2019年春线性代数补充习题与参考答案

线性代数补充习题
第一章 行列式
一、填空题
1．
2
2
0a b a b =，则b a ,满足的条件是________ ．
2．若001041
3≠x
x x
，则x 满足的条件是________ ．
3．排列3712456的逆序数为________ ． 4．排列123(n 1)n -L 的逆序数为________ ．
5．行列式
=0
0010000000
00c b a ________ ．
6．行列式=-0
000100
200
1
000
Λ
ΛΛΛΛ
Λ
Λ
ΛΛn
n ________ ． 7．设行列式1
22
30
5
03--a
中，余子式632=M ，则=a ________ ． 二、选择题
1．下列行列式中值为0的是（ ）．
（A ）行列式中有两行对应元素之和为0 （B ）行列式中对角线上元素全为0
（C ）行列式中有两行含有相同的公因子 （D ）行列式中有一行与另一列对应元素成比例
2．在函数x
x x x
x
x f 2
1
1
12)(---=中，3x 的系数是（ ）．
（A ）1 （B ）-2 （C ）3 （D ）4
3．设121=b b ，则=++2
21
21
1211
11b a a a b a a a （ ）．
（A ）-2 （B ）-1 （C ）1 （D ）2
4．设133
32
31
232221
131211
=a a a a a a a a a ，则11111213
21
21222331
3132
33
423423423a a a a a a a a a a a a --=-（ ）． （A ）-12 （B ）12 （C ）-24 （D ）24
5．设033
32
31
232221
13
1211
≠=a a a a a a a a a D ，ij A 是D 元素ij a 的代数余子式（3,2,1,=j i ），若0333223113≠++j j j A a A a A a ，
则（ ）．
（A ）1=j （B ）2=j （C ）3=j （D ）1=j 或3=j 6．下列选项是偶排列的是（ ）
（A ）12435 （B ）54321 （C ）32514 （D ）54231
7.设
001000
102001
000
a =-，则a =( ) （A ）12-
（B ）1
2
（C ）1 （D ）-1 8.如果线性方程组12312312
31
3231
x x x x x x x x x λλ+-=⎧⎪
-+=⎨⎪-+=⎩有唯一解，则λ必须满足（ ）
（A ）1λ≠ （B ）15λ≠-
（C ）1
5
λ≠ （D ）1λ≠- 三、判断题
1．交换行列式的两行（列），行列式的值不变．（ ）
2．n 阶行列式中，若有n n -2
个以上元素为0，则行列式的值为0．（ ）
3．3
33
33
322222
211111
1d c c b b a d c c b b a d c c b b a +++++++++3
3
3
222111c b a c b a c b a =3
3
3
222
1
11d c b d c b d c b +．（ ）
4．元素ij a 的代数余子式ij A 与ij a 所在有行、列有关，而与ij a 的值无关．（ ）
5．
101000
011110100011001110011111000101
111
000
100
01d c b a d
c b a +++=．（ ）
6．n 阶行列式中，某行元素全为0，则行列式的值为0．（ ）
第一章 行列式
1、a b =
2、0≠x 且2≠x
3、7
4、0
5、abc
6、!)
1(2
)1(n n n -- 7、3-
二、选择题
1、A
2、B
3、C
4、A
5、C
6、B
7、A
8、B
三、判断题
1、×
2、√
3、×
4、√
5、√
6、√
第二章 矩阵
一、填空题
1．设⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100010501,10001001B x A ，且B A =，则=x ________ ． 2．设⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-=23,1102b a B A ，若BA AB =,则b a ,为 ．
3．设⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡=101a A ，则=n
A ． 4．设()⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡=+-=2011,522A x x x f ，则()=A f ． 5．设⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡=5221A ，则A 的伴随矩阵=*
A ． 6．设)0(≠-⎥
⎦
⎤⎢
⎣⎡=cb ad d c b a A ，则A -1
= ． 7．若⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢
⎣
⎡=n a a a A O
2
1（n i a i ,,2,1,0Λ=≠），则=-1A ．
8．设3=A ，且A 为二阶方阵，则=A 3 ．
9．已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡=012301A ，⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=100021B ，则=AB ．
10．21121214X ⎡⎤⎡⎤
=⎢
⎥⎢⎥
-⎣⎦⎣⎦
，则=X ．
1．=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣⎡++++c b b a z y y x （ ）． （A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⎥⎦⎤⎢
⎣⎡++c b b z y y c b a z y x （B ）⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++c b z y b a y x （C ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡c b z y b a y x （D ）⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++c b a z y x b b a y y x
2．设C B A ,,均为n 阶方阵，且E ABC =，则必有（ ）． （A ）E CBA = （B ）E BCA = （C ）E BAC = （D ）E ACB =
3．已知矩阵 )(,n m B A m n n m ≠⨯⨯，则下列运算结果不为n 阶方阵的是（ ）． （A ）BA （B ）AB （C ）T
BA )( （D ）T T B A 4．若A 是（ ），则必有A A T
-=．
（A ）可逆矩阵 （B ）三角矩阵 （C ）初等矩阵 （D ）反对称矩阵 5．设B A ,均为n 阶方阵，则下列运算正确的是（ ）．
（A ）()k
k k
B A AB = （B ）A A -=-
（C ）()()B A B A B A +-=-2
2 （D ）若A 可逆，0≠k ，则()111
---=A k kA
6．矩阵A 经初等行变换化为行阶梯形矩阵后（ ）．
（A ） 秩变大 （B ）秩变小 （C ）秩不变 （D ）化为单位方阵 7．设A 是3阶可逆矩阵，λ为实数，如果A A 8=λ，则（ ）． （A ）2=λ （B ）2-=λ （C ）1=λ （D ）8=λ 8．设A 是n 阶方阵，k 为非零实数，则=-kA （ ）．
（A ）()A k n
n
1- （A ）A k n
（C ）A k - （D ）A k
9．设B A ,均为n 阶矩阵，则必有（ ）．
（A ）B A B A +=+ （B ）BA AB = （C ）BA AB = （D ）()
111
---+=+B A B A
三、判断题
1．设B A ,都是n m ⨯矩阵，则A B B A +=+．（ ） 2．两个n 阶可逆矩阵之和一定是可逆矩阵．（ ）
3．如果A 与B 可交换，且A 可逆，则1-A 与B 可交换．（ ） 4．n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是0=A ．（ ）
5．设C B A ,,都是n 阶方阵，且0≠A ，若AC AB =，则C B =．（ ） 6．设B A ,都是n 阶方阵，若0=AB ，则0=B ．（ ） 7．若A 与B 为n 阶方阵，则BA AB =．（ ）
8．设A 与B 为n 阶方阵，且A 为对称矩阵，则AB B T 也是对称矩阵．（ ） 9．设A 与B 为n 阶方阵，则B A AB =．（ ）
10．若A 和B 皆为n 阶方阵，则必有B A B A +=+．（ ）
第二章 矩阵
一、填空题
1、5
2、0,11==b a
3、⎥⎦⎤⎢
⎣⎡101na 4、⎥⎦⎤⎢⎣⎡5014 5、⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1225 6、⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡---a c b d bc ad 1
7、⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡---11
2
1
1n a a a O
8、27 9、6- 10、1012⎡⎤⎢⎥-⎣⎦
二、选择题
1、C
2、B
3、B
4、D
5、D
6、C
7、A
8、A
9、C
三、判断题
1、√
2、×
3、√
4、×
5、√
6、×
7、×
8、√
9、√ 10、×
第三章 向量组的线性相关性
一、填空题
1．设()()T
T
2,3,1,1,1,221-=-=αα，若()T
5,,13λα=可由21,αα线性表示 ，则=λ ．
2．设()()()1231,2,3,5,4,1ααα===，则12,αα的线性相关性为线性 ．
3．设()()()1231,2,3,2,2,1,3,4,3ααα===，则123,,ααα的线性相关性为线性 ．
4．若向量组321,,ααα线性无关，则321321211,2,αααβααβαβ++=+==的线性关系为 ． 5．若向量组()()()
T
T
T
t t 1,0,0,0,2,1,0,1,12
321+==+=ααα的秩为2，则=t ．
6．若向量组()()()T
T
T
k k k 0,1,,2,2,,7,1,6321==+=ααα的秩为3，则≠k ．
二、选择题
1．向量组n ααα,,,21Λ线性无关的充要条件是（ ）． (A) n ααα,,,21Λ均不为零向量
(B) n ααα,,,21Λ中任意两个向量的对应分量不成比例 (C) n ααα,,,21Λ中有一个部分向量线性无关
(D) n ααα,,,21Λ中任意一个向量都不能由其余1-n 个向量线性表示 2．设向量组321,,ααα线性无关，则与321,,ααα等价的向量组为（ ）． (A) 3221,αααα++ (B) 2121214,3,,αααααα-+ (C) 31312121,,,αααααααα-+-+ (D) 3221,αααα-+ 3．设向量组γβα,,线性无关，δβα,,线性相关，则（ ）． (A) α必可由δγβ,,线性表示 (B) β必不可由δγα,,线性表示 (C)
δ必可由γβα,,线性表示 (D) δ必不可由γβα,,线性表示
4．设向量组12,s αααL 的秩等于3，则（ ）．
(A) 12,s αααL 任意3个向量都线性无关 (B) 12,s αααL 中没有零向量
(C) 12,s αααL 任意4个向量都线性相关 (D) 12,s αααL 任意2个向量都线性无关
5. 向量组123(,1,1),(1,,1),(1,1,)T T T
a a a ααα==-=-线性相关，则=a （ ）
(A) 12-或 (B)13-或 (C) 10或 (D)32或
三、判断题
1．设向量组r ααα,,,21Λ与s βββ,,,21Λ都线性相关，且可以互相线性表示，则必有s r =．（ ） 2．n 维向量组)1(,,,21>s s αααΛ线性相关的充要条件是其中有一个向量可由其余向量线性表示．（ ） 3．设n 维向量组r ααα,,,21Λ中每一个向量均可由s βββ,,,21Λ线性表示，且s r >，则r ααα,,,21Λ必线性相关．（ ）
4．设n ααα,,,21Λ为n 个m 维向量，且m n >，则该向量组必定线性相关．（ ） 5．设321,,ααα是线性无关向量组，则向量组32121105,3,2ααααα+-也线性无关．（ ）
6．设向量组r ααα,,,21Λ与s βββ,,,21Λ等价，则r ααα,,,21Λ的任一极大无关组与s βββ,,,21Λ的任一极大无关组可互相线性表示．（ ）
第三章 向量组的线性相关性
一、填空题
1、-8
2、线性相关
3、线性无关
4、线性无关
5、1
6、2
3
-
和4 二、选择题
1、D
2、C
3、C
4、C
5、A
三、判断题
1、×
2、√
3、√
4、√
5、√
6、√
第四章 线性方程组
一、填空题
1．n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ，则0=Ax 仅有零解的充分必要条件是 ．
2．n 元非齐次线性方程组Ax b =，其增广矩阵记为A
% 则方程组有唯一解的充要条件为 ． 3．n 元非齐次线性方程组Ax b =，其增广矩阵记为A
% 则方程组有无穷多解的充要条件为 ． 4．若方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++2
3213213211
k kx x x k x kx x x x kx 无解，则=k ．
5．设方程组⎪⎩⎪
⎨⎧-=+-=++-=++4
22432
1321321kx x x x kx x kx x x 有唯一解，则≠k ．
6．齐次线性方程组()⎪⎩⎪
⎨⎧=-+=+++=++0
2023202321321321x ax x x a x x x x x 只有零解，则≠a ．
7．齐次线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=+-=+-=+-0
20743032321
321321ax x x x x x x x x 有非零解，则=a ．
二、选择题
1．设A 为n m ⨯矩阵，则齐次线性方程组0=Ax 仅有零解的充分必要条件是系数矩阵A 的秩为r （ ）． (A) m r < (B) n r < (C) m r = (D) n r =
2．设n 元齐次线性方程组0=Ax ，若n r A R <=)(，则该方程组的基础解系（ ）．
（A ）唯一存在 （B ）共有r n -个 （C ）含有r n -个解向量 （D ）含有无穷多个解向量
3．已知321,,ααα是线性方程组0=Ax 的一个基础解系，则必有（ ）． （A ）321,,ααα线性相关 （B ）321,,ααα线性无关
（C ）133221,,αααααα+++线性相关 （D ）133221,,αααααα+++不是0=Ax 基础解系 4．方程组⎩⎨
⎧=+--=-++0
320
54354325431x x x x x x x x 的一组基础解系是由（ ）个解向量组成的．
（A ）2 （B ）1 （C ）3 （D ）0
5． n 元非齐次线性方程组Ax b =，其增广矩阵记为A % 则方程组无解的充要条件为（ ）． （A ）()(A)r A
r >% （B ）()(A)r A r =% （C ）()(A)r A r <% （D ）()(A)r A r ≠% 6．设s ααα,,,21Λ是n 元齐次线性方程组0=Ax 的基础解系，则（ ）． （A ）s ααα,,,21Λ线性相关 （B ）0=Ax 的任意1+s 个解向量线性相关 （C ）n A R s =-)( （D ）0=Ax 的任意1-s 个解向量线性相关 7．若321,,ααα是齐次线性方程组0=Ax 的一个基础解系，则（ ）．
（A ）133221,,αααααα+++也是0=Ax 的一个基础解系 （B ）基础解系具有唯一性 （C ）133221,,αααααα+++不一定是0=Ax 的基础解系 （D ）以上说法都不对 8．设A 为n m ⨯矩阵，非齐次线性方程组b Ax =的导出组为0=Ax ，若n m <，则（ ）． （A ）b Ax =必有无穷多解 （B ）b Ax =必有唯一解 （C ）0=Ax 必有非零解 （D ）0=Ax 必有唯一解
三、判断题
1．设21,ξξ为齐次线性方程组0=Ax 的解，1η为非齐次线性方程组b Ax =的解，则22111ξξηk k ++为b Ax =的通解（21,k k 为任意实数）．（ ）
2．设21,ξξ为齐次线性方程组0=Ax 的解，21,ηη为非齐次线性方程组b Ax =的解，则()()2121ηηξξ-++为0=Ax 的解．
（ ） 3．含有n 个方程的n 元齐次线性方程组0=Ax ，仅有零解的充要条件是0A =.（ ） 4．含有n 个方程的n 元齐次线性方程组0=Ax ，有非零解的充要条件是0A ≠.（ ）
5．若方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++0
00321321321kx x x x kx x x x kx 有非零解，则k 应满足的条件是0=k 或1=k ．（ ）
6．若方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧=+=++=++03 020
32321321x kx x x x x kx x 只有零解，则k 应满足的条件是53=k ．（ ）
第四章 线性方程组
一、填空题
1、r n =
2、(A)r(A)
n r ==% 3、(A)r(A)n r =<% 4、2- 5、1-和2- 6、1-和3 二、选择题
1、D
2、C
3、B
4、C
5、D
6、B
7、A
8、C
三、判断题
1、√
2、√
3、×
4、×
5、×
6、×
第五章 矩阵的特征值
一、填空题
1．设()()T
T
0,1,2,1,0,121==αα，则内积[]=21,αα ．
2．设()T
k 2,1,2=α为单位向量，则=k ．
3．设321,,ξξξ是矩阵A 的属于不同特征根321,,λλλ的特征向量，则321,,ξξξ是线性 ． 4．设A 的特征值为1，2-，3，则A 2的特征值为 ．
5．设⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=014020112A ，则A 的特征值为 ． 6．若0λ为A 的一个特征值，则矩阵多项式()A f 有一个特征值为 ． 7．已知三阶矩阵A 的三个特征值为1, -1，2，则()2
E A -的特征值为 ．
8．设0≠λ为方阵A 的一个特征值，则()1
3-A 有一个特征值为 ．
9．设A 为n 阶方阵，方程组0=Ax 有非零解，则A 必有一个特征值为 ． 10．n 阶矩阵A 可对角化的充分必要条件是A 有 个线性无关的特征向量．
11．0是矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=a A 01020101的特征值，则=a ．
二、选择题
1．下列结论中不正确的是（ ）．
（A ）若n 维向量α与β正交，则对任意实数l k ,，αk 与βl 也正交； （B ）若n 维向量β与21,αα都正交，则β与21,αα的任意线性组合也正交； （C ）若n 维向量α与β正交，则βα,中至少有一个是零向量； （D ）若n 维向量α与任意n 维向量都正交，则α是零向量． 2．设A 是正交矩阵，则下列结论不正确的是（ ）．
（A ）1-A 是正交矩阵 （B ）T A 是正交矩阵 （C ）1±=A （m 是正整数） （D ）kA （1≠k ）是正交矩阵 3．下列说法正确的是（ ）．
（A ）因为特征向量都是非零向量，所以它对应的特征值非零； （B ）一个特征值可对应多个特征向量； （C ）一个特征向量可以属于多个特征值； （D ）n 阶矩阵有n 个不同的特征值．
4．设n 阶可逆矩阵A 有一特征值为λ，则A *
的特征值之一是（ ）． （A ）n
A 1
-λ （B ）A 1
-λ
（C ）A λ （D ）n
A λ
5．设n 阶可逆矩阵A 有一特征值为λ，则1
*
--A A 的特征值之一是（ ）．
（A ）11---λλA （B ）11--+λλA （C ）λλ+-A 1 （D ）λλ--A 1
6．n 阶方阵A 有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的（ ）．
（A ）充分而非必要条件 （B ）充要条件 （C ）必要而非充分条件 （D ）无关的条件
7．设n λλλ,,,21Λ是n 阶对称矩阵A 的特征值，{}n diag λλλ,,,21Λ=Λ，则（ ）不成立． （A ）A 与()()Λ=r A r （B ）k
A 与k
Λ相似 （C ）Λ=A （D ）Λ≠A
8．下列矩阵中与矩阵⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡=Λ2011相似的是（ ）． （A ）⎥⎦⎤⎢
⎣⎡--2001 （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡2211 （C ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001 （D ）⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡1011
9．矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Λ10000002,210100002y B ,若B A ,相似,则=y （ ）． (A) 1 (B) 2 (C) 1- (D) 2-
10．对于实矩阵A ，以下结论正确的是（ ）．
（A ）一定有n 个不同的特征值 （B ）存在可逆矩阵B ，使AB B 1-为对角矩阵
（C ）它的特征值一定是实数 （D ）属于不同特征值的特征向量一定线性无关
三、判断题
1．线性无关向量组一定可以化为等价的正交向量组．（ ）
2．正交向量组必线性无关．（ ）
3．若n 阶方阵A 与B 相似，则A 与B 必有相同的特征值和特征向量．（ ）
4．设21,ξξ分别是实对称方阵A 对应于两个不同特征值21,λλ的特征向量，则内积[]0,21=ξξ．（ ）
5．n 阶矩阵A 可逆的充要条件是A 的任一特征值不等于0．（ ）
6．n 阶矩阵A 可与对角阵相似的充分必要条件是A 有n 个相异的特征值．（ ）
7．n 阶矩阵A 可与对角阵相似的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量．（ ）
8．n 阶方矩阵A 一定可与对角阵相似．（ ）
9.特征多项式相同的矩阵一定相似．（ ）
.第五章 矩阵对角化
一、填空题
1、2
2、3
1± 3、无关 4、2，4-，6 5、1-，2，2 6、)(0λf 7、0，1，4 6，11 8、131-λ 9、0 10.n 11. 1
二、选择题
1、C
2、D
3、B
4、B
5、A
6、A
7、D
8、C
9、A
三、判断题
1、√
2、√
3、×
4、√
5、√
6、×
7、√
8、√
9、×
期考大题题型及分值
计算题（一）（本大题共2小题，每小题4分，共8分．请写出计算过程、步骤．） １．计算行列式201
325143
．
２.121110212,231123341A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
计算23A B +
计算题（二）（本大题共5小题，每题8分，共40分．请写出计算过程、步骤．）
1.计算行列式0
111
1011
11011110
．
２．求111011101A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
的逆矩阵．
３．求向量组()()()()12341,0,3,1,1,3,0,1,2,1,7,2,4,2,14,4T T T T
αααα==--==的秩与它的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示．
4．解方程组：12312312
34441624x x x x x x x x x ++=⎧⎪-++=⎨⎪-+=-⎩
5．求⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111020011A 的特征值
证明题（6分）
设321,,ααα线性无关，3211αααβ--=，3212αααβ-+-=，3213αααβ+--=，证明：321,,βββ线性无关．。