以任何方式出现于表达式中，表达式中可以有（也可以没有）其它一些被称为具有给定和不定值的量[1]。
1837年德国数学家狄利克雷将函数定义为:“对于某区间上的每一个确定的x值，y都有一个或者多个确定的值与之对应，那么y 叫做x的函数”[1]。
这个定义与我们现在中学课本教材的函数概念已经很接近。
1939年德国的康托尔将函数定义为“设E和F是两个集合，他们可以不同，也可以相同，E中的一个x∈,都存在变量x和F中的变元y之间的一个关系称为一个函数关系，如果对于每一个Ey∈，它满足跟x的给定关系[2]”.1859年我国清代数学家李善兰第一次提出“函唯一的F数”一词。
1.2函数概念在中学数学课程中的重要性函数概念从产生到完善经历了300多年，可见函数思想之难。
函数概念理解中的历史相似性表明：函数概念历史发展过程中的认识论障碍也会成为今天课堂上学生的认知障碍，比如函数的单值性、对应的任意性等，目前，我国的数学教育中，函数已经成为中学数学的重点内容，它的学习横跨初中高中两个重要阶段。
函数思想已成为基本的数学思想和重要的解题方法。
函数概念发展过程+初高中教材上的函数概念对比
对“函数概念发展过程”的理解（结合初、高中函数的概念）一、函数的概念叙述函数是我们数学学习当中一个很重要的部分，它作为一条内容主线贯穿于我们整个中学数学内容当中，并且函数的应用不仅仅局限于数学还在社会科学、人文生活的方方面面。
对于函数的概念，我们当今把它定义为：给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f。
其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。
二、初高中教材对于函数概念的不同展现我们首先看一下初中及高中教材对于函数概念的描述：初中：高中：我们可以看到，初中对于函数概念的定义是从“变量变化”的角度来阐述的，高中对于函数的定义是从“集合、映射”的角度来说明的，这也是我们目前的官方的定义。
我想这是因为当时学生还没有学习集合的概念，映射的概念；还有一个最主要的原因就是人类的认知过程，对于一个知识的建构首先是从简易的地方开始然后才慢慢往上不断丰富饱满。
依据学生的认知水平“函数概念”的描述应该又简洁又易懂。
所以其体现了简单到复杂的特征。
同时变量是小的、集合是大的。
变量是特殊的，集合是一般的。
因为变量是单独的一个变量，它是代表事物的集合中任意一个事物的记号表示，集合里面的元素都可以是那一个变量，因此中学关于函数的概念的讲授也体现了特殊到一般的特征、由小范围到大范围的特征。
故综上所述，学生不同阶段对于函数概念的理解体现了以下三个特征：1、由简单到复杂2、由特殊到一般3、由小范围到大范围那么我们会看到实际上教材对于不同阶段函数概念的安排主要考虑的是学生认知这个层面，那么为何“函数概念的历史发展经历了7次扩张”呢？是不是也跟人类的认知有关?我认为，原因有两方面：一方面在于人类的认知是从简单向复杂，特殊到一般等等特征靠拢，因此才不可能一次性地就能得到函数的准确概念定义。
初中生函数概念发展研究
初中生函数概念发展研究一、本文概述函数作为数学学科中的核心概念，对于初中生来说，其理解和掌握程度直接关系到其数学学习的深入与拓展。
本文将重点研究初中生函数概念的发展历程，以期为提高初中数学教育质量提供有益参考。
通过深入了解初中生在函数学习过程中的认知特点和发展规律，有助于我们更好地理解学生的学习需求，并针对性地开展教学活动。
本文将从函数的初步认识、基本概念、性质应用以及拓展提高等方面进行分析和探讨，揭示初中生函数概念发展的内在机制和影响因素。
结合具体的教学实践案例，探讨如何有效地促进初中生函数概念的发展，为初中数学教育工作者提供有益的启示和建议。
二、函数概念的历史演变函数概念的形成与发展，是数学史上一部波澜壮阔的史诗。
其源头可追溯至十七世纪，那时数学家们开始尝试用代数方法来描述和解析自然现象。
最初的函数概念，主要源于笛卡尔的“变量说”。
笛卡尔认为，两个变量之间可能存在一种依赖关系，其中一个变量的变化会引起另一个变量的变化。
这种依赖关系，他称之为函数。
函数概念在早期的定义并不统一。
欧拉在其著作《无穷小分析引论》中，首次提出了“函数是一个变量的函数”的定义，但此时的函数概念仍然局限于代数函数。
此后，数学家们对函数的理解逐渐深化，函数的定义也逐渐扩大。
例如，狄利克雷在其《函数和变量的课程》中，给出了一个更为一般化的函数定义：“对于每一个数，都有唯一的一个数与之对应，则称前者为自变量，后者为因变量，因变量是自变量的函数。
”这个定义，突破了代数函数的限制，为后来的函数理论研究打下了坚实的基础。
进入二十世纪，函数的概念进一步得到拓展。
数学家们开始将函数的定义域和值域扩展到实数集，甚至更一般的集合。
随着抽象代数和拓扑学的发展，函数的概念也被引入到这些新的数学领域，形成了更为丰富和深入的函数理论。
在初中生的数学学习中，函数概念的发展是一个循序渐进的过程。
从最初的一次函数、二次函数，到后来的反比例函数、三角函数等，学生们逐渐接触到更为复杂和抽象的函数形式。
初中数学 什么是函数 它有什么特点
初中数学什么是函数它有什么特点函数是数学中的一个重要概念，用来描述两个集合之间的一种规律性关系。
函数可以理解为一种映射，它将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。
在函数中，我们通常用自变量表示输入的集合，用因变量表示输出的集合。
函数的特点如下：1. 唯一性：函数中的每个输入值都对应唯一的输出值。
换句话说，不同的输入不能映射到相同的输出。
这意味着函数中的每个元素都有确定的输出，不会出现歧义或多义性。
2. 定义域和值域：函数有一个定义域和一个值域。
定义域是指函数所有可能的输入值构成的集合，而值域是指函数所有可能的输出值构成的集合。
函数的定义域和值域可以是实数集、整数集、有理数集等。
3. 映射关系：函数是一种映射关系，它将定义域中的每个元素映射到值域中的一个元素。
换句话说，函数给定一个输入值，总是返回一个确定的输出值。
这种映射关系使得函数可以用来描述和分析各种现象和规律。
4. 函数图像：函数可以通过绘制函数图像来进行可视化表示。
函数图像是将函数的输入值和输出值在坐标系中表示出来的图形。
函数图像可以帮助我们直观地理解函数的性质和特点，例如函数的增减性、奇偶性、周期性等。
5. 函数关系：函数中的自变量和因变量之间存在某种关系。
这种关系可以是线性的、非线性的、指数的、对数的等等。
函数关系可以通过函数表达式、方程、图像等形式进行表示和描述。
6. 函数的运算：函数可以进行多种运算，包括函数的加法、减法、乘法、除法、复合等。
通过函数的运算，我们可以构造新的函数，从而更好地描述和分析数学问题。
函数是数学中非常基础和重要的概念，它在各个学科领域都有广泛的应用。
函数的特点使得我们可以通过函数来研究和解决各种实际问题，从而提高我们的数学思维能力和问题解决能力。
希望以上内容能够帮助你了解函数的定义和特点。
九年级数学函数的认识
九年级数学函数的认识数学函数是我们在九年级学习的重要内容之一，它在数学中起着非常重要的作用。
通过对函数的学习，我们可以更好地理解数学问题，解决实际生活中的实际问题。
本文将就九年级数学函数的认识展开论述。
一、函数的定义与特点函数是一个非常重要的概念，它描述了一种特定的数学关系。
在数学中，函数通常表示为f(x)，其中x表示自变量，f(x)表示因变量。
函数的定义是，对于自变量x的每一个取值，都有唯一确定的因变量值与之对应。
函数具有一些重要的特点。
首先，函数中的自变量和因变量都可以是任意的数值。
其次，函数中的自变量和因变量可以是实数、整数、分数等不同种类的数。
此外，函数还可以表示一个几何图形或一种连续的变动关系。
二、函数的表示形式在数学中，我们用不同的方式表示函数。
常见的表示形式包括函数图像、函数表达式和函数关系式。
1. 函数图像：函数图像可以直观地展示函数的特点和性质。
通常，我们使用平面直角坐标系来绘制函数图像。
横轴表示自变量x的取值，纵轴表示因变量f(x)的取值。
通过绘制函数图像，我们可以观察函数的增减性、极值点、零点等特征。
2. 函数表达式：函数表达式将函数的自变量和因变量用代数式表示出来。
常见的函数表达式形式包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
函数表达式是研究函数性质的重要工具，通过对函数表达式的分析，我们可以得到函数的特征。
3. 函数关系式：函数关系式描述了函数中自变量和因变量之间的关系。
例如，对于一次函数来说，函数关系式可以表示为y=kx+b，其中k和b分别表示函数的斜率和截距。
通过研究函数关系式，我们可以得到函数的各种性质并进行进一步的推导。
三、函数的应用函数是一种非常有用的数学工具，广泛应用于不同领域。
以下是函数在实际生活中的一些应用。
1. 函数在物理学中的应用：函数在物理学中有着广泛的应用，如描述物体的运动、电路中的电流关系等。
通过函数的建立和求解，我们可以更好地理解和应用物理学中的各种规律。
函数的概念由来和发展
函数的概念由来和发展
函数的概念最早可以追溯到17 世纪的数学研究。
在那个时候，数学家们开始研究变量之间的关系，并试图用数学语言来描述这些关系。
17 世纪末，微积分的发展推动了函数概念的进一步发展。
微积分研究的是函数的变化率和曲线的斜率等问题，因此需要对函数进行更深入的研究。
在18 世纪和19 世纪，数学家们开始使用函数的概念来研究物理学、工程学和其他领域中的问题。
例如，牛顿在研究物体的运动时，使用了函数的概念来描述物体的位置和速度之间的关系。
随着时间的推移，函数的概念逐渐变得更加精确和抽象。
在20 世纪初，数学家们开始研究函数的性质和分类，并提出了许多新的函数概念，如复数函数、向量函数和矩阵函数等。
今天，函数的概念已经成为数学和其他领域中不可或缺的一部分。
它被广泛应用于物理学、工程学、计算机科学、经济学等领域，并且在这些领域中发挥着重要的作用。
初中数学知识归纳函数的概念和性质的归纳
初中数学知识归纳函数的概念和性质的归纳初中数学知识归纳：函数的概念和性质函数在数学中占据着重要的地位，它是数学中最基本的概念之一。
通过对函数的学习，我们可以更好地理解和应用各类数学知识。
本文将对函数的概念和性质进行归纳，帮助初中生更好地掌握这一内容。
一、函数的概念函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素和另一个集合中的唯一元素相对应。
这里，我们通常将前一个集合称为自变量的定义域，后一个集合称为函数值的值域。
函数用符号f(x)表示，其中x为自变量，f(x)为对应的函数值。
1. 定义域和值域函数的定义域是指所有自变量可能的取值范围，而值域是指函数所有可能的函数值。
在解决函数题目时，我们需要明确定义域和值域的范围。
例如，函数f(x) = 2x + 1中，自变量x可以是任意实数，所以定义域为全体实数集R；函数值为对应x的表达式2x + 1的值，即f(x) = 2x + 1的值域也是全体实数集R。
2. 函数的图象函数的图象是函数在平面直角坐标系上的表示，用于描述函数的性质和变化规律。
函数的图象通常是一条曲线，通过观察图象可以得到函数的一些重要信息。
二、函数的性质函数有许多重要的性质，这些性质帮助我们更深入地理解和分析函数的特点。
1. 奇偶性如果对于函数f(x)，对于任意实数x，有f(-x) = f(x)，则称函数f(x)为偶函数；如果对于任意实数x，有f(-x) = -f(x)，则称函数f(x)为奇函数。
例如，函数f(x) = x^2是一个偶函数，因为对于任意实数x，都有f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)；函数g(x) = x^3是一个奇函数，因为对于任意实数x，都有g(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -g(x)。
2. 单调性函数的单调性描述了函数值随自变量的变化而变化的规律。
函数可以是增函数、减函数或者不变函数。
增函数是指随着自变量的增大，函数值也随之增大；减函数则是指随着自变量的增大，函数值减小；不变函数则是指自变量的改变不会导致函数值的变化。
函数的概念与像的变化规律
函数的概念与像的变化规律函数是数学中一个非常重要的概念，在各个领域有着广泛的应用和深远的影响。
它描述了输入和输出之间的关系，并且可以帮助我们研究和解决许多实际问题。
在本文中，我们将深入探讨函数的概念以及像的变化规律。
一、函数的概念函数是指在一个集合中的每个元素都和另一个集合中唯一的元素相对应的关系。
在函数中，我们常用字母"y"来表示输出变量，字母"y"来表示输入变量。
一个函数可以用函数表达式或者函数图像来表示。
函数有几个基本要素，包括定义域、值域、对应法则和图像。
其中，定义域是指输入变量y的取值范围，值域是输出变量y的取值范围。
对应法则是描述输入和输出之间关系的规则，可以通过一个公式、一张表格或者一段文字来表示。
函数的图像是函数在坐标系中的几何表示，通常是由一系列坐标点组成的曲线或者直线。
二、像的变化规律像是指函数的输出变量y在不同输入变量y取值下的变化情况。
像的变化规律可以通过函数的图像来观察和描述。
1. 增函数和减函数如果函数的像随着输入变量的增大而增大，我们称这个函数为增函数；如果函数的像随着输入变量的增大而减小，我们称这个函数为减函数。
对于增函数来说，函数的图像在坐标系中是上升的曲线或者直线；对于减函数来说，函数的图像则是下降的曲线或者直线。
2. 奇函数和偶函数奇函数是指函数的图像关于坐标原点对称；偶函数是指函数的图像关于纵轴对称。
奇函数的像在输入变量为正和负的情况下对应的输出变量是互为相反数的；而偶函数的像在输入变量为正和负的情况下对应的输出变量是相等的。
3. 周期函数周期函数是指函数的图像在一定区间内以一定规律重复出现。
周期函数通常由一个基本周期函数通过平移、拉伸或者压缩得到。
对于周期函数来说，函数的像在不同的周期内有着相同的变化规律。
4. 单调函数单调函数是指函数图像上的任意两点，斜率的正负是一致的。
在函数图像上，单调函数要么是上升的，要么是下降的，而不会有上升和下降交替出现的情况。
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初 中 生 函 数 概 念 发 展 的 特 点
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２ 研 究 方 法
２ １ 被 试
采取多级抽 样 （ 分层 ＋整 群 抽 样 ） 法 原 因有 二 ： 是 进 入 学 校 后 ， 生 数 学 概 念 将 主 要 是 随 方 一 学 着 课 程 的 系统 学 习 而 发 展 。 研 究 学 生 数 学 概 念 的 发 展 ， 行 整 群 抽 样 简 单 易行 ； 级 抽 样 的 处 理 手 进 多 法 叉 可 使 整 群 抽 样 精度 增 高 ； 是学 生 数 学 概 念 发 展 应 主要 通 过 学 生 的数 学 活动 ， 解 数 学 题 的 活 二 即
函 数 的 研 究 ， 得 人 类 数 学 思 维 开 始 超 越 形 式 逻 辑 的 界 限 进 入 到 ＿辨 证 思 维 的 领 域 。 可 见 ． 类 形 使 ｒ 人
成 函 数 概 念 的 水 平 可 以 间接 地 反 映 其 辨 证 思 维 所 达 到 的 程 度 ：
基 于这两个根本 原 因， 函数 在 数 学 教 育 中 占据 重 要 地 位 。 研 究 “ ０ １年 的 数 学 课 程 能 否 用 一 ２ ０＇ ２ 种 统 一 的 综 合 结 构 取 代 传 统 的几 何 、 数 等 学 科 ？ 这 一 重 太 课 题 时 ． 有 可 能 成 为 贯 穿 于 数 学 教 学 代 ” 它
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２ ３ ２ 编 制研 究工 具 ． ２３ ３ 收集数据
根 据 研 究 变 量 ， 心挑 选 与组 台 ， 制 测 试题 目 ， 行 预 测 ， 算 预 驯 信 度 、 精 编 进 计
教度 ， 进 一步完 善研究 工具 。 并 １９ ９ ９年 ３ ． 一 普通 中学 选 取 韧 至初 三 各 一 个 自然 教 学 班 的 学 生 作 为 杖 月 在 所
信 度 的 计 算 ． 采 用 测 试 —— 再 测 试 的 方法 ． 为 韧 救 解 题 的经 验 对 后 一 次 解 题 会 有 明 艟的 影 不 圉 响 ， 相 隔 一 段 时 间 后 ， 生 ・ 论 星 知 识 、 能 ． 是 能 力 都 会 比 过 去 有 很 大 的 进 步 。 采 ｊ 分 半 且 学 无 技 还 ｌ Ｊ
动 来 表 现 这 样 ， 究 所 用 的 工 具 （ 研 主要 是 测 试 题 ） 与学 生 所 掌 握 的 知识 、 能 密 切 相 关 学 生 对 就 技 题 目的 反 映 ， 涉 及 其 思 维 水 平 ， 与 题 耳本 身 的 特 点 有 关 ＝而 且 ， 难绝 对 地 将 二 者 区 分 开 ． 采 既 也 很 但 取 多级 抽 样 的 做 法 ， 使 试题 所 涉 及 到 的 知 识 、 能 是 学 生 有 同 等 机 会 或 都 没 有 机 会 学 习 过 的 ， 可 技 这
Ｓ Ｓ ｏ ｉｄ ｗｓＶ６ Ｏ软 件 进 行 统 计 分 折 一 Ｐ Ｓ ｆｒＷ ｎ ｏ ．
３
研 究 结 果 与 分 析
３ １ 男 女 生 函 数 概 念 在 不 同 年 级 上 的 发 展 状 况 （ 图 １ ． 见 ） ３２ ． 不 同学 校 学 生 函数 概 念 的 发 展 状 况 （ 见 ： ）
试 ， 行 预 测 ， 时 为 １ ０分 钟 ； ９ ９年 ５ 月 ． 另 外 五 所 中 学 选 取 初 一至 初 三 各 一 个 自 然 教 学 班 进 测 ０ １９ 在
的学生作 为被试 ， 行 正式施测 ， 时 为 ６ 进 测 ０分 钟 一 ２ ３ ４ 整 理 数 据 、 行 统 计分 析 采 集 到 的数 据 全 部 输 人 计 算 机 ， Ｅｘ ｅ ９ 进 用 ｃ ｌ ７软 件 管 理 数 据 ， 用
得 较 为 平 缓 ， 不 出有 明 显 的加 速 阶 段 。 看
从 图 ２中 可 知 ， １ 重点 中学 的 发 展 水 平 接 近 ． 且 在 各 个 年 级 均 是 最 好 的 ； ２ 普 通 中 学 的 发 （） 而 （） 展 水 平 随年 级 的升 高 差 距 减 小 ， 且都 向 重 点 中学 的 水 平 靠 拢 ； ３ 农 村 中 学 在 初 一 、 二 时 与城 区 （） 初 普 通 中学 一 样 ， 到 了初 三 却 有 所 滑 落 ， 但 大大 地 落 后 于其 它 两 类 学 校 探 究其 原 因 ， 们 认 为 函数 的 辨 证 性 ， 之 不 能 像 初 等 数 学 中 的 数 概 念 、 氏 几 何 中 的 基 本 图 我 使 欧 形 概 念 一 样 学 生 可 以 自发地 形 成 ． 们 应 主要 以 接 受 教 育 的 方 式 来 获 得 函数 概 念 。 为 了 证 实 这 一 他 猜 想 ， 们 着 重 研 究 了性 别 、 级 和 学 校 对学 生 函数 概 念 发 展 的 影 响 。 我 年
经 统 计 检 验 ， 究 工 具 的 信 度 、 度 的 扣 关 显 著 性均 为 极 其 显 著 （ 见 另 文 ） 因 此 可 以 将 其 作 研 效 祥 ，
为 研 究 学 生 函数 概 念 发 展 水 平 的测 量 工 其 。 ２ ３ 研 究 程 序
２３ １ 确定 研究 变量 ．
１ 引 言
纵 观 近 、 代 数 学 的 发 展 可 知 ， 数 是描 述 运 动 、 化 的 基 本 概 念 ． 学 中 许 多 概 念 或 山 函 数 派 现 函 变 数 生 ； 由函 数 统 率 ； 可 归 之 为 函数 观 点 研 究 它 是 高 等 数 学 的 基 石 ． 是 对 函 数 的 研 究 导 致 了数 或 或 正
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圈 ２ 维普资讯 Nhomakorabea第 ５期
摘
要
车 研 究 通 过 删 验 法 对 北 京 】 所 中 学 的 ８ ２名 柳 一 至 初 三 的 学 生 进 行 考 察 ． 究 丁 初 中 六 ０ 研
生 函数 概 念 的发展 水 平 盟其 特点 。 结 果表 明 ， 中 三 十年 级学 生 函数 概 念 的 发 展 ． 总 体上 看 ． 加 从 隧 着 年 级 的 增 高 呈 上 升 的 发 展 趋 势 ， 年 级 因 素 对 学 生 函 数 概 念 发 展 的 影 响 不 显 著 制 约 初 中 学 生 但 函数 概 念 发 展 水 平 的 关 键 是 ． 生 所 受 教 育 的 质 量 ． 生 主 要 以 接 受 教 育 的 方 式 来 获 得 函数 概 念 学 学 关 键 词 ： 中 生 函 数 概 念 多 因 素 方 差 分 析 初
为研 究 提 供 了便 利 ； 本 研 究 从 北 京 市 分 层 抽 取 区 重 点 中 学 、 通 中 学 、 村 中 学 各 ２所 ， 进 行 整 群 取 样 ， 每 所 学 普 农 再 从
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５１ ８
旃 ２ ３卷
校 中抽 取 初 一 、 二 、 三 各 一 个 班 （ ｔ 一 个 班 的学 生 ） （ ： 重 点 中 学 取 消 初 中 ． 此 没 有 ＿ 初 初 ；． 八 ｉ１ － 。 往 市 因 １ Ｊ 重 点 中 学 ； 所 学 校 来 自 ： 城 区 Ｌ所 、 城 区 ２所 、 淀 区 １所 、 头沟 区 ２所 ） 六 西 东 海 门 ：