【典型题】高一数学下期末一模试题(及答案)

【典型题】高一数学下期末一模试题(及答案)
一、选择题
1．已知{}n a 是公差为d 的等差数列，前n 项和是n S ，若9810S S S <<，则（ ）
A ．0d >，170S >
B ．0d <，170S <
C ．0d >，180S <
D ．0d >，180S >
2．ABC 中，已知sin cos cos a b c
A B C
==，则ABC 为（ ） A ．等边三角形
B ．等腰直角三角形
C ．有一个内角为30°的直角三角形
D ．有一个内角为30°的等腰三角形
3．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如
下统计数据表： 收入x （万元）
8.2
8.6
10.0 11.3 11.9
支出y （万元）
6.2
7.5
8.0 8.5
9.8
根据上表可得回归直线方程ˆˆˆy
bx a =+，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ） A ．11.4万元 B ．11.8万元 C ．12.0万元
D ．12.2万元
4．已知集合 ，则
A ．
B ．
C ．
D ．
5．若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要
条件
6．设函数f (x )=cos (x +
3
π
)，则下列结论错误的是 A ．f(x)的一个周期为−2π B ．y=f(x)的图像关于直线x=
83
π
对称 C ．f(x+π)的一个零点为x=
6
π D ．f(x)在(
2
π
,π)单调递减 7．已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线
:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于
4
5
，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ） A ．3(0,
] B ．3(0,]4 C ．3[,1)2
D ．3[,1)4
8．记max{,,}x y z 表示,,x y z 中的最大者，设函数
{}2()max 42,,3f x x x x x =-+---，若()1f m <，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．(1,1)(3,4)-
B ．(1,3)
C ．(1,4)-
D ．(,1)
(4,)-∞-+∞
9．函数()lg ||f x x x =的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．在空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取E ，F ，G ，H 四点，如EF 与HG 交于点M ，那么 ( ) A ．M 一定在直线AC 上 B ．M 一定在直线BD 上
C ．M 可能在直线AC 上，也可能在直线B
D 上 D ．M 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上
11．如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD ∆为正三角形，平面ECD ⊥平面
,ABCD M 是线段ED 的中点，则（ ）
A ．BM EN =，且直线,BM EN 是相交直线
B ．BM EN ≠，且直线,BM EN 是相交直线
C ．BM EN =，且直线,BM EN 是异面直线
D ．BM EN ≠，且直线,BM EN 是异面直线
12．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知5a =，7b =，8c =，则
A C +=
A ．90︒
B ．120︒
C ．135︒
D ．150︒
二、填空题
13．设a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边.=
，则222
a c
b ac
+-的取值范围为______. 14．若21cos 3
4πα⎛⎫-
= ⎪
⎝
⎭
，则sin 26πα⎛
⎫+= ⎪⎝⎭________． 15．已知抛物线()2
20y px p =>的准线与圆()2
2316x y -+=相切，则p 的值为__________．
16．函数y =
的定义域是 _________.
17．函数sin y x x =-的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移________个单位长度得到．
18．在△ABC 中，85a b ==，，面积为12，则cos 2C =______．
19．函数()sin f x x ω=（0>ω）的图像与其对称轴在y 轴右侧的交点从左到右依次记为
1A ，2A ，3A ，⋅⋅⋅，n A ，⋅⋅⋅，在点列{}n A 中存在三个不同的点k A 、l A 、p A ，使得
△k l p A A A 是等腰直角三角形，将满足上述条件的ω值从小到大组成的数记为n ω，则
6ω=________.
20．已知函数()2,0
1,0
x x f x x x >⎧=⎨
+≤⎩若()()10f a f +=，则实数a 的值等于________．
三、解答题
21．已知A 、B 、C 为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若
1
cos cos sin sin 2
B C B C -=．
（1）求角A 的大小；
（2）若23,4a b c =+=，求ABC ∆的面积．
22．已知：a b c 、、是同一平面内的三个向量，其中()1,2a = （1）若25c =，且//c a ，求c 的坐标； （2）若5
b =
，且2a b +与2a b -垂直，求a 与b 的夹角θ. （3）若()1,1b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，求实数λ的取值范围.
23．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，
c .
（Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率； （Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率.
24．如图，在四棱锥P ABCD -中，P A ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD ，BC ∥AD ，
1
2
BC CD AD ==
.
（Ⅰ）求证：CD ⊥PD ； （Ⅱ）求证：BD ⊥平面P AB ；
（Ⅲ）在棱PD 上是否存在点M ，使CM ∥平面P AB ，若存在，确定点M 的位置，若不存在，请说明理由.
25．已知圆2
2
:8120C x y y +-+=，直线:20l ax y a ++=. （1）当a 为何值时，直线与圆C 相切.
（2）当直线与圆C 相交于A 、B 两点，且22AB =时，求直线的方程.
26．如图所示，为美化环境，拟在四边形ABCD 空地上修建两条道路EA 和ED ，将四边形分成三个区域，种植不同品种的花草，其中点E 在边BC 的三等分点处（靠近B 点），
3BC =百米，BC CD ⊥，120ABC ∠=，21EA =百米，60AED ∠=. （1）求ABE △区域的面积；
（2）为便于花草种植，现拟过C 点铺设一条水管CH 至道路ED 上，求水管CH 最短时的长．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】
利用等差数列的通项公式求和公式可判断出数列{}n a 的单调性，并结合等差数列的求和公式可得出结论. 【详解】
9810S S S <<，90a ∴<，9100a a +>，100a ∴>，0d >. 179017S a =<∴，()1891090S a a =+>.
故选：D. 【点睛】
本题考查利用等差数列的前n 项和判断数列的单调性以及不等式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
2．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】 因为
sin cos cos a b c A B C
==，所以
sin sin sin sin cos cos 4A B C B C A B C π
==∴== , 即ABC 为等腰直角三角形. 故选：B .
3．B
解析：B 【解析】 试题分析：由题
，
，所以
．
试题解析：由已知
，
又因为ˆˆˆy
bx a =+，ˆˆˆ0.76,b a y bx ==-
所以
，即该家庭支出为万元．
考点：线性回归与变量间的关系．
4．D
解析：D 【解析】 试题分析：由
得
，所以
，因为
，所以
，故选D.
【考点】 一元二次不等式的解法，集合的运算
【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理.
5．B
解析：B 【解析】
若l m ⊥，因为m 垂直于平面α，则//l α或l α⊂；若//l α，又m 垂直于平面α，则
l m ⊥，所以“l m ⊥”是“//l α的必要不充分条件，故选B ． 考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系． 6．D
解析：D 【解析】
f (x )的最小正周期为2π，易知A 正确； f 8π3⎛⎫
⎪⎝⎭＝cos 8ππ33⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
＝cos3π＝－1，为f (x )的最小值，故B 正确；
∵f (x ＋π)＝cos ππ3x ⎛
⎫++ ⎪⎝
⎭＝－cos π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴f ππ6⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos ππ63⎛⎫
+ ⎪
⎝⎭
＝－cos 2π＝0，故C 正确； 由于f 2π3⎛⎫
⎪⎝⎭＝cos 2ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭
＝
cosπ＝－1，为f (x )的最小值，故f (x )在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，故D 错误． 故选D.
7．A
解析：A 【解析】
试题分析：设1F 是椭圆的左焦点，由于直线:340l x y -=过原点，因此,A B 两点关于原点对称，从而1AF BF 是平行四边形，所以14BF BF AF BF +=+=，即24a =，
2a =，设(0,)M b ，则45b d =
，所以
44
55
b ≥，1b ≥，即12b ≤<，又
22224c a b b =-=-，所以03c <≤，3
02
c a <
≤
．故选A ． 考点：椭圆的几何性质．
【名师点睛】本题考查椭圆的离心率的范围，因此要求得,a c 关系或范围，解题的关键是利用对称性得出AF BF +就是2a ，从而得2a =，于是只有由点到直线的距离得出b 的范围，就得出c 的取值范围，从而得出结论．在涉及到椭圆上的点到焦点的距离时，需要联想到椭圆的定义．
8．A
解析：A 【解析】 【分析】
画出函数的图象，利用不等式，结合函数的图象求解即可． 【详解】
函数()f x 的图象如图，
直线1y =与曲线交点(1,1)A -，()1,1B ，()3,1C ，()4,1D ， 故()1f m <时，实数m 的取值范围是11m -<<或34m <<. 故选A. 【点睛】
本题考查函数与方程的综合运用，属于常考题型.
9．D
解析：D 【解析】 【分析】
分析函数()y f x =的定义域、奇偶性及其在()0,1上的函数值符号，可得出结论. 【详解】
函数()lg f x x x =的定义域为{}
0x x ≠，定义域关于原点对称，
()()lg lg f x x x x x f x -=--=-=-，函数()y f x =为奇函数，排除A 、C 选项；
当01x <<时，lg 0x <，此时()lg 0f x x x =<，排除B 选项. 故选：D. 【点睛】
本题考查由函数的解析式选择函数图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查推理能力，属于中等题.
10．A
解析：A 【解析】
如图，因为EF∩HG=M，
所以M∈EF，M∈HG，
又EF ⊂平面ABC ，HG ⊂平面ADC ， 故M∈平面ABC ，M∈平面ADC ， 所以M∈平面ABC∩平面ADC=AC. 选A. 点睛：证明点在线上常用方法
先找出两个平面，然后确定点是这两个平面的公共点，再确定直线是这两个平面的交线．
11．B
解析：B 【解析】 【分析】
利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题． 【详解】
如图所示， 作EO CD ⊥于O ，连接ON ，过M 作MF OD ⊥于F ． 连BF ，
平面CDE ⊥平面ABCD ．
,EO CD EO ⊥⊂平面CDE ，EO ∴⊥平面ABCD ，MF ⊥平面ABCD ，
MFB ∴∆与EON ∆均为直角三角形．设正方形边长为2，易知
3,1
2EO ON EN ===，
35
,722
MF BF BM =
=∴=BM EN ∴≠，故选B ．
【点睛】
本题考查空间想象能力和计算能力， 解答本题的关键是构造直角三角性．
12．B
解析：B 【解析】 【分析】
由已知三边，利用余弦定理可得1
cos 2
B =，结合b c <，B 为锐角，可得B ，利用三角形内角和定理即可求A
C +的值． 【详解】 在ABC ∆中，
5a =，7b =，8c =，
∴由余弦定理可得：2222564491
cos 22582
a c
b B a
c +-+-===⨯⨯，
b c <，故B 为锐角，可得60B =︒，
18060120A C ∴+=︒-︒=︒，故选B ． 【点睛】
本题主要考查利用余弦定理解三角形以及三角形内角和定理的应用．
二、填空题
13．【解析】【分析】把已知式用正弦定理化边为角由两角和的正弦公式和诱导公式化简可求得即角从而得角的范围注意由余弦定理可得结论【详解】因为所以所以即又所以则因为所以而故故答案为：【点睛】本题考查正弦与余弦 解析：()
()3,0
0,2-
【解析】 【分析】
把已知式用正弦定理化边为角，由两角和的正弦公式和诱导公式化简，可求得cos C ，即
C 角，从而得B 角的范围，注意2
B π
≠
，由余弦定理可得结论．
【详解】
因为
2cos cos a B C
=
，所以()
()2cos cos cos cos 0a C B B C =⋅≠，
所以()
2sin cos cos A B C C B =，
即()2sin cos A C C B A +=，又sin 0A >，所以cos 2
C =， 则6
C π
=
，因为cos 0B ≠，所以50,
,226B πππ⎛⎫⎛⎫
∈ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
，
而2222cos a c b B ac +-=，故()
()2220,2a c b ac
+-∈.
故答案为：()
()0,2．
【点睛】
本题考查正弦与余弦定理的应用，考查运算求解能力.本题是一个易错题，学生容易忽略
cos B 不能等于0.
14．【解析】【分析】根据诱导公式将三角函数式化简可得再由诱导公式及余弦的二倍角公式化简即可得解【详解】因为化简可得即由诱导公式化简得而由余弦的二倍角公式可知故答案为:【点睛】本题考查了诱导公式在三角函数 解析：
78
【解析】 【分析】
根据诱导公式,将三角函数式21
cos 3
4πα⎛⎫-= ⎪⎝
⎭化简可得1sin 64πα⎛⎫-= ⎪⎝
⎭,再由诱导公式及
余弦的二倍角公式,化简sin 26πα⎛
⎫
+ ⎪⎝
⎭
即可得解. 【详解】
因为21cos 34
πα⎛
⎫-=
⎪⎝
⎭ 化简可得1cos 624ππα
⎛
⎫--= ⎪⎝⎭,即1cos 264ππα⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
由诱导公式化简得1sin 64
πα⎛
⎫
-= ⎪⎝
⎭ 而sin 26πα⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
cos 22
6π
πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
cos 2cos 233ππαα⎛⎫⎛
⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
cos 26πα⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
由余弦的二倍角公式可知cos 26πα⎛
⎫- ⎪⎝⎭
212sin 6πα⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭
2
17
1248
⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭
故答案为: 78
【点睛】
本题考查了诱导公式在三角函数化简中的应用,余弦二倍角公式的简单应用,属于中档题.
15．2【解析】抛物线的准线为与圆相切则
解析：2 【解析】
抛物线的准线为2p
x =-
，与圆相切，则342
p +=，2p =． 16．【解析】【分析】由函数的解析式得到关于x 的不等式求解不等式即可确定函数的定义域【详解】函数有意义则：即求解三角不等式可得：则函数的定义域为【点睛】求函数的定义域其实质就是以函数解析式有意义为准则列出
解析：()222,233k k k Z ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
由函数的解析式得到关于x 的不等式，求解不等式即可确定函数的定义域. 【详解】
函数有意义，则：2cos 10x +≥，即1
cos 2
x ≥-， 求解三角不等式可得：()222233
k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 则函数的定义域为()222,233k k k Z ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦
. 【点睛】
求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．
17．【解析】试题分析：因为所以函数的的图像可由函数的图像至少向右平移个单位长度得到【考点】三角函数图像的平移变换两角差的正弦公式【误区警示】在进行三角函数图像变换时提倡先平移后伸缩但先伸缩后平移也经常出 解析：3
π
【解析】
试题分析：因为sin 2sin()3
y x x x π
==-，所以函数sin y x x =的的
图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移
3
π
个单位长度得到． 【考点】三角函数图像的平移变换、两角差的正弦公式
【误区警示】在进行三角函数图像变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言，即图像变换要看“变量”变化多少，而不是“角”变化多少．
18．【解析】【分析】利用面积公式即可求出sinC 使用二倍角公式求出cos2C 【详解】由题意在中面积为12则解得∴故答案为【点睛】本题考查了三角形的面积公式二倍角公式在解三角形中的应用其中解答中应用三角形 解析：
725
【解析】 【分析】
利用面积公式即可求出sinC ．使用二倍角公式求出cos2C ． 【详解】
由题意，在ABC ∆中，8a =，5b =，面积为12， 则120122S absinC sinC =
==，解得35
sinC =． ∴2
97
212122525
cos C sin C =-=-⨯=． 故答案为725
． 【点睛】
本题考查了三角形的面积公式，二倍角公式在解三角形中的应用，其中解答中应用三角形的面积公式和余弦的倍角公式，合理余运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
19．【解析】【分析】由可求得的横坐标进而得到的坐标；由正弦函数周期特点可知只需分析以为顶点的三角形为等腰直角三角形即可由垂直关系可得平面向量数量积为零进而求得的通项公式代入即可得到结果【详解】由得：……
解析：
112
π
【解析】 【分析】 由2
x k π
ωπ=+
可求得n A 的横坐标，进而得到n A 的坐标；由正弦函数周期特点可知只需分
析以1A ，2n A ，41n A -为顶点的三角形为等腰直角三角形即可，由垂直关系可得平面向量数量积为零，进而求得n ω的通项公式，代入6n =即可得到结果. 【详解】
由2
x k π
ωπ=+
，k Z ∈得：()212k x πω
+=，k Z ∈
1,12A πω⎛⎫
∴ ⎪⎝⎭
，23,12A πω⎛⎫- ⎪⎝⎭，35,12A πω⎛⎫ ⎪⎝⎭，47,12A πω⎛⎫- ⎪⎝⎭，…… 若123A A A ∆为等腰直角三角形，则2
12232,2,240A A A A πππ
ωωω
⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
解得：2
π
ω=
，即12
π
ω=
同理若147A A A ∆为等腰直角三角形，则14470
A A A A ⋅= 232π
ω∴= 同理若1611A A A ∆为等腰直角三角形，则166110A A A A ⋅= 352
πω∴= 以此类推，可得：()212
n n πω-= 6
112
πω
∴=
故答案为：112
π
【点睛】
本题考查正弦型函数图象与性质的综合应用问题，关键是能够根据正弦函数周期性的特点确定所分析成等腰直角三角形的三个顶点的位置，进而由垂直关系得到平面向量数量积为零，构造方程求得结果.
20．-3【解析】【分析】先求再根据自变量范围分类讨论根据对应解析式列方程解得结果【详解】当a>0时2a=-2解得a=-1不成立当a≤0时a+1=-2解得a=-3【点睛】求某条件下自变量的值先假设所求的值
解析：-3
【解析】 【分析】
先求()f a ，再根据自变量范围分类讨论，根据对应解析式列方程解得结果. 【详解】
()()()102f a f f a +=⇒=-
当a>0时，2a=-2,解得a=-1，不成立 当a≤0时，a+1=-2,解得a=-3 【点睛】
求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.
三、解答题
21．（1）23
A π
=；（2）3. 【解析】 【分析】
（1）已知等式左边利用两角差的余弦函数公式化简，求出()cos B C +的值，确定出
B C +的度数，即可求出A 的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a 与b c +的值代入求出bc 的值，再由sin A 的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC 的面积. 【详解】
(1)∵cos B cos C －sin B sin C ＝， ∴cos(B ＋C )＝. ∵A ＋B ＋C ＝π，∴cos(π－A )＝.∴cos A ＝－. 又∵0<A <π，∴A ＝
.
(2)由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A . 则(2
)2＝(b ＋c )2－2bc －2bc ·cos
.
∴12＝16－2bc －2bc ·(－)．∴bc ＝4. ∴S △ABC ＝bc ·sin A ＝×4×＝
.
【点睛】
本题主要考查余弦定理、特殊角的三角函数以及三角形面积公式的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）
222
cos 2b c a A bc
+-=
，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o
o
o
等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
22．（1）（2,4）或（-2，-4） （2）π （3）()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
（1）设(,)c x y =，根据条件列方程组解出即可；
（2）令(2)(2)0a b a b +⋅-=求出a b ⋅，代入夹角公式计算；
（3）利用()
0a a b λ+>⋅，且a 与a λb +不同向共线，列不等式求出实数λ的取值范围. 【详解】 解：设(,)c x y =， ∵25c =，且//c a ， ∴22
2020y x x y -=⎧⎨
+=⎩，解得24x y =⎧⎨=⎩或2
4x y =-⎧⎨=-⎩
， ∴(2,4)c =或(2,4)c =--； （2）∵2a b +与2a b -垂直， ∴(2)(2)0a b a b +⋅-=， 即222320a a b b +⋅-=， ∴5
2
a b ⋅=-
， ∴52
cos 1||||
5a b
a b θ-
⋅=
==-⋅，
∴a 与b 的夹角为π； （3）
a 与a λ
b +的夹角为锐角
则()0a a b λ+>⋅，且a 与a λb +不同向共线，
()2
5(12)0a a
a a
b b λλλ+==+>∴⋅++⋅，
解得：53
λ>-
， 若存在t ，使()
a b a t λ=+，0t >
()()1,21,1(1,2)a b λλλλ+=+=++
则()1,2(1,2)t λλ=++，
122t t t t λλ+=⎧∴⎨+=⎩，解得：10
t λ=⎧⎨=⎩，
所以5
3
λ>-
且0λ≠， 实数λ的取值范围是()5,00,3
⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭
． 【点睛】
本题考查了平面向量的数量积运算，利用数量积研究夹角，注意夹角为锐角，数量积大于零，但不能同向共线，夹角为钝角，数量积小于零，但不能反向共线，本题是中档题． 23．（1）19；（2）89
. 【解析】
试题分析：（1）所有的可能结果(,,)a b c 共有33327⨯⨯=种，而满足a b c +=的
(,,)a b c 共计3个，由此求得“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率；
（2）所有的可能结果(,,)a b c 共有33327⨯⨯=种，用列举法求得满足“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 完全相同”的(,,)a b c 共计三个，由此求得“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 完全相同”的概率，再用1减去此概率，即得所求．
试题解析：（1） 所有的可能结果(,,)a b c 共有33327⨯⨯=种， 而满足a b c +=的(,,)a b c 有(1,1,2)、(1,2,3)、(2,1,3)共计3个 故“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率为
31
279
= （2） 所有的可能结果(,,)a b c 共有33327⨯⨯=种
满足“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 完全相同”的(,,)a b c 有(1,1,1)、(2,2,2)、(3,3,3)共计三个
故“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 完全相同”的概率为
31279
= 所以“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 不完全相同”的概率为18199
-= 考点：独立事件的概率．
【方法点睛】求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式求解．如果采用方法一，一定要将事件拆分成若干个互斥事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误．
24．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）在棱PD 上存在点M ，使CM ∥平面P AB ，且M 是PD 的中点. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）由题意可得CD ⊥平面P AD ，从而易得CD ⊥PD ； （Ⅱ）要证BD ⊥平面P AB ，关键是证明BD AB ⊥；
（Ⅲ）在棱PD 上存在点M ，使CM ∥平面P AB ，且M 是PD 的中点.
【详解】
（Ⅰ）证明：因为P A⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥P A.
因为CD⊥AD，PA AD A
⋂=，
所以CD⊥平面P AD.
因为PD⊂平面P AD，
所以CD⊥PD.
(II)因为P A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
所以BD⊥P A.
在直角梯形ABCD中，
1
2
BC CD AD
==，
由题意可得2
AB BD BC
==，
所以222
AD AB BD
=+，
所以BD AB
⊥.
因为PA AB A
=，
所以BD⊥平面P AB.
（Ⅲ）解：在棱PD上存在点M，使CM∥平面P AB，且M是PD的中点.证明：取P A的中点N，连接MN，BN，
因为M是PD的中点，所以
1
2
MN AD.
因为
1
2
BC AD，所以MN BC.
所以MNBC是平行四边形，
所以CM∥BN.
因为CM⊄平面P AB, BN⊂平面P AB.
所以//
CM平面P AB.
【点睛】
本题考查平面与平面垂直的判定定理,以及直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力，属于中档题．证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利
用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 25．（1）3
4
a =-；（2）20x y -+=或7140x y -+=. 【解析】 【分析】
（1）将圆C 的方程化为标准形式，得出圆C 的圆心坐标和半径长，利用圆心到直线的距离等于半径，可计算出实数a 的值；
（2）利用弦长的一半、半径长和弦心距满足勾股定理可求得弦心距，利用点到直线的距离公式可求得实数a 的值，进而可得出直线l 的方程. 【详解】
（1）圆C 的标准方程为()2
244x y +-=，圆心C 的坐标为()0,4，半径长为2，
当直线l 与圆C
2=，解得3
4a =-；
（2）由题意知，圆心C 到直线l
的距离为d ==
由点到直线的距离公式可得d ==2870a a ++=，解得1a =-或
7-.
因此，直线l 的方程为20x y -+=或7140x y -+=. 【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，考查利用直线与圆相切求参数以及根据弦长求直线方程，解答的核心就是圆心到直线的距离的计算，考查计算能力，属于中等题. 26．（1
2
）7
百米. 【解析】 【分析】
（1）由余弦定理求出4AB =百米，由此能求出ABE 区域的面积；（2）记
AEB α∠=，在ABE 中，利用正弦定理求出sin α和cos α的值，当CH DE ⊥时，水管长最短，由此能求出当水管CH 最短时的长. 【详解】
（1
）由题知1,120,BE ABC EA =∠==
在ABE 中，由余弦定理得222
2cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅∠，即
2211AB AB =++，所以4AB =百米
所以11sin 4122ABE
S
AB BE ABE =
⋅⋅∠=⨯⨯=.
（2）记AEB α∠=，在ABE 中，sin sin AB AE ABE
α=∠，即4sin α=
，
所以sin αα=
==
当CH DE ⊥时，水管CH 最短， 在Rt ECH 中，
2π2π2π
sin 2sin 2sin cos 2cos sin 333CH CE HEC ααα⎛⎫
=∠=-=- ⎪⎝⎭百米.
【点睛】
本题考查了正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式的综合应用，利用同角三角函数关系式求三角函数值，并求三角形面积，属于基础题.（1）根据余弦定理，可直接求得AB 的长度，由三角形面积公式即可求得ABE S 的面积；（2）根据最短距离为垂直距离，可求得
CH 的长.。