反证法

反證法:
(一) 什麼是反證法
反證法是一種常用的間接証明方法，它是從“否命題的結論”出發，通過正確的邏輯推理“導致矛盾”，達到“推翻了結論的反面”，從而“肯定這個命題真實”。

反證法在邏輯上的理論依據是形式邏輯中的兩個基本規律──矛盾律和排中律，即在“p 是q ”和“p 不是q ”這兩個判斷中，總有一個是真的另一是假的。

用反證法證明一命題，有三個步驟：
（1）反證：假設待證的結論不成立，即假定原結論的反面為真。

（2）歸謬：由反設和已知條件出發，通過一系列正確的邏輯推理，最終得出矛盾。

（3）結論：由所得矛盾，說明反設不成立，從而証抈朋原待證的結論是正確
的。

下面用幾個例題來具體說明。

例1 在凸四邊形ABCD 中，已知AB BD AC CD +≤+，求證：AB AC <。

證明：假設AB AC ≥AB ，於是BCA ABC ∠≥∠，由於
ABCD 為凸四邊形，因此對角 AC 與BD 都在
四邊形內，所以有BCD BCA ABC CBD ∠>∠≥∠>∠ 則：BD CD >，又由假設
AB AC ≥有AB BD AC CD +>+
這與已知條件中AB BD AC CD +≤+矛盾。

而這矛盾是由假設AB AC ≥得到的，
所以AB AC ≥不成立，所以有AB AC <。

例2 已知12a a =2（1b +2b ），求證：方程2x +1a x +1b =0與2x +2a x +2b =0中最多有一個方程没有實根。

證明：假設兩個方程都没有實根，則兩個方程的判別式
211140a b ∆=-<、2
22
240a b ∆=-<，所以120∆+∆<且有 2222
2121212121214()2(2)0a a b b a a a a a a ∆+∆=+-+=+-=-≥
這與120∆+∆<矛盾，因此假設不成立，兩個方程中至多有一個没實根。

(二) 用反證法証題要注意的問題
1. 正確地作出反設(即否定結論)是正確運用反證法的前提：
在否定命題結論時，一定要先弄清命題的結論是什麼，再認真分析，仔細推敲，作出反設.在提出“假設”之後,要回過頭來看看“假設”的對立面
D
A
B
C
是否恰是命題的結論。

一些常用詞的否定形式列表如下：
2. 反證法的推理過程是没有既定目標的：
反證法較之直接證明法要達到的是一個既定的目標要來的方便多了，這正是反證法的優越之處。

例3 證明：對任意正整數k ，21k +和21k -兩數中至少有一個不能等於兩整數
的平方和。

證明：假設存在某個正整數k ，使21k +和21k -都能表示成兩個整數的平方和。

設21k -=22a b +，21k +=22c d +（,,,a b c d 均為整數）兩式相減得：
22
22()()2c d a b +-+= （1）
由於21k -為奇數，因此a 和b 必為一奇一偶，不妨設2a m =，21b n =+ （m ，n 為整數）則有22224()1a b m n n +=+++令22p m n n =++ 則 2241a b p +=+ （2） 同理可得 2241c d q +=+ （q 為整數） （3） 由（1）、（2）、（3）得：4()2q p -=
其中q p -為整數，所以2是4的整數倍，這顯然不可能，所以假設不成立。

（三）宜用反證法解決的幾種類型的命題：
1. 結論中“至少”、“至多”、“唯一”等的命題常用反證法。

例4 設ABC 為等腰直角三角形，它的腰長為1，P 為斜邊AB 上一點，P 到其
它兩邊的射影是,Q R ，證明：無論P 怎樣選取，APQ 面積、PBR 面積和
矩形QCRP 面積中最大的至少是
29。

證明：假設三個面積中最大的面積<29，則有：29APQ S < ，29PRB S < ，2
9
PRC S < 。

設(01)RB x x =<<，則PR QC x ==，1CR QP AQ x ===-有：
21(1)2APQ
S x =- ，21
2
PRB S x = ，(1)PRC S x x =- 由
21229x < 得2
3
x < 由 212(1)29x -< 得1
3x >，
因此 12
33
x << （＊）
再由2(1)9x x -<，得13x <或2
3
x >，這與（＊）式矛盾，因此假設不成立。

所以三個面積中最大的至少為
2
9。

2. 當命題是以否定形式給出的，常用反證法。

例5
p +,,p q r 都為有理數。

p +
=p +,,p q r 為有理數） （＊）
顯然，0q ≠
p =為有理數，矛盾。

（＊）式立方得：
3223233p p pq r q =++
222(3)(3p p q r q p r
=+++（1） 若2230p q r +≠，則有
22222(3)
(3)
p p q r q p q r -+=
+為有理數，所以
p +
（2） 若2230p q r +=，則223q r p =-，有
2232[3(3)]8p p p p =+-=-
2p ==-
3. 當命題結論是以“無限”的形式給出時，常用反證法。

C
R A
Q B
1x - x
例6 求證：質數有窮多個。

證明：假設質數只n 個：12,,,n P P P 。

令121n P P P P =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+
（1） 若P 是質數，顯然它與12,,,n P P P 都不同，這與只12,,,n P P P 這
n 個質數矛盾。

（2） 若P 是合數，而P 不能被12,,,n P P P 這n 個質數中任何一個整
除，因此P 應有與12,,,n P P P 都不相同的質因數，這也與假設矛盾。

由（1）、（2）知，假設不成立，因此，質數有無窮多個。

4. 有關於“存在性”和“唯一性”的題，常用反證法。

例7 如果一個平面點集M 可被半徑為R 的圓覆蓋，但不能被半徑小於R 的圓覆
蓋，證明：用半徑為R 的圓去覆蓋時，圓弖的位置是唯一確定的。

證明：假設圓弖的位置不是唯一確定的，設有
兩個不同的點1O 和2O ，以1O 與2O 為圓
弖，以R 為半徑的圓都可覆蓋M ，因此 點集M 可被圓1O 與2O 的公共部分K 所 覆蓋。

如圖，以兩圓的公共弦AB 為直徑 作3O ，顯然3O 覆蓋1O 與2O 的公共 部K ，因而覆蓋點集M ，而3O
的半徑
3O A R ==
，這與已知條件矛盾，故命題成立。

5.反證法在其它問題中的應用
例8 設12,,,n a a a 為一系列數，其中任何三個連續項的和為正，任何五個連續項的和為負，求證：6n ≤。

證明：假設7n ≥，把7個數按下表排列：
123234345a a a a a a a a a
456a a a 567a a a
由題設知，上表中每行3個數之和為正，所以，表中15個數總和為正；另一方面，每行五個數之和為負，所以表中15個數總和為負，矛盾。

因此，6n ≤；6n =時，數3，-5，3，3，-5，3滿足要求。

練習：
1. 證明：任何3個實數都不可能同時滿足下列3個不等式： x y z <-，y z x <-，z x y <-
2. 設n 是正奇數，取連續的n 個自然數1,2,3,,n 的任一排法12,,,n a a a ，試證：在1231,2,3,,n a a a a n ---- 中至少有一個是偶數。

3. 設n 為正整數，且
4. 求證：圓內非直徑的兩弦，必不能互相平分。

5. 求證：四個相等的圓不能兩兩外切。

6. 求證：過不等邊三角形任一頂點作直 ，不可能把原三角形劃分為兩個全等的小三角形。

解答：
1. 設有某3個實數,,x y z 同時滿足3個不等式平方、移項、因式分解，再相乘得：
()2
2x y z <-，()2
2y z x <-，()2
2z x y <-
()2
20x y z --<，()2
20y z x --<，()2
20z x y --<
()()0x y z x y z -++-<，()()0y z x y z x -++-<，()()0z x y z x y -++-< ()()()()()()0x y z x y z y z x y z x z x y z x y -++--++--++-<
()()()
2
2
2
0x y z x y z y z x -++-+-<
()(
)()2
0x y z x y z y z x ⎡⎤-++-+-<
⎣⎦矛盾。

2. 若都為奇數，n 為奇數，∴這n 個數之和也為奇數，但
()()()()()121212120n n a a a n a a a n -+-++-=+++-+++=
即 奇數=偶數，矛盾。

3.
q
p = （整數,p q 互質），則6
q n p ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，若1p ≠，n 是分數，矛盾。

若
1p =，6n q =3q 2q =都為有理數，矛盾。

證畢。

4. 連結圓弖O 與兩弦AB 、CD 的交點P ，則OP AB ⊥，OP CD ⊥，矛盾。

5. 假設四個相等的圓兩兩外切，四個圓弖為1234,,,O O O O 。

如圖： 1224
1O O O O O O ==， 124
60OO O ∴∠=
∴ 12
3120OO O ∠=
∴ 2
22
1312
23
12342cos120OO OO O O OO O O =+-⋅
∴ 221312OO r =
132OO r =>
這與1O 與3O 外切矛盾。

6. 設過ABC 的頂點A 的直 AD 與BC 交於D 把ABC 分為兩個全等三角形
ABD ACD ≅ ，ADC ∠不會與ABD ∠或BAD ∠為對應角，因為外角大於不相鄰內角，所以ADC ∠與ADB ∠對應，則AB AC =，矛盾。

極端性原則
（一）在幾何問題中的應用
例1 證明：如果三角形所有邊的長度都不小於1
，則它的面積小於
4。

證明：設ABC 三邊全小於1，三個角中B ∠最小，則60B ∠≤ ，（否則
3180A B C B ∠+∠+∠+≥∠> ）所以有sin sin 60B ≤
，
11sin 11sin 60224
ABC S AB BC B =
⋅⋅<⋅⋅⋅=
例2 在平面上有n 個點，其中任意三點都構成面積不超過1的三角形，證明：這
些點一定可被面積不超過4的三角形覆蓋。

證明：由已知，任意三點都構成三角形，因此
任意三點都不共 。

在任三點構成的三 角形中取面積最大的三角形，不妨設 為ABC ，過A 、B 、C 分別作BC ， AC ，AB 的平行 ，相交於,,A B C '''， 得A B C ''' ，如圖，若給定點D
在A B C ''' 外部，則ABC AEC ADC S S S =< 。

這與ABC 面積最大矛盾，所以A B C ''' 覆
蓋所有給定的n 個點，而44A B C ABC S S '''=< ， 證畢。

例3 在平面上給出有限個點，並且經過其中任意兩點的直 至少還經過另一個
給定點，證明：所有已知點全在同一條直綫上。

1O
3O 4O
2O
2r
2r
2r
2r
2r
2r
A B C D
E A '
B '
C '
證明：假設所有點不在同一條直綫上，過每兩
個給定點作一條直 ，共可作出有限條直 ，給定的有限個點到這有限條
直 的距離也是有限，從這有限個點到 直 的距離中選出最小非零距離，設從 已知點A 到直 BC 的距離AH 為非零最 小距離。

,B C 也為給定點，由已知，在 直 BC 上還有另一個給定點D ，則 點,,B C D 中必有兩個位於垂足H 的 同側，不妨設,D B 位於H 左側，如圖， 則點B 到直 AD 的距離BE HF AH <<， 這與AH 最小矛盾，因此假設不成立， 所有已知點都在一條直 上。

例4 平面上給定n ()4n ≥個點，其中無三點共 ，無四點共圓，證明：一定可能找出其中3個點使得過此3點的圓內包含所有其它點。

證明：由於有有限個點，因此可能找到兩個
已知點，設為12,A A ，使其餘的點設 為34,,,n A A A 都在直 12A A 的同
一側，這樣得到
13214212,,,n A A A A A A A A A ∠∠∠ ，
這2n -個角互不相等，（因為無四點共圓）， 從中選出最小角，不妨設為132A A A ∠， 則過132,,A A A 的圓內包含其餘的點。

例5 在ABC 中，90BAC ∠> ，AD BC ⊥於D ，求證：AC AB AD BC +<+。

證明：從A 點作AB 的垂 ，交BC 於C '，在直角ABC ' 中，有
BC AD AB AC ''⋅=⋅，所以 ()
2
222BC AD BC BC AD AD '''+=+⋅+
22
2
2A B
A C A
B A C
A D ''=++⋅+
222AB AB AC AC ''>+⋅+
()2
A B A C '=+
所以 B C A D A B A C ''+>- （1）
在ACC ' 中有 C C A C A C ''>- （2）
（1）+（2）得BC AD AB AC +>+
H
B
D
E F A
‧
C
B D
C
A
C '
（二）在其它問題中的應用
例6 證明：3332220x y z x y y z z x xyz ++++++=没有非零整數解。

證明：假定有非零正整數解，令使z 取最小值的解為1x x =，1y y =，1z z =則有
3332221111111111110x y z x y y z z x x y z ++++++= （1）
（1）中左端有7項，因此，111,,x y z 不可能都為奇數，不妨令122x x =，代入（1）得
33322221121111221184420x y z x y y z z x x y z ++++++= （2）
（2）中2
,3,5項之和33
21111y z y z ++必為偶數，因此1y 和1z 不可能都是奇數，
也不可能是一奇一偶，必都為偶數。

令122y y =，122z z =，代入（2）式中，得到
3332222222222222220x y z x y y z z x x y z ++++++= （3）
（3） 式說明2x x =，2y y =，2z z =也為原方程的一組非零數解，而且由和21z z <，這122z z =與1z 最小矛盾。

因此假設不成立，命題得證。

練習：
1.平面上有很多點，其中每一點總是另兩個點的中點，求證：這些點有無限多人。

2.平面上給定1993個點，其中無3點共 ，證明：從給定點中可以找出3點，使得其餘點都在這3點所構成的三角形外。

3.證明任意面積為1的凸多邊形能被面積為2的矩形覆蓋。

4.證明：如果三角形ABC 的每條角平分 全小於1，那麼它的面積大於3。

5.證明：方程33324x y z +=無正整數解。

解答：
1. 假設有有限的n 個點，任取一點A ，A 到其它1n -個點的距離中必有最大的，設AB 最大，以A 為圓弖，AB 為半徑作圓，能覆蓋住這n 個點，但因B 為A 與另一點C 的中點，則AC AB >，矛盾。

2. 構成面積最小的三角形的3個點為所求。

3. 設AB 為凸多邊形最長的對角 ，C 和D 別為凸多邊形中最高與最低點，過
C 、
D 作AB 平行 ，過A 、B 作AB 垂 ，得出矩形KMNO ，如下圖，則 KMNO 覆蓋凸多邊形，且
22222KMNO ABC ABD S S S S S =+=≤= 矩形四邊形ABCD 凸多邊形。

4. 設A ∠為ABC 中的最大角，則60A ∠≥ ，角平分 長1AD >，過D 點弔一切可與A ∠的邊相交於B 、C 的直 ，使ABC 面積最小的是BC AD ⊥
，此時
ABC S =。

5. 假設結論不對，可找出有一組解11,x y 使1x 為所有解中x 的最小值，則
33311124x y z +=（＊），1x 為偶數，122x x =，代入（＊）得333
211
42x y z +=（1），1y 為偶數，122y y =代入（1）得333
221
24x y z +=（2），則122z z =代入（2）有333
222
24x y z +=，而21x x <矛盾。

抽屜原則
原則1：如果把1n +個元素放入n 個集合中，那麼至少有一個集合中有2個或2
以的元素。

原則2：把m 個元素任意放入n ()m n >個集合中，則至少有一集合中含有k 個或
k 個以的元素，其中()()1m
n m n
k m n m n ⎧⎪⎪=⎨⎡⎤⎪+⎢⎥⎪⎣⎦
⎩當能整除時當不能整除時
原則3：把無窮多個元素放入有限個集合裡，則至少存在一個集合中含有無窮多
個元素。

例1 在邊為2的正方形中，任意取5個點，求證：至少有兩個點之間的距離不
證明：連結正方形對邊中點，構造出4個全等的小正方形，如下圖，每個小正方
4
D M
B
N
C
O
K
A
個小正方形看成個抽屜，把任意的5個點放入這4個抽屜中，根據原則
（1）
用模m 的剩餘類構造抽屜
例2 求證：在任意給出的5個整數中，必有3個數，其和能被3整除。

證明：任一整數被3除，餘數只能是0,1,2中的一個，若所給的5個數中能找到3
個數，它們被3除的餘數分別為0,1,2，則這3個數之和為3的倍數。

若所給的5個整數中被3除後餘數至多出現0,1,2中的兩個，由原則（2）知，
必有一個餘數出現5132⎡⎤
+=⎢⎥⎣⎦
次，則餘數相同的這3個整數之和能被3整
除，證畢。

用整數的奇偶性構造抽屜
例3 已知7個自然數127,,,a a a ，把它們重新排列後得到127,,,b b b ，求證：
()()()112277a b a b a b --- 為偶數。

證明：127,,,a a a 中至少有7142⎡⎤
+=⎢⎥⎣⎦
個同為奇數或同為偶數，由於
127,,,b b b 是127,,,a a a 的一種重新排列，所以也至少有4個同為奇數或同為偶數。

若127,,,a a a 中有4個奇數，則127,,,b b b 中也有4
個奇數，共8個奇數，把這8個奇數放入7個括號中，至少有一個括號內是兩奇數相減，其差為偶數，所以乘積()()()112277a b a b a b --- 為偶數。

若127,,,a a a 中有4個偶數，同理可證，從而命題得證。

用數組構造抽屜
例4 求證：在1,4,7,10,,100 中任選20個數，其中至少有不同的兩組數，其
和全等於104。

證明：1,4,7,10,,100 共34個數，將這34個數分為{}4,100，{}7,97，
{}10,94，……，{}49,55，{}1，{}52共18個數組（抽屜）。

任選的20個數中，若1和52全被選中，則剩下的18個數取自前16個數組，則至少有兩
數組全被選中，若1和52不全被選中，則多於18個取自前16個數組，同樣有至少兩個數組全被選中，而前16個數組中任一數組的兩收之和均為104，從而問題得證。

雜題
例5 任選6個人，試證其中必有3人，他們相互認識或不認識。

證明：用126,,,A A A 表示這6個人，1A 與另外5個人只有兩種可能的關係：
認識或不認識，由原則（2）知，1A 必定與其中5132⎡⎤
+=⎢⎥⎣⎦
人認識或不認識。

不妨設1A 與234,,A A A 認識，若234,,A A A 不全認識，間題得證。

若234,,A A A 中有兩人認識，不妨設23,A A ，則123,,A A A 互相認識，問題得證。

練習
1. 邊長為1的等邊三角形內任放5個點，求證：至少有兩個點距離不超過
12。

2. 平面上有11條直 兩兩相交，所得的角中至少有一個角小於17 。

3. 設12,,,n a a a 是自然數1,2,,n 按任意次序排列成的一串數，n 是奇數，求證：()()()1212n a a a n -⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-總是一個偶數。

解答
1. 連結邊長為1的正三角形的各邊中點把三角形分為4個邊長為
1
2
的小正三角形。

2. 平面上任選一點O ，過O 分別作11絛直 的平行 ，則把一周角分成22個
彼此相鄰的角，其中至少有一個小於36011722⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦。

3. 設21n k =+（k 為自然數），則1,2,,n 中有1k +個奇數，12,,,n a a a 也有1k +個奇數，這221k n +=+個奇數放入n 個括號內，至少有一個括號內出現兩個奇數相減，差為偶數，證畢。

邏輯推理間題
（一）形式邏輯基本規律
1.同一律：在同一個論證過程中，使用的每一個概念的含義和每一個判斷，
都應該是確定的，從始至終，不能改變。

否則，就會犯偷換
或混淆概念，以及偷換論題，變換論點的錯誤。

2.矛盾律：在同一個論證過程中，對同一對象的兩個互相矛盾的判斷不能
同真，其中至少有一個判斷是假的（可能有一個假，也可能
兩個全假）。

3.排中律：在同一論證過程中，對同一對象的肯定判斷與否定判斷，這兩
個矛盾的判斷必有一個是真的。

4.充足理由律：對於任何判斷都必頇有充分的根據（理由）才被認為是正
確的，或者說：正確的判斷必頇有充足理由。

（二）例題
例1 有個同學把一個蘋果放入紅、黃、白三個箱子中的某一個箱子內，然後又在每個箱蓋上寫了一句話：
（1）紅箱蓋上寫着：“蘋果在這個箱子裡”
（2）黃箱蓋上寫着：“蘋果不在這個箱子裡”
（3）白箱蓋上寫着：“蘋果不在紅箱子裡”
已知這3句話中只有一句是真的。

你能猜出蘋果在哪個箱子裡嗎？
解：（1）和（3）是兩個矛盾的判斷，“蘋果是不是在紅箱子中？”（1）說“在”，（3）說“不在”。

（1）和（3）一個是肯定的回答，一個是否定的回答，根據矛盾律，（1）和（3）不能同真，至少一個是假，再根據排中律，（1）和（2）不能全假，必有一真，因此（1）和（3）中必一真、一假（不能判斷到底哪句為真，哪句為假）。

由於（1）（2）（3）中只有一句為真，由上面分析為真的這句話非（1）即（3），因此，（2）必假，即（2）“蘋果不在黃箱子裡”為假，由排中律，“蘋果在黃箱子裡”這句話為真。

所以，蘋果在黃箱裡。

例2 ,,
A B C三個人都說別人在說謊：
A說：“B在說謊”
B說：“C在說謊”
C說：“A和B都在說謊”
問：,,
A B C3人中誰說的是真話？誰說的是謊話？
解：用A表示A說真話，用A表示A說謊話，同樣，對,B C也用類似記號。

引用這種記號後，上述推理過程可以表述如下：
⇒⇒⇒且B，即由A⇒，矛盾，因此假設A不成立，必有假設A B C
A。

A B C A
⇒⇒⇒，因⇒⇒⇒或B，而A A
⇒矛盾，所以必有A B C B ,A C在說謊，B說真話。

例3 甲、乙、丙、丁、戊5位教師，對參加競的,,,,A B C D E 5位同學在競賽中的名次進行預測：
甲預測：B 第3，C 第5； 乙預測：E 第4，D 第5； 丙預測：A 第1，E 第4； 丁預測：C 第1，B 第2； 戊預測：A 第3，D 第4。

競賽結果表明，每個名次都有人猜中，求各人的名次。

解：將5位教師的預測內容列表如下：
從表中找出矛盾最少的預測，B 是第2名只有丁預測，因此B 必為第2名
（因為若B 不是第2名，則第2名無人預測對，這與題設中每個名次全有人猜中矛盾）。

由於B 是第2名，因此B 不會再是第3名，則A 是第3名，同樣A 不會是第1名，C 必為第1名，則C 不是第5名，D 必為第5名，D 不會再是第4名，因此E 為第4名。

綜合上述，由第1名到第5名順序為：,,,,C B A E D 。

例4 1n ⨯長方形區域上的n 個方格依次編號為1,2,,n ，在編號為2n -，
1n -，n 的方格裡各放一枚栱子，有兩人在玩下面的遊戲：每個人每走一步
就把任意一枚棋子移到編號較小的空格裡，誰先無法走，誰就算輸，問誰必勝？如何取勝？
解：把從2開始的所有整數配對：()2,21k k +，k 為自然數，則2n -，1n -，n 這
3個數中必有兩個組成一對。

（n 為奇數時()1,n n -為一對；n 為偶數時()2,1n n --為一對）。

先走的人第一步把編號不能配對的方格上的棋子走到
編號為1的空格裡，則這枚棋子不能再動了。

這時，從編號2開紿向右到兩枚棋子之間的空格的編號必兩兩一對。

若第二個人把一枚棋子走到編號為m 的空格，則先走的人把餘下棋子走到編號為1m -或1m +的空格，使得編號和m 能組成一對，這樣只要第2個人能走，先走的人就能走。

只要重複這樣走，先走的人就不會輸。

由於這種遊戲經有限步總會結束，所以後走的人必輸。

例5 有n 個棋子放成一堆，;兩個人輪流取走1個，2個或3個棋子，誰拿到最
後一個棋子為獲勝，問先取者必勝還是後取者必勝？如何取勝？
解：由於每人每次只取1,2或3個棋子，因此我們按棋子數n 被4除的餘數分類
討論： （1） 若4n k =，後取者必勝。

因為先取者若取k ()1,2,3k =個，後取者就取4k
-個，這樣總可以使餘下棋子數為4的倍數，先取永遠取不到最後一個棋子。

（2） 若4n k r =+()1,2,3r =，先取者必勝。

因為先取者第一次就取出r 個棋子，
由（1）後取者永遠取不到最後一個棋子。

練習
1. ,,,A B C D 四個學生坐在同一排相鄰的坐位上，坐號是1至4。

一位旁觀者說：“B 坐在C 的旁邊，A 坐在B 和C 的中間。

”而事實表明，這位旁觀者全說錯了，B 為坐3號座位，問2號座位上是誰？
2. ,,A B C 3個人中只有兩種人，一種人只說真話，另一種只說謊話。

A 說：“B
和C 都是說謊者”；B 堅決反對；C 說：“B 確實是說謊者”。

問,,A B C 各是哪種人？
3. 一次僅由,,,A B C D 4名學生參加的比賽，每人各得一個不同的名次。

賽前，甲、乙、丙三位教師預測，甲說：“A 第1，C 第2”；乙說：“A 第2，C 第2”；丙說：“D 第1，B 第2”。

比賽後發現，每位教師各猜中1人，問4個學生的名次如何？
4. 有一個33⨯的方格棋盤。

現有9個數字甲、乙兩人輪流從中選一個數填入33
⨯方格中任一格，填完後，對甲計算上、下兩行6個數字之和，對乙計算左、右兩列6個數字之和，和數大者獲勝。

證明：不論是9個什麼樣的數，只要甲先選，甲總有一種策略使乙不可能獲勝。

解答
1. B 是3號，C 不坐2,4號，必坐1號，A 不在,B C 中間，必為4號，所以D 必坐2號。

2. 用A 表示A 說真話，用A 表示A 說謊話，同樣，對,B C 也用類似記號。

若A 說
真話，即有A ，有B 且，由有B ，矛盾。

因此A 說謊話，即有A 。

由於有A ，有B 或，分兩種情況：若B ⇒，知C ，得解ABC ，若⇒，知B ，得解ABC 。

3.
第3名必為C （因為若C 不是第3，則由乙的話知A 為第2，則C 不是第2，A 不是第1，甲全預測錯，矛盾），C 第2不對；由甲的話知，A 第1，D 第1不對；由丙的話知，B 第2，所以D 必為第4。

4.
要想使乙不可能獲勝，應使A C B D +≥+，有9個任意數，不妨令：129a a a ≤≤≤
（1） 若1928a a a a +>+，甲必勝。

甲先把9a 填入A ，盡可能選小的數填入B
或D ，1928A C a a a a B D +≥+>+≥+。

（2） 當1928a a a a +<+時，甲必勝。

甲先把1a 放入B 或D 中，再選8a 或9a 放
入A 或C 中，2819A C a a a a B D +≥+>+≥+。

（3） 若1928a a a a +=+，甲可採用上策略中任一種，取勝或和局。